Эддоус М., Стэнсфилд Р. Методы принятия решений

Подождите немного. Документ загружается.

Гл.

6. Статистический вывод 2: испытание гипотез

193

(91/150)

63=38,2.

Остающиеся ожидаемые частоты рассчитываются таким же образом. Оконча-

тельное распределение показано в табл. 6.14.

Таблица 6.14. Ожидаемые частоты

Результаты

обучетля

Хорошие

Средние

Плохие

Итого

Школьный аттестат

хороший

14,7

38.2

10,1

средний

13,3

34.6

9,1

плохой

18.2

4,8

итого

ISO

Все строки и столбцы таблицы ожидаемых частот должны иметь такие же

итоги, как и в исходной таблице сопряженности. Мы имеем только одну ожидае-

мую частоту, которая меньше 5 в клетке (3.3). Для того, чтобы использовать х^

распределение, мы должны соединить две категории. С точки зрения испытания

не важно, сокращаем ли мы число категорий школьного аттестата или результатов

обучения. Нужно выбрать самое значительное для задачи. Предположим в этом

случае, мы определим школьный аттестат как "хорошо" или "не хорошо", т.е.

объединим столбцы "средне" и "плохо" в таблице. Тогда таблица сопряженности

будет следующей:

Таблица 6.15. Исвражлешше ваблодаеиые частоты.

Результаты

мучения

Хорошие

Средние

Плохие

Итого

Школьный аттестат

хорошо

не

хорошо

итого

150

(Соответствующие ожидаемые частоты представлены в табл. 6.16:

Таблица 6.16. Исправленные ожидаемые частоты

Результаты

мучения

Хорошие

Средние

Плохие

Итого

Школьный аттестат

хорошо

14,7

38,2

10,1

не

хорошо

20,3

52.8

13,9

хтияо

. 91

150

194 Ч. 2.

Анализ данных

как

составная часть принятия решений

Ожидаемые частоты теперь превышают 5 и х^ испытание может быть продол-

жено как и раньше, но с

(3 - 1X2 -0 = 2

степенями свободы вместо 4.

Из таблицы в Приложении 2 находим:

0,05,2

" 5,991 ,

2 V^ K-f/

Это значение рассчитано в табл. 6.17:

Таблица 6.17. Расчет х'

14,7

20,3

38,2

32,8

10.1

13,9

(fo-U)

3.3

-3,3

0,8

-0,8

4,1

-4,1 .

(fo-hi'

10,8<

10,85

0,64

16,81

(fo-f,y/fe

0,74

0,54

0,02

0,01

1,66

1.21

Проверка =

1С^

= 4,18

Поскольку:

^'18*xVo5,2-5.991 .

результат не значим на уровне 5%. Мы вполне уверены, что наши наблюдения

согласуются с Нд и мы принимаем ее на этом уровне. Мы заключаем, что не

существует связи между результатами обучения во время первого года и школь-

ным аттестатом.

РЕЗЮМЕ

Процедура всех испытаний гипотез одна и та же. Мы решаем, на какой вопрос

хотим ответить. Мы устанавливаем нулевую и альтернативную гипотезы Нд и Н,.

Это объясняет заключения, которые мы можем сделать, и указывает статистику,

используемую для испытания. Мы выбираем уровень значимости. Вместе с гипо-

тезами устанавливаются критические величины или для испытания с одной грани-

цей,

или для испытания с двумя границами. Мы производим случайную выборку

Гл.

Статистический

вывод 2:

испытание гипотез

195

данных, рассчитываем проверочную статистику, сравниваем её с критическими

величинами и делаем наши заключения. Основные критерии кратко изложены

ниже.

Имеются два критерия для сравнения одной выборочной средней х с генераль-

ной средней ц. Если мы знаем генеральную дисперсию сп, то проверочной

статистикой является:

J/ Vn

Если мы не знаем <г, то оцениваем её, используя выборочную дисперсию s , и

проверочной статистикой является:

с (п-1) степенями свободы.

Для испытания одной выборочной доли р ло сравнению с генеральной долей р,

если объем выборки не больше 30 и пр и п (1-р)

"i.

5, проверочная статистика

рассчитывается следующим образом:

р-р

ypd-p) '

Ситуация усложняется, когда

мы

хотим испытать две независимые выборки.

Для испытания двух выборочных дисперсий (s^ и $2) используем:

F(n,-i).c,-i)-(^—^/(j;jri)

с большей дисперсией в числителе.

Для испытания выборочных средних (Х( и X2), если мы знаем генеральные

отклонения (о] и

O^i,

статистическим критерием является:

^\ - xj) -

О»,

Иг)

г»

П, П2

Чтобы проверить две выборочные средние, если нам не известны генеральные

дисперсии, мы должны сначала проверить гипотезу о равенстве. генеральных

дисперсий, используя F-критерий. Если F-критерий показывает, что мы можем

предположить

= 02, то для проверки гипотезы о равенстве средних мы исполь-

зуем проверочную статистику:

196

Ч.

Анализ данных

как

составная часть пршиипия pevueHUU

^1 - Х2) -

(й1

-1^

(п,+п2-2) [п, ^пг]

с (п, +

п^

- 2) степенями свободы.

Если F-критерий показывает, что мы должны принять О] ^ а2 , то поскольку

объемы выборок по крайней мере 30, то статистикой является:

(п,-1) (nj-1)

Для испытания выборочных долей pj и Р2, если обе выборки Н6 менее 30,

статистикой является:

где р

—

доля из объединенных выборочных совокупностей. (Выше

мы

охватьшали

две ситуации, когда объемы выборок меньше, чем 30).

Если мы имеем две зависимые выборки, то берем разницы между зависимыми

парами и обрабатываем их как единую выборку. Критериальной статистикой

является:

'sd/V(n-l)

с (п-1) степенями свободы.

Если мы хотим сравнить частоты, то используем непараметрический х^ крите-

рий.

Проверочная статистика всегда рассчитывается тем же путем, используя

наблюдаемые и ожидаемые частоты, то есть:

х^

(fo-^E)'

'Е

Если мы имеем два свойства, то используем испытание для того, чтобы

увидеть, имеется ли связь между ними. Строится таблица сопряженности с

наблюдаемыми частотами. Таблица и нулевая гипотеза используются для расчета

ожидаемых частот. Число степеней свободы равняется:

(число

строк

- 1)

(число столбцов - 1).

Гл.

Статистический

вывод 2:

испытание

гипотез 197

УПРАЖНЕНИЯ

Упражненяе 6.1

Частная компания "Betta Bolt" (товарищество с ограниченной ответственностью)

производит различные промышленные крепежные детали. Одним из видов выпус-

каемой продукции является противомагантный болт. Болты производятся со

средней длиной 5 см с известным стандартным отклонением в 0,05 см. Из

последнего выпуска продукции была взята выборка объемом 25 единиц. Средняя

длина болтов в выборке оказалась равной

5,025

см. Какие выводы могут быть

сделаны о средней длине болтов в этом производственном выпуске?

Упражнение 6.2

Частная компания "Shush" выпускает прохладительные напитки. На данный

момент она производит поллитровые бутылки лимонада. Наполняющая машина

установлена так, что наполняемость бутылки равна 500 мл. Каждый час отбирают-

ся наугад 30 бутылок и проверяются для того, чтобы определить, соответствует ли

содержимое, необходимому объему. Средний объем в последней выборке равняет-

ся 495, 6 мл и стандартное отклонение составляет 8,3 мл. Имеется ли основание

предполагать, что требуется переналадка машины?

Упражнение 6.3

Компания упаковывает продукт своего производства — специально просушенное

кофе — в пакетики весом 500 г. Руководство компании заявляет, что в среднем

пакетики содержат по крайней мере 500 г. Служащий из Министерства торговых

стандартов посетил компанию, ее завод, с намерением проверить это утверждение.

Служащий случайно выбрал 10 пакетиков и взвесил их содержимое. Было уста-

новлено следующее содержание пакетиков:

Номер

пакетика:

Вес,

497

498

502

503

495

496

497

500

501

10 .

496

Требуется:

Установить нулевую гипотезу и альтернативную гипотезу для проведения

соответствующего испытания.

Провести испытание Но используя вышеприведенные данные на 1%

уровне значимости. Сделать выводы.

Замечание. Можно предположить, что вес пакетиков нормально распределен.

Упражнение 6.4

Компания по производству глиняной посуды предполагает, что 10% выпуска

кофейных чаш«( имеют дефоггы и должны продаваться по сниженным ценам, как

товар второго сорта. Недавно компания ввела новые процедуры контроля качества.

Для оценки эффективности таких процедур менеджер отобрал случайно 100 чашек и

198

Ч.

2. Анализ данных как составная часть принятия решений

исследовал их. Он нашел 7 бракованных изделий. Можно ли заключить на основе

только этого факта, что наблюдается значительное улучшение качества продукта?

Упражнение 6.5

Большой супермаркет имеет в продаже кукурузные хлопья (сухой завтрак). Эти

хлопья продаются в коробках с маркой изготовителя, а также в простых коробках

с маркой супермаркета. Производитель хлопьев наполняет оба типа коробок.

Однако есть некоторое подозрение, что поставщик в средней наполняет коробки с

маркой супермаркета меньшим количеством хлопьев. Из выпуска двух типов

упаковок были взяты случайные выборки и рассчитана следующая статистика:

Упаковки с маркой производителя

—

25 упаковок

—

Xi = 503,бг, sj = 5,03 г.

Упаковки с маркой супермаркета

—

30 упаковок

— Х2

= 498,2г, sj = 4,39 г.

Есть ли основание для оправдания такого подозрения?

Упражнение 6.6

Выработка является главным фактором, влияющим на общие затраты связанные с

химическим процессом. Частная компания с ограниченной ответственностью

"СОМ" постоянно пытается повысить выработку своего завода, который производит

химическое вещество

АВС1.

Завод проработал 8 недель до того, как была проведена

последняя регулировка, и были получены следующие недельные выработки:

Неделя

Процент выработки

1 2 3 4 5 6 7 8

91,0'

90,4 90,8 91,4 90,0 89,8 91,6 90,6

Установки завода затем были отрегулированы и завод проработал следующие

6 недель. Были получены следующие данные выработки:

Неделя

Процент выработки

1 10 И 12 13 14

91,0 90,8 91,2 91,7 90,9 91,6

Есть ли основание предполагать, что регулировки были удачны и выработка

ЛВС1 возросла?

Упражиенае 6.7

Частная компания с ограниченной ответственностью "СОМ" также производит

химическое вещество ЛВС2, используя два разных процесса. Компания хочет

сравнить выработку этих процессов. Известно, что на выработку может серьезно

влиять чистота сырья. Управляющий производством выбирает восемь пачек сырья

и использует их в двух процессах. Получены следующие данные:

Номер пачки

Выработка процесса

70,1

73,9

67,0

70,3

68.6

68,5

68,8

71,3

70.2

69,7

68,0

71,0

69.5

69,8

68,4

68,2

Гл.

6. Статистический вывод 2:

испытание

гипотез

199

Какие выводы вы можете сделать о выработке химического вещества ЛВС2

процессом

и процессом 27

ynfMumemie 6.8

Внешний аудитор проверяет систему учета малой компании. Первая проверка 100

сделок показала, что 56 сделок ошибочны. Компании предоставили месяц для

исправления системы. Когда аудитор провел вторую проверку, он обнаружил, что

28 сделок опшбочны из 78 проведенных сделок. Есть ли какое-нибудь основание

предпологать, что доля ошибок уменьшилась между проверками?

Упражнение 6.9

Частная отечественная химическая корпорация была уполномочена провести

опрос потребительского рынка для выявления потребительских предпочтений

пяти марок моющих средств, которые она производит. Было опрошено 200

человек и получены следующие ответы:

Марка

Процент предпочитаемой

марки

А В С D Е

19 20 15 25 21

Показывают ли данные какую-либо предпочтительность отдельной марки?

Упражнение 6.10

Относится к упражнению 6.9. Отечественная химическая корпорация решила

начать новую рекламную компанию для марки Е. Было сшрошено 100 человек.

Были получены следующие результаты:

Марка

Процент предпочитаемой

марки

22 .

Показывают ли данные предпочтительность какой-либо марки над осталь-

ными?

Изменилась ли та часть рынка, которая предпочитает покупать товар

марки Е в результате проведения рекламной компании?

Изменилась ли струпура предпочтений в результате рекламной компании?

Упражнение 6.11

Опрос касался ссуд банка или строительного общества. Была проведена случайная

выборка и опрошено 250 человек, которые впервые брали деньги под залог в

течение последнего года. Результаты опроса сведены в таблицу:

•гОО

Ч. 2. Анализ данных как составная

часть

принятия решений

Источник ссуды

Банк

Строительное общество

Меньше

10000

ф. ст.

125

10000

ф. ст. и более

Проведите соответствующее статистическое испытание для того, чтобы выяс-

нить,

есть ли какие-либо основания для обнаружения связи между источником и

размером ссуды.

Упражнение 6.12

Лондонский Мидлэца-Банк и Шотландский Банк в настоящее время пересматривают

систему отчетности для владельцев текуищх счетов. Б соответствии с настоящей

системой клиенты получают отчетность каждый квартал (каждые три месяца), и

имеют право получения отчетности в любое другое время. Однако предполагалось,

что владельцы текущих счетов должны определить, как часто они хотели бы

получать отчетность, выбрав один из следующих четырех вариантов:

1) Безрегулярной отчетности.

2) Каждый месяц.

3) Каждые 3 месяца.

4) Каждые 6 месяцев.

К тому же для клиентов сохранялась бы свобода запроса отчетности. По оценкам

ожидается более 600000 нерегулярных запросов отчетности в год. В настоящее

время банк имеет приблизительно 1,2 млн текущих счетов.

Для оценки приемлемости этой новой-системы была взята случайная выборка

владельцев текущих счетов объемом 150. Были установлены предпочтения по

поводу выбора одного из четырех вариантов получения отчетности. Результаты

оказались следующими:

Предпочитаемая

частота

Число клиентов

Без

отчетности

Каждый

месяц

Каждые

месяца

Каждые

месяцев

Требуется:

Построить частотное распределение регулярной отчетности в.год для

выборки объемом 150 клиентов и определить среднюю и стандартное

отклонение вашего распределения.

Определить доверительный интервал с вероятностью 95% для истинной

средней количества регулярных отчетностей в год и объяснить значение

этого интервала.

Вся отчетность поставляется ежедневно из банковского компьютерного

центра. В соответствии с настоящими условиями возможен выпуск 33000

отчетов каждый день. Предполагая, что компьютерный центр работает 300

дней в году, прокомментируйте, достаточной ли этих возможностей для

вероятного числа отчетов, которые должны быть выпущены. Ваш ответ

должен включать соответствующее испытание значимости, и должны

быть четко установлены предположения, принятые вами.

ГА.

б.

Статистический

вывод 2:

испытание

гипотез

201

Martin Electronic Controls" — мелкий

' специализируется на промышленном

Упражнение 6.13

Компания с ограниченной ответственностью

производетель электрических компоневтов

контрольном оборудовании.

Главный бухгалтер провел проверку 300 последних накладных по продаже

для того, чтобы был» уверенным, что число незначительных погрешностей

—

таких, как неправильная дата, неправильное суммирование, не четкая

печать или отсутствие подписи ответственного лица — лежит внутри

принятой компанией нормы ошибки в 2%. Если 9 из 300 выборочных

единиц содержат незначительную неисправность, то имеется ли статисти-

ческое основание того, что обусловленная норма ошибки нарушат?

Сколько из 300 выбранных единиц, описанных в п.1 потребуется для

определения того, что доля накладных, содержащих незначительные

погрешности, превысит установленную долю ошибки на

ЬУо-нак

уровне

значимости?

Упражнение 6.14

При анализе портфеля инвесгиш1Й двух схожих компаний, которые оперируют на

одном рьшке, проведено сравнение прибыли на акцию. Результаты деятельности

компаний за последние шесть лет приведены в таблице:

Год

19X0

19X1

19X2

19X3

19X4

19X5

Прибыль па

акццю

(пенсов)

Компания

14,3

15,6

17,2

16,4

14,9

17,6

Компания

13.8

14,6

16,4

16.8

15,0

16,4

Были рассчитаны средние и стандартные отклонения результатов каждой

компании и затем определена t-статистика.

Компания

Средняя (пенсов)

16,0

15.5

Стандартное

отклонение

(пенсов)

1,2977

1,2050

(10 степеней свободы).

16,0 -15,5

л/

1,2977'

1,2050^

' 6 •*• 6

•

0,69

202 Ч. 2. Анализ данных как составная часть принятия решений

Аналитик заключил, что результат незначимый при испытаниях с одной и с

двумя границами, и поэтому он решил, что эти две компании имеют в среднем

одинаковую прибыль на акцию.

Требуется:

Оценить критически анализ, который был проведен, и указать три

причины при которых использованная процедура и сделанное заключение

являются неподходящими и неправильными.

Провести соответствующий анализ данных и установить свои заключения.

Упражиевие 6. IS

а) Укажите обстоятельства, при которых объединенная оценка дисперсии

должна быть использована для испытания разницы между двумя средними.

б) Главная нефтяная компания рассматривает добавку к их бензину для

увеличения количества миль пробега на литр машиной соответствующей марки.

Имеются две добавки Апэкс и Бимакс от разных поставщиков. Для испытания

действия этих добавок независимое агенство испытало 8 машин с Апэкс-добавкой

и 10 машин с Бимакс-добавкой. Все машины одной марки, производства и

размера. Достигнутые результаты приведены ниже:

Добавка

Апэкс

Бимакс

10,4

10,7

11.3

10,2

9,9

Расстояние на

литр,

миль

10,5 9,8 10,0 10,6

10,8 10,1 10,4 11,1

10,8

10,2

10,5

10,6

По очень большой выборке машин такого типа среднее расстояние

—

10 милей

на литр бензина без добавок.

Требуется:

1) Оценить увеличение пробега в милях на литр для каждой из двух добавок.

2) Испытать является ли значимым увеличение миль на литр в результате

использования Бимакс-добавки при сравнении с установленным по1реблением

бензина.

3) Провести испытание для того, чтобы определить, значима ли разница

между средним потреблением бензина при Апэкс-добавке и Бимакс-добавке.

4) Предполагая, что возрастание средней в милях на литр, данное в п. 1)

может считаться типичным при использовании добавок, и, что цена на бензин без

добавок составляет 40 пенсов за литр, рассчитайте для каждой добавки максимум

повышения цены за литр бензина, чтобы это было экономически выгодно для

автомобилиста.

Упражнение 6.16

Объясните кратко значение термина "значимое различие" в статистическом

испытании гипотез.

Четыре производственных завода компании с ограниченной ответственностью

"Zeus"

находятся в Аубридже, Бидоне, Крамбурне и Дипуле. Выбранные

случайно рабочие этих четырех заводов были опрошены для выяснения их