Dantzig G., Thapa M. Linear programming. Vol.1. Introduction
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302 NETWORK FLOW THEORY
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b
1
− h
12
− h
13
b
3
− h
34
b
2
− h
24
b
4
h
12
h
24
h
34
h
13
ˆx
51
= y
12
ˆx
12
= x
12
ˆx
73
= y
34
ˆx
74
= x
34
ˆx
62
= y
24
ˆx
64
= x
24
ˆx
81
= y
13
ˆx
83
= x
13
(b) Converted network
Figure 9-29: Converting Finite Upper Bounds to +∞ in a Small Network
9.10 NOTES & SELECTED BIBLIOGRAPHY 303
established the theorem for general networks. It was also discovered independently by
Elias, Feinstein, & Shannon [1956]. A comprehensive treatment of the maximal flow
problem and related matters can be found in Ford & Fulkerson [1962].
The classical augmenting path method for finding a maximum flow through a network
was developed by Ford & Fulkerson [1957] based on earlier work by Kuhn [1955] and
Egerv´ary [1931]. Fulkerson & Dantzig [1955] and Dantzig & Fulkerson [1956a] developed
a tree method for solving maximal flow problems that is also described in Dantzig [1963].
The approach constructs two subtrees, one branching out from the source and the other
branching out from the destination so that every intermediate node is reached by just one
of the trees. Then a connecting arc between the two trees and an associated path from
source to destination is found, and finally the maximum flow along the path is assigned.
The network displayed in Example 9.10 due to Chv´atal [1983] is a smaller network than
that used in the example by Ford & Fulkerson [1962] but based on the same type of
recurrence relation. The proofs of Lemma 9.12 and Theorem 9.13 can be found in Linear
Programming 2.
J. Edmonds & R.M. Karp [1972] showed that an augmenting path method called first-
labeled first-scanned finds a maximum flow within mn/2 iterations, where n is the number
of arcs and m is the number of nodes in the network, regardless of what the upper bounds
h
ij
on the arcs are. This method then finds the maximal flow in O(n
2
m) operations
because it can be shown that each iteration of the augmenting path method takes only
O(n) comparisons to find an augmenting path. The proof of Theorem 9.11 can be found
in Edmonds & Karp [1972] and in Linear Programming 2. Around the same time as
Edmonds & Karp’s results, Dinic [1970] independently designed a faster algorithm that
requires O(m
2
n) operations. Later Malhotra, Kumar, & Maheshwari [1978] developed an
algorithm that requires O(m
3
) operations. For networks that have n m
2
, an algorithm
designed by Galil [1978] takes O(m
5/3
n
2/3
) operations, and an algorithm designed by
Sleator [1980] takes only O(nm log m) steps.
Shortest path problems come up often in practice and arise as subproblems in many
network problems. Dantzig first proposed a method for finding the shortest path from a
source node to a destination node in a network, see Dantzig [1960a], based on an earlier
RAND research memorandum. At about the same time, Dijkstra [1959] proposed another
algorithm for finding the shortest directed paths from a node to all other nodes. The
Dijkstra algorithm takes O(m
2
) operations. See also Bellman [1958]. Independently,
Whiting & Hillier [1960] also developed a shortest route algorithm. Johnson [1977] has
shown that this bound can be further reduced to O(n log
k
m) operations, where k =
max(2, n/m). See also Denardo & Fox [1979], Dial [1969], Moore [1959], and Pape [1974].
A summary of various classical algorihtms can be found in Gallo & Pallottino [1988].
Improvements have continued to be made in shortest path algorithms; see, for example,
Ahuja, Mehlhorn, Orlin, & Tarjan [1990], Fredman & Willard [1987] Gabow & Tarjan
[1989], Goldberg [1993], and Goldberg & Radzik [1993]. Under the assumption that arc
lengths are integers between 0 and L where L ≥ 2, Ahuja, Mehlhorn, Orlin, & Tarjan’s
algorithm runs in O(n + m
√
log L). For theory and experimental evaluation of shortest
path algorithms see Cherkassky, Goldberg, & Radzik [1996]; in this paper the authors
show that some algorithms behave in exactly the same way on two networks, one of which
is obtained from the other by replacing the arc lengths by the reduced costs with respect
to a potential function; that is, the algorithms are potential-invariant. This implies, for
example, that a feasible shortest path problem has an equivalent with nonnegative arc
lengths.
The minimal spanning tree algorithm described here is due to Kruskal [1956].
304 NETWORK FLOW THEORY
For details on the Network Simplex Method, including implementation (in addition to
that described in Linear Programming 2), see, for example, Ali, Helgason, Kennington,
& Lall [1978], Bradley, Brown, & Graves [1977], Chv´atal [1983], Cunningham [1979], and
Mulvey [1978].
An example of cycling in the Network Simplex Method can be found in Cunningham
& Klincewicz [1983]. To the authors’ knowledge, cycling as a result of degeneracy, has not
been encountered on any practical problem. It is not known whether cycling can occur in
minimum cost network flow problems if the entering variable is chosen based on the usual
rule of picking the one that has the most negative reduced cost. The interested reader
can find strategies used to prevent the possibility of cycling in Bazaraa, Jarvis, & Sherali
[1990] and Chv´atal [1983], for example.
The Network Simplex Method works very well in practice; in fact, this adaptation of
the Simplex Method for networks is typically 200 to 300 times faster than the Simplex
Method applied to general linear programs of the same dimensions. However, pathological
examples can be constructed in which the Network Simplex Method can take a very large
number of iterations. Zadeh [1973] has constructed a sequence of transshipment problems
such that the kth problem has only 2k + 2 nodes but if we choose the incoming arc by
picking the most negative reduced cost, the Network Simplex Method takes 2
k
+2
k−2
−2
iterations.
The method of minimizing the sum of infeasibilities for Phase I is described in Linear
Programming 2.
An area that we have not covered at all is that of project planning, and scheduling
and coordination of various activities. Methods to do this are called PERT (Program
Evaluation and Review Techniques) and CPM (Critical Path Method). Many references
exist for such methods; see Hillier & Lieberman [1995]. One such reference relating this
to networks is by Elmaghraby [1977].
9.11 PROBLEMS
9.1 Find the maximal flow through the network shown in Figure 9-30. Find a
cut that demonstrates the Ford-Fulkerson Min-Cut = Max-Flow Theorem 9.13.
Verify your answer by using the Maximum Flow software option.
9.2 Find the maximal flow through the network shown in Figure 9-31. Find a
cut that demonstrates the Ford-Fulkerson Min-Cut = Max-Flow Theorem 9.13.
Verify your answer by using the Maximum Flow software option.
9.3 Find, by hand, the maximal flow through the network shown in Figure 9-32;
the capacities in each direction are shown on the arcs. Find the cut whose value
equals the maximum flow value.
9.4 For the network shown in Figure 9-33 assume that the capacities shown on the
arcs are the same in each direction.
(a) Find the maximal flow by hand.
(b) Verify your answer by using the Maximum Flow software option.
(c) Find a cut that demonstrates the Ford-Fulkerson Min-Cut = Max-Flow
Theorem 9.13.
9.11 PROBLEMS 305
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306 NETWORK FLOW THEORY
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Figure 9-33: Data for a Maximal Flow Problem
9.5 For the directed network shown in Figure 9-34, with capacities shown on the
arc, do the following:
(a) Find, by hand, the maximal flow.
(b) Verify your answer by using the Maximum Flow software option.
(c) Find a cut that demonstrates the Ford-Fulkerson Min-Cut = Max-Flow
Theorem 9.13.
9.6 Nurse Staff Scheduling (Khan & Lewis [1987] in Ahuja, Magnanti, & Orlin
[1993]). A local hospital operates three departments: Emergency (de-
partment 1), neonatal intensive care (department 2), and orthopedics (depart-
ment 3). It has three work shifts, each with different levels of staffing for nurses.
The hospital administrator would like to hold staffing levels as low as possible
while providing satisfactory levels of health care. Hence they would like to de-
termine the minimum number of nurses required to meet the following three
constraints:
• The hospital must allocate a minimum of 13, 32, and 22 nurses to the three
departments respectively.
• The hospital must allocate a minimum of 26, 24, and 19 nurses to each
shift.
• The number of nurses allocated to each department in each shift must be
between a lower and upper bound as shown in Table 9-2.
Determine the minimum number of nurses required to satisfy the constraints
based on a method for maximum flows.
9.7 Consider the proposed network with distances on the arcs as shown in Figure 9-
35.
(a) Find the shortest path using Dijkstra’s algorithm.
(b) Solve it using the Dijkstra’s Shortest Route software option to verify
your solution.
9.8 Dantzig [1963]. Find the shortest route from Los Angeles to Boston on one of
the routes shown in Figure 9-36.
(a) Solve the problem using Dijkstra’s algorithm.
9.11 PROBLEMS 307
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Figure 9-34: Data for a Maximal Flow Problem
Department
12 3
1 (6,8) (11,12) (7,12)
Shift 2
(4,6) (11,12) (7,12)
3 (2,4) (10,12) (5,7)
Table 9-2: Bounds on Nurses Allocated to Each Department in Each Shift
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308 NETWORK FLOW THEORY
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Figure 9-36: Shortest Route from Los Angeles to Boston
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Figure 9-37: Data for a Shortest Route Problem
(b) Solve it using the Dijkstra’s Shortest Route software option to verify
your solution.
9.9 Find the shortest route from source node 1 to destination node 8 for the network
shown in Figure 9-37.
9.10 Crew Scheduling (Ahuja, Magnanti, & Orlin [1993]). The drivers of a bus
company can work several duties. The duty hours and costs are shown below:
Duty Hours 9–1 9–11 12–3 12–5 2–5 1–4 4–5
Cost ($) 30 18 21 38 20 22 9
We wish to ensure that at least one driver is on duty for each hour of the
planning period (9am to 5pm). Formulate and solve this problem as a shortest
route problem.
9.11 Find the minimal spanning tree for the network shown in Figure 9-38. Verify
9.11 PROBLEMS 309
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Figure 9-38: Data for a Minimal Spanning Tree Problem
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Figure 9-39: Data for a Minimal Spanning Tree Problem
your answer by using the Minimal Spanning Tree software option.
9.12 Ph.D. Comprehensive Exam, September 26, 1987, at Stanford. Consider the
graph and the weights shown in Figure 9-39.
(a) Find the minimal spanning tree of the graph. Briefly outline the algorithm
you are using, and give the selection of the arcs of the tree in the order in
which they are determined.
(b) Suppose that you are given a graph G =(V,E) and weights as before, but
also a particular node v ∈ V . You are asked to find the shortest spanning
tree such that v is not an end-node. Explain briefly how to modify a
minimal spanning tree algorithm to solve the same problem efficiently.
9.13 A minimum cost-flow problem in standard form is shown in Figure 9-40.
(a) Solve it by hand by the Network Simplex Method taking advantage of all
efficiencies in computation.
(b) Verify your solution by solving it using the Network Simplex Method soft-
ware option.
310 NETWORK FLOW THEORY
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=1
c
23
=4
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25
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35
=3
Figure 9-40: Data for a Minimum Cost-Flow Problem
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x
ij
Figure 9-41: Another Method to Convert a Finite Upper Bound to +∞
9.14 Set up the maximal flow problem shown in Figure 9-16 as a minimum cost-flow
problem.
(a) Solve it by hand by the Network Simplex Method taking advantage of all
efficiencies in computation.
(b) Verify your solution by solving it using the Network Simplex Method soft-
ware option.
9.15 For the minimum cost-flow problem in Figure 9-40, suppose that arc (1, 2) has
an upper bound of 5, i.e., 0 ≤ x
12
≤ 5.
(a) Transform the problem into standard form and solve it by hand using the
Network Simplex Method.
(b) Solve the problem by hand using the Network Simplex Method but without
performing the transformation to the standard form.
(c) Verify your solution by solving it by the Network Simplex Method software
option.
9.16 Show that the arc (i, j) with flow value 0 ≤ x
ij
≤ h
ij
can be replaced by the
node and arc representation shown in Figure 9-41. Compare this with that
shown in Figure 9-28.
9.17 Solve, by hand, the minimum cost-flow problem in standard form shown in
Figure 9-42. Verify your solution by solving it by the Network Simplex Method
software option.
9.11 PROBLEMS 311
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c
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=15 c
25
=25 c
36
=20
c
12
=25 c
23
=10
c
45
=5 c
56
=5
c
15
=20 c
26
=30
20 15
−5
−10 −5 −15
Figure 9-42: Data for a Minimum Cost-Flow Problem
9.18 For the minimum cost-flow problem of Figure 9-42 suppose that arc (1, 2) is
constrained to be 0 ≤ x
12
≤ 8.
(a) Use the technique of Figure 9-28 to convert it to standard form and solve
it by hand.
(b) Use the technique of Figure 9-41 to convert it to standard form and solve
it by hand.
(c) Verify your solution by solving it by the Network Simplex Method software
option.
9.19 (a) Using the discussion of the Simplex Algorithm for bounded variables (see
Section 3.4) as a guideline, modify the Network Simplex Algorithm to au-
tomatically handle lower and upper bounds on the flows.
(b) Suppose that the flows in the network shown in Figure 9-42 have the fol-
lowing lower and upper bounds: 3 ≤ x
12
≤ 10, 5 ≤ x
14
≤ 15, 0 ≤ x
15
≤ 20,
0 ≤ x
23
≤ 10, 0 ≤ x
25
≤ 25, 5 ≤ x
26
≤ 30, 0 ≤ x
36
≤ 20, 0 ≤ x
45
≤ 10, and
0 ≤ x
56
≤ 5. Solve this modified problem, using the variant of the Network
Simplex Algorithm that you developed in part (a).
9.20 Consider the following linear program
Minimize 2x
1
+3x
2
+4x
3
+ x
4
+2x
5
= z
subject to 1x
2
+1x
3
+1x
4
+1x
5
≥ 10
1x
2
1x
4
+1x
5
≥ 15
1x
1
+1x
2
+1x
5
≥ 20
1x
1
+1x
2
≥ 5.
It has a special structure in the sense that each column of the coefficient matrix
contains 0’s and 1’s, with the 1’s being consecutive in each column.
(a) Transform this special structure linear program into a minimum cost-flow
problem. Hint: Introduce surplus variables and a redundant 0 row to the
set of constraints. Subtract row i + 1 from row i for i =4, 3, 2, 1 in turn.
(b) Draw the network.
(c) Solve the problem by hand using the Network Simplex Method.
(d) Verify your solution by solving it by the Network Simplex Method software
option.