Лабораторный практикум - Математические методы и модели в расчётах на ЭВМ
Подождите немного. Документ загружается.
Федеральное государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
<<Сибирский федеральный университет>>
ИНСТИТУТ ЦВЕТНЫХ МЕТАЛЛОВ И ЗОЛОТА
Лаба номер 4 ре вариант граф д вариант 15
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ
В РАСЧЁТАХ НА ЭВМ
Лабораторный практикум
Красноярск – 2007
1
Кибардин В.В.
Математические методы и модели в расчётах на ЭВМ.
Лабораторный практикум.
В лабораторном практикуме рассмотрено решение типовых задач
вычислительной математики с помощью пакетов прикладных программ
MATLAB (часть 1) и Mathcad (часть 2): простейшие математические
операции, решение алгебраических уравнений, линейная алгебра и решение
систем линейных алгебраических уравнений, решение обыкновенных
дифференциальных уравнений, обработка экспериментальных данных.
В третьей части рассмотрено моделирование электромеханических
устройств в среде MATLAB+Simulink+SimPowerSistemtems.
Для студентов электротехнических специальностей института.
с Кибардин В.В. , 2007
2
ВВЕДЕНИЕ
Существующие в настоящее время математические пакеты –
Mathematica, Maple, Mathcad, MATLAB – предназначены для аналитического
и численного решения различных математических задач. Наиболее мощный
из них – Maple. Символьный процессор этого пакета используется как в
Mathcad, так и в MATLAB.
Среди этих пакетов наибольшее применение в инженерной практике
получили два пакета – MATLAB и Mathcad.
Система инженерных и научных расчётов (матричная лаборатория)
MATLAB способна решать задачи линейной алгебры, интегральные и
дифференциальные уравнения, выполнять преобразования Лапласа и Фурье,
Z-преобразования и т.д. Графические возможности пакета позволяют строить
двух и трёхмерные графики в различных координатах. Предусмотрено
решение статистических и оптимизационных задач. Благодаря программе
Simulink имеется возможность анализа и синтеза современных систем
управления во временной и частотной областях, а также в пространстве
состояний. Множество пакетов расширений (Toolbox), в том числе по
нейронным сетям, нечёткой логике, генетическим алгоритмам и
биоинформатике, делают этот пакет незаменимым при автоматизированном
проектировании систем управления промышленными объектами.
Пакет Mathcad ориентирован в первую очередь на проведение
численных расчетов, имеет привычные стандартные математические
обозначения, благодаря этому он более популярен в инженерной среде.
Имеет встроенный символьный процессор Maple (хотя и в урезанном виде),
что позволяет выполнять аналитические преобразования, пакеты расширения
и электронные книги. Содержит редактор документов, справочную систему ,
примеры применения всех встроенных функций, собственное средство
выхода в Интернет. Позволяет выполнять обработку экспериментальных
данных, решать системы линейных и нелинейных алгебраических уравнений,
выполнять матричные операции, решать дифференциальные, интегральные
уравнения и задачи математического моделирования на основе
дифференциальных уравнений. Графические возможности пакета позволяют
строить двух и трёхмерные графики в различных координатах.
Цикл лабораторных работ по дисциплине “Математические методы и
модели в расчётах на ЭВМ” предназначен для изучения пакетов MATLAB и
Mathcad и решения на их основе инженерных задач. Предполагается, что
студенты знакомы с основными разделами высшей математики, физики,
численными методами решений алгебраических и дифференциальных
уравнений.
Лабораторные работы рассчитаны в первую очередь на студентов
электротехнических специальностей. При их выполнении необходимы
знания теоретических основ электротехники, теории автоматического
управления, электрических машин и основ электропривода.
3
Лабораторная работа № 1 - 1
Знакомство с MATLAB и простейшие вычисления.
Цель работы: знакомство с интерфейсом пользователя и основными
приёмами работы в среде MATLAB.
Введение
MATLAB, сокращённое название MATrix LABoratory, является
интерактивной системой для выполнения научных и инженерных расчётов. В
состав системы входит ядро компьютерной алгебры Maple и пакет
расширения Simulink, а также десятки других пакетов расширений, что
позволяет моделировать сложные электротехнические устройства.
Графический интерфейс пользователя MATLAB состоит из четырёх
независимых окон.
Окно Command Window является основным и предназначено для ввода
чисел, переменных, выражений и команд, для просмотра результатов
вычислений, для отображения текстов выполняемых программ, а также для
вывода сообщений об ошибках. Структура окна (рис. 1) состоит из строки
меню, панели инструментов, рабочей области и полосы состояния.
Строка меню Панель инструментов
Рабочее пространство История команд Список файлов Рабочая область
(Workspace) (Command History) (Current Directory) (Command Window)
Рис. 1
4
В рабочей области окна находится строка ввода команд (зона
редактирования), отмеченная знаком >> , в которой можно вводить числа,
имена переменных и знаки операций. Имена переменных должны начинаться
с буквы и могут состоять из букв, цифр и знаков препинания. Простейшими
знаками операций являются +, - , /, а также операция возведения в степень,
обозначаемая ^ .
Для вызова ранее введённых команд предусмотрено специальное
средство – окно Command History (История команд). Здесь отображается
перечень команд, вводимых в течении каждого сеанса, а также дата и время
сеанса. Одна или несколько команд могут быть выполнены с помощью мыши
и клавиш Shift, Enter и Ctrl. Контекстное меню, содержащее команды
копирования, вырезания и др., можно вызвать щелчком правой мыши на
какой-либо команде данного окна.
Окно Workspace (Рабочее пространство) предназначено для просмотра
переменных рабочего пространства – информация представлена в виде
таблицы (имя переменной, значение переменной, тип переменной). Число
столбцов можно изменять, например, добавить размер массива и указать
количество байтов, занимаемых переменной.
В окне Current Directory отображается список файлов и вложенных
папок активного в данный момент каталога.
Операции с числами и работа в режиме калькулятора
Для представления чисел используется формат чисел с плавающей
точкой, в котором любое число задается мантиссой и показателем степени и
записывается в следующем виде
>> f=8.134678
f =
8.1347
>> c=0.8134678e1
c =
8.1347
Буквой е обозначается основание степени, равное 10.
Вещественные числа можно записывать в следующем виде
>> 12
ans =
12
>> -14
ans =
-14
>> 6.7896
ans =
6.7896
>> 0.0009
ans =
9.0000e-004
5
Как видно из этого примера, результату присваивается специальная
переменная ans
По умолчанию для вывода вещественных чисел используется формат
short, который предусматривает отображение только четырёх десятичных
цифр после запятой. При необходимости использовать полное представление
вещественных чисел следует ввести следующую последовательность команд
>> format long
>> f
f =
8.13467800000000
Для отображения вещественных чисел в виде обыкновенных дробей
используется формат rat:
>> f=8.134
f =
8.1340
>> format rat
>> f
f =
4067/500
>> t=6.06e-2
t =
303/5000
Обратный переход осуществляется с помощью команды
>> format short
>> t
t =
0.0606
Если ввести в командную строку команду
>> help format
то в командном окне отобразиться информация обо всех форматах
MATLABa:
FORMAT Set output format.
All computations in MATLAB are done in double precision.
FORMAT may be used to switch between different output
display formats as follows:
FORMAT Default. Same as SHORT.
FORMAT SHORT Scaled fixed point format with 5 digits.
FORMAT LONG Scaled fixed point format with 15 digits.
FORMAT SHORT E Floating point format with 5 digits.
FORMAT LONG E Floating point format with 15 digits.
FORMAT SHORT G Best of fixed or floating point format with 5 digits.
FORMAT LONG G Best of fixed or floating point format with 15 digits.
FORMAT HEX Hexadecimal format.
FORMAT + The symbols +, - and blank are printed
for positive, negative and zero elements.
6
Imaginary parts are ignored.
FORMAT BANK Fixed format for dollars and cents.
FORMAT RAT Approximation by ratio of small integers.
Spacing:
FORMAT COMPACT Suppress extra line-feeds.
FORMAT LOOSE Puts the extra line-feeds back in.
При работе в режиме калькулятора необходимо в командном окне
ввести подлежащее вычислению выражение, нажать клавишу Enter, после
чего программа MATLAB вычислила введённое выражение, результату
присвоила специальную переменную ans и вывела его в отдельной строке:
>> 5+4
ans =
9
>> 10-8
ans =
2
>> 2^8
ans =
256
>> 256/2
ans =
128
Следует отметить, что в MATLAB установлен общепринятый порядок
выполнения арифметических операций: возведение в степень, умножение и
деление, сложение и вычитание. Для изменения порядка приоритета следует
использовать круглые скобки:
>> (4.78+2.9^3)+143+sqrt(-4)+(5.98+6*8.76)^2.1
ans =
5.3203e+003 +2.0000e+000i
Комплексные числа
В MATLAB для обозначения мнимой единицы зарезервированы две
переменные - i и j , предпочтение отдаётся i. Если эти же переменные
использовались в циклах, то перед началом работы с комплексными числами
следует выполнить команду
>> clear i,j
ans =
0 + 1.0000i
Основные приёмы работы с комплексными числами рассмотрим на
примерах:
>> Z1=5+6i
Z1 =
5.0000 + 6.0000i
7
>> Z2=6-8i
Z2 =
6.0000 - 8.0000i
>> Z3=10+2i
Z3 =
10.0000 + 2.0000i
>> Z=Z1+Z2*Z3/(Z2+Z3)
Z =
10.5616 + 3.8356i
>> abs(Z)
ans =
11.2366
>> real(Z)
ans =
10.5616
>> imag(Z)
ans =
3.8356
Для вычисления комплексно-сопряжённого числа необходимо
использовать оператор
>> conj(Z)
ans =
10.5616 - 3.8356i
или апостроф
>> Z'
ans =
10.5616 - 3.8356i
>> sin(Z)
ans =
-21.0242 - 9.7333i
>> Z^2
ans =
96.8364 +81.0208i
>> sqrt(Z)
ans =
3.3014 + 0.5809i
8
Если коэффициентом при мнимой единице является переменная, то
при вводе такого числа необходимо использовать знак умножения * . Строку
можно заканчивать символом точки с запятой, что позволяет избежать
вывода на экран результатов вычисления промежуточных выражений:
> a=-4.3;b=-6.7;z=a+b*i
z =
-4.3000 - 6.7000i
Вычисление аргумента комплексного числа с помощью оператора
>> angle(z)
даёт результат в радианах в диапазоне от + π до -π .
ans =
-2.1414
Для перевода результата в градусы необходимо выполнить операцию
>> fi=180*ans/pi
fi =
-122.6920
Элементарные функции
Для вычислений с числами предусмотрены все элементарные функции:
логарифмические, тригонометрические, гиперболические. Аргументы
задаются в круглых скобках через запятую. Аргументы и результат
тригонометрических функций в радианах. Рассмотрим вычисление
элементарных функций на примерах:
>> sin(3.14)
ans =
0.0016
>> cos(2.5)
ans =
-0.8011
>> tan(pi/6)
ans =
0.5774
>> cot(1-pi)
ans =
0.6421
>> log10(100)
ans =
2
>> log(10)
ans =
2.3026
9
В MATLAB 7 аргументы тригонометрических функций можно задавать
в градусах, результат также получается в градусах.
Краткое описание элементарных функций вызывается с помощью
команды
>> help elfun
Elementary math functions.
Trigonometric.
sin - Sine.
sinh - Hyperbolic sine.
asin - Inverse sine.
asinh - Inverse hyperbolic sine.
cos - Cosine.
cosh - Hyperbolic cosine.
acos - Inverse cosine.
acosh - Inverse hyperbolic cosine.
tan - Tangent.
tanh - Hyperbolic tangent.
atan - Inverse tangent.
atan2 - Four quadrant inverse tangent.
atanh - Inverse hyperbolic tangent.
sec - Secant.
sech - Hyperbolic secant.
asec - Inverse secant.
asech - Inverse hyperbolic secant.
csc - Cosecant.
csch - Hyperbolic cosecant.
acsc - Inverse cosecant.
acsch - Inverse hyperbolic cosecant.
cot - Cotangent.
coth - Hyperbolic cotangent.
acot - Inverse cotangent.
acoth - Inverse hyperbolic cotangent.
Exponential.
exp - Exponential.
log - Natural logarithm.
log10 - Common (base 10) logarithm.
log2 - Base 2 logarithm and dissect floating point number.
pow2 - Base 2 power and scale floating point number.
realpow - Power that will error out on complex result.
reallog - Natural logarithm of real number.
realsqrt - Square root of number greater than or equal to zero.
sqrt - Square root.
nextpow2 - Next higher power of 2.
10