Крылов Н.Н., ред. Начертательная геометрия

Подождите немного. Документ загружается.

дюмов находил все новые и новые области

применения проекционных методов к ре-

шению инженерных задач. Придавая

большое значение начертательной геомет-

рии, Курдюмов говорил, что если чертеж

является языком техники, одинаково по-'

нятным всем народам, то начертательная

геометрия служит грамматикой этого язы-

ка, так как она учит нас правильно читать

чужие и излагать наши собственные мыс-

ли, пользуясь в качестве слов только лини-

ями и точками как элементами всякого

изображен ия.

Чтобы закончить краткую характеристи-

ку становления и развития начертатель-

ной геометрии в нашей стране в доре-

волюционный период, следует указать еще

на труды академика Е. С. Федо-

рова (1853-—1919) и профессора Мос-

ковского университета А. К. Власова

(1868-1922).

В своих трудах «Новая геометрия, как

основа черчения» (1907 г.), «Простое и

точное изображение точек пространства

четырех измерений на плоскости посредст-

вом векторов» (1909 г.) Е. С. Федоров

показывает возможности использования

проективных свойств фигур в кристалло-

графии и разрабатывает методы плоских

изображений четырехмерных систем. В по-

след1.;1Й период своей жизни он плодотвор-

но работал над созданием способов изо-

бражения многокомпонентного состава

сложных химических соединений. В «но-

вой геометрии» Федорова в качестве ос-

новного элемента берется не точка, а дру-

гие геометрические фигуры, например ок-

ружности, сферы, векторы, позволяющие

представлять графически объекты четы-

рех, пяти и т. д. измерений.

Распространению новых идей в препода-

вании начертательной геометрии во мно-

гом способствовал профессор А. К. Вла-

сов, положивший начало применению про-

ективной геометрии к теории аксономет-

рии и номографии.

Большие возможности для своего разви-

тия начертательная геометрия, как и все

науки, получает после Великого Октября.

Результатом этого развития явилось со-

здание советской школы начертательной

геометрии, школы инженерной графики,

формированию которой во многом способ-

ствовала продуктивная деятельность про-

220

фессоров Н. А. Р ы н и н а, А. И. Д о-

брякова, Н. А. Глаголева,

Н. Ф. Ч е т в е р у х и н а, Н. М. Б е с к и-

н а, И. И. К о т о в а и др.

С именем Н. А. Рынина (1877—1942)

связано развитие прикладных вопросов

начертательной геометрии. Ученик Курдю-

мова в своих многочисленных и капиталь-

ных трудах показал, насколько велика

область применения начертательной гео-

метрии. Богатая эрудиция Н. А. Рынина

позволяла ему находить примеры успеш-

ного приложения графических построений

к решению инженерных задач в строитель-

ном деле, авиации, механике, кораблестро-

ении, киноперспективе. Некоторое пред-

ставление об этом можно получить по

приводимому (далеко не полному) пере-

чню работ Н. А. Рынина: «Ледорезы»,

«Применение метода аксонометрических

проекций к решению некоторых задач ме-

ханики», «Дневной свет и расчет освещен-

ности помещений», «Киноперспектива и ее

приложение в авиации», «Новый способ

расчета обзора, обстрела и освещенно-

сти».

Неизменно привлекал метод проекций к

исследованию пространственных зубчатых

зацеплений заслуженный деятель науки и

техники, профессор Н. И. Мерцалов

(1866—1948)—один из основоположни-

ков теории пространственных механизмов.

Теория перспективы и теория теней в

приложении к архитектурно-строительно-

му проектированию получили дальнейшее

совершенствование в трудах доктора тех-

нических наук, профессора А. И. Добря-

кова (1895 —1947) и его учеников. Создан-

ные ими пособия по построению перспек-

тивных изображений получили широкое

применение в практике работы проектных

организаций.

За годы советской власти значитель-

ных достижений добились представите-

ли проективного направления в начерта-

тельной геометрии: Н. А. Глаголев,

Н. Ф. Четверухин, Н. М. Бескин и

др. Особенно плодотворно работал в этой

области профессор Московского универси-

тета Н. А. Глаголев (1888—1945), со-

здавший первый курс начертательной гео-

метрии целиком на проективной основе.

В 1924 г. он делает важное теоретическое

обобщение основной теоремы аксономет-

рии. Проективные методы Н. А. Глаголев

использовал при построении номограмм,

которые применяются в различных облас-

тях техники, а также в военно-морском

флоте и артиллерии.

Заслуживает быть отмеченным иссле-

дование профессора Д. И. Каргина

(1880—1949) о точности графических

построений. Им было организовано в Ле-

нинграде объединение работников ин-

женерной графики, которое одним из пер-

вых развернуло работу по оказанию помо-

щи производству. Этот передовой почин

ленинградцев получил затем широкое рас-

пространение и в других городах нашей

страны.

Совершенствованию преподавания

начертательной геометрии в вузах способ-

ствовала научная и методическая работа

профессора Н. Ф. Четверухина (1891 —

1974) и его учеников. Им получены значи-

тельные результаты в теории позиционной

и метрической полноты изображений, в

разработке параметрических методов по-

строения проекционных чертежей.

Разработке алгоритмов и геометриче-

ских моделей процессов конструирования,

включая модели каркасных поверхностей,

задачи воспроизведения поверхностей и их

изображений с помощью ЭВМ, способ-

ствовала целеустремленная деятельность

профессора И. И. Котова (1909—1976)

и созданного им межвузовского семинара

«Кибернетика графики». Большая заслуга

И. И. Котова и его школы заключается

в том, что он и его последователи одними из

первых учли объективные изменения, про-

исходящие в методах проектирования, где

все большее применение получают ЭВМ и

широкий арсенал оборудования в ком-

плекте с ними — АРМ. Учли и сделали

многое для внедрения систем автоматизи-

рованного проектирования (САПР) и ос-

нов машинной графики в учебный процесс,

который ведут кафедры начертательной

геометрии и черчения.

Так, в общении с жизнью, в тесной связи

с практикой развивается отечественная

школа начертательной геометрии.

ОТВЕТЫ

НА НЕКОТОРЫЕ КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

И УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

2.!*. Множество точек, все три проекции

которых совпадают, представляет собой

прямую, проходящую через начало коор-

динат, второй и восьмой октанты. Коорди-

наты точек такой прямой должны отвечать

условию =

| К|

= |Z|, но знак коорди-

наты У должен быть противоположен зна-

кам координат X и Z.

3.1. Прямая равнонаклонена к Пi и ГЬ.

4.11. Биссектриса угла проецируется в

биссектрису проекции того же угла, если

она является линией уровня или линией

наибольшего уклона плоскости данного

угла. Заметим, что здесь имеются в виду

линии уровня и наибольшего уклона по

отношению к той плоскости, на которую

проецируются угол и его биссектриса.

4.12. Плоскость, равноудаленная от

двух скрещивающихся прямых, должна

проходить через середину их общего пер-

* Первая цифра соответствует порядковому

номеру главы, вторая — вопросу.

пендикуляра и быть параллельна обеим

прямым.

5.1. Искомая плоскость должна быть па-

раллельна двум прямым, по которым

пересекаются противоположные боковые

грани пирамиды.

5.2. Прежде всего необходимо построить

основание ABCD параллелепипеда, а за-

тем боковое ребро СС'.

6.3. Ось вращения должна быть

параллельна данной прямой, и расстояние

от этой оси до плоскости должно быть не

меньше расстояния от оси до прямой.

9.6. Плоскость а параболического

сечения должна быть параллельна и за-

данной прямой I, и одной из образующих

конуса. Предварительно следует постро-

ить плоскость fi, проходящую через пря-

мую / и касающуюся вспомогательного

конуса. Вершину этого конуса располага-

ют на прямой /, ось проводят параллельно

оси заданного конуса. Углы при вершинах

обоих конусов должны быть равны друг

другу. Параллельно плоскости f> и прово-

дят искомую а.

221

9.10. Искомые точки должны принад-

лежать трем цилиндрическим поверх-

ностям вращения с диаметрами 2а (мм),

осями которых служат заданные прямые.

Используя теорему Монжа, следует

построить линии пересечения указанных

поверхностей (два эллипса) и найти точки,

общие для каждого из них.

9.11. Приняв линию I за образующую

поверхности вращения, соосную с данной,

необходимо построить главный меридиан

этой поверхности и определить точ-

ку М построенного меридиана, ближай-

шую к меридиану заданной поверхности.

С помощью параллели (окружности), про-

веденной через точку М, находят искомую

точку на линии /.

9.12. Задача сводится к определению то-

чек пересечения прямой с поверхностью

вращения, все точки которой удалены от

заданной поверхности на а мм.

10.1. Плоскость, касательная к дважды

линейчатой поверхности, может быть

определена теми двумя прямолинейными

образующими, которые проходят по повер-

хности через заданную точку.

10.6. Не могут. Сравните ориентировку

нормалей вдоль прямолинейных обра-

зующих развертывающихся и неразвер-

тывающихся линейчатых поверхностей

(см. § 55).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бахвалов С. В, Бабушкин Л. И., Иваниц-

кая В. П. Аналитическая геометрия. — М.:

Просвещение, 1970. — 376 с.

2. Банковский Ю. М., Галактионов В. А.,

Михайлова Т. Н. Графор. Графическое расши-

рение ФОРТРАНА. — М.: Наука, 1985. — 288 с.

3. Виноградов И. М. Аналитическая геоме-

трия. — М.: Наука, 1986. — 176 с.

4. Глаголев Н. А. Геометрические преоб-

разования в начертательной геометрии. Воп-

росы современной начертательной геометрии.

— М.: Гостехиздат, 1947. — 9 — 54 с.

5. Глазунов Е. А, Четверухин Н. Ф. Ак-

сонометрия. — М.: Гос. изд-во технико-теоре-

тической литературы, 1953. — 292 с.

Засов

В. Д.,

Иконникова

Г. С.,

Крылов

Н. Н.

Задачник по начертательной геометрии. — М.:

Высшая школа, 1984. — 192 с.

7. Добряков А. И. Курс начертательной

геометрии. — М. — Л.: Гос. изд-во литературы

по строительству и архитектуре, 1952. — 496 с.

8. Колотое С. М., Евстигнеев М. Ф., Ми-

хайленко В. Е. и др. Начертательная геометрия.

— Киев.: Вища школа, 1975. — 264 с.

9. Колотое С. М. Вопросы теории изоб-

ражений. — Киев.: Изд-во Киевского универси-

тета, 1972. — 162 с.

10. Короев Ю. И. Начертательная геомет-

рия. — М.: Стройиздат, 1987. — 319 с.

11. Котов И. И. Начертательная геомет-

рия. — М.: Высшая школа, 1970. — 384 с.

12. Котов И. И., Полозов В. С., Широкова

Л. В. Алгоритм машинной графики. — М.:

Машиностроение, 1977. — 232 с.

13. Кузнецов Н. С. Начертательная геомет-

рия. — М.: Высшая школа, 1981. — 262 с.

14. Ньюмен У.,

Спрулл

Р. Основы интерак-

тивной машинной графики. — М.: Мир, 1976.

— 574 с.

15. Пойа Д. Математика и правдоподоб-

ные рассуждения. — М.: Наука, 1975. — 574 с.

16. Соболев Н. А. Теория и практика при-

кладной геометрии в современном архитектур-

но-строительном проектировании: Труды

МАИ. Вып. 242. 1972. С. 176 — 190.

17. Федоров М. В. Рисунок и перспектива.

— М.: Искусство, 1960. — 130 с.

18. Фокс А., Пратт М. Вычислительная

геометрия. Применение в проектировании и на

производстве. — М.: Мир, 1982. — 304 с.

19. Фоли Дж., Вен Дэм А. Основы интерак-

тивной машинной графики. — М.: Мир, 1985.

— 368 с.

20. Четверухин Н. Ф.,

Левицкий

В. С., Пря-

нишников

3. И. и др. Курс начертательной гео-

метрии. — М.: Гос. изд-во технико-теоретичес-

кой литературы, 1956. — 436 с.

21. Четверухин Н. Ф. Проективная геомет-

рия. — М.: Просвещение, 1969. — 368 с.

22. Шмидт Р. Учение о перспективе. —

М.:Стройиздат, 1983. — 120 с.

23. AutoCAD 14. Русская и англоязычная

версии/ Э. Т. Романычева и др. — М.: ДМК,

1998.-510 с.

24. Петерсон М. Эффективная работа с 3D

Studio МАХ: Пер. с англ. Спб. Питер, 1999.-656

с.

25. Corel Draw 8 без проблем. Специальное

издание/ Петров М., Попов С. — М.: Бином,

1998.-464 с.

26. Corel Draw 8. Полное руководство. 4-е

издание/ Олтман Р. — Киев: BHV, 1999.-800 с.

222

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие 3

Принятые обозначения 4

Введение 5

Сущность метода проекций 5

Требования, предъявляемые к проекци-

онному чертежу 6

Глава 1. Геометрические преобразования

при центральном и параллель-

ном проецировании 7

§ 1. Проективные плоскость и про-

странство 7

§ 2. Перспективная коллинеация и

гомология 8

§ 3. Перспективно-аффинное (род-

ственное) соответствие . ... 10

Раздел 1. Ортогональные проекции 14

Глава 2. Проекции точек 14

§ 4. Ортогональная система двух

плоскостей проекций .... 14

§ 5. Ортогональная система трех

плоскостей проекций .... 16

§ 6. Три координаты и три проекции

точки и ее радиуса-вектора . . 17

Глава 3. Прямая линия 20

§ 7. Задание прямой линии .... 20

§ 8. Различные положения прямой

линии относительно плоскостей

проекций 21

§ 9. Взаимное расположение точки

и прямой. Деление отрезка пря-

мой линии в данном отношении 23

§ 10. Определение длины отрезка

прямой линии и углов наклона

прямой к плоскости проекций 24

§ 11. Следы прямой линии .... 25

§ 12. Взаимное расположение двух

прямых линий 27

§ 13. Взаимно перпендикулярные

прямые линии 28

Глава 4. Плоскость 29

§ 14. Способы задания плоскости,

следы плоскости 29

§ 15. Различные положения плоскос-

ти относительно плоскостей

проекций 30

§ 16. Построение следов плоскости 32

§ 17. Прямые линии и точки, распо-

ложенные в данной плоскости 33

§ 18. Главные линии плоскости . . 34

§ 19. Взаимное расположение двух

плоскостей 36

§ 20. Взаимное расположение пря-

мой линии и плоскости ... 39

§ 21. Прямая линия, параллельная

плоскости 39

§ 22. Прямая линия, пересекающая

плоскость 40

§ 23. Прямая линия, перпендикуляр-

ная плоскости 43

§ 24. Взаимно перпендикулярные

плоскости 43

Глава 5. Многогранники ...... 44

§ 25. Способы задания многогран-

ников и построение их проек-

ций 44

§ 26. Пересечение поскости и пря-

мой линии с многогранником . 47

§ 27. Взаимное пересечение много-

гранников 48

Глава 6. Способы преобразования проек-

ций 49

§ 28. Характеристика способов . . 49

§ 29. Замена плоскостей проекций . 50

§ 30. Решение четырех основных за-

дач способом замены плоскос-

тей проекций 52

§ 31. Способ вращения 55

§ 32. Решение четырех основных за-

дач способом вращения ... 57

§ 33. Способ плоскопараллельного

перемещения 60

§ 34. Способ вспомогательного

проецирования 61

§ 35. Применение способов преобра-

зования проекций к решению

метрических задач 65

§ 36. Методические указания к реше-

нию конструктивных задач . . 70

Глава 7. Кривые линии 71

§ 37. Проекции плоских кривых . . 73

§ 38. Проекци плоских алгебраичес-

ких линий 74

§ 39. Винтовые линии 76

Глава 8. Поверхности 79

§ 40. Способы образования поверх-

ностей 79'

§ 41. Определитель и каркас поверх-

ности 83

§ 42. Поверхности вращения ... 85

§ 43. Развертывающиеся поверхнос-

ти 91

§ 44. Винтовые поверхности ... 95

§ 45. Линейчатые поверхности с

плоскостью параллелизма . . 97

§ 46. Циклические поверхности . . 101

§ 47. Поверхности параллельного

переноса 103

Глава 9. Позиционные задачи на поверх-

ности 104

§ 48. Линии и точки, принадлежа-

щие поверхности 104

§ 49. Пересечение поверхности плос-

костью 105

§ 50. Пересечение линии с поверх-

ностью 111

223

§ 51. Пересечение поверхностей . 113

§ 52. Способ плоских сечений . . . 114

§ 53. Пересечение поверхностей вра-

щения и циклических . . . . 115

§ 54. Частные случаи пересечения

поверхостей второго порядка . 117

Глава 10. Плоскости, касательные к кри-

вым поверхностям 121

§ 55. Касательные плоскости к ли-

нейчатым поверхностям. . . 122

§ 56. Касательные плоскости к нели-

нейчатым поверхностям. . . 124

Глава 11. Построение разверток . . . . 126

§ 57. Развертки многогранников . . 126

§ 58. Развертки цилиндрической и

конической поверхностей . . 129

§ 59. Развертка сферы 130

Раздел 2. Проекции аксонометические,

перспективные с числовыми от-

метками 132

Глава 12. Метод параллельного проеци-

рования на одну плоскость

(аксонометрия) 132

§ 60. Сущность метода и основные

понятия 132

§ 61. Основная теорема аксономет-

рии 134

§ 62. Зависимость между коэффици-

ентами искажения и углом

проецирования 134

§ 63. Стандартные аксонометричес-

кие проекции 135

§ 64. Математическая модель пря-

моугольной аксонометрии . . 138

§ 65. Окружность в аксонометрии . 139

§ 66. Построение аксонометричес-

ких изображений 141

Глава 13. Линейная перспектива .... 148

§ 67. Сущность метода 148

§ 68. Система плоскостей линейной

перспективы 150

§ 69. Перспективы точек, располо-

женных в различных частях

пространства 151

§ 70. Перспектива прямой линии . . 152

§ 71. Взаимное расположение двух

прямых линий 152

§ 72. Выбор точки и угла зрения.

Ориентировка картины . . . 155

§ 73. Методы построения перспекти-

вы 156

§ 74. Математическая модель цент-

рального проецирования . . 163

§ 75. Некоторые примеры построе-

ния перспективы 164

Глава 14. Проекции с числовыми отмет-

ками 169

§ 76. Сущность метода 169

§ 77. Задание и изображение прямой

линии 169

§ 78. Плоскость 170

§ 79. Взаимное расположение двух

плоскостей 172

§ 80. Прямая и плоскость .... 174

§ 81. Поверхности 176

§ 82. Решение позиционных и метри-

ческих задач на топографичес-

кой поверхности . . . 177

§ 83. Определение границ земляных

работ 178

Раздел 3. Тени в ортогональных проекци-

ях, перспективе и аксонометрии 182

Глава 15. Геометрические основы теории

теней 182

§ 84. Общие понятия 182

§ 85. Тень точки 183

§ 86. Тень прямой линии .... 184

§ 87. Тень плоской фигуры .... 185

§ 88. Метод обратных лучей . . . 187

Глава 16. Тени геометрических тел . . . 188

§ 89. Тени многогранников .... 188

§ 90. Тени пересекающихся много-

гранников 190

§ 91. Тени тел, ограниченных кривы-

ми поверхностями 192

§ 92. Тени на фасадах зданий . . . 194

Глава 17. Тени в перспективе и аксоно-

метрии . . . 196

§ 93. Тени в линейной перспективе . 196

§ 94. Тени в аксонометрии .... 203

Раздел 4. Использование вычислительной

техники в инженерной графике 206

Глава 18. Работа с плоскими объектами . 207

§ 95. Система координат. Единицы

измерения. Курсор .... 207

§ 96. Плоские графические примити-

вы. Компоновка плоских изоб-

ражений 208

§ 97. Оконные функции 209

§ 98. Операции над графическими

объектами 210

Глава 19. Моделирование пространст-

венных объектов 212

§ 99. Задание отсеков поверхностей . 212

§ 100. Компоновка и построение

проекций пространственных

объектов 214

Заключение 216

Краткий исторический обзор 216

Ответы на некоторые контрольные воп-

росы и указания

к.

решению задач ... 221

Список литературы 222