Черный А.А. Математическое моделирование
Подождите немного. Документ загружается.
81
Таблица 31
План 4
2
(Х = 16)
Факторы
Номер опыта
F(J) H(J)
Показатель
Y(J)
1
A1 A2 Y(1)
2
B1 A2 Y(2)
3
A1 B2 Y(3)
4
B1 B2 Y(4)
5
A1 C2 Y(5)
6
B1 C2 Y(6)
7
A1 D2 Y(7)
8
B1 D2 Y(8)
9
С1 A2 Y(9)
10
С1 C2 Y(10)
11
С1 D2 Y(11)
12
С1 B2 Y(12)
13
D1 A2 Y(13)
14
D1 C2 Y(14)
15
D1 D2 Y(15)
16
D1 B2 Y(16)
Многофакторное математическое моделирование можно выполнять
на основе планов
3 · к + 1, где к – количество факторов, оказывающих
влияние на показатель процесса. В этом случае количество уровней каждо-
го фактора – четыре. Уровни
x
md
- общие и определяются как средние
арифметические величины
D1 = x
1d
= 0,5 · (x
1a
+ x
1b
);
D2 = x
2d
= 0,5 · (x
2a
+ x
2b
);
D3 = x
3d
= 0,5 · (x
3a
+ x
3b
);
D4 = x
4d
= 0,5 · (x
4a
+ x
4b
);
D5 = x
5d
= 0,5 · (x
5a
+ x
5b
).
В табл. 32-35 приведены планы 3 · к + 1 соответственно для случаев,
когда
к = 2; к = 3; к = 4; к = 5. Математические модели выявляются как
для однофакторного процесса при планировании на четырех уровнях каж-
дого фактора. Получаются системы уравнений, в которых столько уравне-
ний, сколько принято факторов, оказывающих влияние на показатель про-
цесса. По мере увеличения количества факторов в плане необходимо уве-
личивать количество проводимых опытов (при увеличении
к на 1 увеличи-
вается количество опытов на 3).
На рис. 19 показана схема зависимости показателя от факторов при
планировании
3 · к + 1, когда к = 5.
82
Таблица 32
План
3 · к + 1 при к = 2
№ х
1
х
2
у
1 A1 = x
1a
D2 Y(1)
2 B1 = x
1b
D2 Y(2)
3 C1 = x
1c
D2 Y(3)
4 D1 A2 = x
2a
Y(1)
5 D1 B2 = x
2b
Y(2)
6 D1 C2 = x
2c
Y(3)
7 D1 D2 Y(4)
Таблица 33
План
3 · к + 1 при к = 3
№ х
1
х
2
х
3
у
1 A1 = x
1a
D2 D3 Y(1)
2 B1 = x
1b
D2 D3 Y(2)
3 C1 = x
1c
D2 D3 Y(3)
4 D1 A2 = x
2a
D3 Y(1)
5 D1 B2 = x
2b
D3 Y(2)
6 D1 C2 = x
2c
D3 Y(3)
7 D1 D2 A3 = x
3a
Y(1)
8 D1 D2 B3 = x
3b
Y(2)
9 D1 D2 C3 = x
3c
Y(3)
10 D1 D2 D3 Y(4)
83
Таблица 34
План
3 · к + 1 при к = 4
№ х
1
х
2
х
3
х
4
у
1
A1 = x
1a
D2 D3 D4 Y(1)
2
B1 = x
1b
D2 D3 D4 Y(2)
3
C1 = x
1c
D2 D3 D4 Y(3)
4
D1 A2 = x
2a
D3 D4 Y(1)
5
D1 B2 = x
2b
D3 D4 Y(2)
6
D1 C2 = x
2c
D3 D4 Y(3)
7
D1 D2 A3 = x
3a
D4 Y(1)
8
D1 D2 B3 = x
3b
D4 Y(2)
9
D1 D2 C3 = x
3c
D4 Y(3)
10
D1 D2 D3 A4 = x
4a
Y(1)
11
D1 D2 D3 B4 = x
4b
Y(2)
12
D1 D2 D3 C4 = x
4c
Y(3)
13
D1 D2 D3 D4 Y(4)
Таблица 35
План
3 · к + 1 при к = 5
№ х
1
х
2
х
3
х
4
х
5
у
1
A1 = x
1a
D2 D3 D4 D5 Y(1)
2
B1 = x
1b
D2 D3 D4 D5 Y(2)
3
C1 = x
1c
D2 D3 D4 D5 Y(3)
4
D1 A2 = x
2a
D3 D4 D5 Y(1)
5
D1 B2 = x
2b
D3 D4 D5 Y(2)
6
D1 C2 = x
2c
D3 D4 D5 Y(3)
7
D1 D2 A3 = x
3a
D4 D5 Y(1)
8
D1 D2 B3 = x
3b
D4 D5 Y(2)
9
D1 D2 C3 = x
3c
D4 D5 Y(3)
10
D1 D2 D3 A4 = x
4a
D5 Y(1)
11
D1 D2 D3 B4 = x
4b
D5 Y(2)
12
D1 D2 D3 C4 = x
4c
D5 Y(3)
13
D1 D2 D3 D4 A5 = x
5a
Y(1)
14
D1 D2 D3 D4 B5 = x
5b
Y(2)
15
D1 D2 D3 D4 C5 = x
5c
Y(3)
16
D1 D2 D3 D4 D5 Y(4)
84
Рис. 19. Схема зависимости показателя от пяти факторов
при планировании 3 · 5 + 1
Математическое моделирование при планировании
3 · к + 1 рацио-
нально проводить, когда необходимо выявить ряд факторов, оказывающих
существенное влияние на показатель процесса. Это моделирование выпол-
няется на основе небольшого количества экспериментальных данных, но
позволяет прогнозировать улучшение процессов, определять, при каких
условиях можно достигать оптимальных результатов.
При проведении двухфакторных экспериментов нередко возни-
кают случаи, когда рационально принимать неодинаковое количество
уровней первого и второго независимых переменных. На рис. 20 представ-
лены для общих случаев различные варианты графических зависимостей
параметра от двух факторов. В соответствии с графиками рис. 20 экспери-
менты можно планировать, принимая для первого фактора три, четыре,
пять уровней, а для второго фактора соответственно четыре, пять, три
уровня.
В табл. 36, 37, 38 приведены планы
34
⋅
, 35
⋅
, 45
⋅
, которые являются
частными случаями плана 5
2
. Каждая строчка плана 3⋅4 (см. табл. 36) явля-
ется координатами соответствующей точки графической кривой рис. 20, а.
В плане
35⋅ (см. табл. 37) представлены построчно координаты графиче-
85
ских кривых (рис. 20, б), а в плане 45
⋅
(табл. 38) - координаты графиче-
ских кривых (рис. 20, в).
Планы 3
⋅4, 3⋅5, 4⋅5 являются выборками из плана 5
2
. Они позволя-
ют выявлять математические модели процессов при меньшем количестве
опытов, чем при планировании 5
2
. Сомножители в обозначениях планов
3
⋅4, 3⋅5, 4⋅5 указывают соответственно на количество уровней первого и
второго факторов, а произведения указанных сомножителей - на количест-
во опытов в планах-выборках.
а) б) в)
Рис. 20. Схемы зависимостей показателя от двух факторов
для случаев а) 3·4, б) 3·5, в) 4·5
86
Таблица 36
План проведения экспериментов 3 ⋅ 4
№, u x
1,u
x
2,u
y
u
1
x
1,1
=x
1a
x
2,1
=x
2a
y
1
2
x
1,2
=x
1b
x
2,2
=x
2a
y
2
3
x
1,3
=x
1a
x
2,3
=x
2b
y
3
4
x
1,4
=x
1b
x
2,4
=x
2b
y
4
5
x
1,5
=x
1e
x
2,5
=x
2a
y
5
6
x
1,6
=x
1e
x
2,6
=x
2b
y
6
7
x
1,7
=x
1a
x
2,7
=x
2c
y
7
8
x
1,8
=x
1b
x
2,8
=x
2d
y
8
9
x
1,9
=x
1a
x
2,9
=x
2d
y
9
10
x
1,10
=x
1b
x
2,10
=x
2d
y
10
11
x
1,11
=x
1e
x
2,11
=x
2c
y
11
12
x
1,12
=x
1e
x
2,12
=x
2d
y
12
Таблица 37
План проведения экспериментов 3 ⋅ 5
№, u x
1,u
x
2,u
y
u
1
x
1,1
=x
1a
x
2,1
=x
2a
y
1
2
x
1,2
=x
1b
x
2,2
=x
2a
y
2
3
x
1,3
=x
1a
x
2,3
=x
2b
y
3
4
x
1,4
=x
1b
x
2,4
=x
2b
y
4
5
x
1,5
=x
1a
x
2,5
=x
2e
y
5
6
x
1,6
=x
1b
x
2,6
=x
2e
y
6
7
x
1,7
=x
1e
x
2,7
=x
2a
y
7
8
x
1,8
=x
1e
x
2,8
=x
2b
y
8
9
x
1,9
=x
1e
x
2,9
=x
2e
y
9
10
x
1,10
=x
1a
x
2,10
=x
2c
y
10
11
x
1,11
=x
1b
x
2,11
=x
2d
y
11
12
x
1,12
=x
1a
x
2,12
=x
2d
y
12
13
x
1,13
=x
1b
x
2,13
=x
2c
y
13
14
x
1,14
=x
1e
x
2,14
=x
2c
y
14
15
x
1,15
=x
1e
x
2,15
=x
2d
y
15
87
Таблица 38
План проведения экспериментов 4 ⋅ 5
№, u x
1,u
x
2,u
y
u
1
x
1,1
=x
1a
x
2,1
=x
2a
y
1
2
x
1,2
=x
1b
x
2,2
=x
2a
y
2
3
x
1,3
=x
1a
x
2,3
=x
2b
y
3
4
x
1,4
=x
1b
x
2,4
=x
2b
y
4
5
x
1,5
=x
1a
x
2,5
=x
2e
y
5
6
x
1,6
=x
1b
x
2,6
=x
2e
y
6
7
x
1,7
=x
1a
x
2,7
=x
2c
y
7
8
x
1,8
=x
1b
x
2,8
=x
2d
y
8
9
x
1,9
=x
1a
x
2,9
=x
2d
y
9
10
x
1,10
=x
1b
x
2,10
=x
2c
y
10
11
x
1,11
=x
1c
x
2,11
=x
2a
y
11
12
x
1,12
=x
1c
x
2,12
=x
2c
y
12
13
x
1,13
=x
1c
x
2,13
=x
2e
y
13
14
x
1,14
=x
1c
x
2,14
=x
2d
y
14
15
x
1,15
=x
1c
x
2,15
=x
2b
y
15
16
x
1,16
=x
1d
x
2,16
=x
2a
y
16
17
x
1,17
=x
1d
x
2,17
=x
2c
y
17
18
x
1,18
=x
1d
x
2,18
=x
2e
y
18
19
x
1,19
=x
1d
x
2,19
=x
2d
y
19
20
x
1,20
=x
1d
x
2,20
=x
2b
y
20
Для планов 3
⋅4, 3⋅5, 4⋅5 уравнения регрессии определяются исходя из
соответствующих зависимостей:
y = a
′
o
+ a
1n
⋅
x
1n
+ a
1r
⋅
x
1r
,
где a
′
o
= c
′
o
⋅
x
o
+ c
2n
⋅
x
2n
+ c
2r
⋅
x
2r
+ c
2s
⋅
x
2s
;
a
1n
= d
′
o
+ d
2n
⋅
x
2n
+ d
2r
⋅
x
2r
+ d
2s
⋅
x
2s ;
a
1r
= e
′
o
+ e
2n
⋅
x
2n
+ e
2r
⋅
x
2r
+ e
2s
⋅
x
2s
;
y = a
′
o
+ a
1n
⋅
x
1n
+ a
1r
⋅
x
1r
,
где a
′
o
= c
′
o
⋅
x
o
+ c
2n
⋅
x
2n
+ c
2r
⋅
x
2r
+ c
2s
⋅
x
2s
+ c
2w
⋅
x
2w
;
a
1n
= d
′
o
+ d
2n
⋅
x
2n
+ d
2r
⋅
x
2r
+ d
2s
⋅
x
2s
+ d
2w
⋅
x
2w
;
a
1r
= e
′
o
+ e
2n
⋅
x
2n
+ e
2r
⋅
x
2r
+ e
2s
⋅
x
2s
+ e
2w
⋅
x
2w
;
y = a
′
o
+ a
1n
⋅
x
1n
+ a
1r
⋅
x
1r
+ a
1s
⋅
x
1s
,
где a
′
o
= c
′
o
⋅
x
o
+ c
2n
⋅
x
2n
+ c
2r
⋅
x
2r
+ c
2s
⋅
x
2s
+ c
2w
⋅
x
2w
;
a
1n
= d
′
o
+ d
2n
⋅
x
2n
+ d
2r
⋅
x
2r
+ d
2s
⋅
x
2s
+ d
2w
⋅
x
2w
;
a
1r
= e
′
o
+ e
2n
⋅
x
2n
+ e
2r
⋅
x
2r
+ e
2s
⋅
x
2s
+ e
2w
⋅
x
2w
;
88
a
1s
= f
′
o
+ f
2n
⋅
x
2n
+ f
2r
⋅
x
2r
+ f
2s
⋅
x
2s
+ f
2w
⋅
x
2w
.
После подстановки, перемножений и замены коэффициентов полу-
чаются следующие полиномы.
Для плана 3
⋅ 4 (табл. 36);
y = b
′
o
⋅
x
o
+ b
1n
⋅
x
1n
+ b
2n
⋅
x
2n
+ b
1n,2n
⋅
x
1n
⋅
x
2n
+ b
1r
⋅
x
1r
+ b
2r
⋅
x
2r
+
+ b
1n,2r
⋅
x
1n
⋅
x
2r
+ b
2n,1r
⋅
x
2n
⋅
x
1r
+ b
2r,1r
⋅
x
1r
⋅
x
2r
+ b
2s
⋅
x
2s
+
+ b
2s,1n
⋅
x
1n
⋅
x
2s
+ b
2s,1r
⋅
x
1r
⋅ x
2s
(42)
Для плана 3
⋅ 5 (см. табл. 37);
y = b
′
o
⋅
x
o
+ b
1n
⋅
x
1n
+ b
2n
⋅
x
2n
+ b
1n,2n
⋅
x
1n
⋅
x
2n
+ b
1r
⋅
x
1r
+ b
2r
⋅
x
2r
+
+ b
1n,2r
⋅
x
1n
⋅
x
2r
+ b
2n,1r
⋅
x
2n
⋅
x
1r
+ b
2r,1r
⋅
x
1r
⋅
x
2r
+ b
2s
⋅
x
2s
+
+ b
2s,1n
⋅
x
1n
⋅
x
2s
+ b
2s,1r
⋅
x
1r
⋅
x
2s
+ b
2w
⋅
x
2w
+ b
2w,1n
⋅
x
1n
⋅
x
2w
+
+ b
2w,1r
⋅
x
1r
⋅
x
2w
(43)
Для плана 4 ⋅ 5 (см. табл. 6);
y = b
′
o
⋅
x
o
+ b
1n
⋅
x
1n
+ b
2n
⋅
x
2n
+ b
1n,2n
⋅
x
1n
⋅
x
2n
+ b
1r
⋅
x
1r
+ b
2r
⋅
x
2r
+
+ b
1n,2r
⋅
x
1n
⋅
x
2r
+ b
2n,1r
⋅
x
2n
⋅
x
1r
+ b
2r,1r
⋅
x
1r
⋅
x
2r
+ b
1s
⋅
x
1s
+ b
2s
⋅
x
2s
+
+ b
2s,1n
⋅
x
1n
⋅
x
2s
+ b
1s,2n
⋅
x
2n
⋅
x
1s
+ b
1r,2s
⋅
x
1r
⋅
x
2s
+ b
2r,1s
⋅
x
2r
⋅
x
1s
+
+ b
2s1s
⋅
x
2s
⋅
x
1s
+ b
2w
⋅
x
2w
+ b
2w,1n
⋅
x
1n
⋅
x
2w
+ b
2w,1r
⋅
x
1r
⋅
x
2w
+
+ b
2w,1s
⋅
x
1s
⋅
x
2w
(44)
В уравнениях регрессии (42) - (44)
y - показатель (параметр) процес-
са;
x
o
= + 1; x
1n
=x
n
1
+ v
1
;
x
1r
= x
r
1
+ a
1
⋅
x
n
1
+ c
1
; x
1s
= x
s
1
+ d
1
⋅
x
r
1
+ e
1
⋅
x
n
1
+ f
1
;
x
2n
=x
n
2
+ v
2
;
x
2r
= x
r
2
+ a
2
⋅
x
n
2
+ c
2
; x
2s
= x
s
2
+ d
2
⋅
x
r
2
+ e
2
⋅
x
n
2
+ f
2
;
x
2w
= x
w
2
+ g
2
⋅
x
s
2
+ h
2
⋅
x
r
2
+ k
2
⋅
x
n
2
+ l
2
;
x
1
, x
2
-1, 2-й факторы (независимые переменные); n, r, s, w -
изменяемые числа показателей степени факторов;
v
1
, a
1
, c
1
, d
1
, e
1
, f
1
, - ко-
эффициенты ортогонации, определяемые
при четырех уровнях 1-го фактора,
m = 1, N = 4 по формулам (31) -
(36);
при трех уровнях 1-го фактора,
m = 1, N = 3 по формулам (19)-(21);
v
2
, a
2
, c
2
, d
2
, e
2
, f
2
, g
2
, h
2
, k
2
, l
2
-коэффициенты ортогонализации, определяе-
мые при пяти уровнях 2-го фактора,
m = 2, N = 5 по формулам (2)-(11);
при четырех уровнях 2-го фактора,
m = 2, N = 4 по формулам (31)-
(36);
при трех уровнях 2-го фактора,
m = 2, N = 3 по формулам (19)-(21);
b
0
′
, b
1n
, b
2n
, b
1n,2n
, b
1r
, b
2r
, b
1n,2r
, b
2n,1r
, b
1r,2r
, b
1s
, b
2s
, b
1n,2s
, b
2n,1s
, b
1r,2s
, b
2r,1s
,
b
1s,2s
, b
1w
, b
2w
, b
1n,2w
, b
2n,1w
, b
1r,2w
, b
22r,1w
, b
1s,2w
, b
2s,1w
b
1w,2w
- коэффициенты
регресии.
89
Для уровней a, b, c, d, e факторы имеют следующие обозначения: x
1a
,
x
1b
, x
1c
, x
1d
, x
1e
, x
2a
, x
2b
, x
2c
, x
2d
, x
2e
.
В связи с ортогональным планированием все коэффициенты регрес-
сии и дисперсии в их определении рассчитываются независимо друг от
друга. Формулы для расчета коэффициентов регресcии уравнений (42)-
(44) имеют следующий вид:
;
N
y
x
yx
b
N
u
u
N
u
u,o
u
N
u
u,o
'
∑
∑
∑
=
=
=
=
⋅
=
1
1
2
1
0
(45)
;
x
yx
b
N
u
u,n
u
N
u
u,n
n
∑
∑
=
=
⋅
=
1
2
1
1
1
1
(46)
;
x
yx
b
N
u
u,n
u
N
u
u,n
n
∑
∑
=
=
⋅
=
1
2
2
1
2
2
(47)
;
)xx(
yxx
b
N
u
u,n
u,n
uu,n
N
u
u,n
n,n
∑
∑
=
=
⋅
⋅⋅
=
1
2
2
1
2
1
1
21
(48)
;
x
yx
b
N
u
u,r
u
N
u
u,r
r
∑
∑
=
=
⋅
=
1
2
1
1
1
1
(49)
;
x
yx
b
N
u
u,r
u
N
u
u,r
r
∑
∑
=
=
⋅
=
1
2
2
1
2
2
(50)
;
)xx(
yxx
b
N
u
u,r
u,n
u
N
u
u,ru,n
r,n
∑
∑
=
=
⋅
⋅⋅
=
1
2
2
1
1
21
21
(51)
90
;
)xx(
yxx
b
N
u
u,r
u,n
u
N
u
u,ru,n
r,n
∑
∑
=
=
⋅
⋅⋅
=
1
2
1
2
1
12
12
(52)
;
)xx(
yxx
b
N
u
u,r
u,r
u
N
u
u,ru,r
r,r
∑
∑
=
=
⋅
⋅⋅
=
1
2
2
1
1
21
21
(53)
;
x
yx
b
N
u
u,s
u
N
u
u,s
s
∑
∑
=
=
⋅
=
1
2
1
1
1
1
(54)
;
x
yx
b
N
u
u,s
u
N
u
u,s
s
∑
∑
=
=
⋅
=
1
2
2
1
2
2
(55)
;
)(
,
,
,,
,
∑
∑
=
=
⋅
⋅⋅
=
N
u
us
un
u
N
u
usun
sn
xx
yxx
b
1
2
2
1
1
21
21
(56)
;
)xx(
yxx
b
N
u
u,s
u,n
u
N
u
u,su,n
s,n
∑
∑
=
=
⋅
⋅⋅
=
1
2
1
2
1
12
12
(57)
;
)xx(
yxx
b
N
u
u,s
u,r
u
N
u
u,su,r
s,r
∑
∑
=
=
⋅
⋅⋅
=
1
2
2
1
1
21
21
(58)
;
)xx(
yxx
b
N
u
u,s
u,r
u
N
u
u,su,r
s,r
∑
∑
=
=
⋅
⋅⋅
=
1
2
1
2
1
12
12
(59)