Карпова Т.С. Базы данных: модели, разработка, реализация
Подождите немного. Документ загружается.
Операции
над
отношениями.
Реляционная
алгебра
51
Операции
над
отношениями.
Реляционная алгебра
Напомним,
что
амеброй
называется
множество
объектов
с
заданной
па
нем
со-
вокупностью
операций,
замкнутых
относительно
этого
множества,
называемого
основным
множеством.
Основным
множеством
в
реляционной
алгебре
является
множество
отношении.
Всего
Э.
Ф.
Коддом
было предложено
8
операции.
В
общем
это
множество
из-
быточное,
так как
одни
операции
могут быть
представлены
через
другие,
одна-
ко
множество
операции
выбрано
из
соображении
максимального
удобства
при
реализации
произвольных
запросов
к БД. Все
множество
операции
можно раз-
делить
па две
группы:
теоретико-множественные
операции
и
специальные
опе-
рации.
В
первую
группу
входят
4
операции.
Три
первые
теоретико-множествен-
ные
операции являются
бинарными,
то
есть
в
них
участвуют
два
отношения
и
они
требуют
эквивалентных
схем
исходных
отношении.
Теоретик-множественные
операции
реляционной алгебры
i
Объединением
двух
отношении
называется
отношение,
содержащее
множество
кортежей,
принадлежащих
либо
первому,
либо
второму
исходным
отношениям»
либо
обоим
отношениям
одновременно.
Пусть
заданы
два
отношения
R,
=
{Г|
},
R
a
= {
г
а
},
где
TI
и
г
2
—
соответственно
кортежи
отношении
RI
u
R
3
,
то
объединение
RiUR
2
e
{r|reR|vreR2}.
Здесь
г
—
кортеж
нового
отношения,
v —
операция
логического
сложения
«ИЛИ»,
Пример
применения
операции
объединения
приведен
па
рис.
4.1,
Исходными
отношениями
являются
отношения
RJ
п
R
2
,
которые
содержат
перемни
деталей,
изготавливаемых
соответственно
на
первом
и
втором
участках
цеха.
Отношение
RS
содержит
общпИ
перечень
деталей,
изготавливаемых
в
цеху,
то
есть
характе-
ризует
общую
номенклатуру
цеха.
R1
Шифр
детали
00011073
00011075
00011076
00011003
00011006
00013063
00013066
Название
детали
Гп11ка
Ml
ГаИка
М2
Гайка
МЗ
Burn
Ml
Болт
МЗ
ШшШМ!
Шайба
МЗ
R2
Шифр
детали
Название
детали
00011073
PafliuiMl
00011076
ПШкиМЗ
00011077
ГиПкаМ!
00011004
13ш1тМ2
0001
100G
ВолгМЗ
]
52
Глава
4.
Реляционная модель данных
R3
Шифр
детали
ОООИ073
00011075
00011076
00011003
00011006
00013063
00013066
000
И
077
000
И
004
Название
детали
Гайка
Ml
Гайка
М2
Гайка
МЗ
Болт
Ml
Болт
МЗ
Шайба
Ml
Шайба
МЗ
Гайка
М4
Болт
М2
R6
Шифр
детали
00011077
000
И
004
Название
детали
Гайка
М4
Болт
М2
Пересечением
отношении
называется
отношение,
которое
содержит
множество
кортежей,
принадлежащих
одновременно
и
первому
и
второму
отношениям.
R]
л fy:
Ra
-
RJ
П
R2
в
{
г |
г
е
R, л г
е
R
2
}
здесь
л —
операция
логического
умножения
(логическое
«И»).
В
отношении
R^
содержатся перечень
деталей,
которые выпускаются
одновре-
менно
на
двух
участках
цеха.
~М~
~
~~
~~
1
шифр
детали
НааМ
я„.
л
»г,„
и
™£H£!i_____
; ftn»Mi
00011076
"гпикаМЗ
»1™L__L___
ВмтМВ
Разностью
отношений
R,
и
R
2
называется
отношение,
содержащее
множество
кортежей,
принадлежащих
R,
и
не
принадлежащих
R
2
:
RS
-
RI
\
R
2
=
{
г
|
г
е
R, л г
и
R
2
}
Отношение
R
3
содержит
перечень
деталей,
изготавливаемых
только
на
участке
1,
отношение
К„
содержит
перечень
деталей,
изготавливаемых
только
на
участке
2.
Re
=
R
a
\
RJ
=
{
г
|
г
s
R
2
л
г
и
R,
}
R5
Шифр
детали
Название
детали
00011075
Гайка
М2
00011003
БолгМ!
000130G3 Шайба
Ml
00013066
Шайба
МЗ
Операции
над
отношениями.
Реляционная алгебра
53
Следует
отметить,
что
первые
две
операции,
объединение
и
пересечение,
явля-
ются
коммутативными
операциями,
то
есть
результат
операции
не
зависит
от
порядка
аргументов
в
операции.
Операция
же
разности является принципиаль-
но
несимметричной
операцией,
то
есть результат операции будсг различным
для
разного
порядка
аргументов,
что
и
видно
из
сравнения
отношений
R
5
и
R
6
.
В
отличие
от
навигационных
средств
манипулирования
данными
в
теоретико-
графовых моделях
операции
реляционной
алгебры
позволяют получить сразу
иной
качественный
результат,
который является семантически гораздо более
ценным
и
понятным пользователям.
Например,
сравнение
результатов
объеди-
нения
и
разности
номенклатуры
двух
участков
позволит
оценить
специфику про-
изводства: насколько
оно
уникально
на
каждом участке,
и, в
зависимости
от не-
обходимости,
принять
соответствующее
решение
по
изменению
номенклатуры.
Для
демонстрации
возможностей трех
первых
операций
реляционной
алгебры
рассмотрим
еше
один пример
— уже
из
другой предметной
области.
Исходными
являются
три
отношения
R,,
R
2
и
R
3
.
Все
они
имеют эквивалентные
схемы.
Q
Ri=
(ФИО,
Паспорт, Школа);
Q
R
2
«
(ФИО,
Паспорт,
Школа);
Q
R
3
=
(ФИО,
Паспорт, Школа).
Рассмотрим ситуацию
поступления
в
высшие
учебные
заведения, которая была
характерна
для
периода, когда
были
разрешены
так
называемые
репетиционные
вступительные
экзамены, которые сдавались раньше основных вступительных
экзаменов
в
вуз.
Отношение
R!
содержит
список
абитуриентов,
сдававших репе-
тиционные
экзамены.
Отношение
R
2
содержит список абитуриентов, сдававших
экзамены
на
общих условиях.
И
наконец,
отношение
R
3
содержит список
абиту-
риентов,
принятых
в
институт.
Будем считать,
что при
неудачной
сдаче
репети-
ционных
экзаменов
абитуриент
мог
делать вторую попытку
и
сдавать экзамены
в
общем потоке, поэтому некоторые
абитуриенты
могут
присутствовать
как в
первом,
так и во
втором
отношении.
Ответим
па
следующие вопросы:
1.
Список
абитуриентов,
которые
поступали
два
раза
и не
поступили
в
вуз.
R
=
R!
П
R
2
\
Кз
2.
Список
абитуриентов,
которые
поступили
в вуз с
первого раза,
то
есть
они
сдавали экзамены только
один
раз и
сдали
их так
хорошо,
что
сразу
были
за-
числены
в
вуз.
R
-
(R.
\
R
2
П
Кз)
U
(R
2
\
Ri
Л
Ra)
3.
Список
абитуриентов,
которые
поступили
в вуз
только
со
второго раза.
Прежде всего
это те
абитуриенты,
которые присутствуют
в
отношениях
RI
п
Ra,
потому
что
они
поступали
два
раза,
и
присутствуют
в
отношении
R
3
,
по-
тому
что
они
поступили,
R
- R,
П
R
2
П
R
3
4.
Список
абитуриентов,
которые поступали только
один
раз и не
поступили.
Это
прежде
всего
тс
абитуриенты,
которые
присутствуют
в
RI
и не
присутст-
вуют
в
R
2
,
и
те, кто
присутствуют
в
R
2
n
не
присутствуют
в
RJ.
И
разумеется,
никто
из них не
присутствует
в
Ra.
54
Глава
4.
Реляционная
модель
данных
R
=
<Rj
\
Ra)
U
(Ra \
Ri)
\
Ra
В
отсутствие
скобок порядок
выполнения
операций
реляционной
алгебры
есте-
ственный,
поэтому
сначала
будут
выполнены
операции
в
скобках,
а
затем-будет
выполнена
последняя операция
вычитания
отношения
R
3
.
Операции
объединения,
пересечения
и
разности
применимы
только
к
отноше-
тшм
с
эквивалентными
схемами.
Кроме
перечисленных
трех теоретико-множественных
операций
в
рамках
реля-
ционной
алгебры определена
еще
одна теоретико-множественная операция
—
расширенное
декартово
произведение.
Эта
операция
не
накладывает
никаких
дополнительных
условий
на
схемы исходных
отношений,
поэтому операция рас-
ширенного
декартова
произведения,
обозначаемая
R
(
©
R
2)
допустима
для лю-
бых
Двух
отношений.
Но
прежде
чем
определить
саму операцию,
введем
допол-
нительно
понятие
конкатенации,
или
сцепления, кортежей.
Сирплшием,
или
конкатенацией,
кортежей
с
=•
<cj,
с
2
,...,
с„>
и q
=
<qi,
<&,...,
q
m
>
называется
кортеж, полученный
добавлением
значений
второго
в
конец
перво-
го.
Сцепление
кортежей
с
п
q
обозначается
как (с
,
q).
(с,
q).=
<cj,
C
2
,
... ,
С
ш
qj,
qa
q
m
>
Здесь
n
—
число
элементов
в
первом кортеже
с, m —
число
элементов
гёо
втором
кортеже
q.
Все
предыдущие
операции
не
меняли
степени
или
арности
отношений
—
это
следует
из
определения
эквивалентности
схем
отношений.
Операция декартова
произведения меняет
степень
результирующего
отношения.
Расширенным
декартовым
произведением
отношения
RJ
степени
п
со
схемой
SRI
=
(А
ь
AZ,
...,
А„)
и
отношения
R
2
степени
m со
схемой
S
R2
=
(В,,
В
2
....,
В
го
)
называется
отношение
R
3
степени
n+m со
схемой
Зю
«
(Aj,
А
2
,...,
А„,
Bi,
B
2l
....
В,„),
содержащее
кортежи,
полученные
сцеплением
каждого
кортежа
г
отношения
RI
с
каждым кортежем
q
отношения
R
2
.
То
есть если
R,
»
{ г
},
R
2
«
{ q }
Ri
©
R
2
«
{(n
q)
|-r
e
Ri
л q
e
Щ
Операцию декартова произведения
с
учетом возможности
перестановки
атрибу-
тов
в
отношении
можно
считать
симметричной.
Очень
часто
операция расши-
ренного
декартова
произведения
используется
для
получения
некоторого
уни-
версума
~
т.
е,
отношения,
которое
характеризует
все
возможные
комбинации
между
элементами
отдельных
множеств.
Однако
самостоятельного
значения
результат выполнения операции обычно
не
имеет,
он
участвует
в
дальней-
шей
обработке.
Например,
на
производстве
в
отношении
07
задана
обязатель-
ная
номенклатура
деталей
для
всех
цехов,
а в
отношении
08
дан
перечень
всех
цехов.
Операции
над
отношениями. Реляционная алгебра
55
R7
Шифр
детали
00011073
00011075
0001
107G
0001
1003
00011006
00013063
000130GG
00011077
00011004
00011005
00011006
00013062
Название
детали
ГпЙка
Ml
Гайка
М2
Гайка
МЗ
Болт
М
1
Болт
МЗ
Шайба
Ml
Шайба
МЗ
Гайка
М4
БолгМ2
Болт
М5
Болт
Мб
Шайба
М2
Тогда
отношение
R
fll
которое соответствует
ситуации,
когда каждый
цех
изго-
тавливает
все
требуемые
детали,
будет
выглядеть
следующим
образом;
R9
Шифр
детали
00011073
000
И
075
00011076
00011003
000
И
006
000130G3
00013066
000
ПП77
00011004
ОООИ005
00011006
000130G2
00011073
00011075
1
Название
детали
Гайка
Ml
Гайка
М2
Гайка
МЗ
Болт
Ml
Болт
МЗ
Шайба
Ml
Шайба
МЗ
Гайка
М4
Болт
М2
Болт
М5
Болт
Мб
Шайба
М2
Гайка
Ml
'
Гайка
М2
Цех
Цех
1
Цех
1
Цех 1
Цех
1
Це.х
1
Цех 1
Цех
1
Цех 1
Цех
1
Цех
1
Цех 1
Цех
1
Цех
2
Цех
2
R10
Шифр
детали
ОООП073
000 И 075
OOOH07G
000
И
003
0001
10GG
00013063
00013066
00011077
0001100/1
0001
1006
00013063
00013066
00011077
00011001
Название
детали
Гайка
Ml
Гийка
М2
Гайка
МЗ
Болт
Ml
Болт
МЗ
Шайба
Ml
Шайба
МЗ
Гайка
М4
Болт
М2
Болт
МЗ
Шайба
Ml
Шайба
МЗ
Гайка
Ш
Болт
М2
Цех
Цех
1
Цех
1
Дох
1
Цех
1
Цех
1
Цех
1
Цех
1
Цех
1
Цех
1
Цех
2
Цех 2
Цех 2
Цех
2
Цех
2
R8
Цех
Цех
1
Цех
2
Цех
3
56
Глава
4.
Реляционная
модель
данных
R9
(продолжение)
00011076
00011003
00011006
000130G3
00013066
00011077
00011004
00011005
00011006
00013062
00011073
00011075
ОООП076
00011003
00011006
00013063
00013066
0001
1077
00011004
00011005
00011006
00013062
Гайка
МЗ
Болт
Ml
9?олт
МЗ
Шайба
Ml
Шайба
МЗ
Ганка
М4
Болт
М2
Болт
М5
Болт
Мб
Шайба
М2
Гайка
Ml
Ганка
М2
Гайка
МЗ
Болт
Ml
Болт
МЗ
Шайба
Ml
Шайба
МЗ
Гайка
М4
Болт
М2
Болт
М5
Бол
г Мб
Шайба
М2
Цех
2
Цех
2
Цех
2
Цех
2
Цех
2
Цех 2
Цех
2
Цех
2
Цех
2
Цех
2
ЦехЗ
ЦсхЗ
ЦехЗ
ЦехЗ
ЦехЗ
ЦсхЗ
ЦехЗ
Цех
3
ЦсхЗ
ЦсхЗ
Цех
3
ЦсхЗ
R10
(продолжение)
OOOHOOG
00013062
00011073
00011075
00011076
00011003
00011006
00013063
00013066
00011077
00011005
00011006
00011005
00011006
00013062
Болт
Мб
Шайба
М2
Гайка
Ml
Гайка
М2
Гайка
МЗ
Болт
Ml
Болт
МЗ
Шайба
Ml
Шайба
МЗ
Гайка
М4
Болт
М5
Болт
Мб
Болт
М5
Болт
Мб
Шайба
М2
Цех
2
Цех 2
Цех
3
ЦехЗ
Цех
3
ЦехЗ
Utx
3
ЦехЗ
ЦсхЗ
.
Цех
3
ЦсхЗ
ЦехЗ
Цех
1
Цех
1
Цех
1
В
каких
запросах
нужно
использовать
расширенное
декартово
произведение?
Эта
операция моделирует некоторую
ситуацию,
которая
характеризуется
сло-
вом
«вес».
Поэтому
если
нам
надо
узнать,
какие
детали
в
каких цехах
из
общей
обязательной
номенклатуры
не
выпускаются,
то мы
можем вычесть
из
получен-
ного
отношения
R
9
отношение
R
(0
,
характеризующее
реальный выпуск деталей
в
каждом
цехе.
Отношение
R,,,
которое является результатом
выполнения
этой
операции,
име-
ет
вид:
Rn-RsXRio
Операции
над
отношениями.
Реляционная
алгебра
57
R11
Шифр
детали
00011073
00011075
00011076
00011004
00013062
00011003
00011005
Название
детали
Гайка
Ml
ГпШса
М2
ГаГпса
МЗ
Бол г
М2
Шайба
М2
Болт
Ml
Болт
М5
Цех
Цех
2
Цех
2
Цех
2
ЦехЗ
ЦсхЗ
Цех
2
ЦсхЗ
Группа
теоретике-множественных
операций
избыточна,
так,
например,
опера-*
цию
можно заменить сочетанием
операции
объединения
и
пересечения.
(R,
U
R
2
)
\
(Rj
\
R
z
)
\
(R
2
\ RI)
Однако
это
достаточно
сложная
формула,
и
именно поэтому
все
три
теоретико-
множественные
операции
вошли
в
базовый набор
операций
реляционной
алгебры.
Далее
мы
переходим
к
группе
операций,
названных специальными
операциями
реляционной алгебры.
Специальные
операции
.реляционной
алгебры
Первой
специальной
операцией
реляционной алгебры является
горизонтальный
выбор>
или
операция
фильтрации,
или
операция
ограничения
отношений.
Для
определения этой
операции
нам
необходимо
ввести
дополнительные
обозначения.
Пусть
а —
булевское
выражение,
составленное
цз
термов
сравнения
с
помощью
связок
И
(Л),
ИЛИ
(V),
НЕ (-)
и,
возможно,
скобок,
I?
качестве термов
сравне-
ния
допускаются:
а)
терм
А ос а,
где
А -
имя
некоторого
атрибута,
принимающего
значения
из
домена
D; a -
константа,
взятая
из
того
же
домена
D,
aeD;
ос —
одна
из
допустимых
для
данного
домена
D
операций
сравнения;
б)
терм
А ос
В,
где
А, Б -
имена
некоторых
0-сравппмых
атрибутов,
то
есть
атрибутов,
при-
нимающих
значения
из
одного
и то
же
домена
D.
Тогда результатом
операции
выбора,
или
фильтрации,
заданной
на
отношении
R
в
виде
булевского
выражения,
определенного
на
атрибутах
отношения
R,
на-
зывается
отношение
R[a],
включающее
'ie
кортежи
из
исходного
отношения»
для
которых
истинно
условие
выбора
или
фильтрации:
R[a(r)]
«
{г
г е R л
a(r)
«
"Истина"}
Операция
фильтрации
является
одной
из
основных
при
работе
о
реляционной
моделью
данных.
Условие
а
может
быть
сколь угодно
сложным»
58
Глава
4.
Реляционная
модель
данных
Например,
выбрать
пз
RI»
детали
с
шифром
«0011003*.
R
J2
~
RJO
I
Шифр
детали
-
«0011003»]
R12
Шифр детали
000
П
003
000
И
003
Название детали
Болт
М
I
Болт
Ml
Цех
Цех
I
Цех
3
Следующей
слецналыюй
операцией
является
операция
проектирования»
Пусть
R~—
отношение,
SR
-
(Л|,...
,
Л„)
—
схема
отношения
R.
Обозначим
через
В
нодмножестио
[ А, ]; В £ { А, }.
При
этом
пусть
В
1
—
множество
атрибутов
из {
А,
},
не
вошедших
и
В.
Если
В
«
{А|,А?,...,Af},
В
1
-
{А;,А},...,А;}И
г
-
^.а?,...^
>,
af
e
А*,;
то
г
[В],
s - <
a'j.
а-
,
a'"j
> ;
а"
1
,
€
Л"у
Проекцией
отношения
R
ita
Набор
атрибутов
В,
обозначаемой
R[B|,
называется
отношение
со
схемой,
соответствующей
набору
атрибутов
В
З^щ
ta
В,
содержа-
щему кортежи,
получаемые
из
кортежей
исходного
отношения
R
путем
удале-
ния
из
них
значений,
не
принадлежащих атрибутам
из
набора
В,
R[B]
- {
г[В1
}
По
определению
отношений
все
дублирующие
кортежи
удаляются
пз
результи-
рующего
отношения.
Операция
проектирования,
называемая
иногда
'шкжс
операцией
вертикального
выбора, позволяет
получить
только требуемые
характеристики
моделируемого
объекта.
Чаще
всего
операция
проектирования
употребляется
как
промежуточ-
ный
шаг в
операциях
горизонтального
выбора,
или
фильтрации.
Кроме
того,
она
используется
самостоятельно
на
заключительном
этапе
получения
отпета
на
запрос.
Например, выберем
все
цеха,
которые
изготавливаю
г
деталь
«Болт
МЬ>.
Для
этого
нам
необходимо
из
отношения
R
10
выбрать
детали
с
заданным
назва-
нном,
а
потом
полученное
отношение
спроектировать
на
столбец
«Цех».
Резуль-
татом выполнения
;mix
операций
будет
отношение
RM:
RIS
=
RIO
I
Название
детали
~
«Болт
Ml» ]
RH
-
RIS
Г
Цех
|
R13
Шифр
детали
000
1
1003
000
И
003
Название детали
Болт
Ml
Болт
М
i
Цех
Цех!
Цех
3 -
-
Следующей
специально]"!
операцией
реляционной
алгебры является
операция
умовпого
соединения.
R14
Цех
Цех
1
Цех
3 ,
__
Операции
над
отношениями, Реляционная алгебра
59
В
отличие
от
рассмотренных
специальных
операций
реляционной
алгебры:
фильтрации
и
проектирования,
которые
являются
унарными,
то
есть произво-
дятся
над
одним
отношением,
операция условного
соединения
является бинар-
ной,
то
есть
исходными
для нее
являются
два
отношения,
а
результатом
—
одно.
Пусть
R - { г
},
Q,»
{ q } —
исходные
отношения,
SR,
SQ—
схемы
отношении
R и
Q,
соответственно.
SR
**
(А|,
А;;,
...
,
Afe);
SQ
=
(В|,
В'2»
...
,
В
ш
),
где
A
i(
Bj —
имена
атрибутов в
схемах
отношении
R
и
Q
соответственно.
При
этом полагаем,
что
заданы наборы атрибутов
А и В
Ас{
А, }
,-i.k:
Вс{
Bj}j_,.
m
и эти
наборы
состоят
из
0-сравнпмых
атрибутов.
Тогда
соединением
отношений
R
и
Q при
условии
р
будет
подмножество декар-
това
произведения
отношений
R и
Q»
кортежи которого
удовлетворяют
усло-
вию
р,
рассматриваемому
как
одновременное
выполнение
условий:
Q
r,Ai
6|
BI
;
i^i.k,
где
k —
число атрибутов, входящих
в
наборы
А и В, а
0|—'
конкретная
операция
сравнения.
Q
AI
0|
BI
D; 0| —
i-й
предикат
сравнения,
определяемый
из
множества
допусти-
мых
на
домене
D]
операций
сравнения.
R
[ Р ] Q
ы
(
(r,q)
(r, q) | г.А
61
q.B
(
-
«Истина»,
i=-l,k}
Например,
рассмотрим
следующий
запрос. Пусть
отношение
R
15
содержит
пере-
1
чень
деталей
с
указанием
материалов,
из
которых
эти
детали
изготавливаются,
п
оно
имеет
вид;
R15
Шифр
детали
00011073
00011075'
00011076
00011003
0001
100Г)
00013063
000130GG
00011077
00011004
00011005
00013062
Название
детали
Гайка
Ml
Гайка
М2
'
Гайка
МЗ
Болт
Ml
Болт
МЗ
Шайба
Ml
ЧПаНба
МЗ
Гайка
М4
Болт
М2
Болт
MS
Шайба
М2
Материал
сгапь-ст!
сталь-ст2
сталь-ст1
сталь-стЗ
сталь-стЗ
сталь-ст!
сталь-ст!
сталь-ст2
сталь-стЗ
сталь-стЗ
сгаль-ст!
Получим
перечень
деталей,
которые
изготавливаются
в
цеху
1 из
материала
«сталь-ст
1>>
R16
Название
детали
Гайка
Ml
Гайка
МЗ
Шайба
М
I
Шайба
МЗ
Шайба
М2
60
Глава
4.
Реляционная модель данных
RIC
"
(К1з[(Гч5.Шифр
детали
-Кю-Шифр
детали)
Л
Rto-Цех
-
«Цех!»
Л
Л
Ris-Материал
-«сталь-стЬ]
Кю)[Название
детали]
Последней
операцией,
включаемой
в
набор операций реляционной алгебры,
яв-
ляется операция
деления.
Для
определения операции деления рассмотрим сначала понятие
множества
об-
разов.
Пусть
R —
отношение
со
схемой
SR
=
(А|,
А
2
,...,
АО;
Пусть
А —
некоторый
набор атрибутов
А с {
А,}
i=l,k
,
А
1
—
набор атрибутов,
не
входящих
в
множество
А.
Пересечение множеств
А и
А
1
пусто:
А П
А
1
•=
0;
объединение
множеств равно
множеству
всех
атрибутов исходного отношения:
A
U
А
1
=
S
R
.
Тогда
множеством образов элемента
у
проекции
R[A]
называется
множество
та-
ких
элементов
у
проекции
К[А'],
для
которых
сцепление
(х, у)
является корте-
жами
отношения
R,
то
есть
QA(x)
"
{у
| у
бК[А
(
]
А
(х, у)
eR}
-
множество образов.
Например, множеством
образов
отношения
RJS
по
материалу
«сталь-ст2»
будет
множество кортежей
^.Материал
=
{<
00011075,
Гайка
М2,
«сталь-ст2>»,
<
ОООИ077,
Гайка
М4,
«сталь-ст2»>}
Дадим теперь определение операции
деления.
Пусть даны
два
отношения
R и Т
соответственно
со
схемами:
SR
«
(А
ь
А
2
АО;
S
T
-
(В,,
В
2
,...,
В
т
);
А
и В —
наборы атрибутов этих
отношений,
одинаковой длины
(без
повторе-
ний);
А
с
S
K
; В с
S
T
.
Атрибуты
А
1
— это
атрибуты
из R, не
вошедшие
в
множество
А.
Пересечение
множеств
А П
А
1
•=
0
-
пусто
и
A U
A
1
=
S
R
.
Проекции
R[A]
и
Т[В]
совместимы
по
объединению,
то
есть
имеют
эквивалентные
схемы:
5щ
А
\
~
STJB).
Тогда операция деления ставит
в
соответствие
отношениям
R
и
Т
отношение
Q,"
R[A;B]T, кортежи которого являются
теми
элементами
проекции
RfA
1
],
для
которых
Т[В]
входит
в
построенные
для них
множество
образов:
R[A:B]T
-
{г
|
г
еЩА
1
]
А
Т[В]
s
(у
| у
e
R
[А]
Л
(г,
у)
eR
} }.
Операция деления удобна тогда, когда требуется сравнить некоторое
множество
характеристик
отдельных
атрибутов.
Например,
пусть
у нас
есть
отношение
R?>
которое содержит
номенклатуру
всех выпускаемых деталей
па
нашем
предпри-
ятии,
а в
отношении
И
]0
хранятся
сведения
о
том,
что и в
каких
цехах
действи-
тельно выпускается. Поставим задачу
определить
перечень
цехов,
в
которых
вы-
пускается
вся
номенклатура
деталей.
Тогда
решением этой задачи будет операция
деления
отношения
RJO
на
отноше-
ние
R
7
по
набору
атрибутов
(Шифр
детали,
Наименование
детали).