Гуменникова Ю.В., Лаврусь О.Е. (сост.) Методические указания и контрольные задания по предмету Элементы векторной алгебры для студентов первых курсов всех специальностей очной формы обучения
Подождите немного. Документ загружается.
1
Министерство транспорта Российской Федерации
Федеральное агентство железнодорожного транспорта
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ»
Кафедра высшей математики
ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
для студентов первых курсов всех специальностей
очной формы обучения
Составители: Ю.В. Гуменникова
О.Е. Лаврусь
Самара
2010
2638
2
УДК 519.7
Элементы векторной алгебры : методические указания и задания для студентов
первых курсов всех специальностей очной формы обучения / составители :
Ю.В. Гуменникова, О.Е. Лаврусь. – Самара : СамГУПС, 2010. – 32 с.
Утверждены на заседании кафедры 15.09.2010 г., протокол № 2.
Печатается по решению редакционно-издательского совета университета.
Методические указания составлены в соответствии с Государственным
образовательным
стандартом, с действующей программой по высшей математике и
охватывают основные разделы векторной алгебры.
В методических указаниях приведены индивидуальные задания, необходимые
теоретические сведения, а также примеры решения задач.
Предназначены для студентов 1-го курса всех специальностей очной формы
обучения.
Составители: Ю.В. Гуменникова, к.ф.-м.н., доцент
О.Е. Лаврусь, к
.т.н., доцент
Рецензенты: к. ф.-м. н., доцент СамГУ Г.В. Воскресенская;
к. ф.-м. н., доцент СамГУПС Л.В. Кайдалова
Под редакцией составителей
Подписано в печать 28.09.2010. Формат 60×90 1/16.
Усл. печ. л. 2,0. Заказ № 225.
© Самарский государственный университет путей сообщения, 2010
3
1. Векторы
Вектором называется направленный отрезок. Если начало вектора находится в точке
A, а конец в точке B, то вектор обозначается
AB
:
B
A
Если начало и конец вектора не указываются, то его обозначают строчной буквой
латинского алфавита –
a
, b ,
c
и т. д:
a
b
c
Направление вектора изображается стрелкой. Через
B
A
обозначается вектор,
направленный противоположно
AB
, через
a−
вектор, направленный противоположно
a
.
B
A
B
A
a a−
Вектор, у которого начало и конец совпадают, называется нулевым и обозначается
0
.
Длиной, или модулем вектора, называется расстояние между его началом и концом.
Записывается
AB
или
a
, соответственно.
Векторы называются коллинеарными, если они параллельны одной прямой, и
компланарными, если они параллельны одной плоскости.
Два вектора называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и
равны по длине.
Два вектора называются ортогональными, если они перпендикулярны друг другу.
Свободным вектором в пространстве называется вектор, который без изменения
дины и направления
может быть перенесен в любую точку пространства.
2. Линейные операции над векторами
К линейным операциям над векторами относятся: умножение вектора на число и
сложение (вычитание) векторов.
Произведением вектора
a
на число m называется вектор
am
, направление которого
совпадает с направлением вектора
a
, если m > 0 и противоположно ему, если m < 0.
Длина вектора обозначается
am ⋅
или
am
. Например:
a
a3−
a2
4
Сумму (разность) двух свободных векторов можно найти по правилу
параллелограмма.
Пример. Даны свободные векторы
a
и
b
:
a b
Поместим их начала в одну точку и достроим до параллелограмма:
c
a
b
d
Тогда вектор
c
=
a
+ b направлен по диагонали, берущей начало из этой же точки, а
вектор
d
=
a
– b будет направлен по другой диагонали параллелограмма от
вычитаемого к уменьшаемому.◄
Если векторов больше двух, то применяют правило многоугольника, согласно
которому векторы помещают последовательно (начало последующего помещается в
конец предыдущего), а суммой векторов будет являться вектор, начало которого
находится в начале первого вектора, а конец – в конце последнего вектора.
Пример.
Даны векторы
a
, b ,
c
:
c
b
a
Найти линейную комбинацию
cbad 32 +−=
.
Решение. Найдем векторы 2
a
, – b , 3
c
:
c3
b−
a2
Применив правило многоугольника, получаем
c3
b−
a2
d
5
l
a
M
φ
N
3. Проекция вектора на ось. Координаты вектора
Если взять ось l и вектор
a
и опустить перпендикуляр из конца
вектора
a
на ось l, то получим отрезок MN, который является проекцией
вектора
a
на ось l.
Итак, проекцией вектора
a
на ось l называется число, обозначаемое
пр
l
a
и равное
ϕ
cos⋅a
, где
ϕ
∠
– угол между положительным
направлением оси l и направлением вектора
a
(длина отрезка MN).
Если свободный вектор
a
перенести в координатное пространство (декартову
систему координат) Oxyz, то он может быть представлен в виде
kajaiaa
zyx
++=
.
a
z
a
0
a
y
a
x
x
y
z
i
j
k
Такое представление вектора
a
называется его разложением по осям координат или
разложением по ортам.
Здесь a
x
, a
y
, a
z
– проекции вектора
a
на соответствующие оси координат (их
называют координатами вектора
a
);
i
,
j
,
k
– орты этих осей (единичные векторы,
направление которых совпадает с положительным направлением соответствующей оси).
Векторы
ia
x
,
ja
y
,
ka
z
, в виде суммы которых представлен вектор
a
, называются
составляющими (компонентами) вектора
a
по осям координат.
Применяется также запись
a
= (a
x
, a
y
, a
z
).
Длина (модуль) вектора
a
обозначается
a
и определяется по формуле
a
=
222
zyx
aaa ++
.
6
Направление вектора
a
определяется углами α, β, γ, образованными вектором
a
с
осями координат Ox, Oy, Oz. Косинусы этих углов (так называемые направляющие
косинусы вектора) определяются по формулам:
222
cos
zyx
xx
aaa
a
a
a
++
==
α
,
222
cos
zyx
yy
aaa
a
a
a
++
==
β
,
222
cos
zyx
zz
aaa
a
a
a
++
==
γ
.
Направляющие косинусы вектора связаны соотношением
1coscoscos
222
=++
γβα
.
Если векторы
a
и b заданы их разложениями по ортам, то их сумма и разность
определяются по формулам:
()
(
)
()
kbajbaibaba
zzyyxx
+++++=+ ,
()
(
)
()
kbajbaibaba
zzyyxx
−+−+−=−
.
Произведение вектора
a
на скалярный множитель m определяется по формуле
kmajmaimaam
zyx
++=
.
В частности, если
a
m
1
=
, то вектор
a
a
имеет длину, равную единице, и
направление, совпадающее с направлением вектора
a
. Этот вектор называют единичным
вектором (ортом) вектора
a
и обозначают
0
a
. Нахождение единичного вектора того же
направления, что и данный вектор
a
, называется нормированием вектора
a
.
Вектором
ОМ
, начало которого находится в начале координат, а конец – в точке
M(x, y, z) называют радиус-вектором точки M и обозначают
r
(M) или просто
r
. Так как
его координаты совпадают с координатами точки
M, то его разложение по ортам
имеет вид
kzjyixr ++=
.
Вектор
A
B , имеющий начало в точке A(x
1
, y
1
, z
1
) и конец в точке B(x
2
, y
2
, z
2
) может
быть записан в виде
12
rrAB −=
, где
2
r
– радиус-вектор точки B, а
1
r
– радиус-вектор
точки
A. Поэтому разложение вектора AB по ортам имеет вид
()()()
kzzjyyixxAB
121212
−+−+−=
.
4. Деление отрезка в данном соотношении
Пусть на произвольной прямой задан отрезок
AB. Тогда всякая точка C этой прямой
делит отрезок
AB в некотором отношении λ = ± |AC|:|CB|. Если отрезки AC и CB
7
направлены в одну сторону (т.е. точка C лежит внутри отрезка AB), то λ приписывают
знак «+». Если же отрезки
AC и CB направлены в противоположные стороны (т.е. точка
C лежит вне отрезка AB), то λ приписывают знак «–».
Если точка
A имеет координаты (x
1
, y
1
, z
1
), а точка B – координаты (x
2
, y
2
, z
2
), то
координаты точки
C (
x
, y ,
z
) определяются по формулам:
λ
λ
+
+
=
1
21
xx
x
;
λ
λ
+
+
=
1
21
yy
y
;
λ
λ
+
+
=
1
21
zz
z
.
В частности, если точка
C делит отрезок AB пополам, то λ = 1 и координаты точки
C(
x
,
y
,
z
) определяются по формулам:
2
21
xx
x
+
=
;
2
21
yy
y
+
=
;
2
21
zz
z
+
=
.
5. Скалярное произведение векторов и его приложения
Скалярным произведением двух векторов
a
и b называется число
bac ⋅=
,
равное
произведению данных векторов на косинус угла между ними
()
bababa
∧
⋅⋅=⋅ cos
,
где
(
)
ba^
обозначает меньший угол между направлениями векторов
a
и b , причем
всегда
()
π≤≤ b^a0
.
Свойства скалярного произведения векторов:
1)
abba ⋅=⋅
;
2)
()
(
)
(
)
bababa ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅
λλλ
;
3)
(
)
cabacba ⋅+⋅=+⋅
;
4)
abbaba
b
a
npnp ⋅=⋅=⋅
;
5)
2
aaa =⋅
;
6)
a
·b = 0 ↔
a
⊥b , т.е. если ненулевые векторы ортогональны.
Если векторы
a
и b разложены по осям координат, т. е.
(
)
zyx
a,a,aa =
и
(
)
zyx
b,b,bb =
, то скалярное произведение находится по формуле
zzyyxx
babababa ⋅+⋅+⋅=⋅
,
т. е. сумме произведений соответствующих координат.
С помощью скалярного произведения можно определить угол между векторами:
()
222222
zyxzyx
zzyyxx
bbbaaa
bababa
ba
ba
b^acos
++⋅++
++
=
⋅
⋅
=
.
Работа
A силы
F
, произведенная этой силой при перемещении тела на пути |S|,
определяемом вектором
S , вычисляется по формуле
(
)
SFcosSFSFA
∧
⋅⋅=⋅=
.
8
Задание 1
По координатам точек
A, B и C для указанных векторов найти:
а) модуль вектора
a
;
б) скалярное произведение векторов
a
и b ;
в) проекцию вектора
c
на вектор d ;
г) координаты точки
M, делящей отрезок l в отношении α:β;
д) угол между векторами
a
и b ;
е) направляющие косинусы вектора
d .
1.1.
A(4, 6, 3), B(– 5, 2, 6), C(4, – 4, – 3),
a
= 4CB –
A
C , b =
A
B
,
c
= CB , d =
A
C ,
l = AB, α = 5, β = 4.
1.2.
A(4, 3, – 2), B(– 3, – 1, 4), C(2, 2, 1),
a
= – 5 AC + 2 CB , b =
A
B
,
c
= AC , d = CB ,
l = BC, α = 2, β = 3.
1.3.
A(– 2, – 2, 4), B(1, 3, – 2), C(1, 4, 2),
a
= 2 AC – 3
B
A
, b = BC ,
c
= BC , d = AC ,
l = BA, α = 2, β = 1.
1.4.
A(2, 4, 3), B(3, 1, – 4), C(– 1, 2, 2),
a
= 2
B
A
+ 4 AC , b =
B
A
,
c
= b , d = AC ,
l = BA, α = 1, β = 4.
1.5.
A(2, 4, 5), B(1, – 2, 3), C(– 1, – 2, 4),
a
= 3
A
B
– 4 AC , b = BC ,
c
= b , d =
A
B
,
l = AB, α = 2, β = 3.
1.6.
A(– 1, – 2, 4), B(– 1, 3, 5), C(1, 4, 2),
a
= 3 AC – 7 BC , b =
A
B
,
c
= b , d = AC ,
l = AC, α = 1, β = 7.
1.7.
A(1, 3, 2), B(– 2, 4, – 1), C(1, 3, – 2),
a
= 2
A
B
+ 5 CB , b = AC ,
c
= b , d =
A
B
,
l = AB, α = 2, β = 4.
1.8.
A(2, – 4, 3), B(– 3, – 2, 4), C(0, 0, – 2),
a
= 3 AC – 4 CB , b =
c
=
A
B
, d = CB ,
l = AC, α = 2, β = 1.
1.9.
A(3, 4, – 4), B(– 2, 1, 2), C(2, – 3, 1),
a
= 5 CB + 4 AC , b =
c
=
B
A
, d = AC ,
l = BA, α = 2, β = 5.
1.10.
A(0, 2, 5), B(2, – 3, 4), C(3, 2, – 5),
a
= – 3
A
B
+ 4 CB , b =
c
= AC , d =
A
B
,
l = AC, α = 3, β = 2.
9
1.11.
A(– 2, – 3, – 4), B(2, – 4, 0), C(1, 4, 5),
a
= 4 AC – 8 BC , b =
c
=
A
B
, d = BC ,
l = AB, α = 4, β = 2.
1.12.
A(– 2, – 3, – 2), B(1, 4, 2), C(1, – 3, 3),
a
= 2 AC – 4 BC , b =
c
=
A
B
, d = AC ,
l = BC, α = 3, β = 1.
1.13.
A(5, 6, 1), B(– 2, 4, – 1), C(3, – 3, 3),
a
= 3
A
B
– 4 BC , b =
c
= AC , d =
A
B
,
l = BC, α = 3, β = 2.
1.14.
A(10, 6, 3), B(– 2, 4, 5), C(3, – 4, – 6),
a
= 5 AC – 2 CB , b =
c
=
B
A
, d = AC ,
l = CB, α = 1, β = 5.
1.15.
A(3, 2, 4), B(– 2, 1, 3), C(2, – 2, – 1),
a
= 4 BC – 3 AC , b =
B
A
,
c
= AC , d = BC ,
l = AC, α = 2, β = 4.
1.16.
A(– 2, 3, – 4), B(3, – 1, 2), C(4, 2, 4),
a
= 7 AC + 4 CB , b =
c
=
A
B
, d = CB ,
l = AB, α = 2, β = 5.
1.17.
A(4, 5, 3), B(– 4, 2, 3), C(5, – 6, – 2),
a
= 9
A
B
– 4 BC , b =
c
= AC , d =
A
B
,
l = BC, α = 5, β = 1.
1.18.
A(2, 4, 6), B(– 3, 5, 1), C(4, – 5, – 4),
a
= – 6 BC + 2
B
A
, b =
c
= CA, d =
B
A
,
l = BC, α = 1, β = 3.
1.19.
A(– 4, – 2, – 5), B(3, 7, 2), C(4, 6, – 3),
a
= 9
B
A
+ 3 BC , b =
c
= AC , d = BC ,
l = BA, α = 4, β = 3.
1.20.
A(5, 4, 4), B(– 5, 2, 3), C(4, 2, – 5),
a
= 11 AC – 6
A
B
, b = BC ,
c
=
A
B
, d = AC ,
l = BC, α = 3, β = 1.
1.21.
A(3, 4, 6), B(– 4, 6, 4), C(5, – 2, – 3),
a
= – 7 BC + 4CA, b =
B
A
,
c
= CA, d = BC ,
l = BA, α = 5, β = 3.
1.22.
A(– 5, – 2, – 6), B(3, 4, 5), C(2, – 5, 4),
a
= 8 AC – 5 BC , b =
c
=
A
B
, d = BC ,
l = AC, α = 3, β = 4.
1.23.
A(3, 4, 1), B(5, – 2, 6), C(4, 2, – 7),
a
= – 7 AC + 5
A
B
, b =
c
= BC , d = AC ,
10
l = AB, α = 2, β = 3.
1.24.
A(4, 3, 2), B(– 4, – 3, 5), C(6, 4, – 3),
a
= 8 AC – 5 BC , b =
c
=
B
A
, d = AC ,
l = BC, α = 2, β = 5.
1.25.
A(– 5, 4, 3), B(4, 5, 2), C(2, 7, – 4),
a
= 3 BC + 2
A
B
, b =
c
= CA, d =
A
B
,
l = BC, α = 3, β = 4.
1.26.
A(6, 4, 5), B(– 7, 1, 8), C(2, – 2, – 7),
a
= 5 CB – 2 AC , b =
A
B
,
c
= CB , d = AC ,
l = AB, α = 3, β = 2.
1.27.
A(6, 5, – 4), B(– 5, – 2, 2), C(3, 3, 2),
a
= 6
A
B
– 3CB , b =
c
= AC , d = CB ,
l = BC, α = 1, β = 5.
1.28.
A(– 3, – 5, 6), B(3, 5, – 4), C(2, 6, 4),
a
= 4 AC – 5
B
A
, b = CB ,
c
=
B
A
, d = AC ,
l = BA, α = 4, β = 2.
1.29.
A(3, 5, 4), B(4, 2, – 3), C(– 2, 4, 7),
a
= 3
B
A
– 4 AC , b =
A
B
,
c
=
B
A
, d = AC ,
l = BA, α = 2, β = 5.
1.30.
A(4, 6, 7), B(2, – 4, 1), C(– 3, – 4, 2),
a
= 5
A
B
– 2 AC , b =
c
= BC , d =
A
B
,
l = AB, α = 3, β = 4.
Пример решения задания 1
По координатам точек
A(– 5, 1, 6), B(1, 4, 3) и C(6, 3, 9) найти:
а) модуль вектора
a
= 4
A
B
+
B
C ;
б) скалярное произведение векторов
a
и b =
B
C ;
в) проекцию вектора
c
= b на вектор d =
A
B
;
г) координаты точки
M, делящей отрезок l = AB в отношении 1:3;
д) угол между векторами
a
и b ;
е) направляющие косинусы
d .
►а) Последовательно находим
A
B
= (6, 3, – 3), BC = (5, – 1, 6), 4
A
B
+ BC = (29, 11, – 6),
()
998611294
2
22
=−++=+ BCAB
;
б) Имеем:
a
= (29, 11, – 6), b = (5, – 1, 6). Тогда
a
·b =29·5 + 11·(– 1) + (– 6)·6 = 98;
в) Так как
пр
d
c
=
d
dc ⋅
, d = (6, 3, – 3),