Курсовая работа - Построение и анализ математической модели с одним входным и одним выходным параметром

Подождите немного. Документ загружается.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Механико-технологический факультет

Кафедра «Металлургия литейных сплавов»

Утверждаю

Заведующий кафедрой

«Металлургия литейных сплавов»

____________ /Б.М. Немененок/

«____»_____________ 2011 год

Курсовая работа

по дисциплине: Математическое моделирование технологических процессов

Тема: «Построение и анализ математической модели с одним входным и одним

выходным параметром»

Исполнитель:

студент 4 курса гр. 104138 М.С. Кулинка

Руководитель:

к.т.н., доцент И.В. Рафальский

Нормоконтроль:

к.т.н., ассистент А.А. Пивоварчик

Минск 2011

Содержание

1 Исходные данные......................................................................................................4

2 Методика расчета......................................................................................................5

2.1 Выбор типа математической модели методом корреляционного анализа.....5

2.2 Расчет коэффициентов математической модели методом наименьших

квадратов.......................................................................................................................9

2.3 Проверка адекватности математической модели по критерию Фишера......11

3 Текст программы расчетов для ЭВМ.....................................................................13

4 Описание алгоритма решения задачи....................................................................19

4.1 Алгоритм программы для выбора типа математической модели методом

корреляционного анализа..........................................................................................20

4.2 Алгоритм программы для выбора тип аматематической модели методом

наименьших квадратов..............................................................................................21

4.3 Проверка адекватности математической модели по критерию Фишера......22

5 Результаты расчетов................................................................................................24

Список использованных источников............................................................................28

Изм

Лист № докум. Подпис

Дата

Лист

КР ММТП.БНТУ.МТФ.104138.39

Разраб.

Кулинка

Провер.

Рафальский

Н. Контр.

Пивоварчик

Утв.

Немененок

Построение и анализ

математической модели с одним

входным и одним выходным

параметром

Лит. Листов

1-42.01.01. г. Минск

Изм. Лист № докум. Подпис

Дата

Лист

КР ММТП.БНТУ.МТФ.104138.39

1 Исходные данные

В таблице 1 представлены значения входного и выходных параметров.

Таблица 1 – Исходные данные

Номер

опыта

Значение

входного

параметра

Значение выходного параметра Y

Номер измерения

1 2 3 4 5

1 0.95 2.74 3.21 3.01 2.81 3.26

2 2.28 4.92 5.37 5.17 4.97 5.42

3 3.38 7.84 8.27 8.07 7.87 8.32

4 4.51 12.54 12.96 12.76 12.56 13.01

5 7.45 41.83 42.24 42.04 41.84 42.29

6 10.52 145.76 146.16 145.96 145.76 146.21

Изм. Лист № докум. Подпис

Дата

Лист

КР ММТП.БНТУ.МТФ.104138.39

2 Методика расчета

2.1

Выбор

типа математической модели методом

корреляционного анализа

Выбор типа моделей методом корреляции может быть использован при

любом количестве опытов (более трех) и при любых значениях входного

параметра (в пределах Х

m1n

- Х

max

) и основан на расчете коэффициента парной

корреляции (R) для всех рассматриваемых типов моделей. Для решения

поставленной задачи используем в расчетах семь самых распространенных

моделей, представленных в таблице 2.

Таблица 2 – Наиболее распространенные типы моделей

Номер модели Вид модели Функция

1 линейная Y = B

∙X

2 нелинейная Y = B

3 нелинейная Y = 1/(B

∙X)

4 нелинейная Y = X/(B

∙X)

5 нелинейная Y = B

∙B

6 нелинейная Y = B

7 нелинейная Y = B

∙log(X)

Коэффициент парной корреляции является мерой тесноты линейной

связи между двумя случайными величинами. В общем случае его величина

может меняться от 0 до ±1. Если коэффициент корреляции равен 0, связь

либо вообще отсутствует, либо отлична от линейной. Если он равен ±1. связь

является линейной. В промежуточных случаях между полной корреляцией и

отсутствием корреляции коэффициент корреляции выражает ту долю

вариации одной из переменных, которая линейно связана с изменением

значений другой. Естественно, чем ближе величина коэффициента

корреляции к 1, тем линейная связь сильнее, чем ближе к 0, тем линейная

связь слабее. Знак коэффициента корреляции указывает на направление

связи: увеличение одной из переменных при положительной корреляции

Изм. Лист № докум. Подпис

Дата

Лист

КР ММТП.БНТУ.МТФ.104138.39

влечет за собой увеличение, а при отрицательной корреляции - уменьшение

другой.

После расчета коэффициентов парной корреляции устанавливается их

статистическая значимость (точнее, проверяется гипотеза об отличии

вычисленного коэффициента от нуля). С этой целью по таблице

распределения коэффициентов корреляции находится при выбранном уровне

значимости а (вероятности практически невозможных событий, обычно

принимаемой 0,001 (что соответствует доверительной вероятности

Р = 99,9%): 0,01 (Р = 99%): 0,05 (Р = 95%): или 0,10 (Р = 90%) и числе

степеней свободы

f =N – 2

критическое значение коэффициента корреляции R

крит

Так как в нашем случае из 7 рассматриваемых моделей 6 являются

нелинейными, использовать расчетные значения коэффициента линейной

парной корреляции для определения типа математической модели по

имеющимся экспериментальным данным можно после преобразования

параметров X и Y к линейному типу модели. Тогда значения коэффициента

корреляции будут принимать только полюсные (крайние) значения: для

искомой модели они будут равны =1 или близки к ней.для других моделей –

равны или близки к 0.

Особенностью рассматриваемых моделей 2 – 7 является то, что они

могут быть сведены к линейной зависимости с помощью несложных

преобразований. Рассмотрим два примера преобразований - для модели б и

модели 4.

Модель 6.

Прологарифмируем обе части уравнения нелинейной функции модели

Y = Во∙Х

(1)

В результате получим выражение:

lnY = ln( Bo∙X

), (2)

lnY = lnBo + ln(X

), (3)

lnY = lnВ

+ B

∙lnX. (4)

Изм. Лист № докум. Подпис

Дата

Лист

КР ММТП.БНТУ.МТФ.104138.39

Преобразуем данную модель(6) к линейной, введя новые переменные –

Y’= lnY и X’ = lnХ, и новые константы - bo = lnBo и b

. Тогда модель

примет линейный вид

Y' = bo +b

X', (5)

Где между параметрамиВо, bo, B

и b

имеется следующая связь:

; B

= 10

(из bо=lnВ

) – нахождение коэффициентов.

Пусть эта модель (6) является искомой для нашего набора данных (R =

1). Тогда после определения коэффициентов линейная математическая

модель для переменных X' и Y' будет иметь вид Y' =0,796 + 0,203∙X'.

Возвращаясь к исходным переменным X и Y, получаем реальный вид

модели:

Y = 5,875∙X

0,203

(6)

Модель 4.

Умножим обе части уравнения 7 на выражение 1/(X∙Y).

Y = Х/(Во+В

Х) (7)

В результате получим выражение:

Y/(X∙Y)=X/((B

X) ∙ (X∙Y),

(8)

1/Х = l/(Y∙ (B

X)). (9)

Преобразуем данную модель к линейной, введя новые переменные – Y’

= 1/Y и X

= 1/Х, и новые константы - b

= Во и bo = B

. Тогда модель 4

примет следующий вид:

= Y’/(b

+ bo∙X)

(10)

Y' = X'∙(b

+ bo∙X) (11)

Y' = X'∙b

+ boxX'∙X (12)

Y’ = X'∙b

+ bo∙X/X (13)

Y' = X'∙b

. (14)

Формулы преобразования для всех рассматриваемых типов моделей к

линейному виду приведены в таблице 3.

Изм. Лист № докум. Подпис

Дата

Лист

КР ММТП.БНТУ.МТФ.104138.39

Таблица 3 – Преобразование параметров моделей 1-7 к линейному виду

Номер

модели

Тип модели

Параметры функции

X’ Y’ B0 B1

1 Y=B

∙X X Y b

2 Y=B

/X 1/X Y b

3 Y=1/(B0+B

∙X) X 1/Y b

4 Y=X/(B

∙X) 1/X 1/Y b

5 Y=B

∙B

X ln(Y) e

6 Y=B

∙X

ln(X) ln(Y) eb

7 Y=B

∙ln(X) ln(X) Y b

Коэффициент R

рассчитывается по формуле:

)/)'('()/)'('(

/)''()'(

nYYnXX

nYXYX















(15)

где X'

, Y'

– значения входного и выходного параметров в i-м опыте,

преобразованные к линейному типу j-й модели;

N– число опытов;

i – номер опыта.

Порядок выбора типа математической модели следующий:

1 для каждого типа модели преобразуются параметры X и Y к линейному

виду модели;

2 вычисляются требуемые в расчетной формуле суммы;

3 вычисляется коэффициент R для соответствующего типа модели:

Изм. Лист № докум. Подпис

Дата

Лист

КР ММТП.БНТУ.МТФ.104138.39

4 выбирается тот тип модели, для которого R по абсолютному значению

ближе к единице.

2.2 Расчеткоэффициентов

математической модели методом

наименьших квадратов

Для расчетов коэффициентов модели используется метод наименьших

квадратов (МНК).

МНК – один из методов теории ошибок для оценки неизвестной

величины по результатам измерений, содержащим случайные ошибки. Этот

метод применяется также для приближенного представления заданной

функции другими (более простыми) функциями и часто оказывается

полезным при обработке результатов экспериментов. Метод МНК предложен

К.Гауссом в 1794 году и представляет собой один из важнейших разделов

математической статистики и широко используется для статистических

выводов [1].

Сущность основания МНК заключается в допущении, что "убыток" от

замены точного значения физической величины f(x) ее приближенным

значением Y. вычисленным по результатам наблюдений, пропорционален

квадрату ошибки Y = f(x)

. В этих условиях оптимальной оценкой

естественно признать такую лишенную систематической ошибки величину Y,

для которой средние значения "убытка" минимальны. Именно это требование

и составляет основу МНК.

Чтобы можно было пользоваться едиными формулами для определения

коэффициентов b

и b

для всех семи рассмотренных ранее моделей,

необходимо привести их к линейному виду в соответствии с методикой,

предложенной в подразделе 3.2. В результате все модели приобретают вид:

Y’ = b

+ b

·X’ (16)

где Y’ И X’ – преобразованные клинейному виду параметров Yi и Xj;

, b

– коэффициенты функции линейного вида.

Величина Yi для каждого опыта вычисляется по формуле:

Y = ΣY

i–m

, (17)

Изм. Лист № докум. Подпис

Дата

Лист

КР ММТП.БНТУ.МТФ.104138.39

где m

– число повторений в i–ом опыте.

На основании МНК, наилучшими коэффициентами модели считаются

те, для которых сумма квадратов отклонений S(b

, b

) будет минимальной:

 

 



iiiiii

mXbbYmXfYbbS

1 1

min)''()]('[),(

(18)

Из условия экстремума функции для двух переменных (условного

уравнения) получается уравнение:





(19)

Из формул 2 и 3 получается:









iiii

XmXbbY

0')''(2

(20)









iii

mXbbY

0)''(2

Схема 4 может быть переписана в следующем виде:

)''()'()'(

1 ii

YXmXmbXmb 





(21)

)'()'(

1 i

YmmbXmb







(22)

Откуда:















iii

mXmXm

mYXmYmXm

111

)'())'((

)'()'()'(

(23)















iii

mXmXm

XmYmXmYXm

)'())'((

)'()()'()'(

(24)

Изм. Лист № докум. Подпис

Дата

Лист

КР ММТП.БНТУ.МТФ.104138.39

При условии, что число повторений в каждом опыте постоянно, после

соответствующих подстановок и сокращений получаем окончательный вариант

формул :

)'()'(

))'(()''

111

XNX

YXNYX















(25)

XbY









(26)

где N – число опытов;

Х'

,. Y’

– переменные, преобразованные к линейному виду (i –

номер опыта);

n – количество повторений в эксперименте;

i – шаг цикла.

2.3 Проверка адекватности математической модели по критерию

Фишера

Эмпирические модели не претендуют на роль законов природы.

Изложенное выше правило приближенного выбора типа математической

модели не позволяет установить истинную модель. С помощью

предложенного метода можно выбрать из семи типов моделей наилучшую и,

используя метод наименьших квадратов, определить наилучшее численное

значение коэффициентов. Это, однако, не означает, что полученная

эмпирическая модель обязательно должна отражать искомую, определяемую

физикой процессов связь между переменными X и Y. С помощью методов

математической статистики в некоторых случаях можно проверить гипотезу

о том.что полученная эмпирическая модель удовлетворительно описывает

экспериментальные данные.

Одним из методов проверки адекватности математической модели

является метод на основе критерия Фишера. По данным эксперимента

определяется дисперсия неоднородности экспериментальных данных



неодн