Лекции - Уравнения движения вязкой жидкости; основы теории пограничного слоя
Подождите немного. Документ загружается.
Г л а в а 13
Уравнения движения вязкой жидкости; основы теории
пограничного слоя
13.1 Уравнение движения вязкой жидкости
При обтекании тела реальной жидкостью на его поверхности появляются
касательные напряжения, обусловленные внутренним трением - вязкости. Эти
напряжения возникают при относительном движении (скольжении) слоев
жидкостью и всегда приводят к диссипации энергии потока,
термодинамической необратимости движения, связанной с переносом
количества движения (импульса) от быстрых частиц жидкости к медленным.
Чтобы получить уравнения движения вязкой жидкости, необходимо
ввести дополнительные члены в уравнения движения идеальной жидкости Л.
Эйлера.*
)
Установить вид этих членов можно, обобщая закон вязкого трения
Ньютона для простейшего случая слоистого течения (1.5), когда изменение
скорости течения w
x
происходит только по одной координате z, рисунок 13.1.
Рисунок 13.1 - Вязкие напряжения между слоями жидкости
___________________
*
)
Что касается уравнения непрерывности, то, как следует из его вывода, оно
относится в равной мере к движению всякой жидкости, в том числе и вязкой.
Предположим сначала, что жидкость несжимаема ( = const). В этом
случае, кроме нормальных сил давления - dpdydz и объемной силы
R
x
dxdydz, действующих в идеальной жидкости в направлении оси х (см.
рисунок 2.1), в вязкой жидкости действует еще разность сил трения,
касательных к верхней и нижней граням кубического объема жидкости
(верхняя грань увлекается большей скоростью, нижняя тормозится меньшей):
(
d
w
dz
dxdy
x
)
верх
- (
d
w
dz
dxdy
x
)
нижн
.
С учетом этих сил уравнение второго закона Ньютона (4.1) для частицы
жидкости в проекции на ось х запишется в виде:
dxdydz
d
w
dt
x
= - dpdxdy + R
x
dxdydz +
+ [(
x
w
z
)
верх
- (
x
w
z
)
нижн
]dxdy.
Разделив последнее равенство на dxdydz и принимая во внимание, что
, а отношение
[(
x
w
z
)
верх
- (
x
w
z
)
нижн
]/dz =
2
2
d w
d
z
x
,
получим:
d
w
dt
x
= -
1
d p
dx
+ R
x
+
2
2
d w
d
z
x
, (ср. с первым уравнением (4.8
1
)).
Учитывая возможность изменения вектора w и давления р в направлениях х
и у, обобщим полученное уравнение на общей (3 - х мерный) случай течения
несжимаемой ( = const) вязкой жидкости:
2
d
w
dt
x
= -
1
p
x
+ R
x
+ (
2
2
w
x
x
+
2
2
w
y
x
+
2
2
w
z
x
);
d
w
dt
y
= -
1
p
x
+ R
y
+ (
2
2
w
x
y
+
2
2
w
y
y
+
2
2
w
z
y
);
d
w
dt
z
= -
1
p
x
+ R
z
+ (
2
2
w
x
z
+
2
2
w
y
y
+
2
2
w
z
z
) (13.1)
или
d
w
dt
i
= --
1
p
x
i
+ R
i
+
2
2
w
x
k
i
*
)
. (ср. с уравнением (4.8
11
)).(13.1
1
)
То же в векторном виде:
d
w
dt
= --
1
p +
R
+
w
. (ср. с уравнением (4.8)). (13.1
11
)
Здесь
2
2
x
+
2
2
y
+
2
2
z
x
k
2
2
- дифференциальный оператор Лапласа.
Полученные уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости носят
название уравнений Навье - Стокса (1822; 1845).
____________________
*
)
В последнем слагаемом индекс "к" повторяется дважды (т. к.
x
2
x
x
), является немым и по нему предполагается суммирование.
3
В случае сжимаемой вязкой жидкости, когда
div w
w
x
l
l
0, для касательных напряжений принимается :
iк
= (
w
x
k
i
+
w
x
k
i
-
2
3
iк
w
x
l
l
) +
iк
w
x
l
l
, (13.3)
где
iк
=
{
1, при i = к
0, при i к
называется тензорной единицей, а коэффициент (-
2
3
) выбран так, что
выражение в скобках обращается в нуль при суммировании компонент с
одинаковыми индексами (i = к). Коэффициент называется вторым
коэффициентом вязкости и играет заметную роль лишь при значительных
изменениях плотности жидкости (например, при взрыве).
Уравнения движения вязкой сжимаемой жидкости получаются
прибавлением производных
x
k
k
i
к правой части уравнений Эйлера
d
w
dt
i
= -
p
x
i
+ R
i
+
x
k
k
i
(13.4)
или, с учетом зависимости (13.3):
d
w
dt
i
= -
p
x
i
+R
i
+
2
2
w
x
k
i
+ ( +
/3)
x
i
w
x
l
l
(13.4
!
)
Но
w
x
l
l
div w,
2
2
w
x
k
i
w
i
. Поэтому можно написать уравнение
движения в векторном виде:
4
d
w
dt
= - gradp + R + w+( +
/3) grad div w. (13.4
11
)
Для несжимаемой жидкости div w = 0, = 0,что приводит к
уравнению (13.1).
13.2 Основы теории пограничного слоя
При движении жидкости с большими значениями числа Re wl/,
действие сил вязкости проявляется в тонком пристеночном слое - пограничном
слое, в поперечном направлении которого скорость изменяется весьма резко.*
)
В остальной области течения жидкость можно считать идеальной (невязкой), а
течение потенциальным. Это значительно упрощает исследования.
Толщина пограничного (вихревого) слоя обычно мала по сравнению с
размерами обтекаемых тел. Так, при продольном обтекании пластины воздухом
со скоростью 100 м/с на расстоянии 1 м от передней кромки скорость на
поверхности пластины равна нулю (воздух "прилипает" к обтекаемой
поверхности), а на расстоянии 15 мм от нее практически равна 100 м/с. Вне
пограничного слоя градиенты скорости малы и поэтому вязкость практически
не проявляется.
В общем случае при обтекании тел можно выделить три области, рисунок
13.2.
Первая - область пристеночного пограничного слоя, где скорость очень
резко меняется от нуля на стенке до скорости внешнего потока; влияние вязких
сил велико.
Вторая - область вихревого следа содержит приторможенные частицы из
зоны 1, унесенные потоком. Это свободная смытая струя, вихревой след.
_____________________
*
)
Кроме пристеночного слоя между твердой обтекаемой поверхностью и внешним
потенциальным потоком, встречаются свободные , с двух сторон окруженные
потенциальными потоками слои жидкости с большим поперечным градиентом скорости
(затопленные струи, след за обтекаемым телом), где влияние вязкости учитывать
необходимо.
5
Третья область - вне первых двух, в которой жидкость можно считать
идеальной, а течение потенциальным.
Рисунок 13.2
13.3 Уравнения пограничного слоя Л. Прандтля
На тот факт. что влияние вязкости должно сказываться лишь вблизи
обтекаемой стенки, было указано еще Д. М. Менделеевым (1880 г.) в его
исследованиях по сопротивлению жидкостей движущимся телам.
Математическая теория пограничного слоя была дана Л. Прандтлем.
При выводе уравнений пограничного слоя продольную (вообще говоря,
криволинейную) координату х выбирают вдоль обтекаемой поверхности, а ось
у - перпендикулярно к ней. Начало координат обычно удобно выбрать в
передней критической точке, где набегающий поток раздваивается. Из - за
малой толщины пограничного слоя по сравнению с размерами обтекаемого
тела можно пренебречь кривизной поверхности и рассмотреть выбранную
систему координат как декартовую [x; y], рисунок 13.3.
Рисунок 13.3 - Ортогональная сетка координат [x, y]
Для установившегося движения вязкой жидкости уравнения Навье -
Стокса (13.1) и уравнение непрерывности в случае плоского (двухмерного)
потока принимают вид:
6
w
x
w
x
x
+ w
y
w
y
x
= -
1
p
x
+ (
2
2
w
x
x
+
2
2
w
y
x
),
w
x
w
x
y
+ w
y
w
y
y
= -
1
p
y
+ (
2
2
w
x
y
+
2
2
w
y
y
),
w
x
x
+
w
y
y
= 0.
Учитывая, что внутри пограничного слоя значительные градиенты только
продольной составляющей скорости w
x
, второе из написанных уравнений
упрощается:
р
y
=0.
Из этого следует важная особенность пограничного слоя: давление
внешнего потока передается через пограничны слой без изменений. Можно
показать также, что в первом уравнении член
2
2
w
x
x
весьма мал по
сравнению
2
2
w
y
x
. В итоге получим систему уравнений для пограничного слоя Л. Прандтля:
w
x
w
x
x
+ w
y
w
y
x
= -
1
d p
d x
+
2
2
w
y
x
,
w
x
x
+
w
y
y
= 0.
}
(13.5)
Результаты интегрирования этих гораздо более простых уравнений
хорошо совпадают с экспериментальными данными.
7
Кроме того, следуя идее Л. Прандтля, продольное изменение давления
(член -
1
d p
d x
) можно найти, рассматривая потенциальное течение в области
111 (рисунок 13.2), где справедливо уравнение Бернулли для идеальной
жидкости
U
2
/ 2 + p/ = const. (13.6)
Здесь U - скорость вне пограничного слоя в области 111 у данной точки
обтекаемого тела. Дифференцируя последнее равенство по х, получим
U
dU
dx
+
1
d p
d x
= 0,
или
-
1
d p
d x
= U
dU
dx
.
Учитывая это, перепишем систему уравнений Прандтля (13.5) в виде:
w
x
w
x
x
+ w
y
w
y
x
= U
dU
dx
+
2
2
w
y
x
,
w
x
x
+
w
y
y
= 0.
}
(13.7)
В этих уравнениях распределение скоростей U(x) во внешнем
потенциальном потоке на границе пограничного слоя можно получить. решая
задачу обтекания тела потоком идеальной жидкости. а затем осуществить
"стыковку" этого решения с течением вязкой жидкости в пограничном слое.
Граничные условия для системы уравнений пограничного слоя
предполагают, во - первых, равенство нулю вектора скорости на поверхности
обтекаемого тела, т. е.
w
x
y=0
= w
y
y = 0
(13.8)
из условий непроницаемости стенки и "прилипания" к ней вязкой жидкости.
8
Во - вторых, "стыковка" на внешней границе пограничного слоя
предполагает равенство скорости частиц вязкой жидкости и скорости U(x)
внешнего (потенциального) потока идеальной жидкости. Хотя, формально
влияние пристеночного торможения жидкости сказывается на любом
расстоянии от стенки, так что, строго говоря, это условие записывается в виде
w
x
y
= U(x) (13.9)
и предполагает асимптотический переход к скорости внешнего потока.
Однако, с целью упрощения, более часто второе граничное условие задается
для пограничного слоя "конечной толщины ", под которым подразумевают
слой жидкости, в котором на расстоянии от стенки происходит изменение
скорости от нуля (на стенке) до w
x
= U(x) (на расстоянии от стенки), при
условии плавности такого перехода
w
x
y =
= U(x),
w
y
x
y =
= 0. (13.9
1
)
В качестве можно, например, принять расстояние от стенки, на котором
скорость отличается от скорости внешнего потока на 1%, когда w
x
(x)
y=
=
0,99U(x).
Расплывчатость такой оценки очевидна. Поэтому используются
интегральные, менее наглядные, но более строгие оценки.
Толщина вытеснения (рисунок 13.4)
* = [(U - w
x
)dy]/U = [1 - w
x
(y)/U]dy.
Рисунок 13.4 - Поле скоростей в пограничном слое:
9
- толщина пограничного слоя; * - толщина вытеснения
Интеграл (U - w
x
)dy представляет собой разность между расходами
жидкости в пограничном слое , если бы скорость по всему его течению не
уменьшалась из - за вязкости, а оставалась бы равной U, и действительным
расходом (заштрихованная часть эпюры скоростей справа), т. е. представляет
собой уменьшение расхода жидкости в пограничном слое из - за вязкости.
Разделив этот интеграл на величину U, получим некоторую величину *, через
которую и протекал бы недостающий расход (перекрестная штриховка). На *
оттесняются от поверхности тела линии тока невозмущенного течения из - за
вязкого торможения.
Аналогичные характеристики можно ввести для импульса и энергии
потока:
**
= [(w
x
(y)/U)(1-w
x
(y)/U)]dy-толщина потери импульса;
0
***
= [(w
x
(y)/U)(1-w
2
x
(y)/U
2
)]dy-толщина потери энергии.
0
13. 4 Турбулизация пограничного слоя
Из опыта следует, что ламинарное (слоистое) течение в пограничном слое
наблюдается лишь на начальном участке поверхности обтекаемого тела (зона 1
на рисунке 13.5). далее, при достаточной протяженности тела наблюдается
турбулизация пограничного слоя (точки перехода Т
в
и Т
н
на верхней и нижней
поверхностях тела). В зоне 2 турбулентное течение отличается пульсирующим
неустановившемся характером. Если вдоль течения давление нарастает (что
имеет место, например, при диффузорных течениях), возможен взрыв
пограничного слоя (точка S), сопровождающийся расширением вихревой
10