Гусак А.А., Бричикова Е.А. Теория вероятностей. Справочное пособие к решению задач
Подождите немного. Документ загружается.
А.А.
Гусак
.
Е.А.
Бричикова
ТЕОРИЯ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Справочное
пособие
к
решению
задач
Издание
4-е,
стереотипное
МИНСК
ТетраСистемс
2003
УДК 51(076.1)
ББК
22.1 1
я73
Г96
Авторы:
кандидат
Физико-мате.llютичеСКllХ
наук.
профессор
А.А.
Гусак;
доцент
Белорусского
национального
теХНlIческого
университета
Е.А.
Бричикова
Рецензенты:
кандидат
физuко-математuческих
наук,
профессор
А.А.
Дадаян;
кандидат
физико-математuческих
наук,
доцент
В.И.
Яшкин
Гусак
А.А.
Г96 Теория
вероятностей.
Справочное
пособие
к
решению
задач.!
А.А.
Гусак,
Е.А.
Бричикова.
-
Изд-е
4-е,
стереотип.-
Мн.:
ТетраСис
теме,
2003. - 288
с.
ISBN 985-470-138-7.
Справочное
пособие
предназначено
для
обучения
студентов
по
учебному
курсу
"Теория
вероятностей".
Оно
поможет
при
подготовке
к
практиче.СКИМ
заня
тиям,
зачетам
и
экзаменам,
а
студентам
заочных
отделений
-
самостоятельно
выпол~ть
контрольные
работы.
В
книгу
включены
разделы:
события
и
вероятности;
случайные
величины,
их
распределения
и
числовые
характеристики;
некоторые
законы
распределения
случайных
величин;
закон
больших
чисел,
предельные
теоремы.
Пособие
содер
жит
около
350
примеров
с
подробными
решениями.
В
конце
каждого
параграфа
помещены
задачи
для
самостоятельного
ре
шения,
ответы
к
ним.
Адресуется
студентам
и
преподавателям
вузов.
ISBN 985-470-138-7
УДК 51(076.1)
ББК
22.lIя73
©
Гусак
АА,
Бричикова
Е.А.,
1999
©
Оформление.
НТООО
"ТетраСистемс",
2003
ВВЕДЕНИЕ
Справочное
пособие
к
решению
задач
по
высшей
математике
из-
дается
в
четырех
частях:
•
Аналитическая
геометрия
и
линейная
алгебра.
•
Математический
анализ
и
дифференциальные
уравнения.
•
Теория
вероятиостеЙ.
•
Теория
функций
комплексной
переменной
и
операционное
ис
числение.
Данная
книга
предназначена
для
обучения
студентов
вузов
по
разделу
курса
высшей
математики
"Теория
вероятностей".
Книга
включает
следующие
разделы:
события
и
вероятности;
случайные
вели
чины,
их
распределение
и
числовые
характеристики;
некоторые
законы
распределения
случайных
величин;
закон
больших
чисел,
предельные
TeopeMbi;
из
истории
возникновения
и
развития
теории
вероятностей.
Пособие
имеет
следующую
структуру.
В
начале
каждого
пара
графа приводятся
теоретические
сведения:
определения
основных
поня
тий,
формулировки
теорем,
соответствующие
формулы.
Далее
следуют
rtримеры
решения типовых
задач
различной
степени
трудности.
Затем
предлагаются
задачи
для
самостоятельного
решения.
Приведены
ответы
к
задачам,
к
некоторым
из
них
даны
указания.
Каждый
параграф
завер
шается
вопросами
теоретического
характера,
чтобы
читатель
смог
про
контролировать
свои
знания
изучаемого
материала.
В
конце
книги
со
общены
ответы
на
некоторые
вопросы.
Пятая
глава
содержит
краткий
очерк
возникновения
и
развития
теории
вероятностей.
Книгу
завершает
биографический
словарь,
в
котором
приведены
краткие
сведения
о
жиз
ни
и
деятельности
ученых,
чьи
научные
исследования
были
посвящены
проблемам
теории
вероятностей.
3
События
и
вероятности,
случайные
величины,
законы
распределения
случайных
величин,
закон
больших
чисел,
предельные
теоремы.
Глава
1.
События
и
вероятности
§ 1.1.
Классификация
событий
Опытом,
или
исnьiтанием,
называют
всякое
осуществление
опре
деленного
комплекса
условий
или
действий,
при которых
происходит
соответствующее
явление.
Возможный
результат
опыта
называют
со
бытием.
Например,
опытом
является
подбрасывание
монеты,
а
собы
тиями
"герб",
"цифра
на
верхней
ее
стороне"
(когда
монета
упадет).
Опытами
являются
стрельба
по
мишени,
извлечение
шара
из
ящика
и
т.п.
События
будем
обозначать
заглавными
буквами
латинского
алфави
та
А,
В,
С,
...
Событие
называется
достоверны.м
в
данном
опыте,
если
оно
обяза
тельно
про
изойдет
в
этом
опыте.
Например,
если
в
ящике
находятся
только
голубые
шары,
то
событие
"из
ящика
извлечен
голубой
шар"
яв
ляется
достоверным
(в
ящике
нет
шаров
другого
цвета).
Событие
называется
невозможным
в
данном
опыте,
если
оно
не
может
произойти
в
этом
опыте.
Так,
если
в
ящике
находятся
только
красные
шары,ТО
событие
"из
ящика
извечен
голубой
шар"
является
невозможным
(таких
шаров
в
ящике
нет).
Событие
называется
случайным
в
данном
опыте,
если
оно
может
произойти,
а
может
и
не
произойти
в
этом
опыте.
Например,
если
в
ящике
находятся
n
голубых
и
т
красных
шаров,
одинаковы
по
размеру
и
весу,
то
событие
"из
урны
извлечен
голубой
шар"
является
случайным
(оно
может
произойти,
а
может
и не
произойти,
поскольку
в
урне
име
ются
не
только
голубые,
но
и
красные
шары).
Случайными
событиями
являются
"герб"
и
"цифра
на
верхней
стороне
монеты
при
ее
подбрасы
вании",
"попадание
и
промах
при
стрельбе
по
мишени",
"выигрыш
по
билету
лотереи"
и
Т.П.
3
а
м
е
ч
а
н
и
е.
Приведенные
примеры
свидетельствуют
о
том,
что
одно
и
то
же
событие
в
некотором
опыте
может
быть
достоверным,
в
другом
-
невоз
мож'ным,
в
третьем
-
случайным.
Говоря
о
достоверности,
невозможности,
слу·
4
чайнасти
события,
имеют
в
виду
его
достоверность,
невозможность,
случай
ность
по
отношению
к
конкретному
опыту,
Т.е.
к
наличию
определенного
ком
плекса
условий
или
действий.
Два
события
называются
совместными
в
данном
опыте,
если
появ
ление
одного
из
них
не
исключает,
появление
другого
в
этом
опыте.
Так,
при
подбрасывании
двух
симметричных
монет,
события
А
-
"герб
на
верхней
стороне
первой
монеты"
и
В
-
"цифра
на
верхней
стороне
вто
рой монеты"
являются
совместными.
Два
события
называются
несовместными,
если
они
не
могут
про
изойти
вместе
при
одном
и
том
же
испытании.
Например,
несовместны
ми
являются
попадание
и
промах
при
одном
выстреле.
Несколько
событий
называются
несовместными,
если
они
попарно
несовместны.
Два
события
называются
противоположными,
если
появление
од
ного
из
них
равносильно
непоявлению
другого. Так,
противоположными
являются
события
"герб"
и
"цифра"
при
одном
подбрасывании
симмет
ричной
монеты.
Если
одно
из
противоположных
событий
обозначено
буквой
А,
то
другое
обозначают
А
.
Например,
если
А
-
"попадание",
то
А
-
"промах"
при
одном
выстреле по
мишени.
Множество
событий
A
J
,
А
ъ
...
,
А
n
называют
полной
группой
собы
тий,
если
они
попарно-несовместны;
появление
одного
и
только
одного
из
них
является
достоверным
событием.
Поясним
понятие
полной
груп
пы
событий
на
следующем
примере.
Рассмотрим
события,
появляющие
ся
при
подбрасывании
игрального
кубика
(т.е.
кубика,
на
гранях
которо
го
записаны
цифры
1,2,3,4,5,6
или
изображены
знаки,
соответствую
щие
этим
цифрам).
Когда
кубик
упадет,
то
верхней
гранью
окажется
грань
с
одной
из
Этих
цифр.
Событие:
"верхней
гранью
оказалась
грань
с
цифрой
k"
обозначим
через
A
k
(k =
1,2,
3, 4, 5, 6).
События
А
J,
А
2
,
Аз,
А
4
,
А
5
,
А
6
образуют
полную
группу:
они
попарно-несовместны;
появ
ление
одного
и
только
одного
ИJ
них
является
достоверным
событием
(когда
кубик
упадет,
то
только
одна
из
граней
окажется
верхней,
на
ней
написана
только
одна
из
цифр
От
1
до
6).
События
считают
равновозможными,
если
нет
оснований
полагать,
что
одно
событие
является
более
возможным,
чем
другие.
Например,
при
подбрасывании
монеты
событие
А
(появление
цифры)
и
событие
В
(появление
герба)
равновозможны,
так как
предполагается,
что
монета
изготовлена
из
однородного
материала,
имеет
правильную
цилиндриче
скую
форму
и
наличие чеканки
не
влияет
на
то,
какая
сторона
монеты
(герб
или
цифра)
окажется
верхней.
При
подбрасывании
игрального
кубика
события
A
J
,
А
ъ
Аз,
А
4
,
А
5
,
А
6
являются
равНОВОЗМОЖНЫ1vlи,
по
скольку
предполагается,
что
кубик
изготовлен
из
однородного
материа'-
5
ла,
имеет
правильную
форму
и
наличие
цифр
(или очков) на
гранях
не
влияет
на
то,
какая
из
шести
граней
окажется
верхней.
Каждое
событие,
которое
может
наступить
в
итоге
опыта,
называет
ся
элементарным
исходом
(элементарным
событием,
или
шансом).
Например,
события
А"
А
2
,
Аз,
А
4
,
А
5
,
А
6
-
элементарные
исходы
при
под
брасывании
кубика.
Элементарные
исходы,
при которых
данное
событие
наступает,
на
зьmаются
благоприятствующими
этому
событmo, или
благоприятными
шансами.
Так,
при
подбрасывании
игрального
кубика
элементарные
исходы
А
2
,
А
4
,
А
6
являются
благоприятствующими
событию
"выпало
четное
число
очков".
При
м
е
р
1.
Подбрасываются
два
игральных
кубика,
подсчитывают
ся
суммы
выпавших
очков
(суммы
числа
очков
на
верхних
гранях
обоих
кубиков).
Сумма
выпавших
очков
на
двух кубиках
может
меняться
от
2
до
12.
Записать
полную
группу
событий
в
этом
опыте.
Реш
е н и
е.
Полную
группу
событий
образуют
равновозможные
эле
ментарные
исходы
(k;
т),
k,
т
=
1,2,
3, 4, 5, 6,
представленные
в
табли
це
1.1.
Элементарный
исход
(k;
т)
означает,
что
на
первом
кубике
выпа
ло
k
очков,
на
втором
т
очков
(k,
т
=
1,2,3,4,5,6).
Например,
(3; 4) -
на
первом
кубике
3
очка,
на
втором
- 4
очка.
Таблица
1.1.
(1;
1)
(2;1) (3;1) (4;1)
(5;
1)
(6;1)
(1
;2)
(2;2) (3;2) (4;2)
(5;2)
(6;2)
(1
;3) (2;3) (3;3) (4;3)
(5;3) (6;3)
(1;4) (2;4) (3;4)
(4;4) (5;4) (6;4)
(1;5) (2;5) (3;5)
(4;5) (5;5) (6;5)
(1;6) (2;6) (3;6)
(4;6) (5;6)
(6;6)
При
м
е
р
2.
Сколько
элементарных
исходов
б.лагоприятствует
собы
тmo
"на
обоих
кубиках
выпало
одинаковое
число
очков"
при
подбрасы
вании
двух
игральных
кубиков?
Реш
е
н
и
е.
Этому
событию
благоприятствуют
6
элементарных
исхо
дов
(см.
табл.
1.1): (1;1), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6;6).
При
м
е
р
з.
Подбрасывается
два
игральных
.кубика.
Какому
событию
благоприятствует
больше
элементарных
исходов:
"сумма
выпавших
оч-
ков
равна
7",
"сумма
выпавшиХ
очков
равна
8"? .
6
Реш
е н
и
е.
Событюо
"сумма
выпавших
очков
равна
Т'
благоприятст
вуют
6
исходов
(см.
табл.
1.1): (1;6), (2;5), (3;4), (4;3), (5;2), (6;1).
Собы
тюо"
"сумма
выпавших
очков
равна
8"
благоприятствуют
5
исходов:
(2;6), (3;5), (4;4), (5;3), (6;2).
Следовательно,
первому
событюо
благо
приятствует
больше
элементарных
исходов.
11
Р
и
м
е
р
4.
Подбрасываются
три
игральных
кубика,
подсчитывают
ся
суммы
очков,
выпавших
на
них.
Сколькими
способами
можно
полу
чить
в
сумме
5
очков,
6
очков?
Реш
е
н и е.
Получить
в
сумме
5
очков
можно
шестью
способами:
(1;1;3), (1;3;1), (3;1;1), (1;2;2), (2;1;2), (2;2;1).
Получить
в
сумме
6
очков
можно
десятью
способами:
(1; 1 ;4),
(1
;4;
1),
(4;
1;
1),
(1
;2;3),
(1
;3;2), (2; 1 ;3),
(2;3;1), (3;1;2), (3;2;1), (2;2;2).
З
а
м
е ч а
н и
е.
Запись
(3
;2;
1)
означает,
что
на
первом
кубике
вьmало
3
оч
ка,
на
втором
-
,2,
на
третьем
-
1.
Задачи
1.
Являются
ли
несовместными
следующие
события:
а)
опыт
-
подбрасывание
симметричной
монеты;
события:
А
-
"появление
герба",
В
-
"появление
цифры";
б)
опыт
-
два
выстрела
по
мишени;
события:
А
-
"хотя
бы
одно
попадание";
В
-
"хотя
бы
один
промах".
\
2.
Являются
ли
равновозможными
следующие
события:
а)
опыт
-
подбрасывание
симметричной
монеты;
события:
А
-
"появление
герба",
В
-
"появление
цифры";
б)
опыт
-
подбрасьmание
ПО
гнутой
монеты;
события:
А
-
"появ
ление
герба",
В
-
"появление
цифры";
В)
опыт
-
выстрел
по
мишени;
события:
А
-
"попадание",
В
-
"промах".
3.
Образуют
ли
полную
группу
событий
следующие
события:
а)
опыт
-
подбрасывание
симметричной
монеты;
события:
А
-
"герб",
В
-
"цифра";
б)
опыт
-
подбрасывание
двух
симметричных
монет;
события:
А
-
"два
герба",
В
-
"две
цифры".
4.
Опыт
-
подбрасывание
двух
игральных
кубиков.
Сколько
элемен
тарных
исходов
благоприятствуют
событюо
-
выпало
очков:
2,
3,
4,
5,
6,
7,8,9,10,11,12?
5.
Опыт
-
подбрасывание
трех
игральных
кубиков.
Сколько
всего
элементарных
исходов?
Сколько
элементарных
исходов
благоприятст-
7
вуют
событшо
-
на
трех
кубиках
выпало
очков:
3,4,5,6,
7,
8,9,
10,
11,
121
Каково
наибольшее
значение
суммы
выпавших
очков?
Ответы
1.
а)
да;
б)
нет.
2.
а)
да;
б) нет;
В)
в
общем
случае
нет
.
3.
а)
да;'
б)
нет
.
4.
1,2.
3-,4,5,6,5,4
, 3,
2,
1.
5.n=6
3
=216;
],3,6,
]0,
15,2],25,27,27,25
; ]8.
Вопросы
1.
Что
назьшают
опытом,
или
испытанием?
2.
Что
называют
событием?
3.
Какое
событие
называют
достоверным
в
данном
опыте?
4.
Какое
событие
называют
невозможным
в
данном
опыте?
5.
Какое
с.обытие
называют
случайным
в
данном
опыте?
6.
Какие
события
назьшают
совместными
в
данном
опыте?
7.
Какие
события
называют
несовместныи
в
данном
опыте?
8.
Какие
события
называют
противоположными?
9.
Какие
события
считают
равно
возможными?
1
О
,
Что
называют
полной
группой
событий?
1
1.
Что
назьmают
элементарным
исходом?
12.
Какие
элементарные
исходы
назьmают
благоприятствующими
данному
событию?
Iз.
Что
представляет
собой
полная
группа
событий
при
подбрасы
вании
одной
монеты?
{4.
Что
представляет
собой
полная
группа
событий
при
подбрасы
вании
двух
монет?
§ 1.2.
Классическое
определение
вероятности
ВерояmносmblО
события
называется
отношение
числа
элементарных
исходов,
благоприятствующих
данному
событию,
к
числу
всех
равно
возможных
исходов
опыщ
в
котором
может
появиться
это
.
событие
.
Вероятность
события
А
обозначают
через
Р(А)
(здесь
Р
-
первая
буква
французского
слова
probabiLite -
вероятность).
В
соответствии
с
опреде
лением
Р(А)=
т
,
(1.2
.
1)
n
где
т
-
число
элементарных
исходов,
благоприятствующИх
событию
А;
ri
-
чЙсло
всех
равновозможных
элементарных
исходов
опыта,
образую
щих
полную
группу
событий.
Это
определение
вероятности
называют
классическим.
Оно
возник-
ло
на
начальном
этапе
развития
теории
вероятностей.
8
Вероятность
события
имеет
следующие
свойства:
1.
Вероятность
достоверного
события
равна
единице.
Обозначим
дос
товерное
событие
буквой
и.
Для
достоверного
события
т
= n,
поэтому
р(и)
= 1. (1.2.2)
2.
Вероятность
невозможного
события
равна
нулю.
Обозначим
невозможное
событие
буквой
v.
Для
невозможного
события
т
=
О,
по
этому
P(v)
=0.
(1.2.3)
3.
Вероятность
случайного
события
выражается
положительным
числом,
меньшим
единицы:
Поскольку
для
случайного
события
А
вы
т
полняются
неравенства
О
< т <
n,
или
О
< - <
1,
то
n
0<
Р(А)<I.
(1.2.4)
4.
Вероятность
любого
события
В
удовлетворяет
неравенствам
о
~
Р(В)
~
1. (1.2.5)
Это
следует
из
соотношений
(1.2.2) - (1.2.4).
При
м
е
р
1.
В
урне
1
О
одинаковых
по
размерам
и
весу
шаров,
из
ко
торых
4
красных
и
6
голубых.
из
урны
извлекается
один
шар.
Какова
вероятность
того,
что
извлеченный
шар
окажется
голубым?
Реш
е н
и
е.
Событие
"извлеченный
шар
оказался
голубым"
обозначим
буквой
А.
Данное
ИСllытание
имеет
1
О
равновозможных
элементарных
исходов,
из
которых
6
благоприятствуют
собьпию
А.
В
соответствии
с
формулой
(1.2.1)
получаем
6
Р(А)
= - = 0,6.
10
При
м
е
р
2.
Все
натуральные
числа
от
1
до
30
записаны
на
одинако
вых
карточках
и
помещены
в
урну.
После
тщательного
перемешивания
карточек
из
урны
извлекается
одна
карточка.
Какова
вероятность
того,
что
число
на
взятой
карточке
окажется
кратным
5?
Реш
е
н
и
е.
Обозначим
через
А
событие
"число
на
взятой
карточке
кратно
5".
В
данном
испытании
имеется
30
равновозможных
элементар
ных
исходов,
из
которых
событию
А
благоприятствуют
6
исходов
(числа
5, 1
О,
15,
20, 25, 30).
Следовательно,
9
6
Р(А)=-=02.
30 '
При
м
е
р
з.
Подбрасываются
два
игральных
кубика,
подсчитывается
сумма
очков
на
верхних
гранях.
Найти
вероятность
события
В,
состоя
щего
в
том,
что
на
верхних
гранях
кубиков
в
сумме
будет
9
очков.
Реш
е
н
и
е.
В
этом
испытании
всего
62
= 36
равновозможных
элемен
тарных
исходов
(см.
табл.
1.1).
событию
В
благоприятствуют
4
исхода:
(3;6), (4;5), (5;4), (6;3),
поэтому
Р(В)
=~=l..
36 9
При
м
е
р
4.
Наудачу
выбрано
натуральное
число,
не
превосходящее
10.
Какова
вероятность
того,
что
это
число
является
простым?
Реш
е
н
и
е.
Обозначим
буквой
С
событие
"выбранное
число
является
простым".
В
даниом
случае
n =
10,
т
= 4
(простые
числа
2, 3, 5, 7).
Следовательно,
искомая
'вероятность
4
Р(С)=-=04.
10
'
При
м
е
р
5.
Подбрасываются
две
симметричные
монеты.
Чему
равна
вероятность
того,
что на
верхних
сторонах
обеих
монет
оказались
цифры?
Реш
е н и
е.
Обозначим
буквой
D
событие
"на
верхней
стороне
каж
дой
монеты
оказалась
цифра".
В
этом
испытании
4
равновозможных
элементарных
исходов:
(Г,
1),
(Г,
Ц),
(ц,
1),
(Ц, Ц).
(Запись
(Г,
Ц)
озна
чает,
что на
первой
монете
герб,
на
второй
-
цифра).
Событию
D
благо
приятствует
один
элементарный
исход
(Ц,
Ц).
Поскольку
т
= 1, n = 4 ,
то
1
P(D)=-=0,25.
4
При
м
е
р
6.
Какова
вероятность
того,
что
в
наудачу
выбранном
дву
значном
числе
цифры
одинаковы?
Реш
е
н
и
е.
Двузначными
числами
являются
числа
от
1
О
до
99;
всего
таких чисел
90.
Одинаковые
цифры
имеют
9
чисел
(это
числа
11,22,33,
44, 55, 66, 77, 88, 99).
Так
как
в
данном
случае
т
=
9,
n =
90,
то
Р(А)
=~=O
1
90 "
где
А
-
событи:
"число
с
одинаковыми
цифрами".
10