Лабораторная - Исследование асимптотических свойств оценок параметров распределений вероятностей
Подождите немного. Документ загружается.
Лабораторная работа № 1. Гламаздина О.Н.
Кучина Я.А.
Пузынина О.В.
Цель работы: Исследование асимптотических свойств оценок параметров
распределений вероятностей по эмпирическим данным.
1. Были смоделированы выборки состоящие из оценок максимального правдоподобия –
)(
ˆ
nОМП
X
, Колмогорова –
)(
ˆ
nК
X
,
2
Мизеса –
)(
ˆ
2
n
X
и
)(
ˆ
2
n
X
Мизеса при
100,50,20n
(для наглядности были также смоделированы выборки с количеством
наблюдений n=1000).
2. Построены графики эмпирических функций распределения смоделированных выборок:
-Разные методы при одинаковых объемах выборки.
-Один метод оценивания при разных объемах выборки.
Ниже выборочно приведены графики эмпирических функций распределения
смоделированных выборок, наиболее наглядно отображающие зависимость
распределения оценок параметров от объема выборки.
Рис.1 Эмпирические распределения, кол-во наблюдений n=20.
Рис.2 Эмпирические распределения, кол-во наблюдений n=50.
Рис.3 Эмпирические распределения, кол-во наблюдений n=1000.
Рис.4 Метод OMB, при разных объемах выборки наблюдений n.
Рис.5 Метод OMP при разных объемах выборки наблюдений n. .
3. Исследовать полученные выборки на нормальность.
Результаты исследований приведены в таблице:
Критерий согласия:
2
Пирсона, метод оценивания: ОМП.
20 50 100 1000
S P S P S P S P
KOL 15.25 0.00312 33.662 8.7e-7 15.616 0.00358 10.74 0.02964
Отвергается
N(1.18; 0.5)
Отвергается
N(1.05; 0.25)
Отвергается
N(1.01; 0.16)
Не отвергается
N(1; 0.05)
OMP 2.06 0.72472 4.836 0.30454 9.134 0.05783 4.86 0.30197
Не отвергается
N(1.01; 0.23)
Не отвергается
N(1; 0.14)
Не отвергается
N(0.99; 0.1)
Не отвергается
N(1; 0.03)
OMS 5.7 0.2227 11.374 0.02266 2.036 0.72914 7.24 0.12374
Не отвергается
N(1.13; 0.3)
Не отвергается
N(1.05; 0.17)
Не отвергается
N(1.02; 0.12)
Не отвергается
N(1; 0.04)
OMB 3.04 0.55115 5.046 0.28261 7.328 0.11954 7.94 0.0938
Не отвергается
N(1.15; 0.26)
Не отвергается
N(1.06; 0.16)
Не отвергается
N(1.02; 0.11)
Не отвергается
N(1; 0.04)
4. Заполнить таблицу (для каждого метода оценивания)
Метод Колмогорова:
n =20 n =50 n =100
)](
ˆ
[
n
X
0.18 0.05 0.01
1,0)(
ˆ
n
XP
0.78 0.63 0.51
)()](
ˆ
D[
1
nn
IX
0.65 0.48 0.39
Метод максимального правдоподобия:
n =20 n =50 n =100
)](
ˆ
[
n
X
0.01 0 -0.01
1,0)(
ˆ
n
XP
0.62 0.48 0.33
)()](
ˆ
D[
1
nn
IX
0.43 0.35 0.31
Метод
2
Мизеса:
n =20 n =50 n =100
)](
ˆ
[
n
X
0.13 0.05 0.02
1,0)(
ˆ
n
XP
0.74 0.56 0.4
)()](
ˆ
D[
1
nn
IX
0.5 0.39 0.34
Метод
2
Мизеса:
n =20 n =50 n =100
)](
ˆ
[
n
X
0.15 0.06 0.02
1,0)(
ˆ
n
XP
0.77 0.54 0.36
)()](
ˆ
D[
1
nn
IX
0.46 0.38 0.32
Выводы:
1. Из рис.1-2 видно что, при n=20 и при n=50 наилучшим методом является метод OMP,
наихудшим- OMB, а также видно что, с увеличением числа наблюдений n (уже при
n=1000 рис.3) статистические свойства оценок, полученные разными методами
практически совпадают (ликвидируется смещение, уменьшается разброс оценок, т.е.
увеличивается точность оценок)
Рис.4-5 показывают что, для каждого метода при увеличении количества наблюдений n
статистические свойства оценок улучшаются.
2. Из результатов исследования на нормальность можно сделать выводы что, выборки
оценок, полученные методом Колмогорова, согласуются хуже (по крайней мере при
малых n) с нормальным законом распределения, чем выборки оценок, полученные
остальными предложенными методами. Наилучшим образом согласуются с нормальным
законом распределения выборки оценок, полученные методом максимального
правдоподобия.
3. Из результатов вычисления величины
)](
ˆ
[
n
X
видно что, наиболее
несмещенные оценки получаются методом максимального правдоподобия.
4. Из результатов вычисления величины
1,0)(
ˆ
n
XP
видно что, наиболее
Состоятельные оценки получаются методом максимального правдоподобия.
5. . Из результатов вычисления величины
)()](
ˆ
D[
1
nn
IX
видно что, наиболее
эффективные оценки получаются методом максимального правдоподобия (в асимптотике
оценки получаются несмещенные, состоятельные, эффективные)