Евдокимова Н.Н. Алгебра и начала анализа в таблицах и схемах
Подождите немного. Документ загружается.
XYWIX)
И
хУhИll9Уl
I
YEMIIYHY
YIIYhYH
М
YdllJUY
~o}tm
~~
В80LЛJИ)lо'rt83
.
Н
.
Н
-'
~
UI
о.
U
ЛАТИНСКИЙ
АЛФАВИТ
Аа
а
ВЬ
бэ
Сс
це
Dd
дэ
Ее
э
Ff
эф
Gg
гэ
(же)
Н
h
ха
(аш)
I i
и
J j
йот
(жи)
Kk
ка
L/
эль
Мm
эм
Nn
00
Рр
Qq
R r
Ss
Tt
Uu
Vv
Ww
Хх
Уу
Zz
ГРЕЧЕСКИЙ
АЛФАВИТ
Аа
альфа
В
~
бета
Гу
гамма
L\8
дельта
ЕЕ
ЭПСИЛОН
Z
~
дзета
Hll
эта
ее
тета
1 1
иота
Кк
каппа
Л'А
ламбда
М!.1
мю
(ми)
Nv
НЮ
(ни)
3
~
00
ПЛ
Рр
LO'
T't
y'U
Фф
ХХ
ЧJ\jI
11(0
3
эн
о
пэ
ку
эр
эс
тэ
у
вэ
дубль-вэ
икс
игрек,
ипсилон
зет,
зета
кси
ОМИКРОН
ПИ
ро
сигма
тау
ЮПСИЛОН
(ипсилон)
фи
хи
пси
омега
МНОЖЕСТВА
И
ОПЕРАЦИИ
НАД
ИМИ
Множество
представляет
собой
соединение,
совокуп
ность,
собрание
некоторых
предметов,
объединенных
по
ка
кому-либо
признаку.
Примеры.
Множество
учащихся
школы.
Множество
букв
алфавита.
Множество
действительных
чисел.
Множество
точек
на
прямой.
Предметы,
из
которых
состоит
множество,
называются
его
элементами.
Множества
обозначают заглавными
буквами
латинского
алфавита,
а
элементы
-
малыми
буквами.
А
=
{а
; ;
аз}
-
множество
А
состоит
из
элементов
a
l
;
1
а
2
0.2;
аз·
Запись
а
Е
А
означает,
что
элемент
а
принадлежит
мно
жеству
А.
Запись
а
~
А
означает,
что
элемент а
не
принадлежит
мно
жеству
А.
Пример.
N -
множество
натуральных
чисел;
8
Е
Н;
О
~
Н;
-11
~ Н;
4
Е
Н.
Множества,
состоящие
из
одних
и
тех
же
элементов,
на
зываются
равными.
Пример.
Если
А
= {3; 5;
6},
В
= {3; 5;
6},
то
А
=
В.
4
Если
все
элементы
множества
С
являются
элементами
множества
А,
то
множество
С
называется
подмножеством
множества
А.
Пример.
А
=
{1;
2;
З},
С
=
{1;
З}.
Множество,
которое
не
содержит
ни
одного
элемента,
на
зывается
пустым
множеством
и
обозначается
0.
Пересечением
множеств
А
и
В
называется
множество
С,
со
стоящее
из
общих
элементов
множеств
А
и
В.
Оно
обозначает
ся
C=AnB.
Объединением
множеств
А
и
В
называется
множество
О,
со
стоящее
из
всех
элементов
мно
жеств
А
и
В
и
только
из
них.
Оно
обозначается
О
=
А
u
В.
Если
множества
А
и
В
не
имеют
общих
элементов,
то
пересече
нием
таких
множеств
является
пу
стое
множество
-
0.
()()
Примеры.
Рассмотрим
два
множества
А
и
В.
1)
А
=
{О'
2'
З'
4}
В
=
{1'
2'
З'
5}
, , "
'"
А
u
В
=
{О'
2'
З'
4}
u
{1'
2'
З'
5} =
{О'
l'
2'
з·
4'
5}'
, "
'"
J , I , , ,
А
n
В
=
{О;
2;
З;
4} n
{1;
2;
З;
5} = {2;
З},
2)
А
=
{О;
1; 4;
5},
В
= {2;
З}
А
u
В
=
{О;
1;
4; 5} u {2;
З}
=
{О;
1;
2;
З;
4;
5};
А
n
В
=
{О;
1;
4; 5} n
{2;
З}
=
0.
5
ЧИСЛОВЬ
Е
МНОЖЕСТВА
в
элементарной
математике
выделяют
следующие
множества
чисел:
N = {1; 2; 3; ,
..
}
Множество
натуральных
чисел
состоит
из
всех
натуральных
чисел.
Натуральные
числа
1, 2, 3, ...
появились
в
связи
с
необ
ходимостью
подсчета
предметов.
Z
-
{О'
+1'
+2' +3'
}
-
1-'
- , -
1'·'
Натуральные
числа,
числа,
противоположные
натуральным,
и
ноль
составляют
множество
целых
чисел.
a={~},
где
тЕ
Z,
ПЕ
Z,
п'!:-
О
Целые
и
дробные
числа
составляют
множество
рацио
нальных
чисел.
R =
{Х},
где
-00
<
Х
<
+00
Множество
всех
конечных
и
бесконечных
десятичных
дро
бей
называется
множеством
действительных
чисел
(ра
циональных
и
иррациональных).
т
Каждое
рациональное
число
n
представимо
в
виде
конеч
ной
или
бесконечной
периодической
десятичной
дроби.
Иррациональное
число
представляется
непериодической
бесконечной
десятичной
дробью.
Пример.
1)
151
=
0,4545
... =0,(45);
265
=
0,24;
~
=
0,333
... =
0,(3)
-
рацио
нальные
числа.
2)
J2
= 1,4142135...; 1t = 3,14159... -
иррациональные
числа.
6
ЧИСЛОВАЯ
ОСЬ.
КООРДИНАТА
ТОЧКИ
Прямая
с
указанной начальной
точкой,
выбранным
по
ложительным
направлением
отсчета
и
масштабным
отрезком,
длина
которого
принимается
равной
единице,
называется
числовой
осью.
м
о
(начало
отсчета)
х
-----+-1
-4.t--+-!
--Т
I I I 1
•
-4
-3 -2
-1
О
1 2 3 4
масштабный
отрезок
Каждое
число
можно
изобразить
точкой
числовой
оси.
На
оборот,
каждая
точка
оси
изображает
какое-нибудь
число.
Если
число
х
изображается
точкой
М,
ТО
это
число
на
зывается
координатой
точки
М.
Точка
О
разбивает
координатную
прямую
на
два
луча,
один
из
которых
имеет положительное
направление
и
на
зывается
положительным
лучом,
другой
-
отрицательным.
Модуль
числа
Модулем
числа
х
называется
Ixl
=
{х,
если
х
~
О;
расстояние
от
начала
отсчета
до
I~
-х,
если х
<
О.
точки,
изображающей
число
х.
151
= 5;
1-61
= 6;
101
=
о.
М
о
М
2
Модуль
разности
двух
чисел
ра
1
вен
расстоянию
между
точками,
'~
-3
о
2,5
изображающими
эти
числа.
IM1M21=1-3 - 2,51=
= 1-5,51 =
-(-5,5)
=+5,5
Ixl
=3 -
это
соотношение
геометрически
означает,
что
рас
стояние
от
точки
до
начала
координат
равно
3:
Х
=
-3,
Х
2
= +3.
1
7
АРИФМЕТИКА
ПРОСТЬ
Е
И
СОСТАВНЫЕ
ЧИСЛА.
НАИБОЛЬШИЙ
ОБЩИЙ
ДЕЛИТЕЛЬ
И
НАИМЕНЬШЕЕ
ОБЩЕЕ
КРАТНОЕ
Число
называется
простым,
если
его
делителями
являются
только
единица
и
само
число.
Остальные
числа
называются]
составными.
Наибольшим
общим
делите
лем
(НОД)
нескольких
нату
ральных
чисел
называется
са
мое
большое
натуральное
число,
на
которое
все
эти
числа
делятся.
Для
нахождения
над
каждое
из
чисел
раскладывают
на
простые
множители
и
вычисляют
произ
ведение
общих
простых
множи
телей,
взяв
каждый
из
них
с на-
I
именьшим
(из
имеющихся)
по
казателем.
-
Пример.
Найти
над
чисел
126;
540; 630.
Решение.
126 2 540 2 630 2
63 3
270 2
315 3
21
3
135 3
105 3
77
45
3
35
5
1 15 3 7 7
5 5
1
1
126 = 2 .
з2
. 7; 540 =
22
.
33
. 5;
630 = 2 .
32
. 5 . 7
над
(126; 540;
630)
=
2·
з2
= 18
2, 3,
5,
13, 17, 19, 23,
29, 31, 37
и
т.
Д.
Число
1
не
относят
ни
к
простым,
ни
к
состав
ным.
Наименьшим
общим
кратным
(НОК)
нескольких
натуральных
чисел
называется
самое
наи
меньшее
число,
которое
делит
ся
на
все
эти
числа.
Для
нахождения
нак
каждое
из
чисел
раскладывают
на
простые
множители
и
вычисляют
произ
ведение
всех
получившихся
простых множителей,
взяв
каж
дый
из
них
с
наибольшим
(из
имеющихся)
показателем.
315 3
105 3
35 5
7 7
1
Пример.
Найти
нак
чисел
270;
300; 315.
Решение.
270 2 300 2
135 3 150 2
45 3 75 3
15 3 25 5
5 5 5 5
1 1
270 = 2 .
33
. 5;
300
=
22
. 3 .
52;
315 =
32·5
. 7
наК(270;
300;
315)=
=
22
.
33
.
52
. 7 =
18900
~
8
ПРИЗНАКИ
ДЕЛИМОСТИ
НАТУРАЛЬНЫХ
ЧИСЕЛ
Пример.
345
не
делится
На
2
делятся
числа,
оканчива-
Признак
делимости
на
2
на
2,
т.
к.
5 -
нечетная
ющиеся
нулем
или
четной
циф-
цифра;
18358
делится
на
рой.
Число,
делящееся
на 2,
2,
т.
к.
8 -
четная
цифра.
называется
четным.
Пример.
34800
-
делит-
На
4
делятся
числа,
у
которых
Признак
делимости
на
4
ся
на
4;
15164
-
делится
две
последние
цифры
нули
или
на
4,
т.
к.
64
делится
на
4;
образуют
число,
делящееся
на
4. 115 -
не
делится
на
4.
Признак
делимости
на
25
Пример.
На
25
делятся
На
25
делятся
числа,
у
которых
числа
100,
1000,
125,
две
последние
цифры
нули
или
350,
675
т.
к.
последние
образуют
число,
делящееся
на
две
цифры
нули
или
де-
25.
I
лятся
на
25.
Признак
делимости
на
3
и
на
9
Пример.
381
делится
на
На
3
(на
9)
делятся
те
и
только
те
3
и
не
делится
на
9,
т.
к.
числа,
сумма
цифр
которых
де-
3 + 8 + 1 = 12
делится
на
3
и
не
делится
на
9.
Признак
делимости
на
5
лится
на
3
(на
9).
Пример.
На
5
делятся
На
5
делятся
числа,
последняя
числа
85, 160, 345,
2345
цифра
которых
О
или
5.
и
т.
д.;
243
не
делится
на
5,
т.
к.
последняя
цифра
3.
Признак
делимости
на
6
Пример.
342
делится
на
На
6
делятся
числа,
которые
6,
т.
к.
число
делится
на
2
одновременно
делятся
на
2
и
3.
и
на
3.
Пример.
320,8400
делят-
на
10, 100
и
1000
Признаки
делимости
ся
на
10;
На
1
О
делятся
числа,
оканчиваю-
54000
делится
на
1
О,
100
щиеся
нулем.
и
1000.
На
100
делятся
числа,
оканчива-
ющиеся
двумя
нулями.
На
1000
делятся
числа,
у
которых
три
последние
цифры
нули.
9
ОБЫКНОВЕННЫЕ
ДРОБИ
Выражение
вида
а
Ь или
а:
Ь,
где
а
и
Ь
целые
числа
и
Ь
*
О,
называет
ся
дробью.
1
о
Eb"1f---a+~b----I--.I--+---~11
Число
а
называется
числителем
дроби.
Число
Ь
называется
знаменателем
дроби.
(
а
<
ь)-7(
а/Ь
-
правильная
дробь
К
~;
~;
i )
(
а ~
Ь
)-7(
а/Ь
-
неправильная
дробь
К*
=
1;
~;
~)
Из
любой
неправильной
дроби
можно
выделить
целую
часть
и
дробную
часть.
Основное
свойство
дроби
8
с
Две
дроби
Ь
и
d
называются
равны
ми
если
8 . d =
Ь
.
с.
Е..
=
8·
k _
дробь
не
изменится,
если
Ь
b·k
числитель
и
знаменатель
дроби
умно
жить
на
одно
и
то
же
число.
13 3 3
5=2+"5=2"5'
где2-це
лая
часть
от
деления
числа
13
на
5,
а
3 -
остаток.
2 4
- =
-,
т.
к.
2 . 6 = 3 . 4.
3 6
18
3·6
3
- =
--
= - -
сокраще
30
5·6
5
ние
дроби.
Действия
над
дробями
(~
и
~)
ф
1)
Ь
= d,
~
±
~
= 8
~
С
.
:s:
:r
(1j
1-
2)
b:;t.
d
дроби
нужно
привести
:s:
;r
::а
к
общему
знаменателю:
!D
:s:
8
С
8 . d
с
.
Ь
8d
±
сЬ
-+-=--+--=
ф
Ь
- d
Ь
.d - d .
Ь
bd'
:s:
:r
ф
Общим
знаменателем
будет
~
о
НОК
(Ь,
d).
с::;
()
ф
:s:
:r
ф
~
о
:r
::!Е
>-
1)
k -
целое
число,
8
k·8
k·-=-
Ь Ь
2)
~.
f =
8·
С
Ь
d
b·d
8:
k
=_8_
1)
Ь
b·k
d
8·d
2)
8
С
8
=
-.-=
--
b'd
Ь
с
Ь·с
ф
:s:
:r
ф
с::;
ф
r:[
10
I
Из
двух
чисел
то
больше,
которое
на
координатной
прямой]
расположено
правее.
Любое
положительное
число
больше
нуля
и
больше
отрицатель-
ного
числа.
Любое
отрицательное
число
меньше
нуля.
Из
двух
отрицательных
чисел
больше
то,
модуль
которого
меньше.
-З,8
>
-5,1,
т.
к.
I-З,81
< 1-5,11
СРАВНЕНИЕ
РАUИОНАЛЬНЫХ
ЧИСЕЛ
Действия
с
рациональными
числами
ф
:s:
:I:
ф
*
о
~
()
Чтобы
сложить
числа
с
одинаковыми
зна-
ками,
нужно
сложить
их
модули
и
поста-
вить
к
сумме
их
общий
знак.
-20
- 8 - 6 =
-З4;
26 + 5 + 1 =
З2.
Чтобы
сложить
два
числа
с
разными
зна-
ками,
нужно
из
большего
модуля
числа
вы-
честь
меньший
модуль
числа
и
поставить
к
сумме
знак
большего
модуля
числа.
(+4) +
(-10)
=
=-(10-4)=-6;
(
-З)
+ (+12) =
= +(12 -
З)
= +9.
Сумма
противоположных
чисел
равна
нулю.
(+6) +
(-6)
=
О.
ф
:s:
Чтобы
вычесть
из
числа
а
число
Ь,
доста-
-5
-
(+З)
=
(-5)
+
(-З)
=-8;
:I:
со
точно
К
уменьшаемому
прибавить
число
4 -
(-2)
= 4 + 2 = 6.
~
т
противоположное
вычитаемому:
1i
CQ
а
-
Ь
=
а
+
(-Ь).
Произведение
двух
чисел
одного
знака
есть
число
положительное.
(-6)
.
(-2,З)
=
1З,8.
ф
:s:
:I:
Произведение
двух
чисел
с
разными
зна-
ками
есть
число
отрицательное.
(+6) .
(-2,З)
=
-1З,8.
ф
~
ф
~
:s:
Если
хотя
бы
один
из
множителей
равен
нулю,
то
и
произведение
равно
нулю.
(-З,4)
.
О
=
О;
0·7
=
О.
ф
:s:
:I:
ф
*
о
:I:
~
>-
Произведение
нескольких
чисел
есть
число
положительное,
если
число
сомно-
жителей
со
знаком
минус
четное,
и
отри-
цательное,
если
число
сомножителей
со
знаком
минус
нечетное.
(-З)
.
(-2)
. (+6) =
З6;
(-2)
. (+4) .
(+З)
=
-24.
Аналогично
производится
деление.
(+24) :
(-З)
=
-8;
(-18):
(-9)
=
2.
11