Клепко В.Ю., Голець В.Л. Вища математика в прикладах і задачах
Подождите немного. Документ загружается.
431
Розділ VI. Інтегральне числення
6.245. Обчислити довжину дуги кривої
2
ln( 1)yx
, де
23xdd
.
6.246. Обчислити довжину дуги кривої
ln
y
x
, де
315x
dd
.
6.247. Обчислити довжину дуги кривої
2
1arcsin
y
xx
,
де
7
0
9
xdd
.
6.248. Обчислити довжину дуги кривої
lnsin
y
x
, де
32
x
SS
dd
.
6.249. Обчислити довжину дуги кривої, що задана параметрич+
ними рівняннями:
4(cos sin )
4(sin cos )
x
tt t
y
tt t
®
¯
, де
02tdd
.
6.250. Обчислити довжину дуги кривої, що задана параметрич+
ними рівняннями:
3
3
10cos
10sin
xt
y
t
°
®
°
¯
, де
0
2
t
S
dd
.
6.251. Обчислити довжину дуги кривої, що задана параметрич+
ними рівняннями:
2
2
(2)sin2cos
(2 )cos 2 sin
xt tt t
y
tttt
°
®
°
¯
, де
0 t
S
dd
.
6.252. Обчислити довжину дуги кривої, що задана параметрич+
ними рівняннями:
3(2cos cos 2 )
3(2sin sin 2 )
x
tt
y
tt
®
¯
, де
02t
S
dd
.
432
Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»
6.8.3. Обчислення об’єму тіл обертання
Об’єм тіла, утвореного від обертання навколо осі Ox криволіній+
ної трапеції, що обмежена неперервною кривою, рівняння якої
y = f(x), віссю Ox та прямими x = a та x = b, обчислюють за форму+
лою:
2
(())
b
ox
a
Vfxdx
S
³
. (6.35)
Якщо криволінійна трапеція, що обмежена неперервною кривою,
рівняння якої y = f(x), віссю Ox та прямими x = a та x = b, обертаєть+
ся навколо осі Oy, то об’єм утвореного тіла обертання, обчислюється
за формулою:
2
b
oy
a
Vxydx
S
³
. (6.36)
Об’єм тіла, утвореного від обертання навколо осі Oy криволіній+
ної трапеції, що обмежена неперервною кривою, рівняння якої
()xy
M
, віссю Oy та прямими y = c і y = d, обчислюється за фор+
мулою:
2
d
oy
c
Vxdy
S
³
. (6.37)
6.253. Обчислити довжину дуги кривої, що задана параметрич+
ними рівняннями:
2
3
3
xt
t
yt
°
®
°
¯
, де
03t
dd
.
433
Розділ VI. Інтегральне числення
6.8.3.1. Приклади розв’язування задач
Задача 6.254
. Обчислити
об’єм тіла, утвореного обер+
танням навколо осі Ox фі+
гури, що обмежена лініями
xy = 4, x = 1, x = 4 та y = 0.
Розв’язок. Спочатку побу+
дуємо криволінійну трапе+
цію, яка обертається навколо
осі OX:
4
y
x
(гіпербола),
x = 0, x = 4 та y = 0 (прямі)
(рис. 6.6).
Як видно з рисунка: межі
інтегрування x
1
= 1, x
2
= 4.
Застосуємо формулу (6.35) і
отримуємо:
2
44
1
2
11
44
11
41
16 16 16
1
ox
x
Vdxxdx
xx
SSSS
§·
§· § ·
¨¸
¨¸ ¨ ¸
©¹ © ¹
©¹
³³
13
16 ( 1) 16 12
44
SSS
(куб. од).
Задача 6.255. Обчис+
лити об’єм тіла, утворено+
го обертанням навколо осі
Oy фігури, що обмежена
еліпсом:
22
22
1
xy
ab
.
Розв’язок. Якщо в дано+
го еліпса b < a, то при обер+
танні навколо малої осі от+
римуємо стиснутий еліпсоїд
обертання (рис. 6.7).
Рис. 6.6.
Рис. 6.7.
434
Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»
Для обчислення об’єму відносно осі Oy використаємо формулу
(6.37)
2
1
22
22 2
22
11
y
bb
oy
yb b
yy
Vxdya dya dy
bb
SS S
§· §·
¨¸ ¨¸
©¹ ©¹
³³ ³
3
2
2
3
bb
bb
y
ay
b
S
§·
¨¸
©¹
33
22
22
2
2
3
33
bb b
abb a b
bb
SS
§·
§·
¨¸
¨¸
©¹
©¹
22
44
33
ab ab
SS
(куб. од).
Задача 6.256. Обчислити об’єм тіла, утворенного обертанням
навколо осі Ox фігури, що обмежена лініями 2y = x
2
, 2x + 2y – 3 = 0.
Розв’язок. Обмежена даними
лініями фігура ОАВ, (рис. 6.8),
при обертанні навколо осі Ox ут+
ворює тіло, об’єм якого можна
знайти, як різницю об’ємів тіл,
утворених обертанням навколо
осі Ox трапецій A
1
ABB
1
і
A
1
AOBB
1
. Об’єм
1
V , утворений
обертанням трапецій A
1
ABB
1
,
знаходимо за формулою (6.35).
2
1
1
22
1
3
(1, 5 )
x
x
V
y
dx x dx
SS
³³
1
3
2
3
1
3
(1,5) 91
(1,5)
33
x
xdx
S
SS
³
.
Об’єм
V
2
, утвореного обертанням криволінійної трапеції A
1
AOBB
1
,
знаходимо за формулою (6.35).
2
11
25
4
2
33
1
3
61
(1 243)
24 4520 5
xx
Vdxxdx
SSS
SS
§·
¨¸
©¹
³³
.
Шуканий об’єм:
V = V
1
– V
2
,
12
91 61 272 2
18
3 5 15 15
VVV
SS S S
(куб. од.).
А
1
0 В
1
Х
А
В
Y
Рис. 6.8.
435
Розділ VI. Інтегральне числення
Задача 6.257. Обчислити об’єм
тіла, утвореного від обертання на+
вколо осі
Oy плоскої фігури, що об+
межена лініями
y = x
2
та y = x
3
.
Розв’язок. Обмежена даними
лінія
y = x
2
та y = x
3
фігура, (рис.
6.9), при обертанні навколо осі
Oy
утворює тіло, об’єм якого можна
знайти як різницю об’ємів тіл, ут+
воренних обертанням навколо осі
Oy, трапецій OmAB і OnAB. Вико+
ристаємо формулу (6.36).
11 11
2334
00 00
22 22
oy OmAB OnAB
V V V xxdx x xdx xdx xdx
SS SS
³³ ³³
45
11
11 11 1
22222()20,1
4545452000
xx
SSSSS SS
(куб.од).
Рис. 6.9.
6.8.3.2. Задачі для самостійного розв’язку
6.258.
Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі
Ox фігури, що обмежена лініями y = sin x (однією хвилею), y = 0.
6.259. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі
Oy фігури, що обмежена лініями y = x
3
, x = 0, y = 8.
6.260. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі
Ox фігури, що обмежена лініями y
2
= 1 – x, x = 0.
6.261. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі
Oy фігури, що обмежена лініями x
2
– y
2
= 1, y = 0, y = 2.
6.262. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі
Oy фігури, що обмежена лініями y
2
= 1 – x, x = 0.
6.263. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі
Ox фігури, що обмежена лініями x
2
– y
2
= 1, x =
r
2.
6.264. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі
Ox фігури, що обмежена лініями y = 2x – x
2
, y = 2 – x.
436
Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»
6.265. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі
Oy фігури, що обмежена лініями y =
1
4
x
2
, y =
1
2
x.
6.266. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі
Ox фігури, що обмежена лініями y = e
–x
, x = 2, у = е
х
.
6.267. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі
Oy фігури, що обмежена лініями y = x, x + y = 2, x = 0.
437
Розділ VI. Інтегральне числення
§ 6.9. Економічні задачі, що зводяться до обчислення
визначених інтегралів
6.9.1. Економічний зміст визначеного інтеграла
Якщо f(t) — продуктивність праці в момент часу t, то
0
()
T
uftdt
³
— обсяг продукції, що випускається за проміжок
часу [0;
T];
2
1
()
t
t
uftdt
³
— обсяг продукції, що випускається за проміжок
часу [
t
1
; t
2
]. (6.38)
Задача 6.267. Знайти обсяг продукції, виробленої за чотири роки,
якщо продуктивність праці характеризується формулою
f(t) = (1 + t)e
3t
.
Розв’язання.
Скористуємося формулою (6.38). Обсяг u виробле+
ної продукції дорівнює:
4
3
0
(1 )
t
utedt
³
.
Використаємо метод інтегрування частинами:
U =
4
3
0
(1 )
t
te dt
³
=
333
1,
1
,
3
ttt
u t du dt
dv e dt v e dt e
³
=
= (t + 1)
1
3
e
3t
4
0
–
4
3
0
1
3
t
edt
³
=
5
3
e
12
–
1
3
–
1
9
e
3t
4
0
=
=
1
3
(5e
12
– 1) –
1
9
(e
12
– 1) =
1
9
(14e
12
– 2)
|
2,53
10
5
(ум. од.).
438
Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»
6.9.2. Знаходження капіталу за відомими інвестиціями
Розглянемо задачу знаходження капіталу (основних фондів) за
відомими чистими інвестиціями. Чисті інвестиції (капіталовкладен+
ня) — це загальні інвестиції, які були зроблені за певний проміжок
часу, за винятком інвестицій на відшкодування основних фондів
(капіталу), які виходять з ладу. Таким чином, за одиницю часу кап+
італ збільшується на суму чистих інвестицій.
Якщо капітал розглядати як функцію часу
K(t), а чисті інвестиції,
відповідно, як
f(t), то викладене вище можна записати у вигляді:
f(t) =
d
dt
K(t).
Часто вимагається знайти приріст капіталу за період з моменту
часу
t
1
до t
2
, тобто величину
K'
= K(t
2
) – K(t
1
). Враховуючи, що
K(t) — первісна для функції f(t), маємо:
K
'
= K(t
2
) – K(t
1
) =
2
1
()
t
t
ftdt
³
. (6.39)
Задача 6.268. Чисті інвестиції задано функцією f(t) = 7000
t
.
Визначити:
а) приріст капіталу за три роки;
б) термін часу (у роках), після якого приріст капіталу складає
50000.
Розв’язок. а) Скористаємося формулою для обчислення
K'
, по+
клавши
t
1
= 0; t
2
= 3.
K
'
= K(3) – K(0) =
3
0
7000 tdt
³
= 7000
2
3
t
3/2
3
0
= 7000
2
3
3
3
= 24248,71.
б) Позначимо шукану тривалість часу через Т, тоді
0
()
T
Kftdt'
³
.
Підставляємо
K
'
= 50000 і f(t) = 7000
t
.
439
Розділ VI. Інтегральне числення
50000 =
0
7000
T
tdt
³
;
0
7000
T
tdt
³
= 7000
2
3
t
3/2
0
T
= 7000
2
3
T
3/2
;
50000
= 7000
2
3
T
3/2
;
T
3/2
=
50000 3
7000 2
= 10,71; T = (10,71)
2/3
= 4,86 (року).
6.9.3. Знаходження середнього часу, затраченого на
виготовлення виробу
Нехай відома функція t = t(x), що описує зміни витрат часу t на
виготовлення виробу в залежності від ступеня освоєння виробницт+
ва, де
х — порядковий номер виробу в партії. Тоді середній час t
сер
,
витрачений на виготовлення одного виробу в період освоєння від
х
1
до х
2
виробів обчислюється за теоремою про середнє:
t
сер
=
2
1
21
1
()
x
x
txdx
xx
³
. (6.40)
Що стосується функції зміни витрат часу на виготовлення ви+
робів
t = t(x), то часто вона має вигляд t = ax
b
, де а — витрати часу
на перший виріб,
b — показник виробничого процесу.
Задача 6.269. Знайти середній час, витрачений на освоєння од+
ного виробу в період освоєння від
х
1
= 100 до х
2
= 121 виробів, якщо
функція змінної витрат часу на виготовлення виробів
t = ax
–b
, де
а = 600 (хв), b = 0,5.
Розв’язок.
t
сер
=
2
1
21
1
()
x
x
txdx
xx
³
=
121
1/2
100
1
600
121 100
x
dx
³
=
440
Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»
=
600
21
2
x
121
100
=
2 200
7
(11 – 10) =
400
7
|
57,2 (хв).
Задача 6.270. Нехай середнє значення витрат K(x) = 3x
2
+ 4x +
1, виражених в грошових одиницях, якщо обсяг продукції х змінюєть+
ся від 0 до 3
одиниць. Вказати обсяг продукції, при якому витрати
приймають середнє значення.
Розв’язок. Згідно з теоремою про середнє значення
1
() ()
b
a
f
fxdx
ba
[
³
.
У такому випадку:
()
f
[
=
1
3
3
2
0
(3 4 1)xxdx
³
=
1
3
32
3
0
(3 4 )
32
xx
x
=
=
1
3
(x
3
+ 2x
2
+ x)
3
0
=
1
3
(27 + 18 + 3) = 16 (грош. од.),
тобто середнє значення витрат дорівнює 16. Визначимо, при якому
обсязі продукції витрати приймають це значення, тобто розв’яжемо
рівняння
3
x
2
+ 4x + 1 = 16, або 3x
2
+ 4x – 15 = 0.
Враховуючи, що обсяг продукції не може бути від’ємним, з ос+
таннього рівняння маємо:
[
= x =
2445
3
=
27
3
=
5
3
,
тобто
5
3
[
одиниць продукції.
6.9.4. Розрахунок початкової суми за її кінцевим результатом
При розрахунку економічної активності капітальних вкладень
зустрічаються задачі розрахунку початкової суми за її кінцевою ве+
личиною, отриманою через час
t(років) при річному відсотку (відсот+
ковій ставці)
р. Цей процес, як відомо, називається дисконтуванням.