Лукманов Р.Л. Каптелинина Ф.И. Методические указания и варианты контрольной работы
Подождите немного. Документ загружается.
2. Сформулируйте основные свойства неопределенного интеграла.
3. В чем заключается метод замены переменной?
4. Какие функции целесообразно интегрировать по частям? Почему?
5. Как разложить рациональную дробь на простейшие?
4 Определенный интеграл
Пусть функция
)(xfу
определена на отрезке
ва,
. Разобьём этот отрезок на части
точками
....,,,
21
bхххах
т
Получим
""n
частичных отрезков длиной
i
х
каждый.
В каждом частичном отрезке выберем произвольную точку
iii
хxc ,
1
и вычислим в
ней значение функции
)(
i
cf
.
Составим сумму произведений:
ii
n
i
nniin
xcfxcfxcfxcfS
)()(...0()(
1
21
.
Эта сумма называется интегральной суммой функции
)(xfу
на отрезке
ва,
.
Перейдем к пределу в последнем выражении, когда максимальный из отрезков
0
i
х
.
Если при этом сумма
n
S
имеет предел
J
, не зависящей от способа разбиения отрезка
ва,
на части и от выбора точек
i
с
в них, то число
J
называют определенным
интегралом от функции
)(xfу
на отрезке
ва,
и обозначают:
.)(lim)(
1
0max
n
i
ii
b
a
x
xcfdxxf
i
Теоремой существования определенного интеграла является теорема Коши: если
функция
)(xfу
непрерывна на отрезке
ва,
, то определенный интеграл
b
a
dxxf )(
существует.
При этом геометрический смысл определенного интеграла заключается в том, что
определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади
криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции
)(xfу
, снизу –
осью
Ох
, с боков прямыми
ах
;
bх
.
Физический смысл определенного интеграла заключается в том, что он равен работе
переменной силы, величина которой есть непрерывная функция, на отрезке
ва,
.
4.1 Основные свойства определенного интеграла
1)
b
a
b
a
dxxfdxxf )()(
; 2)
a
a
dxxf 0)(
;
3)
a
c
b
a
c
a
dxxfdxxfdxxf )()()(
; 4)
b
a
b
a
b
a
dxxfdxxfdxxfdxxf )()()()(
2121
;
5)
b
a
b
a
dxxfcdxxfdxxсf )()()(
, где
c
- постоянная.
4.2 Правила вычисления определенного интеграла
1) Формула Ньютона-Лейбница:
)()()()( aFbFxFdxxf
b
a
b
a
,
где
)(xF
- первообразная для
)(xf
.
2) Интегрирование по частям:
b
a
b
a
b
a
vduuvUdv
,
где
)(xU
и
)(xv
- непрерывные и дифференцируемые функции на отрезке
ва,
.
3) Замена переменной:
dtttfdxxf
b
a
b
)()()(
'
1
,
где
)(tx
- функция, непрерывная вместе со своей производной
)(
'
t
на отрезке
t
.
4)
a
a
a
четнаяфункцияxfxfеслиdxxf
нечетнаяфункцияxfxfесли
dxxf
0
.)()(,)(2
,)()(,0
)(
Пример 17
Вычислить
4
6
2
cos
x
dx
.
Решение
По формуле Ньютона-Лейбница будем иметь:
Пример 18.
Вычислить
dxxe
x
1
0
.
Решение.
Используем формулу интегрирования по частям:
dxxe
x
1
0
=
.
2
12
,
,
1
1
0
1
0
1
1
0
e
e
eeedxexe
evdvdxe
dudxux
xxx
xx
Пример 19.
Вычислить
r
dxxr
0
22
.
Решение.
Сделаем замену переменной:
,sin trx
tdtrdx cos
;
00 tx
;
.
2
trx
r
dttrtdtrtdtrtrrdxxr
0
2
0
2
0
222
2
0
22222
)2cos1(
2
1
coscossin
4
0sin
2
1
0sin
2
1
22
2sin
2
1
2
1
22
2
0
2
rr
ttr
.
3
3
1
64
cos
4
6
2
tgtgtgx
x
dx
4.4 Приложения определенного интеграла
4.3.1 Вычисление площадей плоских фигур
Используя геометрический смысл определенного интеграла, нетрудно получить
формулу для вычисления площади плоской фигуры, ограниченной кривыми
)()(
21
xfxf
и прямыми
bхax ,
:
b
a
dxxfxfS )()(
21
.
Пример 20.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой
2
4 xxy
и осью
Ox
.
Решение.
Парабола пересекает ось
Ox
в точках
)0,0(O
и
)0,4(M
. Интеграл площадь будет:
4
0
4
0
322
3
32
3
1
2)4( xxdxxxS
(кв.ед.).
4.3.2 Вычисление объемов тел вращения
При вращении криволинейной трапеции, ограниченной линиями:
)(
11
xfy
,
)(
22
xfy
,
)()(0
21
xfxf
ах
;
bх
вокруг оси
Ox
, получим объем тела
вращения:
dxyyv
b
a
)(
2
1
2
2
.
Пример 21.
Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси
Ох
фигуры, ограниченной
кривой
32
)1( xy
и прямой
2x
.
Решение.
Для построения кривой найдем точки:
при
0y
,
1x
; при
2x
,
1y
.
А(1,0) ; В(2,1)
2
1
2
1
2
1
432
..
4
1
4
1 едкубxdxxdxyv
4.3.3 Вычисление длины дуги плоской кривой
Если кривая
)(xfy
имеет непрерывную
производную на отрезке
ba,
, то длина дуги
этой кривой находится по формуле:
dxy
b
a
2
'
1
.
Пример 22.
Найти длину дуги кривой
32
xy
от
0x
до
1x
(
0y
).
Решение.
Найдем
2
1
'
2
3
xy
. Тогда
113
8
13
27
8
27
8
4
13
27
8
)
4
9
1(
3
2
9
4
4
9
1
2
3
1
0
1
0
2
3
xdxx
.
4.4 Вопросы для самопроверки
1. Что называется интегральной суммой для функции
)(xf
на отрезке
ba,
?
2. Что называется определенным интегралом?
3. Каковы геометрический и физический смыслы определенного интеграла?
4. Назовите основные свойства определенного интеграла.
5. Назовите основные методы (правила) вычисления определенного интеграла.
6. Перечислите основные приложения определенного интеграла.
5 Индивидуальные задания для контрольной работы №2
Задача №1
Найти неопределенные интегралы способом подстановки (методом замены
переменной).
1.
dxxx sincos
11.
dx
x
x
2
cos
sin
2.
x
dx
x
3
ln
12.
dx
x
x
32
3
2
3.
dx
x
xarctg
2
1
13.
dxxx
34
35
4.
dx
x
x
3
sin
cos
14.
dxex
x
13
2
5.
dxxe
x
2
15.
dx
x
x
18
4
3
6.
dx
x
x
4
2
16.
dx
x
x
32
2
7.
x
dx
x
ln
17.
2
2
1
arcsin
x
dx
x
8.
dx
x
x
2
21
18.
dx
x
arctgx
2
1
9.
dx
x
x
52
4
19.
dx
x
x 3ln
10.
xx
dx
ln
20.
dxx
x
x
2
21
Задача №2
Найти неопределенные интегралы, используя выделение полного квадрата.
1.
dx
xx
x
84
14
2
11.
dx
xx
x
2910
78
2
2.
dx
xx
x
52
85
2
12.
dx
xx
x
136
311
2
3.
dx
xx
x
84
23
2
13.
dx
xx
x
208
710
2
4.
dx
xx
x
106
38
2
14.
dx
xx
x
6816
113
2
5.
dx
xx
x
54
37
2
15.
dx
xx
x
172
165
2
6.
dx
xx
x
106
109
2
16.
dx
xx
x
208
113
2
7.
dx
xx
x
108
103
2
17.
dx
xx
x
4012
517
2
8.
dx
xx
x
178
73
2
18.
dx
xx
x
6516
712
2
9.
dx
xx
x
52
25
2
19.
dx
xx
x
172
78
2
10.
dx
xx
x
136
37
2
20.
dx
xx
x
328
317
2
Задача №3
Найти неопределенные интегралы, применяя метод интегрирования по частям.
1.
dxxln
11.
dxxx ln
3
2.
dxxx 3sin12
12.
dxxx 5cos73
3.
dxex
x2
1
13.
dxxx 3sin212
4.
dxxx 2cos
14.
dxxx 2ln
3
5.
dxxarctg 2
15.
dxxx 8sin
6.
xdxx ln15
16.
dxxarccos
7.
dxxx 5sin28
17.
dxx2arcsin
8.
dxex
x2
3
18.
dxxx 3cos12
9.
dxxx 3ln
19.
dxxx 7sin108
10.
dxex
x
7
82
20.
dxx8ln
Задача №4
Найти неопределенные интегралы, пользуясь разложением рациональных
дробей на простейшие.
1.
dx
x
x
1
3
11.
dx
xx
x
3
13
2
2.
dx
x
x
8
20
3
12.
dx
x
x
1
15
3
3.
dx
xx
x
1
13
2
13.
dx
xx
x
3
12
4.
dx
xx
x
2
52
3
14.
dx
xx
x
4
52
3
5.
dx
xx
x
3
13
3
15.
dx
xx
x
35
2
6.
dx
xx
x
21
58
2
16.
dx
xx
x
41
1
2
7.
dx
xx
x
13
27
2
17.
dx
xx
x
103
2
8.
dx
xx
x
4
115
2
18.
dx
xx
x
6
52
2
9.
dx
xx
x
31
3
2
19.
dx
xx
x
52
3
2
10.
dx
x
x
1
2
3
20.
dx
xx
x
32
2
2
Задача №5
Вычислить площадь, ограниченную заданными параболами.
1. y=
2
2
1
x
-x+1; 7. у=2
2
х
-6х+1;
у= -
2
2
1
x
+3x+6. у= -
2
х
+х-1.
2. y=
2
2
1
x
+x+2; 8. у=
2
3
1
х
-2х+4;
y= -
2
2
1
x
-5x+7. у= -
2
3
2
х
-х+2.
3. y=
2
3
1
x
-3x+2; 9. у=
2
х
-5х-3;
y= -
2
3
2
x
-2x+4. у= - 3
2
х
+2х-1.
4. y=2
2
х
+6х-3; 10. у=
2
х
-2х-5;
y= -
2
х
+х+5. у= -
2
х
-х+1.
5. y=3
2
х
-5х-1; 11. у=
2
4
1
х
-2х-5;
y= -
2
х
+2х+1. у= -
2
4
3
х
-х+1.
6. у=
2
х
-3х-1; 12. у=
2
2
1
x
+3х-2;
у= -
2
х
-2х+5. у= -
2
2
1
x
-х+3.
Задача№6
Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры,
расположенной в первом квадранте и ограниченной заданными параболой,
прямой и осью Ох.
1. y=
2
2х
; 11. у=2
2
х
;
у= - 2х +4. у= - 3х +14.
2. y=
2
х
; 12. у=
2
3
1
х
;
y = - x+2. у= - х +6.
3. y = 3
2
х
; 13. у =3
2
х
;
y = - x+4. у =- 2х+5.
4. y =
2
4
1
х
; 14. у =
2
3
1
х
;
y = - х+3. у = - 2х+9.
5. y =
2
2
1
x
; 15. у =
2
4
1
х
;
y = -3х +8. у = - 2х+6.
6. у =
2
3
1
х
; 16. у = 2
2
х
;
у= - 3х +12. у = - х+10.
7. у = 4
2
х
; 17. у =3
2
х
;
у = - 2х +2. у =- 3х+6.
8.у =
2
4
1
х
; 18. у=
2
х
;
у = -
2
1
х+2. у =-2х +5
9.у =4
2
х
; 19.у =
2
1
2
х
;
у= - 2х +6. у = - х +3.
10. у=
2
х
; 20. у =3
2
х
;
у= - х+3. у = -5х +8.
Задача №7
Найти длину дуги кривой.
1. y =
хх
3
1
, 11.
1
2
2
х
у
, отсеченной
120 х
. осью Ох.
2. y =ln sin x, 12.
5
12
4
3
ln xxотxу
23
х
. 13.
2
2
39 хху
между
3. y = 1-ln cos x, точками пересечения с осями
6
0
х
. Оу и Ох..
4. у = ln x, 14.
32
2
9
4
ху
, отсеченной
.1
4
3
х
прямой х= -1.
5. у =ln cos x, 15. у =ln(sin x) ,
3
0
х
3
2
3
х
.
6. у =
,11
3
1
хх
16. y= ln(1-
2
х
),
10 х
2
1
2
1
х
.
7.
,
32
ху
отсеченной 17.
,2
2
рху
отсеченной
прямой
4
3
х
. прямой
2
р
х
.
8.
222
аух
18. у =ln x,
83 х
.
9.
3
2
3
2
3
2
аух
19. y = ln (1-
2
х
),
2
1
0 х
.
10.
32
1 ху
, отсеченной 20.
a
x
a
x
ee
а
у
2
,
прямой х=4 .
bх 0
Библиографический список
1.
Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: Учеб. пособие:
В 2-х т. – Изд. стереотип. – М.: Интегралпресс. Т. 1. – 1991. – 416 с.
2. Шипачев В.С, Высшая математика: Учеб./под ред. А.Н. Тихонова. – 2-е изд.
стереотип. – М.: Высш. шк., 1990. – 479 с.
3.
Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. I, IIч..-М.:Рольф,
2002.-288с.
4. Зайцев И.А. Высшая математика: Учеб. М.: Высш. шк., 1991.-400с.
5.
Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб. пособие. –
20-е изд. – М.: Наука, 1985-416 с.
6. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах: В 2ч. – М.:
Высш. шк. 4.1. – 1999. – 304 с.
1. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике: Учеб. пособие. – 2-е изд., испр.
– М.: Высш. шк., 2000. – 304 с.
Лицензия РБ на издательскую деятельность №0261 от
Подписано в печать __________2004г. Формат . Бумага типографская.
Гарнитура Таймс. Усл. печ. л._____. Усл. изд. л._____. Тираж______экз. Заказ №____.
Издательство Башкирского Государственного Аграрного Университета.
Типография Башкирского Государственного Аграрного Университета.
Адрес издательства и типографии: 450001, г. Уфа, ул. 50 лет Октября, 34.
РЕЦЕНЗИЯ
на методические указания по теме:
«», разработанные доцентами кафедры «Математика»
Лукмановым Р.Л. и Каптелининой Ф.И.
Данные методические указания содержат основной теоретический
материал, отражающий основные методы и приемы интегрирования, примеры,
наглядно показывающие, как это можно сделать, вопросы для самоконтроля,
варианты индивидуальных заданий и список литературы.
Методические указания позволяют студентам глубже разобраться в этом
важном и трудно усваевомом разделе математики.
Методические указания изложены доступным языком, четко и понятно.
Считаю целесообразным рекомендовать методические указания по теме
«Неопределенный интеграл» (часть I), разработанные доцентами Лукмановым Р.Л. и
Каптелининой Ф.И. к изданию во внутривузовской печати.
Зав. кафедрой «Физика» доцент Юмагужин Р.Ю.