Лекции - Механика
Подождите немного. Документ загружается.
Единой мерой различных форм движения и взаимодействия всех видов материи является
энергия. Различным видам движения и взаимодействия материи, соответствуют различные виды энергии:
механическая, тепловая, химическая, электро-магнитная, атомная.
Простейшей форме движения – механической, соответствует механическая энергия. Она
характеризует способность тела или системы тел совершать работу и
измеряется количеством работы, которую при определенных (заданных)
условиях может совершить система. Например, катящийся шар, сталкиваясь с
некоторым телом, перемещает его, т.е. совершает работу. Растянутая пружина,
сокращаясь после устранения деформирующей силы, совершает работу по
перемещению своих частей (витков). Следовательно, катящийся шар и
растянутая пружина обладают механической энергией. Процесс изменения
механической энергии тела под действием силы называется процессом
совершения работы. Приращение энергии тела в этом процессе называется
работой силы, отсюда следует общее соотношение, связывающее работу и
изменение энергии
А=Е
2
-Е
1
,
где: А – совершаемая работа, Е
1
и Е
2
- энергии системы в начальном и
конечном состояниях.
Сила, приложенная к телу, совершает
работу, если тело перемещается. Если тело
движется прямолинейно и на него действует постоянная сила, на-
правленная под углом к перемещению, то работа равна
скалярному произведению векторов перемещения и силы (рис.2.6)
r
τ
FcosrFFrΔA
,где
τ
F
- касательная составляющая
силы, т.е. проекция
F
на
r
. Если же сила переменна по величине и по направлению или перемещение
не прямолинейно, то траекторию движения разбивают на малые участки dS - так, чтобы участок можно было
бы считать прямолинейным и силу, действующей на нем - постоянной (рис.2.7). Тогда работа на этом участке
dSFdA
τii
, а работа на всем пути равна сумме всех элементарных работ
n
1i
i
dAA
. При
0dS
i
S
τ
dSFA
. Для вычисления такого интеграла надо знать зависимость
τ
F
от S. Если эту зависимость
представить графически (рис.2.8), тогда работа силы по перемещению из S
1
в S
2
численно равна площади
заштрихованной фигуры, ограниченной кривой F(S), координатной осью S и двумя вертикальными прямыми S
1
и S
2
. Сила не совершает работу (А=0), если r=0 или
2
. Если
2
, то А0; если
2
, то А0. При
одновременном действии на тело нескольких сил, работа равна алгебраической сумме работ составляющих сил
n
1i
i
AA
.
Сила F называется консервативной, если совершаемая ею
работа не зависит от формы траектории, а зависит от начального и
конечного положений точки (тела). На рис.2.9. изображены две различ-
ные траектории движения тела под действием некоторой консервативной
силы. Работа, совершаемая данной силой на пути 1а2 равна А
1а2
. Работа,
совершаемая на пути 2а1, будет отрицательной и А
1а2
= - А
2а1
. Поскольку
совершаемая работа не зависит от формы траектории, мы можем записать:
1a21b22b12a1
AAAA
,
0AA
1b22a1
или
0rdF
, где
- означает интегрирование вдоль замкнутой траектории или интеграл
по контуру. Отсюда следует важное свойство консервативных сил - при
перемещении материальной точки (тела) вдоль замкнутой траектории
работа консервативной силы тождественно равна нулю. Сила всемирного тяготения, сила упругости – кон-
11
11
Рис.2.6. Прямолинейное
движение тела под
действием силы,
направленной под углом к
перемещению.
Рис.2.7. Криволинейное
движение под действием
переменной силы.
Рис. 2.8. Графическое
изображение работы.
сервативные силы. Силы, неудовлетворяющие этому условию называют неконсервативными или
диссипативными. Примером таких сил служат силы трения.
Для характеристики скорости совершения работы вводится
понятие мощности. Мощностью, развиваемой силой
F
, называется
скалярная физическая величина, численно равная работе,
совершаемой этой силой за единицу времени
t
A
N
. Если в разные
моменты времени dt совершаются разные работы, то используют понятие
мгновенной мощности
dt
dA
t
A
lim
0t
N
Δ
Δ
Δ
.
Для движущихся тел можно получить формулу мгновенной мощности
vF
dt
dr
cosFrcosF
dt
d
N
или
vFN
,
т.е. мощность равна скалярному произведению векторов силы и скорости.
Важное требование, предъявляемое к любому двигателю - это способность совершать большую работу
за единицу времени, т.е. иметь большую мощность. Из полученной формулы следует, что для достижения этой
цели необходимо либо увеличить силу тяги, развиваемую двигателем (например, автомобиля), либо увеличить
его быстроходность. Первый путь связан с увеличением силовых нагрузок на все движущиеся части двигателя
(поршни, коленчатый вал и т.д.), а они имеют ограниченную прочность. Чтобы детали смогли выдерживать
действие больших нагрузок, нужно увеличивать их размеры, делать их более массивными. Поэтому все
мощные тихоходные машины необычайно громоздкие. Второй путь позволяет получить большие мощности
при малых силовых нагрузках на детали двигателя и меньших его размерах. В современное время этот путь
наиболее перспективен.
2.7.* Кинетическая и потенциальная энергии. @
Полная механическая энергия Е
м
складывается из кинетической Е
к
и потенциальной Е
п
энергий Е
м
=Е
к
+ Е
п
.
Кинетическая энергия Е
к
– это энергия движущегося тела, она равна работе, которую могло бы
совершать тело при торможении до полной остановки Е
к
=А
тор
. Соответственно, эта работа численно
равна работе внешней силы по увеличению скорости тела от 0 до
v
т.е. Е
к
=А
разгона
. Рассчитаем эту
работу, учитывая, что работа внешней силы F над телом на малом участке перемещения dr равна (здесь
использован второй закон Ньютона, соотношение
v
dt
rd
и законы дифференцирования)
)vd(
2
m
dt
dt
)vd(
2
m
dtv
dt
vd
mrd
dt
vd
mrdFdA
2
2
.
Так как по определению
v
0
к
dAE
, то получаем
2
mv
)d(v
2
m
E
2
v
o
2
к
.
Если система состоит из n движущихся точек (тел), то ее полная
кинетическая энергия равна
n
1i
2
ii
n
1i
i
кк
2
vm
ЕЕ
. Если система обладает только кинетической
энергией, то изменение кинетической энергии тела равно работе сил,
действовавших на тело во время движения
нач
к
Е
кон
к
Е
к
E
A
.
Потенциальная энергия Е
п
– это энергия взаимодействия тел
системы, определяемая взаимным расположением тел и характером сил
взаимодействия между ними. Потенциальная энергия - величина,
зависящая от выбора начального положения, при котором Е
п
=0, т.е. она
величина относительная. Если работу совершают консервативные силы, то
происходит изменение Е
п
системы на величину
1
п
2
пп
ЕЕЕA
. Конкретный вид зависимости Е
п
от расположения тел системы связан с
характером сил взаимодействия тел.
Рассмотрим два примера:
1).Определим Е
п
тела, поднятого над землей т.е. энергию взаимодействия
этого тела с планетой Земля. Известно, что на тело действует консервативная сила
12
12
Рис.2.9. Возможные
траектории движения тела
под действием
консервативной силы.
Рис.2.10. Зависимость
потенциальной энергии тела
от расстояния до поверхности
Земли.
Рис.2.11. Зависимость
потенциальной энер-
гии упруго сжатой
пружины от
величины
деформации.
тяжести, при небольших высотах h она мало меняется и считается по формуле P= mg. При падении тела сила
тяжести совершает работу A=mgh, при этом потенциальная энергия тела уменьшается ровно на эту величину.
Если Е
п1
- потенциальная энергия тела, поднятого над землей, а Е
п2
- потенциальная энергия тела на поверхности
земли, которую принято считать равной нулю, то из связи работы и изменения энергии, получим
mghE
П
.
График зависимости Е
п
от h представлен на рис.2.10. Ясно, что Е
п1
0 при h0, т.е. над землей и Е
п2
0 при h0,
т.е. ниже уровня земли.
2).Определим потенциальную энергию упруго деформированной пружины. Из экспериментов
известно, что при сжатии (растяжении) пружины в ней возникает сила упругости
kxF
упр
. Знак минус
показывает, что сила упругости направлена в сторону противоположную деформации. Работа этой силы
затрачивается на увеличение потенциальной энергии пружины т.е. A=E
п
= Е
п2
- Е
п1
. Так как
dA=Fdx=kxdx, то
2
kx
kxdxA
2
x
0
(Е
п
недеформированной пружины считается равной нулю). Сле-
довательно
2
kx
E
2
п
, на рис.2.11 представлен ее график.
2.8. Связь потенциальной энергии тела и действующей на него консервативной силы. @
Так как работа консервативной силы равна убыли потенциальной энергии, то
•
EddA
п
или
п
dE rdF
. Высшая математика позволяет выразить малое изменение любой функции (дифференциал
функции) через частные производные от этой функции по ее аргументам. Конкретно для дифференциала
потенциальной энергии, зависящей от координат, можно получить
dz
E
dy
E
dx
E
dE
zyx
ППП
П
.
Если подставить это выражение в
п
dErdF
, то после записи левой части через проекции силы на оси
координат, получим
dz
E
dy
E
dx
E
dzFdyFdxF
zyx
zyx
ППП
.
Это выражение должно быть справедливо при любых малых перемещениях dx, dy, dz, что может быть только
тогда, когда выполняются соотношения
z
y
x
ППП
E
F,
E
F,
E
F
zyx
.
В результате получаем связь между Е
п
и F, в векторной форме ее записывают сокращенно в виде
)E(dgraF
п
,
где используют математический символ для вектора, который называется градиентом скалярной
величины Е
п
и обозначается grad (Е
п
)
k
z
E
j
’
E
i
x
E
Edgra
ппп
п
.
2.9.* Закон сохранения и превращения энергии в механике. @
В 1748 г. М.В.Ломоносов сформулировал закон сохранения материи и движения. Через 100 лет
Р.Майер и Г.Гельмгольц дали количественную формулировку закона сохранения и превращения энергии.
В замкнутой системе энергия может переходить из одних видов в другие и передаваться от одного
тела другому, но общее количество энергии остается неизменным. В природе и технике постоянно имеют
место превращения одних видов энергии в другие. Например, в электродвигателях электрическая энергия
переходит в механическую, в ядерном реакторе ядерная энергия переходит в тепловую, затем в механическую и
электромагнитную, при фотоэффекте - электромагнитная в электрическую и т.д. Однако следует иметь в виду,
что одновременно может происходить несколько типов превращений энергии, например, обычно некоторая
часть энергии непременно превращается во внутреннюю (тепловую) энергию вещества (в энергию теплового
движения молекул). Но всегда общий запас энергии системы в любой момент времени остается неизменным.
Закон сохранения и взаимопревращения энергии является всеобщим законом природы, не имеющим
исключений; если он как бы нарушается в эксперименте, значит что-то не учтено.
Закон сохранения механической энергии формулируется следующим образом: Если в замкнутой
системе действуют консервативные силы, то механическая энергия не переходит в другие виды и
остается постоянной во времени (при этом возможен переход потенциальной энергии в кинетическую и
наоборот)
соnstEEE
пк
.
Продемонстрируем действие этого закона на примере свободного падения тела.
13
13
Пример: Пусть тело массой m начинает падать вниз с высоты h.
Рассчитаем его механическую энергию в различные моменты времени. В
начальный момент времени, в верхней точке его механическая энергия равна
mgh (Е
к
=0 так как начальная скорость равна нулю).
Если не учитывать силы трения о воздух, то в любой следующий момент
времени t координату и скорость тела можно рассчитать с помощью законов
кинематики для равноускоренного движения с ускорением свободного
падения g (см. рис.2.12): z=h-gt
2
/2, v
=-gt.
Механическая энергия в этот момент времени будет равна
Е
м
= Е
п
+ Е
к
= mgz + mv
2
/2=mg(h – gt
2
/2)+m(gt)
2
/2=mgh, т.е. равна энергии в
начальный момент времени. Отсюда видно, что механическая энергия не
меняется со временем. Если же рассматривать и действие сил трения, то
окажется, что механическая энергия тела при движении уменьшается. Это
объясняется частичным превращением ее во внутреннюю (тепловую) энергию
воздуха и самого тела.
3.*ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ. @
3.1.* Основные характеристики динамики вращательного движения. @
Для описания вращательного движения используются следующие параметры : момент инерции J,
момент силы
M
, момент импульса тела
L
. Аналогами их в поступательном движении являются масса m,
сила
F
, импульс тела
P
.
Момент инерции материальной точки относительно некоторой оси есть скалярная физическая
величина равная произведению массы этой точки на квадрат кратчайшего расстояния от нее до оси
вращения
2
mrJ
.
Чтобы рассчитать момент инерции твердого тела, его мысленно разбивают на n материальных точек с
массами m
1
, m
2
,..., m
n
, находящихся на расстояниях r
1
, r
2
,..., r
n
от оси вращения. Момент инерции твердого
тела J, вращающегося вокруг неподвижной оси равен алгебраической сумме
моментов инерции всех точек, из которых состоит тело
n
1i
i
2
i
n
1i
i
mrJJ
.
При непрерывном распределении масс тела эта сумма сводится к интегралу
V
2
dmrJ
, где V-объем тела, r–кратчайшее расстояние от точки до оси
вращения. На основании этой формулы рассчитываются моменты инерции тел
различной формы. Например: 1) полый тонкостенный цилиндр или обруч радиуса R,
массой m и осью вращения, совпадающей с осью симметрии
2
mRJ
; 2)
сплошной цилиндр или диск радиуса R, массой m и осью вращения, совпадающей с
осью симметрии
2
mR
2
1
J
; 3) шар радиуса R, массой m и осью вращения,
проходящей через его центр
2
mR
5
2
J
. Приведенные примеры показывают, что
момент инерции тела зависит от его массы, формы, геометрических размеров, его расположения относительно
оси вращения, распределения массы по объему тела.
Расчет моментов инерции тел относительно осей, не совпадающих с осью симметрии более сложен. В
таких случаях применяется теорема Штейнера: момент инерции любого тела относительно произвольной
оси ОО равен сумме момента инерции этого тела J
O
относительно оси АА , параллельной данной и
проходящей через центр масс тела С, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями
(рис.3.1)
2
0
mdJJ
.
Моментом силы
M
относительно неподвижной точки О называется векторная физическая
величина, равная векторному произведению радиуса-вектора
r
, проведенного из точки О в точку
приложения силы, на вектор силы: *
FrM
.
14
14
Рис.2.12. Используемые в
примере, направления
для координат, скорости
и ускорения свободного
падения.
Рис.3.1.
Иллюстрация к
теореме Штейнера.
Направление
M
перпендикулярно плоскости, в которой
лежат вектора
r
и
F
. Его направление совпадает с
направлением поступательного движения правого винта
при его вращении от
r
к
F
(рис.3.2). Модуль момента
силы
lFsinrFM
,
lsinr
- плечо силы - кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой
О. Если к точке А приложено несколько сил, то результирующий
M
будет равен векторной сумме моментов
слагаемых сил:
n
1i
i
n
1i
i
MFrM
Момент силы, действующей на тело относительно неподвижной оси z, есть скалярная величина M
z
,
равная проекции на эту ось вектора момента силы, определенного относительно произвольной точки О данной
оси z (рис.3.3)
cossinlFM
z
.
Значение момента M
z
не зависит от положения точки О на оси z. Если осьz совпа-
дает с направлением вектора
M
, то момент силы равен
z
z
FrM
.
Момент импульса (количества движения) материальной точки А относительно неподвижной
точки О есть векторная физическая величина, определяемая векторным произведением двух векторов:
радиуса-вектора
r
, проведенного из точки О в точку А, и импульса материальной точки
vmp
vmrprL
.
Направление вектора
L
совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его
вращении от
r
к
p
(рис.3.4).
Модуль вектора
lpsinmvrsinrpL
, -
угол между векторами
r
и
p
, l - плечо вектора
p
(или
v
) относительно точки О.
Моментом импульса точки относительно неподвижной оси z называется скалярная величина L
z
равная проек-
ции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки О данной оси
cossinprL
z
, где
угол между вектором
L
и осью z.
Момент импульса твердого тела есть векторная сумма моментов импульса всех точек, из которых
состоит тело. Если число точек системы равно n, тогда
n
1i
iii
n
1i
i
vmrLL
.
О
l
A
r
F
M
Рис.3.2. Момент силы относительно неподвижной точки.
r
M
z
F
M
z
0
Рис.3.3. Момент силы
относительно неподвижной оси.
О
l
A
r
L
P
Рис.3.4. Момент импульса относительно неподвижной точки.
15
15
При вращательном движении твердого тела вокруг неподвижной оси угловые скорости всех его
точек равны, угол между векторами
i
r
и
i
v
равен
2
и все вектора
i
L
направлены по оси вращения в одну
сторону. Отсюда модуль вектора
L
тела равен
ii
n
1i
i
n
1i
i
vmrLL
,
ii
rv
,
JrmrmL
n
1i
2
ii
n
1i
2
ii
.
Момент импульса твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равен произведению
момента инерции этого тела относительно той же оси на угловую скорость. Направления векторов
L
и
совпадают и
JL
.
3. 2.* Работа и кинетическая энергия при вращательном движении твердого тела. @
Найдем работу при вращательном движении твердого тела. Пусть ось вращения проходит через точку
О, находящуюся на расстоянии r от точки приложения силы С, а -угол между векторами
F
и
r
(рис.3.5).
При повороте тела на бесконечно малый угол d точка приложения силы проходит путь dS=rd. Работа силы
равна произведению проекции силы вдоль смещения Fsin() на величину этого смещения r d .
rdFsinαdA
. Но Frsin( ) =M- момент силы. Таким образом: работа силы при вращении тела
вокруг неподвижной оси равна произведению момента действующей силы на угол поворота dA*=*Md.
Чтобы рассчитать кинетическую энергию вращательного движения
твердого тела, мысленно его разобьем на n материальных точек с
массами m
1
, m
2
,...,m
n
, находящихся на расстояниях r
1
, r
2
,...,r
n
от оси
вращения. Так как тело абсолютно твердое, угловые скорости всех его
точек одинаковы
n
n
2
2
1
1
r
v
r
v
r
v
.
Линейные скорости точек будут разные
11
rv
,
21
rv
и т.д.
Кинетическая энергия вращающегося тела Е
к.вр
равна
n
1i
2
ii
2
nn
2
22
2
11
к.вз
2
vm
2
vm
...
2
vm
2
vm
Е
;
2
J ω
rm
2
ω
r
2
ωm
E
2
2
i
n
1i
i
2
2
i
n
1i
2
i
к.вз
.
Работа внешних сил при вращении тела идет на увеличение его кинетической энергии. dA=dЕ
к.вр
,
следовательно работу можно представить как разность кинетических энергий конечного и начального
положений
22
EЕA
2
нач
2
кон
нач.вр.к
кон.вр.к
JJ
Если тело катится без скольжения, то оно одновременно участвует в двух движениях : поступательном
и вращательном, и его кинетическая энергия
22
mv
E
22
J
.
3. 3.* Основное уравнение вращательного движения тела вокруг неподвижной оси. @
Воспользуемся соотношением, приведенным выше dA=dE
вр
, т.е.
dJ
2
J
dMd
2
Поделим обе части равенства на dt:
dt
d
J
dt
d
M
и так как
dt
d
, а
dt
d
, то
JM
или
JM
В векторном вид
JM
или
J
M
представляет собой уравнение динамики вращательного
движения твердого тела вокруг неподвижной оси, проходящей через центр масс тела. Угловое ускорение,
приобретаемое телом при вращении его вокруг неподвижной оси, прямо пропорционально вращающему
моменту сил и обратно пропорционально моменту инерции тела. По форме оно сходно с уравнени ем II
16
16
Рис.3.5. Вычисление работы при
вращательном движении твердого
тела.
закона Ньютона. Из их сопоставления вытекает, что при вращательном движении роль массы играет момент
инерции, роль линейного ускорения - угловое ускорение, роль силы - момент силы.
Ранее получено, что
JL
. Возьмем первую производную по времени от этого равенства
MJ
dt
d
JJ
dt
d
dt
dL
.
Это выражение есть вторая (более общая) форма уравнения динамики вращательного движения
твердого тела: Скорость изменения момента импульса тела равна результирующему моменту всех
внешних сил,
M
dt
Ld
(оно сходно с законом динамики по ступательного движения :
F
dt
pd
).
Если на тело не действуют внешние силы или система тел замкнутая, то момент сил
0M
и
0
dt
Ld
, откуда
constL
и получаем закон сохранения момента импульса: Момент импульса замкнутой
системы тел остается постоянным во времени. Аналогом его в поступательном движении является закон
сохранения импульса замкнутой системы тел. Закон сохранения момента импульса справедлив и для тел,
размеры, форма и момент инерции которых могут меняться в ходе движения. Поскольку величина
constJL
, то при увеличении момента инерции J, угловая скорость уменьшается и наоборот. К
примеру, акробат, совершая переворот в воздухе, чтобы увеличить угловую скорость своего вращения,
группируется, т.е. прижимает к себе руки и ноги. При этом его момент инерции уменьшается.
4.*КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ. @
4.1.* Основные характеристики гармонического колебания. @
Колебательным движением называется процесс, при котором система многократно отклоняясь
от своего состояния равновесия, каждый раз вновь возвращается к нему. Промежуток времени Т,
спустя который процесс полностью повторяется, называется периодом колебания.
Колебательные движения широко распространены в природе и технике. Качание маятника часов,
вибрация натянутой струны, морские приливы-отливы, тепловые колебания ионов кристаллической решетки
твердого тела, переменный электрический ток, свет, звук. В зависимости от характера воздействия на
колеблющуюся систему различают свободные незатухающие (или собственные) колебания, затухающие
колебания, вынужденные колебания, автоколебания.
Свободные колебания происходят в системе, предоставленной самой себе после того, как она была
выведена из положения равновесия. Простейшим свободным
периодическим механическим колебанием является
гармоническое колебательное движение точки (тела), при
котором зависимость смещения из положения равновесия
S от времени t описывается уравнениями:
tsinAS
0
или
tcosAS
0
,
А - амплитуда колебаний или максимальное смещение из
положения равновесия,
0
- круговая (циклическая)
частота,
t
0
- фаза колебаний в момент времени t,
- начальная фаза колебаний или фаза в момент времени
t=0. Такие колебания происходят под действием так
называемых квазиупругих сил. Квазиупругие силы - это силы,
имеющие такую же закономерность, как и сила упругости.
Рассмотрение гармонических колебаний важно по двум
причинам: 1) колебания, встречающиеся в природе и технике,
часто имеют характер близкий к гармоническим; 2) различные
периодические процессы можно представить как сложение не-
скольких гармонических колебаний.
Через время Т фаза колебания получит приращение
2
и
колебательный процесс повторяется:
2tTt
00
, откуда
0
ω
2
T
. Число
полных колебаний в единицу времени есть частота
колебаний , для нее вытекают соотношения
T
1
,
17
17
Рис.4.1. Зависимости: а) смещения,
б)скорости, в) ускорения гармонического
колебания от времени.
2
0
. Так как значения синуса и косинуса изменяются в пределах от +1 до -1, S принимает значения от
+А до -А.
4.2. Скорость и ускорение при гармоническом колебании. @
Скорость гармонического колебания есть первая производная от смещения S по времени t. Пусть
tωAsinS
0
, тогда
)
2
π
tsin(ωAωtωcosAω
dt
dS
v
0000
. Скорость сдвинута по фазе относительно смещения на
/2. Так как максимальное значение косинуса равно 1, максимальное значение скорости равно
0max
Av
.
Ускорение а гармонического колебания есть первая производная от скорости v по времени t.
πtωsinAωtωsinAω
2
dt
Sd
dt
dv
a
0
2
00
2
0
2
. Ускорение сдвинуто по фазе относительно
смещения на . Так как максимальное значение синуса равно 1, то максимальное значение модуля ускорения
равно
2
0
max
Aa
. На рис.4.1. представлены графики зависимости S, v и a от времени. Для удобства
изображения начальная фаза принята равной нулю =0, т.е.
tsinAS
.
Связь ускорения и смещения можно получить, если в формуле для ускорения множитель
tωAsin
0
заменить на S, получим
Sωa
2
0
.
Сила, действующая на колеблющуюся материальную точку массой m по II закону Ньютона равна
S
2
0
mωt
0
ωsin
2
0
mAωmaF
,
AmF
2
0max
.
Отсюда следует, что сила пропорциональна смещению материальной точки и противоположна ему по
направлению, такую силу называют квазиупругой. Согласно полученному выражению для силы можно
сказать, что гармоническое колебание*–*это колебание, которое происходит при действии на тело
квазигармонической силы.
Так как.
2
2
dt
Sd
a
, то
Sω
dt
Sd
2
0
2
2
и
0Sω
dt
Sd
2
0
2
2
.
Полученное выражение называют дифференциальным уравнением гармонических колебаний, с точки зрения
математики это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными
коэффициентами. Его решениями являются:
tsinAS
0
либо
tcosAS
0
.
Кинетическая энергия материальной точки при гармоническом колебании равна
tcos
2
mA
2
mv
E
0
2
2
0
22
K
Потенциальная энергия материальной точки при гармоническом колебании под действием упругой
силы, согласно ее определению, равна
tsin
2
mA
2
Sm
dSSmFdSА
0
2
2
0
222
0
S
0
2
0
S
0
П
E
Полная энергия колеблющейся точки
2
mA
tsin
2
mA
tcos
2
mA
EEE
2
0
2
0
2
2
0
2
0
2
2
0
2
K
П
Полная энергия не зависит от времени. Следовательно, при
гармонических колебаниях выполняется закон сохранения
механической энергии.
4.*3. Гармонический осциллятор. Примеры гармонических
осцилляторов. @
Тела, которые при движении совершают гармонические
колебания, называют гармоническими осциляторами.
Рассмотрим ряд примеров гармонических осциляторов.
Пример1. Пружинный маятник – это тело массой m, способное
совершать колебания под действием силы упругости невесомой
(m
пружины
m
тела
) пружины (рис.4.2).
18
18
Рис.4.2. Пружинный маятник.
Трением в системе пренебрегаем. При смещении тела на расстояние х от положения равновесия О на него
действует сила упругости пружины, направленная к положению равновесия:
kxF
, где k - коэффициент
упругости (жесткости) пружины. По второму закону Ньютона
2
2
dt
xd
mmaF
. Отсюда
kx
dt
xd
m
2
2
и, если обозначить
2
0
m
k
, тогда получим
0x
dt
xd
2
0
2
2
дифференциальное уравнение
гармонических колебаний. Его решения имеют вид
tsinAx
0
либо
tcosAx
0
. Таким
образом, колебания пружинного маятника - гармонические с циклической частотой
m
k
0
и периодом
k
m
2T
.
Пример 2. Физический маятник - это твердое тело, совершающее
колебания под действием силы тяжести вокруг подвижной горизон-
тальной оси, не совпадающей с его центром тяжести С (рис. 4.*3). Ось
проходит через точку О. Если маятник отклонить от положения равновесия
на малый угол и отпустить, он будет совершать колебания, следуя
основному уравнению динамики вращательного движения твердого тела
2
2
dt
d
JJM
, где J - момент инерции маятника относительно оси,
М-момент силы, возвращающей физический маятник в положение равно-
весия. Он создается силой тяжести
)sin(mg)sin(PP
, ее
момент равен
lPM
(l=ОС). В результате
получаем
)sin(lmg
dt
d
J
2
2
.Это дифференциальное
уравнение колебаний для произвольных углов отклонения. При малых углах, когда
)sin(
,
lmg
dt
d
J
2
2
или, принимая
2
0
J
lmg
, получим дифференциальное уравнение колебания
физического маятника
0
dt
d
2
0
2
2
. Его решения имеют вид
tsin
00
или
tcos
00
. Таким образом, при малых отклонениях от положения равновесия физический маятник
совершает гармонические колебания с циклической частотой
J
lmg
0
и периодом
l
J
mg
2T
.
Пример3. Математический маятник - это материальная точка с массой m (тяжелый шарик малых
размеров), подвешенная на невесомой (по сравнению с m шарика), упругой, нерастяжимой нити длинною
l. Если вывести шарик из положения равновесия, отклонив его от вертикали на небольшой угол , а затем
отпустить, он будет совершать колебания. Если рассматривать данную систему как физический маятник с
моментом инерции материальной точки J=ml
2
, то из формул для физического маятника получим выражения
для циклической частоты и периода колебаний математического маятника
l
g
0
ω
,
g
l
2T π
.
4.*4. Затухающие колебания. @
В рассмотренных примерах гармонических колебаний единственной силой, действующей на
материальную точку (тело), была квазиупругая сила F и не учитывались силы сопротивления, которые
присутствуют в любой реальной системе. Поэтому рассмотренные колебания можно назвать идеальными
незатухающими гармоническими колебаниями.
Наличие в реальной колебательной системе силы сопротивления среды приводит к уменьшению
энергии системы. Если убыль энергии не пополнять за счет работы внешних сил, колебания будут затухать.
Затухающими называются колебания с уменьшающейся во времени амплитудой.
Рассмотрим свободные затухающие колебания. При небольших скоростях сила сопротивления F
C
пропорциональна скорости v и обратно пропорциональна ей по направлению
dt
dx
rrvF
C
, где r -
коэффициент сопротивления среды. Используя второй закон Ньютона, получим дифференциальное
19
19
Рис.4.3. Физический маятник.
уравнение затухающих колебаний
C
FFam
,
kx
dt
dx
r
dt
xd
m
2
2
,
0x
m
k
dt
dx
m
r
dt
xd
2
2
. Обозначим
2
m
r
,
2
0
m
k
. Тогда
дифференциальное уравнение приобретает вид:
0x
dt
dx
2
dt
xd
2
0
2
2
.
Это дифференциальное уравнение затухающих колебаний. Здесь
0
-
собственная частота колебаний системы, т.е. частота свободных колебаний
при r=0, - коэффициент затухания определяет скорость убывания амплитуды. Решениями этого уравнения
при условии
0
являются
tcoseAx
t
0
либо
tsineAx
t
0
.
График последней функции представлен на рис.4.4. Верхняя пунктирная линия дает график функции
t
0
eAtA
, А
0
- амплитуда в начальный момент времени. Амплитуда во времени убывает по
экспоненциальному закону, - коэффициент затухания по величине обратен времени релаксации , т.е. вре-
мени за которое амплитуда уменьшается в e раз, так как
e
eA
eA
)(t
0
t
0
,
ee
, =1,
1
. Частота и период затухающих колебаний
22
0
,
22
0
2
T
; при очень малом сопротивлении среды (
2
0
2
) период колебаний практически равен
0
0
2
T
. С ростом период колебаний увеличивается и при >
0
решение дифференциального уравнения
показывает, что колебания не совершаются, а происходит монотонное движение системы к положению
равновесия. Такое движение называют апериодическим.
Для характеристики скорости затухания колебаний служат еще два параметра : декремент затухания D
и логарифмический декремент . Декремент затухания показывает во сколько раз уменьшается амплитуда
колебаний за время одного периода Т.
T
T)(t
0
t
0
e
eA
eA
T)A(t
A(t)
D
Натуральный логарифм от декремента затухания есть логарифмический
декремент
TelnlnD
T
. Так как
1
, то
N
1
T
1T
, где N -
число колебаний за время
.
4. 5. Вынужденные колебания. Механический резонанс. @
Если на колеблющуюся систему действует периодически
изменяющаяся сила, то колебания называются вынужденными. Пусть
вынуждающая сила изменяется по гармоническому закону
tcosFF
0
.
Дифференциальное уравнение, получаемое из второго закона Ньютона, с
учетом этой силы следует записать в виде
tcosF
dt
dx
rkx
dt
xd
m
0
2
2
или
tcos
m
F
x
dt
dx
2
dt
xd
0
2
0
2
2
. Решением дифференциального
уравнения вынужденных колебаний является
)tcos(Ax
, причем - частота вынужденных колебаний
совпадает с частотой колебания вынуждающей силы, а амплитуда вынужденных колебаний - А является
сложной функцией от и .
20
20
Рис.4.5. Вид резонансных
кривых.
Рис.4.4. Зависимость смещения
и амплитуды затухающих
колебаний от времени.