Контрольні завдання всеукраїнського етапу МАН
Подождите немного. Документ загружается.
ВІДДІЛЕННЯ МАТЕМАТИКИ
- 21 -
3. В десятковому записі числа
8
13
знайти цифру, яка стоїть під
номером 2010 після коми.
ІІІ рівень
1. Знайти усі цілі додатні числа n , при яких рівняння
2
sin sin sin ... sin 1
33 3
n
xx x
x
⋅⋅ ⋅⋅ = має принаймні один розв’язок.
2. В трикутнику
A
BC висота
B
H ділиться бісектрисами, проведеними
з двох інших вершин, у відношенні 13:12 та 13:5 , рахуючи від вершини
B
. Знайти величину кута
B
.
3. Нехай паралелограм
A
BCD є основою піраміди
A
BCDS . Точки
,,
M
KN лежать на ребрах ,,SB SD SC відповідно і
:1:2,:1:4,SM SB SN
S
С== :1:3SK SD
=
. Чи обов’язково площина
M
NK
проходить через точку
A
? Відповідь обґрунтувати.
11 клас
І рівень
1. Графічно розв’язати нерівність
21(1)(25)xxx
+
≥+ −
.
2. Скількома способами можна розбити 8 футбольних команд на
пари ?
3. Знайти найбільше і найменше значення функції
() sin5 5sin
f
xxx=−.
4. Знайти довжину бісектриси більшого гострого кута прямокутного
трикутника з гіпотенузою 6см і катетом 3см.
ІІ рівень
1. Розв’язати рівняння
2
[1]
x
xx
+
+=, де []a
−
ціла частина числа a ,
тобто найбільше ціле число, яке не перевищує a .
КОНТРОЛЬНІ ЗАВДАННЯ
- 22 -
2. В десятковому записі числа
11
65
знайти цифру, яка стоїть під
номером 2010 після коми.
3. Довести, що для довільного натурального 2n ≥ існує n таких
натуральних чисел
12
, ,...,
n
x
xx (не обов’язково різних), що їхня сума
дорівнює їхньому добутку.
ІІІ рівень
1. Чи існують прямий круговий циліндр і куля, що мають однакові
об’єми і повні площі поверхонь? Відповідь обґрунтувати.
2. Нехай ,,abc– такі цілі числа, що 3780abc
+
+= і число 4bc+ без
остачі ділиться на 5. Довести, що число 22 3 7abc
+
+ без остачі ділиться
на 25.
3. В трикутнику
A
BC висота
B
H ділиться бісектрисами, проведеними
з двох інших вершин, у відношенні 13:12 та 13:5 , рахуючи від вершини
B
. Знайти величину кута
B
.
Секція “Прикладна математика”
11 клас
І рівень
1. При яких значеннях параметра a рівняння
2
(2 ) 2 0ax a x
+
−−= має
єдиний дійсний корінь ?
2. Периметр трикутника при діленні на кожну його сторону дає цілі
числа. Знайти ці числа.
3. У скількох точках перетинаються графіки
2
log ( 1)yx=− і
2
28yx x=−−?
4. Скільки різних за довжиною діагоналей має правильний
семикутник ?
ВІДДІЛЕННЯ МАТЕМАТИКИ
- 23 -
ІІ рівень
1. Чи правда, що усі розв'язки системи рівнянь
sin(6 10 ) 1,
cos(2 3 ) 0
yx
yx
−=
⎧
⎨
−=
⎩
задаються формулами
,
7
,
4
x
m
yn
ππ
π
π
=+
⎧
⎪
⎨
=+
⎪
⎩
де ,mn
−
довільні цілі числа ?
Відповідь обґрунтувати.
2. Навести приклад цілого додатного числа, у якого рівно одинадцять
натуральних дільників.
3. Побудувати переріз правильної трикутної піраміди площиною, яка
проходить через деяку точку бічного ребра, точку перетину медіан
протилежної бічної грані і через центр основи.
ІІІ рівень
1. Бісектриса
A
K , висота
B
N і медіана CM трикутника
A
BC перетинаються в точці O . Довести, що
B
OAO
ON OK
=
.
2. Знайти найбільше значення функції
2
( ) log log 16 4
x
fx x
=
++
, якщо
1
1
8
x
≤<.
3. Відомо, що числа ,, 3,7 5, 5
p
qq p q p q
+
+−−додатні, прості, попарно
різні цілі числа. Знайти
p
і q .
Секція “Математичне моделювання”
11 клас
І рівень
1. Чи правда, що
2
7
log 5
3
<
? Відповідь обґрунтувати.
КОНТРОЛЬНІ ЗАВДАННЯ
- 24 -
2. Знайти площу трикутника з вершинами у точках
(2;3), (5;1), (3;7)
A
BC.
3. Знайти найбільше і найменше значення функції
() cos5 5cos
f
xxx=−.
4. Нехай n
−
довільне ціле додатнє число. Довести, що
2
2 цифр цифр цифр
11...11...1 22...22 (33...33)
nnn
−=
14
2
431
2
31
2
3
.
ІІ рівень
1. Чи існує трапеція, основи якої дорівнюють 3 і 7, а бічні сторони
дорівнюють 13 і 15 ? Відповідь обґрунтувати.
2. Довести, що число ( 1)( 6)( 9)( 10)( 12) 1296nn n n n n
+
+++ ++ є
квадратом деякого цілого числа при довільному цілому значенні n .
3. Розв’язати рівняння
2
11 27
sin( )
16 4
x
x
π
=− .
ІІІ рівень
1. Відомо, що числа ,, 3,7 5, 5
p
qq p q p q
+
+−−додатні, прості, попарно
різні цілі числа. Знайти
p
і q .
2. Бісектриса
A
K , висота
B
N і медіана CM трикутника
A
BC перетинаються в точці O і :2:1
B
OON
=
. Довести, що трикутник
A
BC рівносторонній.
3. Знайти таке число
a , щоб рівняння
21
222(cossin)
xx
axx
π
π
+
+=⋅ −
мало єдиний корінь. Знайти цей єдиний корінь.
ВІДДІЛЕННЯ ЕКОНОМІКИ
- 25 -
ВІДДІЛЕННЯ ЕКОНОМІКИ
КОНТРОЛЬНІ ЗАВДАННЯ
- 26 -
КОНТРОЛЬНІ ЗАВДАННЯ З МАТЕМАТИКИ
9 клас
І рівень
1. Довести, що для довільного цілого m існує таке ціле n , що число
23mn+ без остачі ділиться на 5.
2. Нехай 2,0 0,1
x
=±, 3, 2 0, 2y =±. Чи правда, що
1, 23 0, 07
xy
xy
=±
+
?
Відповідь обґрунтувати.
3. Схематично зобразити графік
2
x
x
y
x
x
+
−
=
+
.
4. В опуклому чотирикутнику
A
BCD площі трикутників
,,
A
BC BCD CDA
дорівнюють відповідно
22 2
8,9,10см см см
. Знайти площі
усіх чотирьох трикутників, утворених з чотирикутника
A
BCD після
проведення діагоналей.
ІІ рівень
1. Описати усі опуклі чотирикутники, у кожному з яких різниця між
сумою квадратів усіх сторін і сумою квадратів обох діагоналей є
найменшою.
2. Нехай ,mn
−
довільні цілі невід’ємні числа. Довести, що число
64 64
11...11311...11
mn++
1
2
31
2
3
без остачі ділиться на 7.
3. В десятковому записі числа
8
13
знайти цифру, яка стоїть під
номером 2010 після коми.
ВІДДІЛЕННЯ ЕКОНОМІКИ
- 27 -
ІІІ рівень
1. Нехай S − площа трикутника, r
−
радіус вписаного у нього кола
і
2
33Sr= . Довести, що трикутник рівносторонній.
2. Довести, що існує нескінченно багато прямих, кожна із яких має
єдину спільну точку з кожним графіком
2
4yx
=
− та
2
46yx x
=
−+. Знайти
рівняння усіх таких прямих.
3. В трикутнику
A
BC висота
B
H ділиться бісектрисами, проведеними
з двох інших вершин, у відношенні 13:12 та 13:5 , рахуючи від вершини
B
. Знайти величину кута
B
.
10 клас
І рівень
1. Довести, що для довільного цілого m існує таке ціле n , що число
25mn+ без остачі ділиться на 7.
2. Нехай 2,0 0,1
x
=±, 3, 2 0, 2y =±. Чи правда, що 1, 23 0, 07
xy
xy
=±
+
?
Відповідь обґрунтувати.
3. Схематично зобразити графік
2
2
42
x
x
y
x
x
+
=
+
.
4. В опуклому чотирикутнику
A
BCD площі трикутників
,,
A
BC BCD CDA дорівнюють відповідно
22 2
8,9,10см см см . Знайти площі
усіх чотирьох трикутників, утворених з чотирикутника
A
BCD після
проведення діагоналей.
ІІ рівень
1. Описати усі опуклі чотирикутники, у кожному з яких різниця між
сумою квадратів усіх сторін і сумою квадратів обох діагоналей є
найменшою.
2. Знайти найменше і найбільше значення виразу
37
25
xy
L
xy
+−
=
+−
, якщо
34
12
x
y
≤≤
⎧
⎨
≤≤
⎩
.
КОНТРОЛЬНІ ЗАВДАННЯ
- 28 -
3. Довести, що число
33
980 980++− є цілим і знайти його.
ІІІ рівень
1. Нехай S − площа трикутника, r
−
радіус вписаного у нього кола
і
2
33Sr= . Довести, що трикутник рівносторонній.
2. Довести, що існує нескінченно багато прямих, кожна із яких має
єдину спільну точку з кожним графіком
2
4yx
=
− та
2
46yx x
=
−+. Знайти
рівняння кожної з таких прямих.
3. Нехай паралелограм
A
BCD є основою піраміди
A
BCDS . Точки
,,
M
KN лежать на ребрах ,,SB SD SC відповідно
і :1:2,:1:4,SM SB SN SC== :1:3SK SD
=
. Чи обов’язково площина
M
NK
проходить через точку
A
? Відповідь обґрунтувати.
11 клас
І рівень
1. Чи можна квадрат зі стороною 10 см повністю накрити кругом
радіуса 7см ?
2. Довести, що
5
3
log 2
7
>
.
3. Знайти площу трикутника з вершинами у точках
(2;3), (5;1), (3;7)
A
BC.
4. Скільки точок перетину може утворитись всередині опуклого
шестикутника, якщо провести усі його діагоналі
ІІ рівень
1. Знайти площу трапеції, основи якої дорівнюють 3 і 7, а бічні
сторони дорівнюють 13 і 15.
2. Знайти найбільше і найменше значення функції
1
() sin2 cos
2
f
xxx=− +
.
ВІДДІЛЕННЯ ЕКОНОМІКИ
- 29 -
3. Яким має бути параметр ,a щоб рівняння
2
310ax x−+=
мало
єдиний корінь?
ІІІ рівень
1. Довести, що число
2 цифр цифр
4...4...44 88...88
nn
−
1
42 43123
є квадратом цілого числа
і знайти це число.
2. Графічно розв’язати рівняння
2
2
2log ( 3) 2 1
x
xx
+
=++.
3. Знайти прямокутник з найбільшою площею, вершини якого лежать
на сторонах прямокутного трикутника з катетами 6 і 8. Скільки розв’язків
має задача ?
КОНТРОЛЬНІ ЗАВДАННЯ
- 30 -
ВІДДІЛЕННЯ
ФІЗИКИ І АСТРОНОМІЇ