Лекции по статистике

Подождите немного. Документ загружается.

Найдем межгрупповую дисперсию

(

)

()()

25,0

45,7745,70,8

fxx

×−+×−

∑

−∑

=δ .

Различие в выработке двух групп вызывается тем, что рабочие 1-ой группы прошли обучение, а 2-ой груп-

пы не прошли.

Общая дисперсия

δ+σ=σ 25,05,075,0

. Общая дисперсия, возникающая под воз-

действием всех факторов, должна быть равна сумме дисперсий, возникающих под влиянием всех прочих

факторов, и дисперсии, возникающей за счет фактора группировки.

Влияние группировочного признака на результативный оценим корреляционным отношением

=η ; 58,0

75,0

25,0

==η .

Следовательно, фактор, положенный в основу группировки, существенно влияет на производительность

труда, но существуют и другие факторы, влияние которых тоже значительно.

Задача 1. Имеются данные о возрастном составе рабочих цеха (лет): 18, 38, 28, 29, 26, 38, 34, 22, 28,

30, 22, 23, 35, 33, 27, 24, 30, 32, 28, 25, 29, 26, 31, 24, 29, 27, 32, 25, 29, 29. Построить интервальный ряд рас-

пределения для 7 групп и графическое изображение ряда. Вычислить показатель центра распределения, т.е

среднее значение возраста (

) и показатели вариации.

Решение. 1) Определим величину интервала группировки

1838

i ≈=

−

Построим интервальный ряд распределения рабочих по возрасту.

Группы

рабочих по

возрасту, (х)

Число

Рабочих,

′

(

)

xx −

(

)

fxx

−

18-21

21-24

24-27

19,5

22,5

25,5

19,5

67,5

153,0

84,64

38,44

10,24

84,64

115,32

61,44

27-30

30-33

33-36

36-39

28,5

31,5

34,5

37,5

285,0

157,5

103,5

75,5

0,04

7,84

33,64

77,44

0,4

39,2

100,92

154,88

Итого 30 – – 861,0 – 556,8

2) Расчет показателя среднего возраста рабочих 4,28

x =

∑

′

∑

= года

3) Расчет структурных средних:

а) Модальный интервал 27-30 лет, так как f

max

= 10. Значение моды

()()()()

33,28

510610

610

327

ffff

ixMo

1MoMo1MoMo

1MoMo

−+−

−

−+−

−

+−

−

б) Место медианы 5,15

= .

Медианный интервал приходится на группу 27-30 лет находящуюся в середине нечетного ряда

65,28

130

327

ixMe

1Me

−

3) Показатели вариации

Среднее абсолютное линейное отклонение

(

)

87,3

0,116

∑

−

′

∑

fxx

d года.

Среднее квадратическое отклонение

()

31,4

8,556

fxx

∑

−

′

∑

=σ года.

Коэффициент вариации %15100

7,28

31,4

100

v =×=

= .

Вариация незначительна, следовательно, совокупность однородна.

5. ВЫБОРОЧНЫЙ МЕТОД В СТАТИСТИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ

5.1. Понятие о выборочном исследовании. Способы отбора единиц из генеральной со-

вокупности

Статистическое наблюдение можно организовать сплошное и несплошное. В вы-

борочном методе несплошного наблюдения обобщающие показатели совокупности уста-

навливаются по некоторой ее части (сравнительно небольшой –5-10% всей совокупности).

Совокупность, из которой производится отбор части единиц, называется генераль-

ной. Отобранная часть единиц называется выборочной совокупностью, или выборкой.

При использовании выборочного метода исследования осуществляется в более ко-

роткие сроки и с минимальными затратами труда и средств. Это повышает оперативность

и уменьшает ошибки регистрации. Выборочный метод является единственно возможным

при разрушающем контроле качества продукции. Он распространен в государственной и

ведомственной статистике (бюджетные обследования семей рабочих, крестьян, служащих;

обследование жилищных условий), в торговле (спрос населения на товар; эффективность

новых форм торговли) и т.д.

В основе отбора единиц положен принцип равных возможностей попадания в

выборку каждой единицы генеральной совокупности.

Методы отбора единиц в выборку. Повторный отбор – выбранная единица после

фиксации значения возвращается в генеральную совокупность, где может быть опять вы-

брана. Бесповторный отбор – не возвращается.

Способы отбора определяются правилами формирования выборочной совокупно-

сти.

Собственно-случайный – образуется в результате непреднамеренного отбора от-

дельных единиц из генеральной совокупности. Количество отбираемых единиц определя-

ется долей выборки.

Механическая выборка – отбор единиц производится из генеральной совокупно-

сти, разбитой на равные интервалы (группы). Генеральная совокупность механически раз-

бивается на равновеликие группы, из каждой группы в выборку отбирается лишь одна

единица. Для определения ошибки механической выборки используют формулы случай-

ной безповторной выборки.

Типическая выборка – генеральная совокупность разделяется на однородные ти-

пические группы. Затем из каждой группы отбираются единицы в выборку (производи-

тельность труда рабочих по группам квалификации).

Серийная или гнездовая выборка – выбираются из генеральной совокупности це-

лые серии и внутри серии обследуются все единицы (коробка, пачка, ящик, …). Отбор се-

рий производится любым способом по схеме бесповторного отбора.

Комбинированная – отбор групп, а внутри отбор отдельных единиц.

Соблюдение правил выборочного метода гарантирует репрезентативность выбороч-

ной совокупности (ее воспроизводство генеральной совокупности по изучаемым призна-

кам).

Основные характеристики параметров генеральной и выборочной совокупно-

стей:

– объем генеральной совокупности (число входящих в нее единиц);

– объем выборки (число обследованных единиц);

– генеральная средняя (среднее значение признака генеральной совокупности);

– выборочная средняя;

р – генеральная доля (доля единиц, обладающих данным значением признака в общем

числе единиц генеральной совокупности;

w – выборочная доля;

σ – генеральная дисперсия (дисперсия признака в генеральной совокупности;

s – выборочная дисперсия этого же признака;

– среднее квадратическое отклонение в генеральной совокупности;

s – среднее квадратическое отклонение в выборке.

Задача выборочного обследования состоит в том, чтобы на основе характеристик

выборочной совокупности (частости w или средней

) получить достоверные суждения о

показателях (доли р или средней

) в генеральной совокупности.

5.2. Ошибки выборки

Расхождение между характеристиками выборки и генеральной совокупности со-

ставляет ошибку выборки. Она зависит от вариации изучаемого признака, численности

выборки, методов отбора единиц в выборку, принятого уровня достоверности результата.

Количество отобранных в выборочную совокупность единиц определяют исходя из

принятой доли выборки К

=Доля выборки =

купностиальнойсовообъемгенер

иобъмвыборк

= .

Например, при К

= 5% выборки из партии N = 1000 единиц объем выборки n = 50 единиц, а при К

= 10%

– n = 100 единиц.

Различают два вида обобщающих показателей:

• относительную величину альтернативного признака, т.е. долю р (удельный вес)

единиц совокупности, обладающих данным значением признака (например, доля не-

стандартных изделий в партии товара, удельный вес продукции собственного произ-

водства в товарообороте общепита, удельный вес продавцов в общей численности);

• среднюю величину количественного признака.

Выборочная доля (

w = ), или частость, определяется отношением числа единиц

m, обладающих изучаемым признаком, к общему числу выборочной совокупности n.

Например, если из 100 деталей (n = 100) 95 оказались стандартными (m = 95), то выборочная доля

95,0

100

w == .

Для характеристики выборочных показателей используют понятие ошибки выборки.

Ошибка выборки ε (репрезентативности) представляет разность выборочных и ге-

неральных характеристик:

• для средней количественного признака xx

−

;

• для доли (альтернативного признака) pw

−

При случайном повторном отборе средние ошибки рассчитываются по формулам:

• для среднего количественного признака

µ = ,

• для доли (альтернативного признака)

(

)

p1p

−

=µ .

Так как

σ , дисперсия признака в генеральной совокупности точно неизвестна, на

практике пользуются значением дисперсии

, рассчитанным для выборочной совокупно-

сти на основании закона больших чисел (выборочная совокупность при достаточно боль-

шом объеме выборки достаточно точно воспроизводит характеристики генеральной сово-

купности). Генеральная дисперсия выражается через выборочную

−

Sσ . При дос-

таточно больших n можно принять

S≈σ . Среднее и дисперсия количественного при-

знака в выборке определяется по формулам

(

)

(

)

iii

fxx

Sили

xили

∑

−∑

∑

;

При случайном повторном отборе формулы средних ошибок примут вид

()

−

µµ

При случайном бесповторном отборе численность генеральной совокупности в

ходе выборки сокращается. Формулы для среднего значения количественного признака и

для доли имеют вид:













−=

µ ,

(

)













−

=µ

w1w

Малые выборки. Под малой выборкой понимается несплошное статистическое об-

следование с небольшим числом единиц – от 4 до 30. Тогда:

1. Генеральная дисперсия выражается через выборочную по формуле:

−

Sσ .

2. Средняя ошибка малой выборки при повторном отборе имеет вид:

−

µ .

Распространение выборочных результатов на генеральную совокупность про-

изводится с учетом закона больших чисел, который определяет с заданной вероятностью

предел возможной ошибки различий средних

)(]|

tФxxP

∆

≤

−

∆

, .

где P – вероятность события, указанного в скобках, t – коэффициент доверия, Ф(t) – инте-

грал нормальной плотности распределения c нулевым средним и единичной дисперсией на

отрезке [-t,t]. Функция Ф(t) задается таблицами. Для выборок при n>30 значения t и Ф(t)

приведены в таблице.

t 1 1.960 2 2.58 3

Ф(t) 0.683 0.95 0.954 0.99 0.997

Таким образом при заданной вероятности Ф(t) и определяемом из таблицы значении

t можно определить предельные значения характеристик генеральной совокупности и

их доверительные интервалы:

• для средней величины количественного признака

∆

• для доли альтернативного признака

∆

Например, при Р = 0,683 → t = 1. Следовательно в 68,3% случаев ошибка не выйдет за пределы

(одной средней ошибки выборки).

Распространение характеристик выборки на генеральную совокупность произ-

водится следующими способами.

Способ прямого расчета состоит в том, что показатели выборочной доли w, или

средней

распространяются на генеральную совокупность с учетом ошибки выборки (ко-

личество поступивших в партии товаров нестандартных изделий, …).

Способ поправочных коэффициентов применяется в случаях, когда целью выбо-

рочного метода является уточнение результатов сплошного учета (ежегодная перепись

скота у населения, …). Для этого после обобщения данных сплошного учета практикуется

10% выборочное обследование с определением так называемого «процента недоучета».

Пример 1. При проверке качества хлебобулочных изделий проведено 5% выборочное обследование

партии батонов. Из 100 отобранных в выборку батонов 90 штук соответствовали требованиям стандарта.

Средний вес одного батона 500,5 г при среднем квадратичном отклонении

15,4 г.

Установить возможные значения доли стандартных изделий и среднего веса одного изделия для

всей партии товара.

Решение. Значение альтернативного признака m = 90. Число единиц выборки n = 100. Значение

альтернативной доли (частости ) определим как 9,0

100

w === .

Средний вес изделия в выборке известен и равен 5,500x

г.

2000

05,0

100

N ; ; г 4,15

====±=

Вx

Найдем возможные значения ошибки выборки:

– для среднего веса изделия

5,1

2000

100

4,15

±=













−=













−

=µ г;

– для показателя средней доли стандартных изделий

(

)

(

)

029,0

2000

100

9,019,0

w1w

±=













−













−

=µ ;

или от 87,1 до 92,9% удельного веса стандартных изделий в партии.

Средний вес изделий во всей партии 502x499 5,15,500x

≤

Предельную ошибку выборки определим с вероятностью 0,99. При этом t = 2,6. Доля стандартных изделий

во всей партии 029,06,29,0twp

или от 0,825 до 0,975.

Это значит, что в 99 случаях из 100 удельный вес стандартных изделий во всей партии будет находится в

пределах от 82,5 до 97,5%.

Средний вес изделия во всей партии 5,16,25,500tx

, от 500,5 – 3,9 до 500,5 + 3,9.

С вероятностью равной 0,99 можно утверждать, что средний вес изделия во всей партии находится в преде-

лах от 496,9 до 504,4 г.

5.3. Оптимальная численность выборки

Размер ошибки средних повторной выборки зависит от численности выборочной со-

вокупности n

• для средней величины признака

=∆ →

∆

;

• для доли альтернативного признака

(

)

−

=∆

→

(

)

wwt

∆

−

= ;

Для способа бесповторного отбора численность выборки определятся аналогично

• – для средней величины количественного признака

+∆

• – для доли альтернативного признака

(

)

()

wwtN

wwNt

−+∆

−

Пример 2. Исходя из требований ГОСТа, необходимо установить оптимальный объем выборки из

партии нарезных батонов (2000 шт.), чтобы с вероятностью 0,997 предельная ошибка не превышала 3%

веса 500 г батона.

Решение. Относительную ошибку выборки выразим абсолютной величиной

(

)

100

3500

±=

=∆ г

Оптимальная численность выборки для бесповторного отбора

4,153152000

4,1532000

222

×+×

××

σ+∆

= шт.

Из 2000 шт. достаточно проверить 10.

Задача 1. Для определения скорости расчетов с кредиторами предприятий корпорации в коммерче-

ском банке была проведена случайная выборка n = 100 платежных документов, по которым средний срок

перечисления денег оказался равным

22 дням со стандартным отклонением

= 6 дней. С вероятно-

стью р = 0,954 определить предельную ошибку выборочной средней и доверительные интервалы (преде-

лы) средней продолжительности расчетов предприятий.

Решение. Предельную ошибку

∆

t определяем по формуле повторного отбора, так как числен-

ность генеральной совокупности неизвестна. t = 2.

2,16,02

100

=×===∆ .

Предельная относительная ошибка выборки, %

45,5100

2,1

100

=×=×

∆

=∆ .

Генеральная средняя

∆

2,23x8,20 2,122x2,122

≤

−

С вероятностью 0,954 можно утверждать, что средняя продолжительность расчетов предприятий колеблет-

ся в пределах от 20,8 до 23,2 дней.

Задача 2. Для определения урожайности зерновых культур проведено выборочное обследование

100 хозяйств региона различных форм собственности, в результате которого получены сводные данные.

С вероятностью 0,954 определить предельную ошибку выборочной средней и доверительные пределы

средней урожайности зерновых по всем хозяйствам региона.

Хозяйства по форме

собственности

Кол-во

хозяйств,

Средняя

урожайн.,

ц/га x

дисперсия

урожайн.,

Коллективные

Акционерные сообщества

Крестьянские (фермерские)

Итого 100 – –

Решение. Предельную ошибку определим для типичной выборки

=∆ .

Определим среднюю из внутригрупповых дисперсий

100

2500

100

204050253015

×+×+×

∑

= .

Предельная ошибка выборки 0,1

100

==∆ .

Генеральная средняя

∆

Выборочная средняя 21

100

2100

100

202850203018

∑

= .

Доверительные пределы 22x20 121x121

≤

−

С вероятностью 0,954 можно гарантировать, что средняя урожайность зерновых культур по региону

будет не менее, чем 20 ц/га и не более 22 ц/га.

Задача 3. Для определения среднего возраста 1200 студентов необходимо провести выборочное об-

следование методом случайного бесповторного отбора. Предварительно установлено, что среднее квадра-

тическое отклонение возраста студентов равно 10 годам.

Сколько студентов нужно обследовать, чтобы с вероятностью 0,954 средняя ошибка выборки не превышала

3 года?

Решение. Рассчитаем необходимую численность выборки по формуле бесповторного отбора, учи-

тывая, что t =2 при р = 0,954

11200

480000

10212003

1021200

222

≈=

+×

××

σ+∆

Выборка численностью 43 человека обеспечит заданную точность при бесповторном отборе.

6. РЯДЫ ДИНАМИКИ

Рядами динамики называются статистические данные, отображающие развитие

изучаемого явления во времени. В каждом ряду динамики имеются два основных элемен-

та: показатель времени t; соответствующие им уровни развития изучаемого явления y.

Номер i 0 1 2 3

Время t

1991 (t

) 1992 (t

) 1993 (t

) 1994 (t

)

Уровень y

788 (y

) 810 (y

) 867 (y

) 1054 (y

)

В качестве показаний времени в рядах динамики выступают либо определенные

даты (моменты), либо отдельные периоды (годы, кварталы, …)

Уровни рядов динамики отображают количественную оценку (меру) развития во

времени изучаемого явления. Они могут быть выражены абсолютными, относительными

или средними величинами. Уровни ряда должны быть сопоставимыми.

Моментные ряды отображают состояние изучаемых явлений на определенные да-

ты (моменты) времени (товарные запасы, количество оборудования и т.д.).

Интервальные ряды отображают итоги развития (функционирования) явлений за

отдельные периоды (интервалы) времени (данные о товарообороте, поступление и реали-

зация товаров, суммы издержек обращения и др.).

Графическое изображение ряда динамики в виде линейных, столбиковых и сек-

торных диаграмм позволяет наглядно представить развитие явления во времени.

6.1. Статистические показатели динамики

Показатели ряда динамики вычисляют посредством сопоставления его уровней на

основе постоянной или переменной базы сравнения:

1. На постоянной базе (базисный показатель)– сравнение с фиксированным базисным

уровнем.

2. На переменной базе (цепной показатель)– сравнение текущего уровень ряда (

y )с пре-

дыдущим (

−

Показатель Цепной Базисный За весь период

Абсолютный при-

рост (в натураль-

ных единицах)

1−

−=∆

yyy

−=∆

()

−

−∑=∆∑=

=∆=−=∆

yyy

yyyy

Коэффициент

роста (долях)

1−

Kр

KрKр

∏

Темп роста (%)

%100

⋅=

=⋅=

−i

KрТр

%100

⋅=

=⋅=

KрТр

%100

⋅=

⋅

KрТр