Макаров Е.Г. Сопротивление материалов

Подождите немного. Документ загружается.

17.5. Напряженное состояние

Хрупкое разрушение вызывается нормальными напряжениями, пластическая

деформация — касательными. Соотношение нормальных и касательных напряжений

при нагружении тела зависит от вида напряженного состояния.

Влияние напряженного состояния на характер разрушения материала удобно

оценивать с помощью диаграммы Я.Б. Фридмана. Эта диаграмма не позволяет

рассчитать момент хрупко-вязкого перехода, но позволяет качественно оценить

возможность такого перехода. Поэтому, не вдаваясь в детали, рассмотрим

приближенное построение диаграммы и ее использование.

Характеристикой хрупкого разрушения считаем сопротивление отрыву ,

характеристикой пластического разрушения — сопротивление срезу

от

ср

Пластические деформации в металле появляются при достижении предела текучести

. Все эти характеристики не зависят от вида напряженного состояния.

В системе координат

− отложим на осях значения

от

ср

= и

проведем через них прямые, параллельные осям. Это и есть диаграмма Фридмана

для данного материала (рис. 17.9).

Введем коэффициент жесткости напряженного состояния

max max

τσ

= .

Жестким будем считать напряженное состояние, затрудняющее возникновение

пластической деформации и облегчающее хрупкое разрушение отрывом.. Чем

меньше

, тем жестче напряженное состояние, тем больше опасность хрупкого

разрушения.

ср

от

max

Рис. 17.9 Диаграмма механического состояния материала Фридмана

На рис. 17.9 каждый луч, проведенный из начала координат, соответствует

определенному значению коэффициента

, то есть определенному виду

напряженного состояния.

При осевом растяжении 0,5

= , при кручении 1

≈

(при коэффициенте Пуассона

0, 25

= ), при сжатии 2

≈ (при 0, 25

), при растяжении образцов с острым

надрезом

0,1

∼ , при вдавливании 20

∼ .

Луч 1 на диаграмме пересекает линию сопротивления отрыву. Следовательно

материал разрушается хрупко путем отрыва без предшествующей пластической

деформации.

Луч 2 пересекает вначале линию текучести, а затем линию сопротивления отрыву.

Следовательно произойдет хрупкое разрушение путем отрыва, но с предшествующей

пластической деформацией (квазихрупкое разрушение).

Луч 3 пересекает линию сопротивления срезу, поэтому после пластической

деформации произойдет разрушение путем среза.

При снижении температуры существенно повышаются

ср

, а растет очень

медленно. Пунктиром на рис. 17.9 показана диаграмма механического состояния того

же материала при снижении температуры. В этом случае для напряженных

состояний 1 и 2 — разрушение хрупкое, для состояния 3 — квазихрупкое.

от

Условия хрупкого и пластического разрушения:

Пластическое разрушение хрупкое разрушение

max ср

max от

< S

max ср

max от

> S

или или

ср

max

max от

ср

max

max от

191

17.6. Остаточные напряжения

В зависимости от объема, в котором уравновешиваются остаточные напряжения, они

могут быть первого, второго или третьего рода.

Первого рода — уравновешиваемые в объеме всего тела; второго —

уравновешиваемые в объеме порядка размеров зерен металла; третьего —

уравновешиваемые в областях порядка размера межатомных расстояний. Далее

рассматриваем только напряжения первого рода.

Так как напряжения уравновешиваются внутри тела, то в нем одновременно

присутствуют и растягивающие и сжимающие напряжения.

Действие остаточных напряжений — результат их сложения с напряжениями от

внешних сил. Если напряжения растяжения от внешних сил складываются с

остаточными напряжениями растяжения — прочность падает, если с остаточными

напряжениями сжатия — прочность растет.

Остаточные напряжения растяжения могут служить причиной образования трещин в

сварных соединениях, отливках, закаленных деталях. Кроме того они могут привести

к короблению конструкций при сварке, а после механической обработки — к

изменению размеров детали.

Причиной остаточных напряжений является остаточная деформация. Пластическая

— при механической обработке и сварке, упругая — при слесарной сборке, горячих и

прессовых посадках.

Остаточные напряжения не могут быть выше предела текучести.

При сложном напряженном состоянии предельные значения остаточных напряжений

удовлетворяют IV гипотезе прочности

Iост IIост IIост IIIост IIIост Iост т

()( )( )

−+− +−≤

σσσ σσσ

Механизм появления остаточных напряжений при пластической деформации

рассмотрен на примере пластического кручения и пластического изгиба в главе 8.

Для повышения прочности и долговечности конструкции необходимо уменьшать

растягивающие напряжения в опасных местах. Для этого желательно создать на

поверхности детали сжимающие остаточные напряжения. Существует много

способов поверхностного упрочнения деталей, приводящих к повышению

поверхностной твердости и наведению остаточных напряжений сжатия. Это

 механическое упрочнение — обдувка дробью, обкатка роликами, чеканка;

 термическое упрочнение — поверхностная закалка токами высокой частоты

(ТВЧ);

 термохимическое упрочнение — цементирование, азотирование, цианирование.

В основе механического упрочнения лежит пластическая деформация сжатия

поверхностного слоя материала.

При закалке ТВЧ превращение аустенита в мартенсит в поверхностном слое

сопровождается увеличением объема и возникновением остаточных напряжений

сжатия.

При термохимическом упрочнении внедрение атомов углерода или азота в

поверхностные слои металла также приводит к увеличению объема. Ввиду малой

толщины упрочненного слоя остаточные напряжения в нем бывают очень велики.

Поверхностное упрочнение обычно производят в местах концентрации напряжений

или в зонах повышенного износа деталей из малопластичных материалов или

работающих при циклических нагрузках, так как в этом случае эффект упрочнения

наибольший.

На рисунке 17.10 приведены эпюры нормальных напряжений в сечении круглого

стержня с кольцевым надрезом при растяжении. Поверхностное упрочнение надреза

позволяет создать остаточные напряжения

ост

, практически компенсирующие пик

упругих напряжений

упр

Суммарные напряжения

сум

оказались почти выровненными по сечению, что ведет

к большому повышению усталостной прочности и долговечности детали.

Следует иметь в виду, что ряд видов поверхностной обработки приводит к

появлению в поверхностном слое остаточных напряжений растяжения, что снижает

прочность и может вызвать появление поверхностных трещин. Это некоторые

процессы гальванопластики, например, хромирование, никелерование, воронение,

обезуглероживание поверхностного слоя, быстрая сушка древесины, ведущая к

растрескиванию дерева, потеря пластификатора из полимеров.

192

ост

уп

су

Рис. 17.10 Влияние остаточных напряжений на прочность стержня с надрезом

При токарной обработке детали в зависимости от заточки резца и режима резания

возникают остаточные напряжения того или иного знака, а при шлифовании —

растягивающие напряжения

Для снятия остаточных напряжений используют отжиг детали при температуре выше

температуры рекристаллизации Для любых сталей отжиг при температуре 600ºС

обеспечивает полное снятие остаточных напряжений.

193

Глава 18.Линейная механика разрушения

тел с трещинами

В середине прошлого века повышенное внимание ученых вызвали многочисленные

случаи хрупкого разрушения конструкций из пластичных материалов: обрушение

мостов, разломы кораблей на 2 части, разрушение резервуаров с жидкостью или

газом. Было установлено, что причиной таких разрушений являются трещины.

Как правило, видимая трещина долгое время ведет себя спокойно, медленно

подрастая, но в какой-то момент времени происходит мгновенное хрупкое

разрушение.

Проведенные исследования легли в основу новой ветви науки о прочности —

механики разрушения тел с трещинами. В результате бурного развития ее к

настоящему времени выработаны критерии трещиностойкости, разработаны методы

расчета на живучесть тел стрещинами

18.1. Основные гипотезы

Исходное положение механики разрушения — в природе не существует тел без

трещин. В любой конструкции в момент ее создания уже существуют трещины, чаще

всего микроскопические. В процессе эксплуатации конструкции трещина медленно

подрастает.

Требуется определить критические напряжения и критическую длину трещины, при

которых происходит мгновенное распространение трещины по всему сечению

элемента конструкции, что приводит к хрупкому разрушению тела на части.

В механике разрушения хрупким считается мгновенное разрушение без видимых

пластических деформаций. Если материал конструкции находится в пластичном

состоянии, то хрупкому разрушению предшествуют пластические деформации.

В основу механики разрушения легли гипотезы Гриффитса и Орована. Эти ученые

предложили энергетический подход к решению поставленной задачи. Представим

основные идеи этого подхода в виде трех частей [14].

1. Потенциальная энергия, высвобождаемая при росте трещины, идет на

образование новых поверхностей

Рассмотрим растяжение пластины с трещиной (рис. 18.1). При образовании трещины

длиной

l высвобождается потенциальная энергия.

194

lβ

Рис. 18.1 Нагружение пластины с трещиной

Представьте себе, что это не пластина, а лента из обычной ткани. Ножницами

сделаем надрез с края ленты. Прежде туго натянутые края ленты обвиснут.

Следовательно исчезла запасенная в них потенциальная энергия. Обвисшие края

ленты имеют вид треугольников, площадь которых, по расчетам Гриффитса

=Al

, где — длина трещины. l

Высвобожденная потенциальная энергия

⋅= ⋅π

П=П

lb, где b — толщина пластины,

— модуль Юнга,

—

номинальное (среднее) напряжение в поперечном сечении пластины.

Эта энергия переходит в работу образования новых поверхностей

2=⋅⋅

WGlb, где — удельная работа образования новых поверхностей (на

единицу площади поверхности).

2. Самопроизвольное распространение трещины происходит, когда скорость

высвобождения потенциальной энергии больше скорости поглощения энергии,

идущей на образование новых поверхностей.

В этом основное содержание гипотезы Гриффитса. Под скоростью здесь понимается

изменение энергии на единицу длины прироста трещины. На рис. 18.2 приведен

график изменения и

W с ростом трещины. График потенциальной энергии —

парабола (зависит от ), график работы — прямая линия (зависит от ).

Суммарный баланс энергии имеет экстремум.

П П

l W l

П+W

Самопроизвольное распространение трещины начинается тогда, когда процесс

становится энергетически выгоден для тела, то есть суммарный запас энергии тела

начинает уменьшаться.

Если

ddW

dl dl

— разрушения нет.

195

Если

≥

ddW

dl dl

—самопроизвольное распространение трещины (мгновенное

разрушение). В критическом состоянии (при равенстве работ)

кр

⋅

===

ddW

Edl

σπ

откуда критическая длина трещины

кр

l =

πσ

(18.1),

или, если известна длина трещины

l, можно найти критическое напряжение, которое

вызовет самопроизвольное развитие трещины

кр

σ=

(18.2).

кр

dW dL

dП dL

Рис. 18.2 Энергетический подход к определению критической длины трещины

На рис. 18.2 внизу показаны графики производных

Пd

. Их точка

пересечения соответствует критической длине трещины.

3. Величина включает в себя работу образования новых поверхностей плюс

работу пластической деформации.

Такое предположение было введено Орованом. Если две первые гипотезы Гриффитса

позволяют определять критическую длину трещины только для хрупких материалов,

то гипотеза Орована дает возможность вести расчеты и для пластичных материалов.

Именно эта гипотеза и дала толчок к быстрому развитию механики разрушения тел с

трещинами.

Если на образование единицы площади поверхности затрачивается работа

нм



G , то работа пластической деформации в тысячи раз больше

нм



G .

В дальнейшем под величиной понимается интенсивность высвобождения

энергии при движении трещины.

Пример

Пусть для малоуглеродистой стали 10 с пределом прочности 400 Мпа и

нм

G ≈ требуется найти напряжение, при котором критическая длина трещины

равна 1м. По формуле (18.2)

113

МПа. Если захотим увеличить критическую

196

длину трещины до 2-х метров, то действующие напряжения придется уменьшить до

80 Мпа.

Использование высокопрочных сталей, как правило не приводит к повышению

вязкости. Трещиностойкость большинства металлов уменьшается с ростом

прочности.

Прочность мягкой стали можно повысить, увеличив содержание углерода. Для стали

40 предел прочности 650 МПа, но у этой стали меньше запас пластичности и

нм

G ≈ . При том же напряжении 113

= МПа критическая длина трещины

уменьшится до мм. А, если повысить напряжение до 200 Мпа (ведь более

прочный материал используется, чтобы увеличить нагрузку), то уменьшится до

32 мм, что весьма опасно для большой конструкции. Результаты расчета показаны на

рис. 18.3.

кр

100l =

кр

Рис. 18.3 Расчеты критических напряжений и критической длины трещины

Для элементов конструкций малых размеров, таких как болт, вал, зубчатое колесо,

нет смысла ориентироваться на трещины метровой длины. Для

кр



см рабочее

напряжение может достигать 300 Мпа и в этом случае целесообразно применять

высокопрочные материалы. Чем больше конструкция, тем больше должна быть

критическая длина трещины, тем легче ее обнаружить и предотвратить разрушение.

Этому требованию удовлетворяет мягкая сталь с пределом прочности до 500 Мпа,

которой в мире выплавляется в десятки раз больше, чем высокопрочных сталей.

18.2. Критерии трещиностойкости

Формулы (18.1) и (18.2) не используются в практических расчетах, так как в

справочниках нет величин для большинства материалов, а главное, они не

учитывают геометрию детали и вид нагрузки. Были разработаны другие критерии

трещиностойкости: силовой, энергетический, деформационный. В практике расчетов

используется в основном силовой критерий трещиностойкости, поэтому ограничимся

лишь его рассмотрением.

Силовой критерий трещиностойкости.

Можно определить три основных типа смещения у вершины трещины,

соответствующих различным схемам деформирования (рис. 18.4).

Тип I соответствует раскрытию трещины (отрыву). При этом поверхности трещины

удаляются друг от друга.

Тип П соответствует сдвигу, при котором поверхности трещины скользят друг по

другу в направлении, перпендикулярном краю трещины.

Тип Ш соответствует сдвигу, при котором поверхности трещины скользят друг по

другу в направлении, параллельном краю трещины. С помощью наложения этих трех

типов смещения можно описать любое самое общее трехмерное напряженно-

деформированное состояние у вершины трещины.

Рис. 18.4 Типы смещения у вершины трещины

197

Существует теоретическое решение задачи о распределении перемещений и

напряжений в окрестностях вершины трещины. Оно приводится в литературе по

механике разрушения, например [16]. В общем виде его можно записать следующим

образом:

[] []

[]

()

=⋅

=⋅ ⋅

(18.3),

где

r и θ —координаты точки вблизи устья трещины (рис. 18.4, справа), в которой

определяются напряжения и перемещения, — модуль сдвига,

[]

⎡⎤

⎢⎥

⎣⎦

—

вектор напряжений,

[]

⎡⎤

⎢⎥

⎣⎦

— вектор перемещений,

[

]

()f

[]

()

—

четырехкомпанентные векторы, содержащие некоторые функции угла для всех

трех видов напряженного состояния у вершины трещины. Выражения для этих

функций приведены в литературе по механике разрушения, например [14, 16].

Коэффициент пропорциональности в формуле (18.3) называется коэффициентом

интенсивности напряжений. Коэффициент зависит от нагрузки и геометрии тела,

включая размер трещины. Для трех типов перемещения в окрестности трещины этот

коэффициент различен и обозначается , и . Его определение является

одной из главных задач механики разрушения.

III

Далее рассмотрим первый тип перемещения — отрыв.

При

=0 (на продолжении трещины)

= .

При величина

0r →

→∞, а значение 2

= становится

неопределенным.

Воспользовавшись решением теории упругости для бесконечной плоскости,

нагруженной на бесконечности напряжением

(рис. 18.1), раскрываем

неопределенность

=σπ=σπlim 2

Krl. По аналогии

τπ

l ,

τπ

III

l .

Для других тел при других заданных нагрузках коэффициент интенсивности

напряжений в общем случае имеет вид

Kf l

= , (18.4),

где коэффициент

зависит от вида нагружения и геометрии тела,

—

номинальное напряжение, найденное без учета трещины.

Определению коэффициента

для различных частных случаев посвящено

множество работ. В общем случае этот коэффициент находится численными

методами. Большое количество найденных коэффициентов

во втором томе

справочного пособия ″Механика разрушения и прочность материалов″ [16].

Величина возрастает пропорционально номинальному напряжению

, зависит от

мгновенного значения длины трещины и является мерой напряжений около

вершины трещины.

Для оценки трещиностойкости конструкции желательно знать все три коэффициента

интенсивности напряжений , , . Однако ввиду значительных расчетных

трудностей чаще всего ограничиваются определением одного, самого большого и

самого важного коэффициента , соответствующего отрыву берегов трещины.

III

Значение , соответствующее началу быстрого роста трещины, называется

критическим коэффициентом интенсивности напряжений и обозначается .

Исследования показали, что для одного и того же материала в зависимости от вида

напряженного состояния может быть различным.

При переходе от плоского напряженного к плоскому деформированному состоянию

(с увеличением толщины детали) величина может уменьшится в несколько раз.

Наименьшее значение (для первого типа смещения поверхностей трещины)

представляет собой характеристику материала, называемую вязкостью материала в

условиях плоского деформированного состояния. Величина определяется

опытным путем на стандартных образцах в соответствии с ГОСТ 25.506-85

следующим образом:

 образец с острым надрезом нагружают циклической нагрузкой

198

max т

0,5

 в течение 50 000 циклов, при этом в образце образуется

трещина ~5 мм;

 образец с трещиной испытывают на разрыв;

 обрабатывают диаграмму деформирования и по формулам ГОСТа

определяют и другие характеристики трещиностойкости.

Iс

Условие трещиностойкости

IсI

Левая часть неравенства вычисляется в порядке решения конкретной задачи теории

упругости с учетом формы и размеров тела, способа нагружения, и геометрии

трещины. Правая часть неравенства (критическое значение коэффициента

интенсивности напряжений ) определяется опытным путем как механическая

характеристика материала.

В окрестностях трещины в металлах возникают пластические деформации. Под их

влиянием трещина становится менее острой и максимальные напряжения

уменьшаются. Для учета этого эффекта предложено увеличить длину трещины на

величину пластической зоны, то есть принять длину трещины

llr

+ , где —

размер пластической зоны на продолжении трещины. Величину можно

приближенно определить из условия, что на границе пластической зоны .

тy

σ=σ

σ=

, откуда

⎛⎞

=⋅

⎜⎟

⎝⎠

С учетом

l=σ π , получаем при плоском напряженном состоянии

⎛⎞

=⋅

⎜⎟

⎝⎠

С ростом толщины детали происходит стеснение деформаций и переход от плоского

напряженного к плоскому деформированному состоянию. При этом уменьшается

величина

max

и размер пластической зоны находят по формуле

(1 2

−)

=⋅

. При 0,3

= величина уменьшается в 6 раз при переходе от

плоского напряженного к плоскому деформированному состоянию.

Следует отметить, что для определения требуется использовать метод итераций,

поскольку зависит от величины , а , в свою очередь, зависит от .

18.3. Живучесть конструкций

Под живучестью будем понимать долговечность конструкций с трещинами.

Мы рассмотрели условия, при которых начинается самопроизвольное мгновенное

распространение трещины (разрушение тела), но ничего не сказали о механизме

подрастания трещины до критических размеров.

Перечислим три основных механизма подростания трещин:

 коррозия,

 ползучесть,

 усталость.

Если коррозия заметно действует в агрессивных средах, ползучесть при высоких

температурах, то усталость материалов при действии переменных нагрузок, в той или

иной степени, присутствует во всех конструкциях и является главным механизмом

подрастания трещин.

Для оценки скорости распространения трещины используют данные экспериментов.

На рис. 18.5, а показана зависимость длины трещины от числа циклов нагружения

. Для удобства последующих расчетов эту кривую перестраивают (рис. 18.5, б) в

координатах

– . Здесь lg( KΔ)

— скорость распространения трещины и

— размах изменения коэффициента интенсивности напряжений,

и — коэффициенты интенсивности напряжений при максимальной и

минимальной нагрузках цикла.

max min

KK KΔ= −

max

min

199

а) б)

тр

(

)

ln KΔ

Рис. 18. 5. Рост трещины при испытаниях материала на усталость

Кривую на рис. 18.5, б можно представить в виде трех участков. Небольшой

участок 1 определяет порог до которого макротрещина не растет (идет накопление

микроповреждений). Участок 2 в логарифмических координатах — равномерный

рост трещины. Участок 3 — ускоренный рост трещины до разрушения.

Равномерный рост трещины можно описать уравнением прямой линии

ln lg( )=+ Δ

Cn K

или после потенцирования

(

=ΔΚ)

— формула Пэриса (18.11).

По формуле Пэриса можно определить время (число циклов нагружения)

подрастания трещины до критических размеров.

Пример расчета живучести детали с использованием формулы Пэриса приведен в

электронной книге в разделе

Для главы 18.

Меры по повышению живучести конструкций

Периодически необходим осмотр конструкции с целью своевременного обнаружения

видимых трещин.

Если трещина обнаружена, рассчитывается ориентировочная долговечность

конструкции по формуле Пэриса.

По результатам расчета необходимо снизить нагрузку для увеличения долговечности

и (или) принять меры по ремонту конструкции.

Для залечивания трещины можно

 приварить накладку в месте обнаружения трещины,

 заварить область вершины трещины,

 засверлить вершину трещины. При увеличении радиуса при вершине

трещины уменьшается концентрация напряжений и соответственно

прекращается рост трещины.

Существуют и разрабатываются и другие методы повышения живучести

конструкций.

Задача повышения живучести конструкций чрезвычайно актуальна, так как

внезапное разрушение конструкций часто приводит к катастофическим

последствиям.

200