Илюшин Б.Б. Моделирование процессов переноса в турбулентных течениях

Подождите немного. Документ загружается.

НОВОСИБИРСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСТИТЕТ

им. ЛЕНИНСКОГО КОМСОМОЛА

Б.Б. Илюшин

Моделирование процессов переноса

в турбулентных течениях

учебное пособие

НОВОСИБИРСК 1999

“... где турбулентность воды возбуждается

где турбулентность воды сохраняется надолго

где турбулентность воды затухает.... ”

Леонардо да Винчи, 1500 г.

Из повседневного опыта нам известно, что наряду с плавным “спокойным” характе-

ром движения жидкости существует режим течения, когда поток проявляет свойства непред-

сказуемости и неупорядоченности. Первый тип течения называется ламинарным

(“слоистым” лат.), последний - турбулентным (“беспорядочным” лат.). Подавляющее боль-

шинство реально встречающихся в природе и технике течений является именно турбулент-

ными. Исследовательский интерес к ним обусловлен не только тем, что турбулентные тече-

ния являются самой распространенной формой движения жидкостей и газов, но и с чисто

теоретической точки зрения, поскольку турбулентные течения представляют собой пример

нелинейной механической открытой системы с очень большим числом степеней свободы. В

современной науке термин “турбулентность” применяется не только в механике жидкости,

но и по отношению к другим системам, для которых характерен переход от регулярного

движения к хаотическому, определяемый нелинейными процессами. Это понятие вошло

практически во все области физики.

Первым научным задокументированным наблюдением турбулентности можно счи-

тать рукопись Леонардо да Винчи (см. рис. 1). Если ее рассматривать через зеркало, можно

прочесть следующие строки:

“doue la turbolenza dellacqua sigenera

doue la turbolenza dellcq simantiene plugno

doue la turbolenza dellacqua siposa.... ”

Их перевод послужил эпиграфом к этому параграфу. Эта рукопись датируется концом 15 -

началом 16 века. Однако, лишь в конце 19 века появилась теория турбулентности вместе с

замечательными работами Осборна Рейнольдса. Проблема турбулентности до сих пор оста-

ется открытой проблемой гидромеханики, несмотря на то что в течении целого века привле-

кала внимание многих выдающихся исследователей. Столь необычно большой срок от пер-

вых наблюдений этого явления до его теоретического осмысления, естественно, связан со

сложностью рассматриваемой проблемы. До сих пор не существует общего подхода к описа-

нию турбулентного движения жидкости. За более чем 150-летнюю историю были развиты

различные подходы - статистический, структурный и динамический - для описания феноме-

на турбулентности. Результаты, полученные в каждом из них, зачастую относились к разным

задачам и отвечали на вопросы, возникающие в качественно различных экспериментальных

ситуациях. В периоды своего возникновения и развития эти подходы представлялись их сто-

ронниками единственно приемлемыми и поэтому они развивались параллельно и практиче-

ски независимо. Лишь в последние 20 лет наметилась тенденция к их объединению в единую

теорию турбулентности.

В настоящем курсе не рассматриваются подробно динамический и структурный под-

ходы исследования турбулентности, не вводится формальное определение турбулентности, а

используется интуитивные пред-

ставления об этой форме движе-

ния жидкости и газа.. Обсуждают-

ся свойства турбулентного движе-

ния, с акцентом на методы его

описания. Цель настоящего курса

- понять и научится рассчитывать

турбулентность.

Рис. 1. Фотография рукописи Леонардо да Винчи.

1. Что такое турбулентность

Можно сказать, что турбулентное течение - это поток, который является беспорядоч-

ным во времени и пространстве. Однако это, конечно, не может рассматриваться как точное

математическое определение. Потоки, называемые "турбулентными", могут обладать раз-

личной динамикой, могут быть трехмерными или иногда квазидвумерными, могут проявлять

свойства хорошо организованных структур. Общее свойство турбулентных течений заклю-

чается в том, что они способны смешивать переносимые величины (импульс, тепло, вещест-

во) намного быстрее, чем это происходит под воздействием только молекулярной диффузии.

Это свойство, конечно, является наиболее важным для людей, занимающихся турбулентно-

стью в практических приложениях, где определяющей является информация о коэффициен-

тах турбулентного переноса тепла, а также о величине турбулентного сопротивления (кото-

рое зависит от интенсивности рассеивания импульса в потоке). Дадим определение турбу-

лентности в таком виде

- Во-первых, турбулентное течение должно быть непредсказуемым в том смысле,

что малая неопределенность характеристик течения в начальный момент времени будет

расти и, таким образом, точное детерминированное предсказание результата их эволюции

будет невозможным;

- Во-вторых, оно должно удовлетворять свойствам интенсивного перемешивания.

- В-третьих, оно должно характеризоваться широким диапазоном пространствен-

ных

длин волн.

Такое определение позволяет, в частности, использовать термин "турбулентность" по

отношению к некоторым двумерным течениям. Оно также подразумевает, что определенные

безразмерные параметры, характеризующие поток, должны быть намного больше единицы.

В самом деле, если l - характерный размер наибольших энергосодержащих турбулентных

вихрей, а

- величина турбулентных пульсаций скорости, то достаточно грубая аналогия

между процессами перемешивания под воздействием турбулентности и некогерентного слу-

чайного блуждания позволяет определить коэффициент турбулентной диффузии, который

будет пропорционален u

l . Таким образом, если

- молекулярные коэффициенты диф-

фузии импульса (который в дальнейшем будем называть коэффициентом кинематической

молекулярной вязкости) и теплоты (молекулярной теплопроводности) соответственно, то

увеличение степени смешения для этих двух переносимых величин предполагает, что два

безразмерных параметра

ν/u

l и

l должны быть много больше единицы. Первый из этих

параметров называется числом Рейнольдса

Re l

, а второй - числом Пекле

Pe l . В

дальнейшем мы убедимся, что при больших числах Рейнольдса отношение наибольших

масштабов к наименьшим должно иметь порядок

4/3

Re . В этом смысле второе из отмечен-

ных выше свойств турбулентных течений согласуется с третьим.

В заключение данного параграфа отметим еще одно важное свойство турбулентности.

Существует много экспериментальных и расчетных данных, показывающих, что турбулент-

ные течения являются вихревыми, то есть завихренность u

×∇=ω - не равняется нулю по

крайней мере в некоторых областях пространства. Поэтому интересно, как турбулентность

возникает в течении, изначально являющимся безвихревым

?. Этот процесс, очевидно, обу-

словлен вязкостью, поскольку из теоремы Кельвина непосредственно следует, что нулевая

завихренность сохраняется в процессе движения идеальной жидкости

. Присутствие же гра-

ниц или препятствий накладывает условие нулевой скорости на твердой поверхности, кото-

рое порождает завихренность. Производство завихренности затем увеличивается под влия-

нием различных механизмов, в частности, за счет описанного ниже механизма растяжения

вихревых нитей, и, таким образом, в этих областях течение, как правило, становится турбу-

лентным.

См. монографию М.Лесьера “Турбулентность в жидкостях”

Например, в однородном потоке

Идеальная жидкость - это жидкость, в которой эффекты молекулярной вязкости не учитываются

Методы описания структуры турбулентных течений

Будем считать, что, в области макроскопических масштабов, превышающих микро-

скопические молекулярные масштабы, течение жидкости удовлетворяет дифференциальным

уравнениям в частных производных, называемых уравнениями Навье-Стокса. Вполне дока-

зано, что эти уравнения правильно описывают турбулентные течения, даже в случае гипер-

звуковых течений до числа Маха порядка 15. Наименьший макроскопический масштаб

по порядку величины меньше Колмогоровского диссипативного масштаба η

, и намного

больше чем среднее значение длины свободного пробега молекул. Фактически, уравнения

Навье-Стокса включают в себя величины типа скорости, давления, температуры, плотности,

которые усреднены по пространству элементарного объема размера

lδ

≈

. Однако с матема-

тической точки зрения, пространственные масштабы в этих уравнениях могут быть сколь

угодно малы.

Начнем с постулата, что движение турбулентной жидкости удовлетворяет принципу

Ньютоновского детерминизма: если исходные положения и скорости известны для начально-

го момента времени

, то для них существует только одно возможное состояние течения в

любой момент времени

tt > . Математически, это - не более чем предположение о сущест-

вовании и единственности решений уравнений Навье-Стокса: такая теорема доказана для

двумерного случая и только для конечных времен в трехмерном случае. Физически, однако,

следует ожидать, что наличие молекулярной вязкости в уравнениях Навье-Стокса сгладит

решения достаточно для того, чтобы исключить появление сингулярностей и бифуркаций

Из этих рассуждений следует вывод, что турбулентность в жидкостях - детерминиро-

ванное явление, хотя эффект нелинейности делает ее развитие очень сложным. С первого

взгляда кажется невозможным теоретически описать для произвольных времен детермини-

рованное развитие турбулентного течения. Тем не менее, с учетом интенсивного развития в

последнее время возможностей численных расчетов, мы покажем далее один из многообе-

щающих подходов, основанных на численном моделировании. Действительно, за последние

два десятилетия наблюдается стремительный прогресс в развитии возможностей компьюте-

ров, до такой степени, что численное решение уравнений Навье-Стокса для ряда турбулент-

ных течений теперь стало доступным.

Также очень полезно использовать стохастические методы и рассматривать различ-

ные флуктуирующие величины как случайные функции. Для полностью развитой турбу-

лентности, эти функции должны быть статистически независимыми при трансляции (одно-

родность) и вращении (изотропность). Ниже мы рассмотрим динамику однородной изотроп-

ной турбулентности, в частности, процесс переноса энергии между различными масштабами

движения. Основное внимание мы акцентируем на одноточечных статистических моделях

турбулентности, совмещающих в

себе вычислительную эффективность с достоверностью

получаемых с их помощью результатов, достаточной для многих прикладных задач.

Завершая этот раздел, подчеркнем, что, вероятно, ошибочно противопоставлять так

называемые детерминистский и статистический подходы к описанию турбулентности. Де-

терминистский метод, если говорить о численном моделировании, может оказаться чрезвы-

чайно дорогим, и тогда статистическая теория или моделирование

могут быть очень полез-

ными. Анализ развития методов моделирования турбулентных течений показывает, что в

ближайшие 100 лет метод статистических моментов останется основным инструментом в

прикладных расчетах реальных турбулентных течений.

2. Структура турбулентности

Уравнение Навье-Стокса

этот масштаб является наименьшим характерным масштабом турбулентности, подробнее см. ниже.

с заданными граничными условиями и определенными внешними возмущениями

Здесь, мы рассматриваем эволюцию системы с фиксированными внешними параметрами. Теория "бифуркаций" рассмат-

ривает смену одного устойчивого состояния системы на другое, при изменении одного из внешних параметров.

В своих лекциях по физике, посвященных гидродинамике и турбулентности, Ричард

Фейман пишет:

Часто люди в каком-то неоправданном страхе перед физикой говорят, что невоз-

можно написать уравнение жизни. А может быть и можно. Очень возможно, что на са-

мом деле мы уже располагаем достаточно хорошим приближением, когда пишем уравнение

квантовой механики:

(2.1)

∂

−=

Конечно, если бы мы располагали только этим уравнение и не могли наблюдать сами

биологические явления, то не смогли бы теоретически воссоздать их. Фейман полагал, что

сходная ситуация имеет место для турбулентного потока несжимаемой жидкости

. Уравне-

ние Навье-Стокса известно со времени работы Навье (1823г.):

,0u

, u

νp

xρ

∂

∂∂

∂

−=

∂

(2.2)

где

u - скорость жидкости, p давление,

плотность, ν вязкость, а

f - внешние массовые

силы. Тильда означает, что рассматриваются мгновенные величины. Второе уравнение сис-

темы (2.2) называется уравнением неразрывности. Система уравнений (2.2) замкнута. До-

полнив ее начальными и краевыми условиями мы будем иметь полностью поставленную ма-

тематическую задачу.

Сразу отметим важное свойство системы (2.2) - нелинейность уравнения Навье-

Стокса. Нелинейность системы означает, что процессы, протекающие в них, не удовлетво-

ряют принципу суперпозиции. Аналитическое описание процессов в нелинейных системах

затруднено в виду отсутствия общих методов решения нелинейных уравнений. Наиболее

доступно изучение динамики слабонелинейных систем. Нелинейность в таких системах про-

является в возникновении малых поправок к решению линеаризованных уравнений

. При

исследовании сильнонелинейных систем, за исключением ограниченного числа точно ре-

шаемых случаев, используется численное моделирование. Разделяют два класса нелинейных

систем - консервативные системы, в которых энергия сохраняется и диссипативные системы,

в которых энергия диссипирует или поступает в систему от внешних источников. В следую-

щем параграфе будет показано, что движение вязкой жидкости является диссипативной сис-

темой.

Второе важное свойство уравнения Навье-Стокса - параметр при старшей производ-

ной. Если уравнения системы (2.2) записать в безразмерном виде с использованием харак-

терного линейного масштаба течения L и характерной скорости U , при старшей производ-

ной в уравнении Навье-Стокса появится безразмерный параметр

- величина, обратная

числу Рейнольдса

Re =

. Очевидно, что величина этого параметра определяет вклад в об-

щий баланс уравнения эффектов вязкости жидкости на рассматриваемом масштабе течения

и, как следствие, определяет свойства решения системы (2.2). Выше отмечалось, что сис-

тема (2.2) описывает диссипативные нелинейные системы. В следующем параграфе будет

показано, что именно вязкие эффекты отвечают за диссипативные свойства рассматривае-

мых систем. Указанный параметр, фактически, устанавливает отношение между масштабами

всей системы и масштабами на которых эти диссипативные свойства имеют место.

Для выяснения характера движений жидкости, сформировавшегося под воздействием

роста возмущений, перепишем уравнение Навье-Стокса в виде:

Здесь и в дальнейшем мы будем рассматривать несжимаемую жидкость.

Этот метод активно используется в гидродинамике, в частности для исследования ламинарно-турбулентного

перехода.

(2.3) ,

νe

ijkkjijkijj

∂

ϖ∂

−ϖ++

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

∂

−=

∂

где

ijk

e - символ Леви-Чивита, )x/u

jkijki

∂

=ϖ - вектор завихренности. Для получения (2.3)

использовались следующие очевидные преобразования:

(2.4) .

νe

ijk

jjj

kjijk

∂

ϖ∂

−=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

−

∂

∂∂

∂

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

+ϖ⋅−=

∂

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

−

∂

В случае безвихревго теченя 0

=ϖ , без внешних сил в (2.3) вязкий член и часть инерционно-

го члена исчезают и (2.3) сводится к уравнению Бернули. Таким образом, процесс вязкой

диссипации в безвихревом течении отсутствует.

Диссипация энергии в вязкой жидкости

Наличие вязкости приводит к диссипации энергии в тепло. Вычислим скорость превращения

кинетической энергии потока несжимаемой жидкости в тепло. Полная кинетическая энергия

жидкости равна:

(2.3) .dVu

∫

Производная по времени от этой энергии имеет вид:

(2.4) .dV

∫

∂

ρ=

∂

Подставляя для производной

∂

ее выражение согласно уравнению Навье-Стокса:

(2.5) ,

∂

σ∂

∂

−

∂

−=

∂

(2.6) ,

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

μ=σ

в результате получим:

(2.7) .dV

iki

∫∫∫

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

∂

σ+

∂

σ∂

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

ρ−=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

∂

σ∂

−

∂

ρ−=

∂

Учитывая уравнение неразрывности 0

∂

, выделим дивергентный член в выражении стоя-

щим под интегралом и преобразуем интеграл по объему в интеграл по замкнутой поверхно-

сти, ограничивающей этот объем:

(2.8) .dV

dSu

iki

∫∫

∂

σ−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

σ−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+ρ

∂

−=

∂

Первый член справа определяет изменение кинетической энергии жидкости в объеме благо-

даря наличию потока энергии через поверхность этого объема. Второй член представляет

собой уменьшение кинетической энергии в единицу времени, обусловленное диссипацией.

Рассматривая движение жидкости в системе координат, в которой жидкость на бесконечно-

сти покоится, распространим интегрирование на весь объем жидкости.

В этом случае инте-

грал по поверхности исчезает:

(2.9) .dV

∫

∂

σ−=

∂

Подставляя выражение для

σ в несжимаемой жидкости и учитывая, что:

(2.10) ,

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

μ=

∂

окончательно получаем формулу для диссипации энергии:

(2.11) .dV

∫

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

−=

∂

Таким образом, диссипация приводит к уменьшению кинетической энергии жидко-

сти, поскольку интеграл в (2.11) всегда положительный. Заметим, что полученный результат

не зависит от формы движения жидкости, он справедлив и для ламинарного и для турбу-

лентного режимов течения.

Качественная схема развития и структуры турбулентности

Выше мы отметили важные свойства уравнений (2.2.), описывающих движение вяз-

кой жидкости: нелинейность и параметр

= , определяющий диапазон масштабов тече-

ния на котором проявляются диссипативные свойства системы. Определим масштабы дисси-

пации η и

из условия:

1Re

(т. е

νu

). Так при 1Re

< масштабы диссипации оказы-

ваются больше масштабов рассматриваемой системы. В этом случае любое возмущение в

системе подвержено диссипации и будет затухать. В отличие от этого при 1Re

>> движение

жидкости с масштабами порядка

ηUL > оказываются практически бездиссипативными, по-

скольку здесь отсутствует механизм вязкого затухания. Как следствие, это движение стано-

вится неустойчивым, поскольку возмущения на этом масштабе будут расти, в конечном сче-

те разрушая его. Размеры системы не позволяют расти возмущениям масштаба больше L ,

поэтому возбуждаться будут моды размера L

l , которые, в свою очередь, так же будут не-

устойчивы при больших числах Рейнольдса. Таким образом формируется целая иерархия не-

устойчивых возмущений, которые полностью изменяют характер движения жидкости. Про-

цесс рождения движений все меньших и меньших масштабов прекратится лишь по достиже-

нии минимального масштаба η . Движения минимального масштаба устойчивы и практиче-

ски далее не распадаются, поскольку они существенно диссипативны и их энергия расходу-

ется в основном на преодоление вязких сил, рассеивается, переходя в теплоту. Пока неус-

тойчивость основного течения масштаба L приводит к появлению все новых и новых поз-

мущений первого порядка, процесс последовательного дробления всех бездиссипативных

возмущений не прекращается и создает непрерывный поток энергии по вниз масштабам.

Описанный выше сценарий развития возмущений дает представление о механизме развития

и структуре турбулентного режима течения. Отметим определяющую роль нелинейности

уравнений Навье-Стокса в развитии такого сценария, поскольку взаимодействие возмущений

разного масштаба возможно только в нелинейной системе

Феноменологическую картину такого течения (каскад Ричардсона) удобно предста-

вить в виде, показанном на рис. 2. Вихри разных масштабов изображены овалами, разнесен-

ными на разные строки согласно своим размерам. Энергия в изображенный каскад масшта-

бов поступает на самом крупном масштабе, спускается по каскаду вниз, до вихрей размера

порядка η и рассеивается под воздействием вязкости. В рамках этого представления ско-

рость поступления энергии в каскад, скорость переноса энергии вниз по каскаду и скорость

ее рассеивания на диссипативных масштабах одинакова (обозначим ее

). Кроме того, такая

картина течения предполагает локальность взаимодействия между вихрями: вихри масштаба

l могут взаимодействовать только с вихрями размера

1n +

l и

1n −

l , т.е. предполагается, что

взаимодействие вихрей, масштабы которых сильно отличаются, можно рассматривать как

Механизм такого нелинейного взаимодействия (“механизм растяжения вихревых трубок”) мы подробно рассмотрим ниже.

перенос мелких вихрей под воздейст-

вием поля скорости крупных вихрей

без обмена энергией между ними.

Вследствие хаотичности про-

цесса передачи энергии от движений

данного масштаба к движению мень-

ших масштабов анизотропность, неод-

нородность и нестационарность ос-

редненного движения должны все

меньше и меньше сказываться на ста-

тистическом режиме пульсаций все

меньших и меньших масштабов. По-

этому можно утверждать, что влияние

среднего течения практически пере-

стает сказываться на структуре пуль-

саций (за исключением лишь наиболее

крупномасштабных).

Подробнее механизм обмена энергией между вихрями мы рассмотрим ниже, а сейчас

перейдем к важным следствиям описанного механизма трансформации энергии в турбулент-

ных течениях.

Масштабная инвариантность

Еще одним важным свойством уравнений (2.2) является масштабная инвариантность (скей-

линг) в пределе

∞

→Re . Легко видеть, что при масштабном преобразовании:

h1−

λ→

λ→ , uu

λ→ (где λ и h - действительные числа)

все слагаемые уравнения Навье-Стокса

умножатся на

1h2 −

λ , кроме последнего, связанного с вязкостью, которое умножается на

2h−

λ .

Поэтому при 1Re

<< допустимо только 1h

−

. В этом случае масштабная инвариантность

эквивалентна хорошо известному в гидродинамике принципу подобия по числу Рейнольдса.

Если же рассматривать предел бесконечно больших чисел Рейнольдса, то существует беско-

нечное число скейлинговых групп, параметризованных скейлинговым показателем h , кото-

рый может быть любым действительным числом. Заметим, что масштабная инвариантность

уравнений (2.2) в отличие от других видов симметрий (сдвиг по времени и в пространстве,

вращение, четность и преобразование Галилея) не является макроскопическим следствием

основных симметрий уравнений Ньютона, описывающих микроскопическое движение моле-

кул. Она проявляется как результат использования приближения сплошной среды

в модели

(2.2).

Спектр турбулентных пульсаций

Один из наиболее часто применяемых на практике методов анализа стационарной случайной

функции заключается в изучении энергетического спектра

(2.14)

∫∫

ωω>=+⋅=<=ω

ωω−

τi

d)eE(τ)u(tu(t))R(τ,dτe)R(τ

π2

)E(

где )(R τ - корреляция скорости u (угловые скобки обозначают усреднение). Другой функци-

ей, представляющей значительный интерес в теории турбулентности, является структурная

функция второго порядка

)τ(D

(2.15) .)τ)u(tu(t)()D(τ

>+−=<

Структурная функция второго порядка связана с функциями

)τ(R и )(E ω соотношениями:

Мы не указываем преобразование для давления, поскольку последнее может быть исключено из уравнения Навье-Стокса

применением оператора дивергенции.

Здесь будут рассматриваться только одномерные спектры

Рис. 2. Схема каскада турбулентных вихрей.

(2.16)

∫

ω−ω=−=

ω−

τi

.d)e1()E(2))τ(R)0(R(2)D(τ

Для турбулентности особенно важным классом структурных функций является случай, когда

)(D τ подчиняется степенному закону:

(2.17) ,Aτ)τ(D

где A - положительный численный коэффициент и 20

. Нетрудно видеть, что функции

(2.17) представимы в виде (2.16), если за энергетический спектр приять степенные функции

вида:

(2.18) ,

)1(

C)(E

+γ−

ω=ω

где С - численный коэффициент. Аналогичные соотношения справедливы и для пространст-

венных структурных функций и спектра энергии, зависящего от волнового вектора k .

Величина волнового вектора связана с масштабом вихрей: l/2k π

(размер вихря

приблизительно определяется доминирующей длинной волны его движения).

(2.16)

∫

−

−>=+−=<

ikρ2

.dk)e1(E(k)2))ρr(u)r(u()D(ρ

Рассматривая каскадный перенос энергии, изображенный на рис. 2, заметим, что такой меха-

низм трансформации энергии предполагает, что в области масштабов ηL >> l (или соответ-

свующих значениях волнового вектора) единственным размерным параметром, определяю-

щим свойства турбулентности, является

. Учитывая размерность величины ε , спектр

энергии для масштабов рассматриваемого интервала будет иметь вид впервые предсказан-

ный Колмогоровым в 1941 г.:

3/53/2

k~)k(E

−

ε , а с учетом (2.17), (2.18) для структурной

функции получим

3/23/2

ρ~)ρ(D ε . Применяя указанное в предыдущем параграфе масштаб-

ное преобразование и учитывая, что )ρ(D)ρ(D

λ→ и ρρ

→ для

получаем ελ→ε

−1h3

Масштабная инвариантность ε налагает условие на скейлинговый показатель 3/1h = . Таким

образом, спектр турбулентных пульсаций схематично можно изобразить в виде, показанном

на рис. 3. Условно спектр можно разбить на три области.

Коротковолновая область спектра соответствует масштабам диссипации кинетиче-

ской энергии турбулентности в тепло под воздействием вязкости. Эта область содержит

сравнительно малую часть энергии турбулентности. Соответствующие ей пульсации имеют

сложную статистическую структуру -

характеризуются значительными по величине коэффи-

циентами эксцесса (с существенно негауссовым распределением). При моделировании тур-

булентных течений в рамках метода статистических моментов

их влияние на процессы

турбулентного переноса полагается пренебрежимо малым и учитывается только основная

роль пульсаций данного интервала - сток кинетической энергии турбулентности. В случае

развитой турбулентности скорость вязкой диссипации с хорошей точностью равна спек-

тральному потоку энергии турбулентности и для ее определения не требуется рассмотрение

сложной статистической структуры мелкомасштабных пульсаций.

Предположение о том, что ε является единственным размерным параметром, определяющим свойства турбулентности в

указанном интервале масштабов, в действительности нарушается. Эксперименты свидетельствуют о флуктуационном по-

ведении ε характеризующимся значительными коэффициентами эксцесса (отражающими перемежающийся характер этой

величины). Учет перемежаемости в рамках фрактальной модели турбулентности приводит к поправке скейлингового пока-

зателя и, как следствие, к отличному от Колмогоровского закону энергетического спектра. Однако здесь этот вопрос рас-

сматриваться не будет, поскольку пермежаемость в основном сосредоточена в области малых (диссипативных) масштабов,

соответствующие им пульсации содержат малую часть энергии турбулентности и не оказывают определяющего влияния на

процессы турбулентного переноса.

О методе статистических моментов см. ниже.

Область масштабов ηL >> l опи-

сывается Колмогоровским законом и ха-

рактеризуется локально изотропной

структурой турбулентных пульсаций. Эта

область называется инерционным интер-

валом спектра. Статистические свойства

пульсаций инерционного интервала с хо-

рошей точностью описываются равновес-

ной ФПВ (Гауссовой), а движение жидких

частиц (или частиц примеси) в поле изо-

тропной турбулентности подобно бро-

уновскому движению.

Интервал энергии соответствую-

щий длинноволновым (крупномасштаб-

ным) пульсациям, напротив, содержит ос-

новную часть энергии турбулентности и, в

основном, определяет характер турбу-

лентного переноса. Длинноволновые

пульсации соответствуют крупномас-

штабным вихревым структурам (КВС).

Они характеризуются сравнительно

большим временем релаксации и содер-

жат информацию о предыстории и струк-

туре усредненного течения (эффект памя-

ти). Поэтому, как правило, эта область

спектра анизотропна, а ФПВ (существен-

но негауссова), характеризуется значи-

тельными по величине коэффициентами

асимметрии и эксцесса. Таким образом,

пульсации интервала энергии и инерционного интервала спектра представляют основной

объект исследования в задачах моделирования турбулентных течений

Оценка масштабов турбулентности.

Описанная выше схема механизма трансформации энергии турбулентности от сред-

него течения к вихрям диссипативного интервала предполагает, что поток энергии в области

инерционного интервала не зависит от волнового числа. Поскольку

имеет размерность

энергии на единицу массы в единицу времени, анализ размерности дает: l

ε , где

характерная скорость вихрей масштаба l . Тогда можно записать:

(2.17) ,Re

;

−

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

===

откуда следует оценка масштабов:

(2.18) .

4/3

−

(2.18) позволяет оценить число степеней свободы в турбулентных течениях:

(2.19) .

4/9

N =

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

Сложная статистическая структура крупномасштабных вихревых образований с одной стороны и их опреде-

ляющая роль в динамике турбулентного течения с другой стимулируют развитие метода описания турбулент-

ности, основанного на точном разрешении крупных вихрей с привлечением параметризаций для учета мелко-

масштабных пульсаций (LES- метод).

Рис. 3. Спектр турбулентных пульсаций.