Кирин Е.М. Метрические задачи в курсе начертательной геометрии

Подождите немного. Документ загружается.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Е. М. Кирин

МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

В КУРСЕ НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

Методические указания

для выполнения эпюров и подготовки к экзаменам

ПЕНЗА 2010

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Пензенский государственный университет» (ПГУ)

Е. М. Кирин

Метрические задачи

в курсе начертательной геометрии

Методические указания

для выполнения эпюров и подготовки к экзаменам

Пенза

Издательство ПГУ

2010

УДК 514

К43

Р е ц е н з е н т

доктор технических наук, профессор кафедры «Детали машин»

ФГОУ ВПО «Пензенская государственная сельскохозяйственная академия»

П. А. Емельянов

Кирин, Е. М.

К43 Метрические задачи в курсе начертательной геометрии :

метод. указания для выполнения эпюров и подготовки к экзаме-

нам / Е. М. Кирин. – Пенза : Изд-во ПГУ, 2010. – 68 с.

В доступной форме изложена одна из главных тем курса начертательной

геометрии – «Метрические задачи». Представлена классификация метрических

задач и рассмотрены все типовые задачи на определение метрических характе-

ристик геометрических объектов. Дано графическое решение основных метри-

ческих задач, сопровождаемое объяснением поэтапного решения.

Методические указания предназначены для студентов всех специальностей

и могут быть использованы для выполнения эпюров, решения задач из рабочей

тетради и подготовки к экзаменам и зачетам; будут полезны студентам, изу-

чающим начертательную геометрию, а также студентам-дипломникам и инже-

нерам-конструкторам.

УДК 514

университет», 2010

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие...................................................................................................... 4

1 МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ.ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ.

КЛАССИФИКАЦИЯ МЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ............................................ 6

2 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РЕШЕНИЯ МЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ.......... 9

2.1 Метрические свойства ортогонального проецирования......................... 9

2.2 Теорема прямого угла............................................................................. 13

2.3 Перпендикуляр к плоскости ................................................................... 13

2.4 Перпендикулярность двух прямых......................................................... 18

2.5 Перпендикулярность двух плоскостей................................................... 20

2.6 Использование методов преобразования в метрических задачах .......... 22

3 МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАТУРАЛЬНОЙ

ВЕЛИЧИНЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ.......................................... 29

3.1 Определение натуральной величины прямой......................................... 29

3.2 Определение натуральной величины плоских фигур............................. 31

4 МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАССТОЯНИЙ

МЕЖДУ ГЕОМЕТРИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ.......................................... 34

4.1 Определение расстояния между двумя точками .................................... 34

4.2 Определение расстояния от точки до плоскости.................................... 34

4.3 Определение расстояния от точки до прямой ........................................ 36

4.4 Расстояние между параллельными прямыми и плоскостями................. 38

4.5 Определение расстояния между скрещивающимися прямыми.............. 40

4.6 Расстояние между параллельными прямой и плоскостью .................... 40

5 ОПРЕДЕЛЕНИЕ УГЛОВ МЕЖДУ ГЕОМЕТРИЧЕСКИМИ

ОБЪЕКТАМИ ................................................................................................ 45

5.1 Классификация углов и угловых метрических задач ............................. 45

5.2 Определение углов между прямой и плоскостями проекций................. 48

5.3 Определение угла между двумя прямыми линиями............................... 48

5.4 Определение угла между прямой и плоскостью .................................... 51

5.5 Определение угла между скрещивающимися прямыми......................... 53

5.6 Определение углов между плоскостью и плоскостями проекций.......... 55

5.7 Определение углов между двумя плоскостями...................................... 55

6 МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ

ОБЪЕКТОВ ЗАДАННЫХ РАЗМЕРОВ И УГЛОВЫХ ВЕЛИЧИН ............... 61

Список литературы ........................................................................................... 67

Предисловие

Как известно, проекционный чертеж (эпюр Монжа) обладает за-

мечательным свойством – обратимостью

(или воспроизводимостью),

что означает: по заданному проекционному чертежу любого геомет-

рического объекта можно определить не только форму объекта и его

положение в пространстве, но и его размеры, которые часто называ-

ют метрическими характеристиками

. К ним относятся линейные раз-

меры объекта, расстояния между объектами, угловые размеры между

элементами объекта или между двумя объектами, площади плоских

геометрических фигур и объемы тел.

Если геометрический объект располагается в пространстве в част-

ном положении, т.е. параллельно или перпендикулярно плоскостям

проекций, то многие его метрические характеристики могут быть

легко определены. Однако при общем положении геометрического

объекта относительно плоскостей проекций определение метриче-

ских характеристик представляет собой определённую сложность,

связанную с тем, что при параллельном ортогональном (прямоуголь-

ном) проецировании многие метрические характеристики геометри-

ческих объектов искажаются. Некоторые размеры объекта непосред-

ственно на проекционном чертеже измерить нельзя, так как они не

изображаются на эпюре в натуральной (действительной) величине.

В связи с изложенным перед конструктором встаёт задача: по

проекционному чертежу геометрического объекта определить все его

метрические характеристики. Цикл задач, в которых определяются

метрические характеристики объектов по их эпюру, в начертатель-

ной геометрии называются метрическими задачами

. Они решаются,

как правило, общегеометрическими методами, методами преобразо-

вания эпюра Монжа, а также специальными методами.

Тема «Метрические задачи» является одной из основных тем кур-

са начертательной геометрии, так как имеет большое значение не

только для теории геометрических измерений, но и для практической

деятельности будущего инженера.

В настоящих методических указаниях «Метрические задачи в

курсе начертательной геометрии» даны теоретические основы реше-

ния метрических задач и представлены примеры их решения.

Методические указания предназначены для студентов всех специ-

альностей и могут быть полезны студентам-дипломникам и инжене-

рам-конструкторам предприятий.

1 МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ.

КЛАССИФИКАЦИЯ МЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Метрические задачи направлены на определение метрических ха-

рактеристик геометрических объектов, а также характеристик их

взаимного положения (расстояний и углов между ними).

Задачи на определение метрических характеристик геометрических

объектов можно назвать прямыми метрическими задачами

: по проек-

ционному чертежу объекта определяются его размеры. Однако воз-

можны и обратные метрические задачи: по заданным линейным, угло-

вым и другим размерам строятся проекции геометрического объекта.

Всё многообразие метрических задач в конечном счете сводится к

двум элементарным задачам:

- определению (измерению) расстояния между двумя точками;

- определению угла между двумя прямыми.

Этот важный вывод обусловлен тем, что при решении любой мет-

рической задачи логические геометрические построения в итоге не-

пременно приводят к этим двум типовым задачам. Так, например,

при определении расстояния от точки до плоскости необходимо про-

извести следующие геометрические построения:

- опустить из точки перпендикуляр на заданную плоскость;

- найти точку встречи (пересечения) перпендикуляра с плоско-

стью;

- измерить расстояние между заданной и полученной точками

пересечения. Это расстояние и будет являться искомым.

Анализ учебной, методической и научной литературы позволя-

ет систематизировать метрические задачи и разрабатывать их клас-

сификацию. Автором разработана классификация метрических задач,

в основу которой положено деление всего многообразия метрических

задач на три группы: ориентированных на определение натуральной

величины объектов; определение расстояний между объектами; оп-

ределение углов между ними. Каждая группа задач включает в себя

несколько метрических задач, объединённых одной целью. Класси-

фикация метрических задач приведена на рисунке 1.1.

Рисунок 1.1 – Классификация метрических задач

МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

РАССТОЯНИЙ

МЕЖДУ ОБЪЕКТАМИ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

НАТУРАЛЬНОЙ

ВЕЛИЧИНЫ

ОБЪЕКТОВ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

УГЛОВ МЕЖДУ

ОБЪЕКТ

МИ

Определение расстояния

между двумя точками

Определение расстояния

от точки до прямой

Определение расстояния

между

параллельными плоскостями

Определение расстояния

от точки до плоскости

Определение расстояния

между параллельными прямыми

Определение расстояния между

скрещивающимися прямыми

Определение расстояния

между параллельными прямой

и плоскостью

Определение

натуральной

величины прямой

Определение

натуральной

величины

плоских углов

Определение

натуральной

величины плоских

фигур

Угол между прямой

и плоскостью проекций

Угол между плоскостью

и плоскостью проекций

Угол между прямой

и плоскостью

Угол между двумя

плоскостями

Угол между двумя

прямыми (плоский угол)

Угол между

скрещивающимися

прямыми

ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ

1.ПРЯМАЯ ЗАДАЧА (опускание и восстановление перпендикуляра к плоскости).

2.ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА (проведение плоскости перпендикулярно прямой).

3.ПРОЕКЦИИ ПРЯМОГО УГЛА (теорема прямого угла)

Задачи на определение натуральной величины геометрических

объектов включают в себя задачи на определение натуральной вели-

чины прямой, плоских углов и плоских фигур.

Задачи на определение расстояний между объектами содержат за-

дачи на определение расстояния между двумя точками, расстояния

от точки до плоскости, от точки до прямой; расстояния между парал-

лельными плоскостями и прямыми, между скрещивающимися пря-

мыми, между параллельными прямой и плоскостью.

В группу задач на определение углов между геометрическими

объектами включены задачи: угол между прямой и плоскостями про-

екций, угол между плоскостью и плоскостями проекций, угол между

прямой и плоскостью, угол между двумя плоскостями, угол между

двумя прямыми, угол между скрещивающимися прямыми.

Приведённая классификация охватывает всё многообразие метри-

ческих задач, приводит их в стройную систему и облегчает изучение

и понимание этого сложного раздела начертательной геометрии. Она

является определённым вкладом в теорию метрических задач и на её

основе могут быть разработаны учебные электронные плакаты для

чтения лекций.

2 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РЕШЕНИЯ

МЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Раздел «Метрические задачи» изучается в середине курса начер-

тательной геометрии и основывается на ранее изученных темах «Ме-

тоды проецирования», «Ортогональное проецирование точки, пря-

мой и плоскости», «Позиционные задачи», «Многогранники», «Ме-

тоды преобразования эпюра Монжа».

Основные положения и методики вышеупомянутых тем в той или

иной степени используются при решении метрических задач. Приве-

дём основные теоретические выкладки и методики, на которых осно-

вываются алгоритмы решения метрических задач.

2.1 Метрические свойства ортогонального

проецирования

При параллельном ортогональном проецировании, как указыва-

лось ранее, метрические характеристики объектов искажаются (ри-

сунок 2.1,а). Однако наряду с этим между объектом в пространстве и

его проекцией существует определённая связь, заключающаяся в

том, что некоторые свойства объекта сохраняются и на его проекци-

ях. Такие свойства называются проективными

или инвариантными

(независимыми). Инвариантные свойства проекций играют в начер-

тательной геометрии роль аксиом, т.е. положений, не требующих

доказательств. Среди инвариантных свойств, используемых в метри-

ческих задачах, можно отметить следующие:

- если прямая параллельна плоскости проекций, то она проеци-

руется на эту плоскость в натуральную величину

(рисунок 2.1,б);

- если прямая параллельна плоскости проекций, то углы наклона

её к другим плоскостям проекций изображаются в натуральную ве-

личину на проекции, где прямая изображается в натуральную вели-

чину (рисунок 2.1,г);

- если прямая перпендикулярна плоскости проекций, то она про-

ецируется на эту плоскость в виде точки («вырождается

» в точку)

(рисунок 2.1,в);