Комиссарчик В.Ф. Автоматическое регулирование технологических процессов
Подождите немного. Документ загружается.
171
∑∑ ∑
∑∑∑
==
−
=
+
=
−
=
+
−
=
+
+=+
+++=∆
p
k
p
k
kp
S
ksskp
p
k
p
k
kk
p
k
kkk
ddNkidNpidd
NiddNidddjiD
01 0
2
0
0
2
0
2
1
0
1
2
2
)cos(2)cos(2
)2cos()(2)cos()(2)(
ππ
ππω
K
Подставляя, (230) и (231) в (232), а (229) и (232) в (228), получаем
искомое выражение для дисперсии выходной величины
2
y
σ
.
Вычисление интеграла (226) с использованием итеративной процедуры
Определение дисперсии
2
y
σ
по выражению (226) сводится к
решению интеграла вида:
∫
=
−
−
−
=
1
1
1
1
)()(
)()(
2
1
z
dzz
zAzA
zBzB
j
I
π
, (233)
где полиномы )(z
A
и )(z
B
имеют вид
0
1
10
1
10
)(
)(
bzbzbzB
azazazA
nn
n
nn
+++=
+++=
−
−
K
K
Обозначим
)()(
1* −
=
zAzzA
n
, (234)
+++=
+++=
−
−
k
k
kkkk
k
k
k
kkkk
k
bzbzbzB
azazazA
K
K
1
10
1
10
)(
)(
(235)
)()( );()( zBzBzAzA
nn
=
=
Полиномы )(),( zBzA
kk
определяются с помощью следующих
рекуррентных соотношений:
[
]
[]
=−=
−=
−
−
−
−
,,1 ;)()()(
)()()(
*1
1
*1
1
nkzAzBzzB
zAzAzzA
kkkk
kkkk
β
α
(236)
где
. ;
00
k
k
k
k
k
k
k
k
a
b
a
a
==
βα
172
Из выражений (234)÷(236) следует, что коэффициенты многочленов
)(),( zBzA
kk
задаются следующими рекуррентными формулами:
−=−=
−=
−
−
−
−
1,0 ,
1
1
kiabb
aaa
k
ikk
k
i
k
i
k
ikk
k
i
k
i
β
α
(237)
с начальными условиями
i
n
ii
n
i
bbaa
=
=
;
.
Уравнения (237) имеют смысл, если 0
0
≠
k
a . Коэффициент
n
a
0
всегда
можно выбрать ненулевым.
Интеграл (233) можно вычислить по рекуррентным формулам,
используя последовательность интегралов:
∫
=
−
−
−
==
1
1
1
1
,0 ,
)()(
)()(
2
1
z
kk
kk
k
nkdzz
zAzA
zBzB
j
I
π
, (238)
II
n
=
Рекуррентная формула для определения
k
I имеет вид
),1(
2
1
2
KkKk
II
α
β
−
+
=
−
.
2
00
β
=
I
Используя формулы 237, можно получить следующее выражение для
интеграла (238):
∑
=
=
k
i
i
i
i
k
k
a
b
a
I
0
0
2
0
)(
1
(239)
Для удобства вычислений по формуле (239) можно использовать
таблицу 8.
173
Таблица 8
Коэффициенты
n
i
a Коэффициенты
n
i
b
*
nn
aaaa ....
110 −
nn
bbbb ....
110 −
011
aaaa
nn −
011
aaaa
nn −
*
1
1
1
1
1
0
−
−
−− n
n
nn
aaa
1
1
1
1
1
0
−
−
−− n
n
nn
bbb
1
0
1
2
1
1
−−
−
−
−
nn
n
n
n
aaa
1
0
1
2
1
1
−−
−
−
−
nn
n
n
n
aaa
M M
*
1
1
1
0
aa
1
1
1
0
bb
1
0
1
1
aa
1
0
1
1
aa
*
0
0
a
0
0
b
В табл. 8 кружками помечены коэффициенты, входящие в
выражение (239).
Каждая четная строка коэффициентов
k
i
a
получается путем записи
коэффициентов предыдущей строки (отмечены знаком
∗
) в обратном
порядке. Четные строки коэффициентов
k
i
a
и
k
i
b
совпадают. Элементы
нечетных строк коэффициентов
k
i
a
и
k
i
b
вычисляются с помощью
соотношений (237)
7.3. Синтез регулятора с минимальной дисперсией [5]
Целью расчета регуляторов с минимальной дисперсией (МД –
регуляторов) является минимизация дисперсии выходной величины
цифровой системы или равного ей с точностью до
2
y
M
математического
ожидания квадрата выходной величины:
174
{
}
22
minmin
ky
yM=
σ
Поскольку решение этой задачи имеет смысл только при
ограничениях на управления (иначе, увеличивая управляющее
воздействие, дисперсию выходной величины можно сделать сколь угодно
малой) в критерий управления
I
следует ввести ещё одно слагаемое –
средний квадрат управления с весовым коэффициентом
r
:
{
}
min
22
1
→+=
+ kk
rxyMI
(240)
В критерии (240) используется последующее значение выхода
1+k
y
(а не текущее
k
y
), т.к. текущее значение управления
k
x
определяет в силу
запаздывания в объекте управления последующее значение выхода
1+k
y
.
Рассмотрим в качестве примера структурную схему цифровой АСР
со случайным воздействием
F
, приведенным к выходу приведенной
непрерывной части (рис. 77)
Рис. 77.
Пусть для простоты передаточная функция приведенной
непрерывной части имеет первый порядок:
)(
)(
)(
1
01
1
0
zA
zB
zaa
zb
zW
ПНЧ
=
+
=
−
−
.
1
0
)(
−
= zbzB
,
)(zW
рег
)(zW
ПНЧ
)(zW
ф
)(zy
F
)(zx
)(ze
зад
y
–
u(z)
175
1
01
)(
−
+= zaazA
,
а случайное воздействие описывается моделью АР1:
kkk
ucFF
+
−
=
−1
.
Передаточная функция формирующего фильтра для этой модели:
)(
1
1
1
)(
)(
)(
1
zCczzu
zF
zW
ф
=
+
==
−
,
1
1)(
−
+= czzC
.
Передаточную функцию МД–регулятора будем также искать в виде
дробно–рациональной функции от
z
:
)(
)(
)(
ze
zx
zW
рег
=
,
или, считая
0=
зад
y
и
kkзадk
yyye
−
=
−
=
,
)(
)(
)(
zy
zx
zW
рег
−
=
(241)
Для нахождения выражения для выходной величины
1+k
y
, входящей в
критерий (240), запишем её
Z
– изображение:
=
+
= )()()()()( zzuzWzzxzWzzy
фПНЧ
)(
)(
1
)(
)(
)(
zzu
zC
zzx
zA
zB
+=
(242)
Подставляя в (242) выражения для полиномов
),(),(),( zCzBzA
приводя результаты к общему знаменателю и совершая обратное
Z
–
преобразование, получаем:
()
kkkkkkk
uauacxbxbcyaycaaya
011100101011
+
+
+
=
+++
+−−+
(243)
Определяя из последнего выражения
1+k
y
и подставляя его в
критерий (240), имеем:
176
+
++++−
+
−=
+−−
2
1
0
11
1
0
1
0
1
1
0
1
10
kkkkkk
u
a
a
ux
a
cb
x
a
b
y
a
ca
y
a
caa
MI
min
2
→
+
k
rx
(244)
В текущий момент времени
k
известны текущее
k
u
и прошлые
значения возбуждающего шума
ik
u
−
. Неизвестно будущее значение
1+k
u
.
Известные значения шума являются неслучайными и их математическое
ожидание равно их значениям, т.е.
[
]
0, ≥
=
−−
iuuM
ikik
,
т.к. математическое ожидание неслучайной величины равно самой этой
величине. В то же время математическое ожидание последующего
значения шума
[]
1+k
uM
равно нулю, поскольку возбуждающий шум по
предположению имеет нулевое математическое ожидание.
Если
a
– константа, а
x
– случайная величина с нулевым
математическим ожиданием, имеет место очевидное соотношение:
()
][][
22
2
xMaxaM +=+
Поэтому после нахождения математического ожидания выражения в
фигурных скобках (244) получаем:
+
+++−
+
−=
−−
2
1
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
10
kkkkk
u
a
a
x
a
cb
x
a
b
y
a
ca
y
a
caa
I
min][
22
1
→++
+ kk
rxuM
Оптимальное значение управления
k
x
определяем из необходимого
условия экстремума критерия оптимальности:
022
1
0
1
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
10
=+⋅
+++−
+
−=
∂
∂
−− kkkkkk
k
rx
a
b
u
a
a
x
a
cb
x
a
b
y
a
ca
y
a
caa
x
I
(245)
177
Для нахождения передаточной функции МД–регулятора запишем
Z
–
преобразование соотношения (245). Выражение в квадратных скобках
(245) есть, как следует из (243),
1+k
y
за вычетом
1+k
u
, поэтому его
Z
–
преобразование равно:
)()( zzuzzy
−
,
следовательно,
Z
– преобразование (245) принимает вид
[]
0)()()(
1
0
=+− zrx
a
b
zzuzzy
(246)
Найдем из (242)
)(zzu
и подставим в (246).
)(
)(
)()(
)()()(
zzx
zA
zCzB
zzyzCzzu −=
(247)
После подстановки (247) в (246), имеем
0)()(
)(
)(
)()()()(
1
0
=+
+− zrx
a
b
zzx
zA
zB
zCzzyzCzzy
Передаточную функцию МД–регулятора получим разрешив
последнее равенство относительно отношения
)()( zyzx
−
, как того
требует определение (241):
10
10
)()()(
]1)()[(
)(
abzBzzCzrA
abzCzzA
zW
рег
−
−
=
,
или с учетом выражений для полиномов
)(),(),( zCzBzA
:
(
)
()()
1
1
2
001
2
01
10
1
01
)(
−
−
−+−
+
=
zacbraabra
acbzaa
zW
рег
(248)
178
8. Синтез многомерных дискретных регуляторов в
пространстве состояния [12, 13, 14]
8.1. Формулировка задачи оптимального управления
Задача синтеза многомерного регулятора в пространстве состояния
формализуется обычно в виде задачи о максимальной точности с
интегральным квадратичным функционалом
I
:
()
∫
+=
1
0
min
t
t
TT
u
dtuRuxQxJ
rrrr
, (249)
где
10
, tt
– соответственно начальное и конечное время,
()
01
tt −
– интервал управления (при
∞
→
1
t
имеем бесконечный интервал
управления),
x
r
– вектор переменных состояния системы размерностью
n
(
n
– вектор);
u
r
–
r
– вектор переменных управления;
Q
– (
nn ×
) – квадратная положительно определенная диагональная
матрица весовых коэффициентов состояния;
R
– (
r
r
×
) – квадратная положительно полуопределенная диагональная
матрица весовых коэффициентов управления.
Вообще говоря, в критерии задачи (249) вместо вектора состояния
x
r
следовало бы писать отклонение вектора состояния от его заданного
значения
зад
x
r
. Однако для упрощения записи полагаем
0=
зад
x
r
.
Размерность вектора состояния равна порядку дифференциального
уравнения (системы уравнений), которыми описывается данная
динамическая система.
Первое слагаемое (квадратичная форма матрицы
Q
) вводится в
критерий задачи (249) с целью минимизации суммы интегральных
179
квадратичных критериев для переменных состояния взятых с весовыми
коэффициентами равными элементам матрицы
Q
.
Второе слагаемое в критерии задачи (249) (квадратичная форма
матрицы
R
) позволяет минимизировать сумму квадратичных
интегральных критериев для переменных управления взятых с весами
равными элементам матрицы
R
и таким образом ввести ограничения на
управление.
Поскольку многомерные регуляторы проще всего реализовать с
помощью цифровых вычислительных устройств, перейдем к дискретному
аналогу задачи (249):
()
∑
−
=
++
+=
1
0
11
min
N
i
i
T
ii
T
i
uRuxQxI
rrrr
, (250)
где
N
– число периодов квантования по времени в интервале управления
(Как в задаче (240), последующее состояние и предыдущее управление в
силу запаздывания в объекте управления отнесены к одному шагу).
8.2. Уравнения состояния и измерения
При решении задачи оптимального управления (249) уравнения
динамики объекта (системы) управления записывают в виде системы
дифференциальных уравнений первого порядка в матричной форме записи
и называют матричным уравнением состояния.
Для линейных стационарных систем уравнение состояния имеет вид:
uBxAx
r
r
&
r
+=
, (251)
где
x
&
r
–
n
– вектор первых производных переменных состояния,
A
и
B
– соответственно (
nn
×
) – и (
r
n
×
) – матрицы состояния и
управления.
180
В реальных условиях измерению доступны только отдельные
элементы вектора состояния или их линейные комбинации, поэтому
уравнение состояния дополняется матричным уравнением измерения
(выхода), связывающим
l
– вектор выходных переменных
y
r
с вектором
состояния:
xCy
r
r
⋅
=
, (252)
где
C
– (
n×l
) – матрица выхода.
В качестве примера рассмотрим получение матричного уравнения
состояния для одномерного по управлению объекта, описываемого
дифференциальным уравнением
n
– го порядка (2), которое перепишем в
виде
ub
d
t
ud
b
d
t
ud
bya
d
t
yd
a
d
t
yd
a
m
m
m
m
m
m
n
n
n
n
n
n
0
1
1
10
1
1
1
+++=+++
−
−
−
−
−
−
LL
(253)
Пусть для определенности
1
−
=
nm
.
Запишем преобразование Лапласа уравнения (253)
(
)
(
)
)()(
0
2
2
1
10
1
1
pubpbpbpyapapa
n
n
n
n
n
n
n
n
+++=+++
−
−
−
−
−
−
LL
, (254)
или
)()()()( pupBpypA
=
, (255)
где
)( pA
и
)( pB
– полиномы от
p
порядков
n
и (
1
−
n
)
соответственно.
Из (255) следует, что
)()()()( pApupBpy
=
, (256)
Обозначим
)()()( pxpApu
=
, (257)
тогда выражения (256), (257) можно записать в виде:
)()()( pxpBpy
=
(258)
)()()( pupxpA
=
(259)