Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах (том 1)
Подождите немного. Документ загружается.
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ ВУЗОВ
В. Д. Черненко
ВЫСШАЯ
МАТЕМАТИКА
В примерах
и задачах
в трех томах
и
том
¥
ПОЛИТЕХНИКА
ИЗДАТЕЛЬСТВО
Санкт-Петербург 2003
УДК 517 (07)
ББК22.11
Ч-49
Рецензенты:
К.
Ф.
Черных,
доктор физико-математических наук,
профессор Санкт-Петербургского государственного университета,
Н. В.
Югов,
член-корреспондент Центра прикладной математики
и механики Академии наук РФ
Черненко В. Д.
Ч-49 Высшая математика в примерах и задачах: Учебное пособие
для вузов. В
3
т.: Т. 1.— СПб.: Политехника,
2003.—
703 с: ил.
ISBN
5-7325-0766-3
— общ.
ISBN 5-7325-0767-1—Т. 1
Предлагаемое учебное пособие содержит краткий теоретический материал по
определителям
и
матрицам, системам линейных уравнений, векторной
и
линейной
алгебре, аналитической геометрий на плоскости и в пространстве, функциям и
вычислению,
пределов,
дифференциальному
исчислению
функций одной
и
несколь-
ких переменных, приложениям дифференциального исчисления к геометрии, нео-
пределенному
и
определенному интегралам
и
приложениям определенного интег-
рала к задачам геометрии, механики и физики, а также большое количество при-
меров, иллюстрирующих основные методы решения.
ISBN
5-7325-0767-1
УДК 517(07)
lllllllllllllillllllllllllllll
ББК 22.11
J11 НИШ
III
ПИШИ
III
УЧЕБНОЕ ИЗДАНИЕ
Черненко Владимир Дмитриевич
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
В
ПРИМЕРАХ
И ЗАДАЧАХ
В
трех томах
Том
1
Заведующая редакцией
Е.
В.
Шарова.
Переплет художника М. Л.
Черненко.
Корректоре. Н.
Пятницкая.
Макет
Т.
Л.
Пивоваровой.
Компьютерный набор
и
верстка
В.
А.
Чернявского,
М. М.
Пивоварова,
Т.
Л.
Пивоваровой
ЛР№ 010292 от 18.08.98
Сдано в набор 22.05.03. Подписано в печать 13.08.03. Формат 60x90
Ч^^.
Бумага офсетная.
Печать офсетная. Гарнитура Times New Roman. Усл. печ. л. 44.0 \'ч.-изд. л. 43,2.
Тираж 3000 экз. Зак. 2848.
ФГУП «Издательство "Политехника"». 191023, Санкт-Петербург, Инженерная ул., 6.
Отпечатано с готовых диапозитивов
в ГУП «Республиканская типография им. П. Ф. Анохина». 185005, г. Петрозаводск, ул. «Правды», 4.
ISBN
5-7325-0766-3
— общ.
ISBN
5-7325-0767-1
— Т.
1
©
В.
Д. Черненко, 2003
Оглавление
ПРЕДИСЛОВИЕ 8
Глава 1
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И МАТРИЦЫ.
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 11
1.1. Определители. Способы вычисления —
1.2 Системы линейныых уравнений.
Правило Крамера 22
1.3. Основные определения теории матриц.
Сложение
и
умножение матриц 31
1.4. Транспонирование матрицы 39
1.5. Обратная матрица 41
1.6. Матричный метод решения системы
линейных уравнений 45
1.7. Решение системы линейных уравнений методом
исключения (метод Гаусса) 46
1.8. Ранг матрицы 50
1.9. Решение системы линейных уравнений.
Теорема Кронекера-Капелли 55
Глава 2
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА 63
2.1.
Векторные и сг.алярные величины.
Линейные операции над векторами —
2.2.
Разложение вектора по координатным осям 72
2.3.
Скалярное произведение 78
2.4. Векторное произведение 85
2.5.
Смешанное произведение векторов 89
Глава 3
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
НА ПЛОСКОСТИ 95
3.1.
Координаты точки на прямой
и на плоскости. Длина
и
направление отрезка —
3.2. Деление отрезка в данном отношении. Площадь
треугольника и многоугольника. Центр тяжести 99
3.3.
Уравнения прямой
линии.
Геометрическое истолкование
неравенства и системы неравенств первой степени 106
3.4. Задачи на прямую линию 116
3.5.
Уравнение линии как геометрического места точек 132
3.6. Кривые второго порядка 136
3.7. Преобразование декартовых координат 153
3.8.
Полярная система координат. Уравнения кривых 161
3.9. Параметрические уравнения плоских кривых 170
Глава 4
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
В
ПРОСТРАНСТВЕ 173
4.1.
Системы координат —
4.2.
Плоскость 175
4.3.
Прямая линия 182
4.4.
Прямая и плоскость 186
4.5.
Поверхности второго порядка 191
4.6.
Геометрический смысл уравнений
с тремя неизвестными в пространстве 203
4.7.
Параметрические уравнения пространственных кривых ..207
Глава 5
ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ 209
5.1.
Линейные преобразования —
5.2. Разложение векторов по базису.
Арифметические векторы 214
5.3.
Собственные числа
и
собственные векторы матрицы 220
5.4. Квадратичные формы и их приведение
к каноническому виду 223
Глава 6
ВВЕДЕНИЕ
В
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 227
6.1.
Множества
и
операции над ними 227
6.2. Логическая символика 229
6.3.
Понятие о функции 230
6.4. Вычисление пределов. Раскрытие неопределенностей 239
6.5.
Непрерывность и точки разрыва функции 252
Глава 7
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 265
7.1.
Вычисление производных —
7.2. Производные функций,
не
являющихся явно заданными ..279
7.3.
Производные высших порядков 284
7.4. Дифференциал функции 296
7.5.
Приложения производной
к
задачам геометрии и физики... 3 04
7.6. Теоремы о среднем 315
7.7. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя 320
7.8.
Возрастание
и
убывание функций 325
7.9. Максимум и минимум функции 329
7.10. Наибольшее и наименьшее значение функции 336
7.11.
Решение задач на максимум и минимум 340
7.12. Направление выпуклости кривой. Точки перегиба 354
7.13.
Асимптоты кривой 357
7.14. Исследование функции и построение графиков 365
7.15.
Формула Тейлора и Маклорена 378
Глава 8
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 387
8.1.
Понятие о функции нескольких переменных.
Область определения —
8.2. Предел функции нескольких переменных.
Непрерывность 392
8.3.
Частные производные первого порядка 394
6
8.4. Дифференциал функции и его применение
к приближенным вычислениям 399
8.5. Частные производные
и
дифференциалы
высших порядков 404
8.6. Дифференцирование сложных функций 411
8.7. Дифференцирование неявных
и параметрически заданных функций 415
8.8. Замена переменных
в
дифференциальных выражениях... 429
8.9. Экстремум функции 435
8.10. Наибольшие
и
наименьшие значения функций 443
8.11.
Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа 450
Глава 9
ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ 457
9.1.
Касательная и нормаль к плоской кривой —
9.2. Касательная плоскость и нормаль к поверхности 460
9.3.
Кривизна плоской кривой 470
9.4. Особые точки плоских кривых 483
9.5.
Касание кривых между собой 488
9.6. Производная вектор-функции 493
9.7. Естественный трёхгранник пространственной кривой.
Касательная и нормальная плоскость
к пространственной кривой 500
9.8.
Кривизна
и
кручение пространственной кривой 508
Глава 10
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 513
10.1.
Первообразная функция и неопределенный интеграл.
Свойства неопределенного интеграла. Таблица
основных интегралов и простейшие примеры —
10.2.
Непосредственное интегрирование 520
10.3.
Интегрирование методом замены переменной 524
10.4.
Интегрирование по частям 531
10.5.
Интегралы от функций, содержащих
квадратный трехчлен 538
10.6.
Интегрирование рациональных дробей 547
10.7.
Интегралы от иррациональных функций 560
10.8.
Интегрирование тригонометрических функций 572
10.9.
Интегрирование гиперболических функций 578
10.10.
Задачи, приводящие к понятию
неопределенного интеграла 581
Глава 11
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 583
11.1.
Определение определенного интеграла. Свойства.
Формула Ньютона-Лейбница —
11.2.
Замена переменной в определенном интеграле 587
11.3.
Интег^Зирование по частям 591
11.4.
Теоремы об оценке определенного интеграла 594
11.5.
Определенный интеграл как функция верхнего предела .597
11.6.
Несобственные интегралы 599
Глава 12
ПРИЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО
ИНТЕГРАЛА К ЗАДАЧАМ ГЕОМЕТРИИ,
МЕХАНИКИ И ФИЗИКИ 611
12.1.
Общая схема применения определенного интеграла
к вычислению различных величин —
12.2.
Площадь плоской фигуры 614
12.3.
Объем тела 626
12.4.
Длина дуги кривой 638
12.5.
Площадь поверхности вращения 645
12.6.
Вычисление статических моментов
и моментов инерции 651
12.7.
Координаты центра тяжести 669
12.8.
Приложение определенного интеграла
к задачам механики и физики 682
ЛИТЕРАТУРА 704
ПРЕДИСЛОВИЕ
В
плане изучения высшей математики наибольшие трудно-
сти возникают при решении конкретных задач
и
примеров, кото-
рые требуют знание определенных методов и приемов.
Цель книги—помочь студентам научиться самостоятельно
решать задачи по курсу высшей математики. Изучение теории
должно производится по рекомендованному в программе или
учебным заведением учебнику.
Каждый параграф начинается с краткого теоретического
введения, приводятся основные определения, теоремы
без
дока-
зательств, главнейшие формулы, методы и способы решения за-
дач.
Решение типовых примеров и задач в параграфе, как
правило, расположено по возрастающей трудности.
Одной из отличительных от существующих изданий осо-
бенностей пособия является отсутствие задач для самостоятель-
ного решения, что позволяет при одном и том же объеме
рассмотреть более широкий спектр методов и приемов реше-
ния, охватить больший диапазон задач и разнообразие приме-
ров.
Для самостоятельного решения, по мнению автора, имеется
в настоящее время достаточное количество прекрасных сбор-
ников задач по математике для различных форм и профилей
обучения.
ПРЕПИСПОВИЕ 9
Другой характерной особенностью является включение ре-
шений задач вычислительного характера, что позволяет охва-
тить шире круг пользователей. Кроме того, значительное
внимание уделено методам решения прикладных задач.
При написании пособия автор опирался на многолетний опыт
преподавания курса высшей математики в различных вузах
Санкт-Петербурга. Часть задач была составлена автором, а
часть заимствована из сборников: Берман Г.Н. Сборник задач
по курсу математического анализа,
1975;
Минорский В.П. Сбор-
ник задач по высшей математике,
1972;
Задачи и упражнения по
математическому анализу, под редакцией
Б.П.
Демидовича, 1968;
Гюнтер Н.М. и Кузьмин
P.O.
Сборник задач по высшей матема-
тике,
т. 1-3, 1959; Сборник задач по математике для вузов. Под
редакцией А.В.Ефимова, ч.1-2, 1993-1994; Будак Б.М., Самар-
ский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической фи-
зике,
1980; Бугров Я.С., Никольский
Я.С.
Высшая математика.
Задачник, 1982; Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по
теории вероятностей и математической статистике,
1998;
Сбор-
ник задач по теории вероятностей, математической статистике и
теории случайных функций, под редакцией А.А.Свешникова,
1970.
Книга предназначена для студентов технических и эконо-
мических вузов. Может служить учебным и справочным посо-
бием лицам, желающим самостоятельно повторить курс высшей
математики.
В книге принята следующая индексация: внутри рассмат-
риваемой главы используются двойные индексы (2.3), где пер-
вая цифра указывает номер главы, вторая — номер параграфа
в главе. Номера формул в каждом параграфе свои. Номера за-
дач —двойные индексы
(3.4).
Здесь первая цифра указывает но-
мер параграфа, вторая — номер задачи в параграфе. Каждый
параграф разбивается по темам на разделы «жирными» цифра-