Горский Н.М. Практикум по математической статистике

Подождите немного. Документ загружается.

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ ГОСУДАРСТВЕННОЙ СЛУЖБЫ

ПРИ ПРЕЗИДЕНТЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

СИБИРСКАЯ АКАДЕМИЯ ГОСУДАРСТВЕННОЙ СЛУЖБЫ

Н. М. ГОРСКИЙ

ПРАКТИКУМ

ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ

Учебно-методическое пособие

НОВОСИБИРСК 2004

ББК 65.051я73

Г67

Издается в соответствии с планом учебно-методической работы СибАГС

Рецензенты:

А. В. Кравченко — кандидат физико-математических наук

(Институт математики СО РАН);

А. Л. Осипов — кандидат технических наук, доцент

(Сибирская академия государственной службы)

Горский Н. М.

Г67 Практикум по математической статистике: Учебно-методическое пособие.—

Новосибирск: СибАГС, 2004.— 176 с.

Состоит из двух разделов и приложения. В первом разделе даны краткие сведения

по теории статистического оценивания и проверке статистических гипотез. Для модель-

ных задач построены точечные и интервальные оценки. Приведены примеры принятия

статистических решений. Предложен ряд

задач для самостоятельного решения (с отве-

тами и без ответов). Второй раздел — вычислительный практикум по математической

статистике. Дан образец выполнения индивидуального семестрового задания и варианты

для самостоятельного решения. В приложении приведены статистические таблицы.

Предназначен для студентов, обучающихся по специальности «Государственное

и муниципальное управление». Полезен лицам, применяющим вероятностные и стати-

стические

методы при решении практических задач.

ББК 65.051я73

Г67

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие.............................................................................................................5

Введение...................................................................................................................7

Раздел Ι. Статистическое оценивание и проверка статистических гипотез .......9

1.1. Краткие сведения из теории точечных и интервальных оценок...................9

1.2. Доверительные интервалы для оценки параметров µ и

нормаль-

но распределенной генеральной совокупности

.........................................13

1.3. Построение точечных и интервальных оценок для модельных задач .......17

1.3.1 Задача об оценке массы индеек. Построение двустороннего довери-

тельного интервала для среднего при неизвестном стандартном от-

клонении. Определение объема выборки.

..................................................17

1.3.2. Задача об оценке стоимости библиотеки. Построение двусторон-

него доверительного интервала для среднего при неизвестном

стандартном отклонении. Определение объема выборки для полу-

чения заданной точности.

............................................................................21

1.4. Основные понятия статистической проверки гипотез ................................23

1.5. Основные статистики и критические области, используемые при

проверке статистических параметрических гипотез

.................................27

1.6. Проверка гипотезы о доле признака .............................................................29

1.7. Проверка гипотезы о виде распределения генеральной совокупности......30

1.8. Проверка статистических гипотез на примере модельных задач...............32

1.8.1. Задача о доле брака в партии товара. Постановка задачи о проверке

статистических гипотез. Ошибки первого и второго рода.

......................32

1.8.2. Задача об объеме заказа. Проверка статистических гипотез с по-

мощью биномиального распределения.

.....................................................34

1.8.3. Задача о корме нового типа. Проверка односторонней гипотезы для

среднего при неизвестном стандартном отклонении. Сопоставление

выборочного среднего с нормативом. Определение объема выборки

по вероятностям ошибок первого и второго рода.

....................................38

1.8.4. Задача о проверке правильности монеты. Проверка гипотезы о

доле признака.

..............................................................................................41

1.8.5. Задача о сравнении доли брака с нормативом. Проверка односто-

ронней гипотезы. Вычисление объема выборки.

......................................46

1.8.6. Задача о сравнении процента брака. Проверка двусторонней гипо-

тезы о равенстве долей признака. Вычисление объема выборки.

............49

1.8.7. Задача о производстве нового сорта зубной пасты. Проверка гипо-

тезы о доле признака.

...................................................................................50

1.8.8. Задача об оценке результатов выборов. Определение объема вы-

борки.

............................................................................................................53

1.8.9. Задача о лампочках. Проверка гипотезы о среднем при известном

стандартном отклонении.

............................................................................54

1.8.10. Задача о расходе топлива. Проверка гипотезы о среднем при из-

вестном стандартном отклонении. Вычисление ошибок первого

и второго рода. Определение объема выборки. Проверка гипотезы

о среднем на основе построения доверительного интервала.

..................56

1.8.11. Задача о целесообразности проведения рекламы. Проверка гипо-

тезы о равенстве средних при неизвестных дисперсиях.

..........................61

1.8.12. Задача о булочке с изюмом. Проверка гипотезы о параметре

рас-

пределения Пуассона.

........................................................................................64

1.9. Задачи для самостоятельного решения (с ответами)...................................69

1.10. Задачи для самостоятельного решения (без ответов)................................79

Список рекомендуемой литературы ....................................................................92

Список использованной литературы ...................................................................92

Раздел II. Вычислительный практикум по математической статистике...........93

2.1. Образец задания по математической статистике.........................................93

2.2. Образец выполнения задания по математической статистике....................94

2.3. Варианты заданий по математической статистике....................................114

Приложение .........................................................................................................159

Предисловие

Практикум по математической статистике предназначен для

самостоятельной работы студентов и может использоваться

в качестве дополнительного учебного материала при проведе-

нии практических занятий и чтении лекций. Теория вероятно-

стей и математическая статистика должны изучаться не только

для того, чтобы успешно сдать экзамен по одному из разделов

курса математики, но и с целью

применения ее к реальным яв-

лениям.

Трудно представить себе государственного служащего, ме-

неджера или предпринимателя, вычисляющего производную,

находящего неопределенный или определенный интеграл или

решающего дифференциальное уравнение в рабочее время.

Вместе с тем в повседневной работе большинства людей, а не

только специалистов в области математической статистики, мы

наблюдаем использование количественных данных

в самых раз-

личных формах. При сборе и использовании точной информа-

ции человек интуитивно применяет некоторые статистические

методы (возможно, в очень малой степени и даже не подозревая

об этом), чтобы затем эффективно использовать полученные

данные и результаты их обработки в качестве прочной основы

для своих выводов и решений.

Глубокое знание математической

теории и результатов ее

применения не требуется. Теория в данном случае работает по-

добно закону природы, но в отличие от него всегда на благо тех,

кто эту теорию применяет. Вместе с тем найдется немного об-

ластей, для которых высказывание «малое знание опасно» более

истинно, чем для теории вероятностей и математической стати-

стики: понятия иногда трудноуловимы, а неправильные ответы

обычно не являются «очевидно неправильными», как в других

областях математики.

Существо приложения статистических методов заключается

в использовании здравого смысла при анализе тех или иных

данных. Совершенно необходимо быть статистически образо-

ванным человеком в современном мире

информации и широко-

го распространения компьютеров. Неправильное применение

статистики часто является следствием простого незнания, а не

результатом преднамеренных действий. К восприятию стати-

стической информации нужно всегда подходить с благоразум-

ной осторожностью. Лучший способ избежать ошибок состоит

в том, что нужно усвоить основополагающие статистические

концепции и строго придерживаться их.

Практикум состоит из

двух разделов и приложения. В пер-

вом разделе приведены примеры использования некоторых по-

нятий теории вероятностей и математической статистики для

решения модельных практических задач, так или иначе связан-

ных с принятием решений. Второй раздел практикума — учеб-

ное пособие по выполнению семестровой расчетной работы по

математической статистике. Даны варианты семестровой рас-

четной работы по математической статистике. В приложении

приведены статистические таблицы.

Введение

Статистика возникла как наука общественная. Она появилась

в глубокой древности и была связана с такими функциями госу-

дарства, как землеустройство, налогообложение и организация

армии. Например, использование средней было хорошо известно

еще при жизни Пифагора, а упоминания о статистических обсле-

дованиях (переписях) встречаются и в библейские времена.

Развитие современной статистики началось в

XVI веке, ко-

гда правительства различных западноевропейских стран стали

заниматься сбором разного рода информации о своих гражда-

нах. Первоначально «статистикой» (statistics) называлось изуче-

ние государственных дел, а термин statists использовался для

политических деятелей, особенно хорошо осведомленных и по-

этому способных делать обоснованные политические выводы.

Позднее под словом «статистика» стали подразумевать число-

вые

данные, на основе которых государственные деятели делали

свои выводы, а еще позже его стали применять и для числовых

данных вообще. Для обозначения совокупности числовой ин-

формации лучше использовать термин «описательная статисти-

ка». Под термином «статистика» специалисты понимают опре-

деленным образом полученную числовую характеристику.

Выражение «статистический вывод» применяют для того,

чтобы выделить

в математической статистике аспект, связанный

с принятием решений. Математическая статистика является ос-

новой методов для принятия обоснованных решений в условиях

неопределенности.

Математику требуется лишь придать числовую форму не-

определенности, присущей некоторой задаче, тогда как оконча-

тельное решение в свете этой информации принимает специа-

лист в соответствующей предметной области: инженер или ру-

ководитель (менеджер). Конечно, теорию статистических выво-

дов можно применять, лишь изучив основы описательной ста-

тистики и теории вероятностей.

Одной из

причин быстрого роста статистических исследо-

ваний является возрастающая легкость обработки больших мас-

сивов чисел. Современные персональные компьютеры позволя-

ют в короткое время проанализировать огромное количество

статистических данных. Результаты обработки могут быть пред-

ставлены общественности и специалистам, пока они еще не по-

теряли своей актуальности.

При изучении и преподавании элементарных статистиче-

ских

концепций отпадает необходимость специально останавли-

ваться на вычислительных аспектах. С гораздо большей пользой

освободившееся время можно употребить для углубленного по-

нимания базовых статистических идей.

В то же время для развития этого понимания полезно неко-

торое знакомство с практической стороной работы с различны-

ми статистическими показателями.

Раздел Ι

СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ И ПРОВЕРКА

СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ

1.1. Краткие сведения

из теории точечных и интервальных оценок

Математическая статистика позволяет получать обоснован-

ные выводы о параметрах или виде распределения случайных

величин по совокупности наблюдений над ними — выборке.

Выборкой объема n из генеральной совокупности с функци-

ей распределения

(

)

называется последовательность

,,,

xxK

наблюдаемых значений случайной величины Х.

Вариационным рядом

,,,

xK x

называется способ за-

писи выборки, при котором элементы выборки упорядочивают-

ся по величине, т. е. записываются в виде последовательности

(1) (2) ( )

,,,

xxK

где

(1) (2) ( )

xx≤≤≤K

Разность между максимальным и минимальным элементами

выборки

(n) (1)

max min

xxxw

−

=−=

называется размахом выборки.

Распределение случайной величины характеризуется целым

рядом параметров. К ним мы относим и числовые характеристики:

математическое ожидание (среднее по распределению), диспер-

сию, среднеквадратичное (стандартное) отклонение, моду, медиану

и т. д. В качестве оценки параметров функции распределения и

числовых характеристик генеральной совокупности берут функции

элементов выборки — статистики. Значения статистик изменя-

ются случайным образом от выборки к выборке, т. е. статистики

являются случайными величинами. Распределения этих случайных

величин называются выборочными распределениями.

Случайные величины будем обозначать прописными (боль-

шими), а их значения строчными (маленькими) буквами.

Выборочным средним называется среднее арифметическое

элементов выборки:

∑

Это число — одна из основных характеристик выборки (на-

бора данных). Оно является значением статистики

12 1

XX X

+++

∑

где

,,,

XXK — случайные величины, каждая из которых

имеет распределение генеральной совокупности.

Исправленной выборочной дисперсией называется статистика

()

XX−

111

nnn

=−⋅

−−−

∑

Исправленная выборочная дисперсия для конкретной вы-

∑

борки вычисляется по формуле

()

xx x

111

−

nnn

=−⋅

∑∑

−−−

где

,,,

xxK — выборочные значения.