Идельчик В.И. Электрические системы и сети

Подождите немного. Документ загружается.

380 Расчет ВЛ на механическую прочность Гл. 8

жениям больше допустимых. Например, кривая 4 при />

р(1) и кривая 5 при /</

р<з) расположены выше пря-

мой 6. Это означает, что среднеэксплуатационные напряже-

ния больше допустимых. Аналогично для кривой 5 при

1<1кр(3) 0сг>[ст]сг.

ЙОГ

0 г

кр(1) Ь

р(2)

(J>

i 0 L

Kp(3

) 1

р1г)

(1)1

а) б)

Рис. 8.13. Кривые напряжений в материале провода и критические про-

леты:

" ~ 'кр(1)

'кр(2) < 'кр(З)

: б

~ 'кр(З) < 'кр(2) < 'кр<П

При /

кР

(1)</</„р(з) определяющее условие о

г=[а]

т.

Поэтому при /кр(1)</</кр(!) н качестве исходных условий

m в (8 25) следует принимать

[сг|,j.,

0,,,

YI-

При /</

p(i) определяющее условие аонм ^Ы- Поэто-

му при /</кр(1) в качестве исходных условий m в (8.25)

можно принимать [or]e

, 6

, Yi- Аналогично при />/

кр

<з)

в качестве условий m можно принимать [CT]

6, бунб, YH6.

Правила выбора исходных условий в уравнении состоя-

ния провода (8.25) при /

р(1)</кр(2)<'кр(з) записаны в табл.

8.10.

На рис.

8.13,6

приведены те же зависимости, что и на

рис.

8.13,а,

но для случая /

р(з)</кр(2)</к

(1). Из анализа

рис.

8.13,6

видно, что в этом случае допустимое напряже-

ние для среднегодовых условий при расчете проводов мо-

жет не учитываться. Правила выбора исходных расчетных

условий m в (8.25) для этого случая записаны также

табл.

8.10.

Выражение для любого критического пролета следует

из уравнения состояния провода

§8.9

Три критических пролета

381

кр(0

2[а]

Утп

6{([p]n-[p]m)P

"(e

-e

)}

J2_\a / fcl- \

Yfn

(8.49)

гдер=1/£.

В первую очередь лучше из (8.49) определить /

р(2>

и сравнить его с действительным пролетом. Далее при /<<

Таблица 8.10. Выбор исходных условий при расчетах проводов

Соотношения крити-

ческих пролетов

Соотношение действительного

и, критических пролетов

1 сходные расчетные условия

«'np(i)

Наименьшая температу-

ра

„м- YP Ме„ы

'кр(1) < 'кр(г) < ^кр( з)

'кр(1)<К/

р(з)

Среднегодовые 9

СГ

, Yi

[а]сг

'>'кр(з)

Наибольшая нагрузка

H6>

6> [a]

„

'кр(1)>'кр(2)>'кр(з)

'<'крЫ

Наименьшая температу-

ра 0

НЧ

, Yi-

[о]

0нч

'кр(1)>'кр(2)>'кр(з)

<>'кр(2)

Наибольшая нагрузка

Тнб> Y

[

1унб

</кр<2) надо определить /

p<ij» а при />/

р(2> вычислить

/кр(з) и выбрать исходные условия расчета проводов по

табл. 8.10.

Вопросы для самопроверки

Как определяется высота опоры?

2 В каких точках провода в пролете напряжения и тя-

жения наибольшие?

Для каких целей используется основное уравнение

состояния провода в пролете?

Как определить критический пролет провода и како-

иы правила выбора исходных данных для механического

расчета проводов?

382 Расчеты режимов электрических систем и сетей на ЭВМ Гл. 9

Что понимается под критической температурой?

6. Как производится расчет по среднегодовым условиям

и почему при этом так велик коэффициент запаса прочно-

сти?

7 Почему надо проводить механический расчет по трем

исходным условиям?

ГЛАВА ДЕВЯТАЯ

РАСЧЕТЫ РЕЖИМОВ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ

СИСТЕМ

СЕТЕЙ

НА ЭВМ

9.1.

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ УЗЛОВЫХ НАПРЯЖЕНИЙ,

МАТРИЦА УЗЛОВЫХ ПРОВОДИМОСТЕЙ

Схемы электрических систем и их элементы. Электри-

ческую систему можно рассматривать как электрическую

цепь,

предназначенную для производства, распределения

и потребления электроэнергии.

Схемой замещения (или просто схемой) называют гра-

фическое изображение электрической цепи, показывающее

последовательность соединения участков и отображающее

ее свойства.

В разомкнутых схемах питание каждого узла можно

осуществлять только с одной стороны (рис.

9.1,

а). Каж-

дый узел получает питание не более чем по одной ветви.

Рис.

9.1. Схемы электрической цепи:

а—разомкнутая; б —замкнутая

§ 9.1

Линейные уравнения

узловых

напряжений

383

В случае отключения любой ветви прекращается питание

всех узлов, к которым течет мощность по этой ветви.

Схема, содержащая хотя бы один контур, называется

замкнутой. В замкнутой схеме есть хотя бы один узел, по-

лучающий питание по двум или более ветвям (рис. 9.1,6).

Отключение какой-либо ветви не приводит к прекращению

питания.

Элементы электрических схем делятся на активные

и пассивные.

Пассивные элементы схем замещения (сопротивления

и проводимости) создают пути для прохождения электри-

ческих токов. Пассивные элементы (ветви) электрических

систем обычно разделяют на продольные и поперечные.

Поперечные пассивные элементы

—

это ветви, включен-

ные между узлами схемы и нейтралью, т. е. узлом, имею-

щим напряжение, равное нулю; продольные — это ветви,

соединяющие все узлы, кроме узла с напряжением, равным

нулю,

т.е. продольные ветви не соединены с нейтралью.

Продольные ветви включают активное и индуктивное со-

противления линий электропередачи, обмоток трансформа-

торов, емкостное сопротивление устройств продольной ком-

пенсации. Поперечные пассивные элементы соответствуют

проводимостям линий электропередачи на землю, реакто-

рам и конденсаторам, включенным на землю. В некоторых

случаях потери в стали трансформаторов представляются

в схеме замещения как поперечные проводимости.

Активные элементы схем замещения — источники ЭДС

и тока. Они определяют напряжения или токи в точках при-

соединения элементов к соответствующей цепи независимо

от остальных ее параметров. Источники ЭДС в расчетах

установившихся режимов электрических систем использу-

ются редко'. Поэтому ниже в основном речь будет идти об

источниках тока.

Источники тока в расчетах электрических систем соот-

ветствуют генераторам электрических станций и нагрузкам

потребителей. Именно в этих активных элементах генери-

руется и потребляется мощность.

Линейные и нелинейные уравнения установившегося ре-

жима. Основными параметрами рассмотренных выше пас-

Источники ЗДС широко применяются при расчетах токов корот-

кого замыкания и устойчивости.

384 Расчеты режимов электрических систем и сетей на ЭВМ Г л 9

сивных элементов электрических цепей являются активное

сопротивление г, индуктивность L и емкость С. Для про-

стоты изложения не будем учитывать взаимную индуктив-

ность. Параметры цепи почти всегда в той или иной степе-

ни зависят от тока и напряжения. Сопротивление г меня-

ется при изменении тока, поскольку при этом изменяется

температура проводника. Емкость конденсатора может за-

висеть от напряжения, а индуктивность катушки — от то-

ка. Однако во многих случаях эта зависимость настолько

слабая, что ею можно пренебречь и считать параметры

пассивных элементов цепи не зависящими от тока и напря-

жения. В этих случаях характеристики элементов электри-

ческой цепи (зависимости напряжения от тока в сопротив-

лении г, заряда от напряжения на конденсаторе с емкостью

С, потокосцепления от тока катушки с индуктивностью L)

можно представить прямыми линиями. Такие элементы це-

пи называются линейными. В линейных элементах сопро-

тивление г, емкость С и индуктивность L постоянны, т. е.

не зависят от тока и напряжения этих элементов.

Установившимся режимом электрической цепи при по-

стоянных источниках тока и напряжения называют такое

состояние, при котором ток в любой ветви и напряжение

в любом узле остаются неизменными в течение сколь угод-

но длительного времени [1].

Установившиеся режимы цепей, содержащих только ли-

нейные пассивные элементы и постоянные но модулю и фазе

источники тока, описываются линейными алгебраически-

ми уравнениями

—

линейными уравнениям установив-

шегося режима. Такие цепи называются линейными элек-

трическими цепями. Этот случай соответствует расчету ус-

тановившихся режимов электрических систем при задании

постоянных по модулю и фазе токов нагрузки потребителей

и генераторов во всех узлах электрической системы.

Если параметры пассивных элементов электрической

цепи существенно зависят от тока или напряжения, т. е. ха-

рактеристики этих элементов нелинейны, то и сами такие

элементы называются нелинейными. В теоретической элек-

тротехнике электрическая цепь, содержащая хотя бы один

нелинейный элемент, называется нелинейной.

В расчетах установившихся режимов электрических си-

стем нелинейность пассивных элементов, как правило, не

учитывается. В этом смысле продольная часть схемы за-

§ 9.1

Линейные уравнения

узловых

напряжений

385

мпщ'ния всегда линейна. В то же время при расчетах уста-

понпишихся режимов электрических систем учитываются

характеристики источников тока. Нелинейность источников

тока соответствует заданию в узлах нагрузки потребителей

или генераторов с постоянной мощностью либо заданию на-

грузки ее статическими характеристиками, определяющи-

ми зависимость мощности от напряжения. Установившиеся

режимы электрических систем с нелинейными источниками

тока описываются нелинейными алгебраическими уравне-

нями

—

нелинейными уравнениями установившегося ре-

жима.

Статическая устойчивость

— это способность электриче-

ской системы восстанавливать исходный режим после ма-

лого его возмущения или режим, весьма близкий к исход-

ному (если возмущающее воздействие не снято). Иными

словами, статическая устойчивость

—

это способность элек-

трической системы при малом отклонении ее параметров

возвращаться к режиму с исходными значениями указан-

ных выше параметров. Система

статически

устойчива, ес-

ли все действительные корни и действительные части ком-

плексных корней характеристического уравнения отрица-

тельны. Если нет комплексных корней с положительными

действительными частями, но имеется хотя бы один поло-

жительный действительный корень, то нарушение устой-

чивости имеет форму апериодического ухода от исследуе-

мого режима, т.е. нарушается

статическая

апериодическая

устойчивость

[7].

Уравнения узловых напряжений. Установившийся режим

электрических систем и цепей рассчитывают при различ-

ных способах задания исходных данных в зависимости от

физической сути и цели расчета. В данном параграфе бу-

дем рассматривать наиболее часто встречающийся и наи-

более простой случай. Известны сопротивления и проводи-

мости всех пассивных элементов электрической цепи. Кро-

ме того, заданы постоянные величины всех источников тока

по всех узлах, кроме балансирующего по Р и Q, и все

ЭДС,

а также напряжение одного узла — базисного по на-

пряжению. Надо определить напряжения п узлов и токи

и пг ветвях'.

В общем случае базисный по напряжению и балансиру-

Расчет потоков и потерь мощности рассмотрен в § 9.8.

86-237

386 Расчеты режимов электрических систем и сетей на ЭВМ Гл. 9

ющий по Р и Q узлы могут не совпадать. Как правило, при

расчетах режимов электрических систем предполагают, что

эти узлы совпадают. В дальнейшем для простоты изложе-

ния будем считать, что базисным по напряжению и балан-

сирующим по Р и Q является один и тот же («+1)-й узел,

который для краткости будем называть балансирующим.

Число независимых уравнений по первому закону Кирх-

гофа равно числу независимых узлов п. Уравнение первого

закона Кирхгофа для (д+1)-го узла является следствием

уравнений для остальных п узлов и не входит в число не-

зависимых уравнений.

Если в качестве неизвестных принять п узловых напря-

жений, то установившийся режим достаточно описать

только узловыми уравнениями, вытекающими из первого

закона Кирхгофа и закона Ома. Уравнения узловых напря-

жений следуют из первого закона Кирхгофа, если все токи

в ветвях выразить через узловые напряжения и проводимо-

сти ветвей. Число уравнений узловых напряжений равно

числу независимых узлов п. При этом напряжение одного

из узлов [(д+1)-го] может быть задано произвольно и, в

частности, принято равным нулю.

Решив п уравнений узловых напряжений с п неизвест-

ными, определим напряжения всех узлов. Затем вычислим

токи в ветвях, которые однозначно определяются из зако-

на Ома через известные напряжения узлов Такой путь

эффективнее, чем решение системы m уравнений первого

и второго законов Кирхгофа для определения m независи-

мых токов в ветвях, так как число ветвей в электрических

системах, как правило, значительно больше числа узлов.

Уравнения узловых напряжений при напряжении ба-

лансирующего узла

для сети постоянного тока, на-

пример, из четырех узлов можно записать в следующем

виде:

+ YMU

= /

, J

где Ik — задающий ток

k-то

узла,

= l, 2, 3; Uk— неизвест-

ное узловое напряжение, т. е. напряжение между k-м узлом

и балансирующим, совпадающим с базисным по U; У'/,/

(при кф\)—взаимная проводимость узлов / и k;

Ykk

—

собственная проводимость узла k. Взаимная проводимость

§ 9.1

Линейные уравнения узловых напряжений

387

узлов / и k равна взятой с обратным знаком сумме прово-

димостей ветвей, соединяющих эти узлы.

Если между двумя узлами в схеме цепи нет ветви, то со-

ответствующая взаимная проводимость равна нулю. Если

узлы k и / соединены одной ветвью с сопротивлением Z/

и проводимостью У/, то

=-VZ

(9.2)

Собственная проводимость fe-ro узла Y

равна сумме

проводимостей всех ветвей, соединенных с узлом k (в их

число входят и ветви, соединяющие балансирующий узел

с нулевым напряжением с узлом k). Если таких ветвей нет,

то собственная проводимость узла Y

равна сумме всех

взаимных проводимостей Y

, взятой с обратным знаком.

Пусть с узлом k соединено т ветвей, тогда

т п+1

где п+1 —общее число узлов в сети, из которых п незави-

симы.

Для рассматриваемой сети из четырех узлов, например,

У,. =-

'у

и-

1=2

При расчетах режимов электрических систем задающий

ток I

равен алгебраической сумме токов источников, под-

ключенных к узлу k. Токи, соответствующие генерации или

потреблению, имеют разные знаки. При наличии в цепи ис-

точников ЭДС в ток fe-ro узла I

входит алгебраическая

сумма произведений ЭДС ветвей, соединенных с узлом k,

на проводимость этих ветвей.

Будем использовать матрицу собственных и взаимных

проводимостей узлов

*у =

*11 *12 *t

* 21 '22 '2

Y Y

32 '33

(9.4)

векторы-столбцы токов в узлах I и узловых напряжений U

,и=- и,

и,

(9.5)

26*

388 Расчеты режимов электрических систем и сетей на ЭВМ Гл. 9

Учитывая правило умножения матриц, систему уравне-

ний узловых напряжений (9.1) можно записать в матрич-

ной форме следующим образом:

U = I. (9.6)

Для цепи переменного тока узловые напряжения, токи

в узлах, собственные и взаимные проводимости узлов

—

комплексные величины. Если аналогично (9.4) и (9.5) ис-

пользовать матрицу собственных и взаимных проводимо-

стей узлов Y

с комплексными элементами У*/, а также

векторы-столбцы фазных токов в узлах I и узловых между-

фазных напряжений II с комплексными элементами h

и _t/

, то систему уравнений узловых напряжений для цепи

переменного тока можно записать в матричной форме:

= V3 I (9.7)

В справедливости этого матричного выражения легко

убедиться, если принять во внимание правило умножения

матриц с комплексными элементами.

При решении на ЭВМ уравнения узловых напряжений

для сети переменного тока, как правило, приводятся к си-

стеме действительных уравнений порядка 2п, где п

—

чис-

ло независимых узлов. Для этого представляют матрицы

и вектор-столбцы с комплексными элементами в виде сумм

матриц и вектор-столбцов с действительными элементами

(при этом надо в виде такой суммы представить каждый

комплексный элемент и учесть правило сложения матриц):

(9.8)

Подставляя (9.8) в (9.7), получаем

- /В

)(U' + /U") = |/"3(I' + /I") (9.9)

Запишем отдельно действительные и мнимые матрич-

ные слагаемые в последнем уравнении:

GyU' + B^U" = КЗГ; (9.10)

— В

И' +.G

= КЗ Г. (9.11)

Y =

-У

,-/'

у-.

/U";

_ |/

+ /г.

§9.1

Линейные уравнения узловых напряжений

389

аким образом, систему уравнений узловых напряжений

для цепи переменного тока можно записать в матричном

виде следующим образом:

~Уъ

(9.12)

Выражение (9.12) является системой действительных

уравнений порядка In и содержит 2п неизвестных действи-

тельных и мнимых составляющих узловых напряжений

V* Ю-

Уравнения узловых напряжений при напряжении балан-

сирующего узла и^фО для сети постоянного тока из четы-

рех узлов можно записать в следующем виде:

Ум Ui

+ Уп U, + У

г,

+ Y

= Л;'

'21 Ul Н~ У

^2 + '23 ^3 "Ь ^24

*-Ч

~ 'г'.

£/,

^32

f/, + Пз t/

+ У» ^ = /

;

П. t/l +

^42

^43

^3 +

^44

= h]

Полная система уравнений узловых напряжений, анало-

гичная (9.13), может быть записана в матричном виде для

сети постоянного тока из (п-\-\)-то узла следующим обра-

зом:

(9.13)

= i

(9.14)

где Y

—полная матрица узловых проводимостеи порядка

(

+1); Is, Us —вектор-столбцы токов в узлах и напряже-

ний узлов порядка

(п-\-1).

Сумма всех токов в узлах равна нулю. Полная матрица

узловых проводимостеи является симметричной и вырож-

денной

, если не учитываются проводимости на землю.

Вырожденность полной матрицы Y

следует, напри-

мер,

из (9.3). Полная система уравнений узловых напря-

жений (9.13) или (9.14) линейно зависима. Независимыми

являются лишь п уравнений узловых напряжений.

Уравнения (9.13) или (9.14) решаются обычно следую-

щим образом. Один из узлов системы, например (л+1)-й,

принимается за базисный по напряжению и за балансирую-

щий по току. В общем случае базисным по напряжению

и балансирующим по току может быть не один и тот же

Определитель вырожденной матрицы равен нулю [18].