Эддоус М., Стэнсфилд Р. Методы принятия решений

Подождите немного. Документ загружается.

Гл.

Основы

теории

вероятностей

При условии, что обучающийся идентифицирует неправильную накладную с

вероятностью 0,8, а правильную — с вероятностью 0,9, какова веро5ггность

правильной идентификации двух предложенных ему накладных, если:

(iiO обе ошибочные;

(vi) одна ошибочная, а другая нет?

Упражнение 1.S

Магазин получает товар партиями по 100 штук. Если пять, взятых наугад,

образцов соответствуют стандартам, партия товара поступает на реализгщию. В

очередной партии 8 единиц товара с дефектом. Какова вероятность того, что

товар поступит на реализацию?

Упражнение 1.6

К каждому из десяти этапов сборки станка прилагается документация. Для

каждого этапа вероятность ошибки в документации составляет 0,002. Какова

вероятность того, что документы:

(i) в полном порядке;

(ii) имеется одна ошибка?

(iii) реорганизация концелярской работы могла бы свести количество

этапов до пяти, однако, тогда вероятность ошибки возрастет до 0,003.

Как изменились бы ответы на вопросы (i) и (ii) при новых условиях?

Упражнение 1.7

R, S, Т — компоненты электронной системы. Вероятность беспер)е6ойной работы

каждого из компонентов в течение года 0,95; 0,9; 0,93 соответственно.

(i) Какова вероятность безотказной работы всей системы на протяжении

этого срока, если необходимо, чтобы работали все три компонента?

(ii) Допустим, достаточно, чтобы работали два из трех компонентов.

Какова вероятность безотказной работы системы в этом случае?

(iii) Внесенные усовершенствования сделали эксплуатацию системы

возможной, если работает хотя бы один из компонентов. Какова вероят-

ность функционирования системы в течение всего года.

Упражнение 1.8

В электронной системе имеются два компонента G и Н, работы одного из которых

достаточно для ее функционирования. Вероятности работы компонентов приведе-

ны ниже по годам.

Год

эксплуатации

Вероятность для

компонента G

компонента Н

/ // III

0,1 0,2 0,2 0,3 0,2

0,2 0,3 0.3 0,2 0,0

Ч. 1. Принятие решений в условиях недостатка информации

(i) Какова вероятность функционирования системы на каждом году

эксплуатации?

(и) Какова вероятная продолжительность работы каждого компонента

и системы в целом?

Упражнение 1.9

По вероятности попадания в дорожную аварию водители подразделяются страхо-

вой компанией на три группы — низкая, средняя, высокая. Среди застрахованных

вооители этих групп составили 25%, 60%, 15% соответственно. Ниже приведена

таблица вероятностей попадания водителей каждой группы в аварии:

Риск водителя

1 авария в год

2 аварии в год

3 аварии в год

4 аварии в год

Вероятность попадания в аварию

низкая средняя

высокая

0,01 0,03 0,10

0 0,01 0,05

0 0 0,01

0 0 0

Требуется найти:

(i) Если м-р Л не попадал в аварию в течение года, какова вероятность

того,

что он принадлежит к группе водителей с высокой вероятностью

попадания в дорожную аварию?

(ii) Если м-р В не попадал в аварию в течение четырех лет, какова

вероятность того, что он принадлежит к группе водителей с низкой'

вероятностью попадания в дорожную аварию?

Упражнение 1.10

Фирма собирается выпускать новый товар на рынок. Подсчитано, что вероятность

хорошего сбыта продукции равна 0,6; плохого — 0,4. Компания собирается

провести маркетинговое исследование, вероятность правильности которого 0,8.

Как изменятся первоначальные вероятности уровня реализации, если это исследо-

вание предскажет плохой сбыт?

У|фажненне 1.11

Какова должка быть сумма страхового взноса за год за

дом,

оцененный в 60000 ф. ст.,

чтобы компания могла полностью возместить убытки, если установлено, что в

Течение года подвергаются разрушению два из каждых ста подобных домов? Из

вех 5% восстановлению не подлежат, для 25%

—

убытки составляют 8000 ф. ст.;

Д«я остальных

—

4000 ф. ст.

Гл.

Основы

теории

вероятностей

Упражнение 1.12

25 участников годового собрания акционеров претендуют на посты председателя,

секретаря, казначея и четырех других поста в правлении.

Определите:

(i) Сколько существует способов замещения вакантных мест претендешами?

(ii) Сколько существует способов замещения четырех остальных вакансий

после избрания председателя, секретаря и казначея?

(ш) Сколько комитетов могут быть сформированы из 25 человек?

Упражнение 1.13

В транспортной компании работают 10 водителей.

(i) На каждый из пяти обслуживаемых через день заводов требуется

послать одного из водителей. Сколькими способами это может быть

осуществлено?

(ii) Каждый второй день требуются два водителя для этих пяти

заводов. Сколькими способами это может быть осуществлено?

Упражнение 1,14

Компания Trophit pic" выпускает гайки и болты в стандартной британской и

метрической системах мер. Однажды коробка с пятнадцатью 5-мм болтами опрокину-

лась в ящик с 30-дюймовыми болтами, а коробка с пятнадцатью 5-мм гайками

—

в ящик с 30-дюймовыми гайками.

Найти:

(i) Какова вероятность, что взятые наугад болт и гайка подойдут друг

к другу?

(ii) Какова вероятность, что два болта и две гайки, взятые наугад,

образуют две подходящие друг к другу пары?

Упражнение 1.1S

Инвестор имеет 10000 ф. ст. для покупки акций либо химической компании, либо

пивоваренной. Его брокер привел ему следующие данные о вероятной отдаче денег

в последующие 12 месяцев:

Вероятная

годовая прибыль

Химическая

компания

Пивоваренная компания

- 2000 - 1000

0 WOO 2000

3000

4000

0,05 0,1 0,2 0,2 0,2 0,2 0,05

0,05 0,2 0,3 0,2 0,1 0,1 0,05

36 Ч. 1. Принятие решений в условиях

недостатка

информации

Каков ожидаемый годовой результат вложения денег:

(i) в химическую компанию?

(ii) в пивоварню?

Упражнение 1.16

Международная компания страхования жизни пользуется в своей работе статисти-

ческими данными смертности. Ниже приведены цифры о количестве умерших по

достижении определенного возраста.

Возраст О 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Число доживающих

1000 981 966 944 912 880 748 525 2бГ 45 О

до данного возраста

Используя таблицу, определите вероятность того, что:

а) выбранный наугад новорожденный умрет до достижения 60-летнего

возраста;

б) выбранный наугад 30-летний человек умрет до достижения 60-летнего

возраста;

в) выбранный на)ггад 50-летний человек умрет до достижения 60-летнего

возраста.

Объясните, почему вероятности в одном случае больше, чем в другом.

Корпорация собирается начать страхование 50-летних. Предполагается, что

страхуемый делает единственный взнос в возрасте 50 лет и, если в течение 10

лет он умирает, то наследник'получает 10000 ф. ст., если же нет, тогда

компания ничего не платит. Каков должен быть размер взноса, чтобы компания

не понесла убытки?

Найдите вероятность того, что компания потерпит убыток, если компания

назначит сумму взноса в 2000 ф. ст., а не в 10000 ф. ст. и на условиях вопроса

2 страховой полис подпишут 12 человек?

В вьппеприведенной таблице использовались данные по смертности 1986 г.

Оцените надежность, целесообразность использования этих данных при расче-

тах страховых тарифов на перспективу.

Используя следующие данные, ответьте на вопросы:

Возраст

Число доживающих

до этого возраста

880

866

846

822

788

748

«) Известно, что 50-летний человек умрет до достижения 60-летия. Вычис-

лите вероятный год смерти.

б) Подсчитайте размер страхового взноса по данным вопроса 2, если;

(i) ожидаемый год смерти до 60 лет оценивается, как в пункте а);

(ii) постоянная ставка

—

8% на годовую премию;

канцелярские расходы по каждому полису

—

100 ф. ст.;

компания выплачивает страховым агентам за каждый полис 200 ф. ст.

комиссионных.

Гл.

Основы

теории

вероятностей

Упражнение 1.17

Каждую пятницу бронированный автомобиль доставляет заработную плату из

местного отделения банка в пять фирм. В качестве меры предосторожности

стараются использовать различные маршр}пъ[. Водитель выбирает один из пред-

ложенных диспетчером вариантов.

Нужно найти:

а) Какова вероятность того, что нынешний маршрут не повторит предыдущий?

б) Какова вероятность того, что маршрут не повторится ни разу в течение

месяца?

в) Какова вероятности того, что фирмы А и В будут обслужены одна за другой

в течение одной пятницы?

Для сокращения времени доставки денег диспетчер решил оптимизировать

маршрут. Сначала бронеавтомобиль завозит деньги в расположенные поблизос-

ти друг от друга фирмы А, В и С, а затем

—

в остальные D и Е. Порядок фирм

выбирается произвольно. Как эти данные изменяют ответы на воп]юсы 1а; 16;

1в?

В дополнение к условию вопроса 2: водителю было приказано не повторять

маршрут предыдущей недели. Какова вероятность, что маршрут не повторится

в течение месяца?

а 2. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ

РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

2.1.

ВВЕДЕНИЕ

В предыдущей главе мы рассмотрели экспер1шенты со случайным исходом. Для

численного выражения появления того или иного исхода используется понятие

вероятности. Вероятность сложных событий была получена путем обобщения

вероятностей отдельных исходов.

В этой главе мы рассмотрим вероятносгные распределения сначала дискретных,

а затем и непрерывных случайных величин. Дискретные случайные величины

представляют собой целочисленные значения исходов, непрерывные — любые

возможные значения. Основные виды вероятностных распределений дискретных

случайных величин — биномиальное и распределение Пуассона. Они особенно

часто используются в ауд1ГГорском деле. Например, при проверке может строиться

распределение счетов по доле ошибок.

Для непрерывных случайных величин также существует несколько видов

вероятностных распределений, среди которых наиболее часто используется нор-

мальное распределение (см. § 2.7.). Особенно важную роль нормальное распреде-

ление играет при рассмотрении средних значений случайных величин, (см гл. 4).

Часто расчеты биномиального и пуассоновского распределения отнимают

много времени, поэтому используется приближение, что позволяет упростить

расчеты, почти не снижая точности.

В § 2.5 рассматривается использование пуассоновского распределения в каче-

стве приближения к биномиальному распределению. В § 2.8 и 2.9 показывается,

как использовать нормальное распределение для аппроксимации биномиального и

пуассоновского.

2.2.

ВЕРОЯТНОСТНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДИСКРЕТНОЙ

СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

2.2.1.

Дискретная случайная величина

Если значения исходов эксперимента целочисленны, то они представляют собой

дискретные величины (см. табл. 2.1.)

Обозначим случайную величину R, а ее значение

—

г, отсюда из табл. 2.1. (е)

количество проданных за день тортов:

г =

или

или 2 или 3 или

или 5.

Гл.

2. Вероятностные распределения

Таблица 2.1. Дискретные случайные величины

(а)

(б)

(в)

(г)

(д)

(е)

Эксперимент

со

случайным исходом

Бросание монеты 2 раза и регистрация

числа выпавших «решек»

Бросание игральной кости один раз и

регистрация результата со случайным

исходом

Отбор S образцов из партии товаров

и регистрация числа бракованных

Регистрация числа дорожных происше-

ствий на определенном участке дороги

в течение недели

Регистрация спроса на машины

Количество проданных за день тортов,

(если их всего изготавливается пять)

Случайная

величина

Число «решек»

Выпавшее число

Число бракован-

ных образцов

Число дорожных

происшествий за

неделю

Число заказов на

машины в течение

дня

Количество

проданных тортов

Значение

случайной

величины

1.2

1,2,3,4,5,6

1,2,3,4,5

1,2,3,...

1,2,3,

...

2. 3, 4, 5

2.2.2.

Распределение дискретной случайной величины

Рассмотрим пример с проверкой 10 накладных. Существует И исходов экспери-

мента (табл. 2.2):

Номер исхода

Число П1>авильных

накладных

Число неправильных

накладных

1блица 2.2. Число правильных накладных

1 ^

в 1 7 1 в

0 12 3 4 5 6 7

10 9876543

Число правильных накладных представляет собой дискретную случайную

величину. Когда мы собираемся произвести эксперимент, заранее неизвестно,

какой исход из одиннадцати возможных будет иметь место, однако можно просчитать

вероятность каждого из них.

Если принять за R эксперимент, состоящий из дискретных случайных величин,

то набор вероятностей, соответствующий каждому из исходов эксперимента, будет

назьшаться вероятностным распределенное этого R. Вероятность того, что дискретная

случайная величина примет какое-то значение г, обозначается так: P(R = г).

G Пример 2.1.

а) Эксперимент: дважды бросаем монету и регистрируем число "решек".

Возможные исходы: {ОО, РО, ОР, РР}.

Значения дискретной случайной величины: г = 0,1,2.

Вероятности: Р (R = г) = {1/4, 2/4, 1/4).

б) Эксперимент: игральная кость брошена один раз, регистрируем выпавшие очки.

^ Ч. 1. Принятие решений в условиях недостатка

информации

Возможные исходы: {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Значения дискретной случайной величины: г= 1,2, 3, 4, 5, 6.

Вероятности: Р (R = г) = {1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6}.

в) Эксперимент: эксперт по инвестициям следз^ющим образом оценивает вероят-

ность получения прибыли на инвестиции:

Возможные исходы (тыс. ф. ст.): 1, 2, 3, 4, 5.

Значения дискретной случайной величины: г = 1, 2, 3, 4, 5.

Вероятности: Р = (R = г) = {0,4; 0,3; 0,2; 0,1; 0,0}.

В вышеприведенных примерах вероятностные распределения были представлены

списком вероятностей, что неудобно при больших экспериментах.

Так как существует связь между составляющими вероятностного распределения,

то ее можно выразить математической функцией: •

В примере 2.1 (а): P(R= г) =

^С,

х (1/4) г =

О,

1, 2;

В примере 2.1 (б): P(R = г) = 1/6 г = 1, 2, .... 6;

В примере 2.1 (в): P(R = г) = 0,1 (5-г) г = 1, 2 5.

В случал необходимости каждый элемент распределения может быть вычислен

по этим формулам. Каждый раз, когда это возможно, распределение вероятностей

дискретной случайной величины выражается математической функцией f (г), где

Р (R = г) = f (г).

2.2.3. Графическое представление распределения дискретной

случайной величикы

О Прниер 2.2. Распределение дискретной случайной величины может быть

представлено в виде линейного графика.

а) Для примера 2.1 а), в котором два раза бросается монета, вероятностное

распределение может быть проиллюстрировано рис. 2.1.

Вероятность

исхода

1/2 .

1/4

г Число ibinaBuiMx

О \ 2 срвшеи

Рис.

2.1. Раофеделенне количества 'решек' при двукрагшои бросаинн монеты

б) Для примера 2.1 б), в котором регистрируется количество очков на

брошенной один раз игральной кости иллюстрация дана на рис. 2.2.

В каждом примере действуют правила, касающиеся вероятностей:

O^pS1.

Гл.

2. Вероятностные распределения

Вероятность Р(г)

иоода

1/6

г Очки

Q 2 3 4 5 6 на игральной кости

Рнс.2.2.

Распределение исходов

—

игральная кость брошена один раз

Сумма вероятностей всех исходов (полной фуппы событий) равна 1, в примере

2.1 а):

в примере 2.1 б);

1/4 + 2/4 + 1/4 = 1;

6х(1/6) = 1

2.2.4. Математическое ожидание

стандартное отклонение

вероятностного распределения

Таблица 2.3. Количество автомобилей, проданных в течение одного дня

(данные аа месяц)

Количество проданных

за день

автомобилей

Всего

Количество

дней

Расчет

/г 2

243

Среднее количество машин, проданных в день:

-_ Е

^ ''

0) + (4

X 1)

+ (8

2) + (4

3) + (6

4) + (3

'" Yf ° 5+4+8+4+6+3

- 71

г = ^ = 2,37 — машин в день.

Ч. 1. Принятие решений в условиях недостатка информации

т2

Дисперсия количества машин г проданных в день:

<т'

= ^^-г^=^-2.3672 = 2.50.

среднее квадратическое отклонение = Удисперсня

Отсюда:

Г233 5

а-У -=г- -

2,367''.»

1,58 машин в день.

Частотное распределение используется для оценки вероятности продажи

машин в день:

Количество

машин

в день

Всего

Таблица 2.4. Вероятяостыфодажн

Число

дней

Вероятность продажи

машин

в день

Р(т)

5/30

4/30

8/30

4/30 .

6/30

3/30

машин

Расчет

г Иг)

4/30

16/30

12/30

24/30

15/30

71/30

г^РСг)

4/30

32/30

36/30

96/30

75/30

243/30

Вероягаость — это огаосительная частота появления каждого значения дискретной

случайной величины. Среднее значение и стандартное отклонение можно найти с

помощью вероятностного распределения и с помощью частотного распределения. В

этом случае используется относительная частота (вероятность), которая заменяет

частоту. Для вероятностного распределения:

Среднее значение

ZrP(r)

ZP(r) '

(О X

5/30) + (1

4/ЭО) + (2

8/30) + (3 х 4/30) + (4 х 6/30) + (5 х 3/30)

машин в день.

Дисперсия

1г^Р(г)

fl^p«l

i:p(r)

^-2.37^

= 2.50