Маслова Т.Н., Суходский А.М. Справочник школьника по математике. 5-11 кл

Подождите немного. Документ загружается.

Т. Н. Маслова, А. М. Суходский

СПРАВОЧНИК

ШКОЛЬНИКА

ПО МАТЕМАТИКЕ

5—11 классы

Москва

ОНИКС

Мир и Образование

УДК 51(075.3)(035)

ББК 22.1я72

М31

Маслова Т. Н.

Справочник школьника по математике.

5—11 кл. / Т. Н. Маслова, А. М. Суходский. — М.:

ООО «Издательство Оникс»: ООО «Издательство

«Мир и Образование», 2008. — 672 с.: ил.

ISBN 978-5-488-01478-7 (ООО «Издательство Оникс»)

ISBN 978-5-94666-435-6 (ООО «Издательство «Мир и Образование»)

В справочнике в краткой и доступной форме излагается весь

материал школьного курса математики для 5—11-х

классов.

Пособие содержит большое количество примеров и задач с

подробными решениями.

Справочник адресован учащимся общеобразовательных

школ, лицеев и колледжей.

УДК 51(075.3)(035)

ББК 22.1я72

ISBN 978-5-488-01478-7

(ООО «Издательство Оникс»)

ISBN 978-5-94666-435-6

(ООО «Издательство «Мир и Образование»)

ООО «Издательство Оникс», 2008

М31

ÏÐÅÄÈÑËÎÂÈÅ

Äàííûé ñïðàâî÷íèê ñîäåðæèò êàê îñíîâíîé, òàê

è äîïîëíèòåëüíûé ìàòåðèàë âñåõ ðàçäåëîâ øêîëü-

íîãî êóðñà ìàòåìàòèêè, èçó÷àåìîãî â 511 êëàññàõ:

ìàòåìàòè÷åñêèå ïîíÿòèÿ, îïðåäåëåíèÿ, òåîðåìû, ôîð-

ìóëû, ñâîéñòâà è ò. ä. Êðîìå òîãî, â íåì èìååòñÿ äî-

âîëüíî ìíîãî ïîäðîáíî ðàçîáðàííûõ ïðèìåðîâ è çà-

äà÷; ïðè èõ ðåøåíèè çà÷àñòóþ èñïîëüçóåòñÿ íå òîëüêî

ìàòåðèàë òîãî ïóíêòà, ê êîòîðîìó îòíîñèòñÿ ðàññìàò-

ðèâàåìûé ïðèìåð èëè çàäà÷à, íî è ìàòåðèàë äðóãèõ

ðàçäåëîâ. Âìåñòå ñ òåì, äîêàçàòåëüñòâà òåîðåì â ñïðà-

âî÷íèêå íå ïðèâîäÿòñÿ  ýòè äîêàçàòåëüñòâà ìîæíî

íàéòè â øêîëüíûõ ó÷åáíèêàõ ïî ìàòåìàòèêå.

Âåñü ìàòåðèàë, îòíîñÿùèéñÿ ê òîìó èëè èíîìó

ïîíÿòèþ, ïîìåùåí êîìïàêòíî (â øêîëüíûõ ïîñîáèÿõ

ýòî íå âñåãäà áûâàåò òàê), ÷òî ïîçâîëèò âàì áûñòðî

ïîëó÷èòü âñå íåîáõîäèìûå ñâåäåíèÿ îá èíòåðåñóþ-

ùåì âàñ ïîíÿòèè.

Èçëîæåííûé â ñïðàâî÷íèêå ìàòåðèàë ðàçáèò íà

ðàçäåëû, ðàçäåëû  íà ïàðàãðàôû, à ïàðàãðàôû  íà

äîâîëüíî ìåëêèå ïóíêòû (òàê âàì áóäåò óäîáíåå îòûñ-

êàòü íóæíóþ èíôîðìàöèþ). Íóìåðàöèÿ ðàçäåëîâ, ïà-

ðàãðàôîâ è ïóíêòîâ  ñêâîçíàÿ ïî âñåé êíèãå, à íó-

ìåðàöèÿ ïðèìåðîâ  ñàìîñòîÿòåëüíàÿ âíóòðè êàæ-

äîãî ïóíêòà. Òåîðåìû íóìåðóþòñÿ äâóìÿ öèôðàìè:

ïåðâàÿ èç íèõ îçíà÷àåò íîìåð ðàçäåëà, â êîòîðîì

Ïðåäèñëîâèå

ÀËÃÅÁÐÀ

Ðàçäåë I

×ÈÑËÀ

§ 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà

1. Çàïèñü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. ×èñëà 1, 2, 3, 4,

5, ..., èñïîëüçóþùèåñÿ äëÿ ñ÷åòà ïðåäìåòîâ èëè äëÿ

óêàçàíèÿ ïîðÿäêîâîãî íîìåðà òîãî èëè èíîãî ïðåä-

ìåòà ñðåäè îäíîðîäíûõ ïðåäìåòîâ, íàçûâàþòñÿ íà-

òóðàëüíûìè. Ëþáîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî â äåñÿòè÷-

íîé ñèñòåìå ñ÷èñëåíèÿ çàïèñûâàåòñÿ ñ ïîìîùüþ

öèôð 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Íàïðèìåð, çàïèñü 2457

îçíà÷àåò, ÷òî 2  öèôðà òûñÿ÷, 4  öèôðà ñîòåí,

5  öèôðà äåñÿòêîâ è 7  öèôðà åäèíèö, ò. å.

2457 = 2 · 1000 + 4 · 100 + 5 · 10 + 7.

Âîîáùå, åñëè à  öèôðà òûñÿ÷, b  öèôðà ñîòåí,

ñ  öèôðà äåñÿòêîâ è d  öèôðà åäèíèö, òî èìååì

a · 1000 + b · 100 + c · 10 + d.

Èñïîëüçóåòñÿ òàêæå ñîêðàùåííàÿ çàïèñü abcd (íà-

ïèñàòü abcd íåëüçÿ, ïîñêîëüêó òàêàÿ çàïèñü îçíà÷àåò

ïðîèçâåäåíèå ÷èñåë à, b, c, d).

Â îáùåé ôîðìå äëÿ m-çíà÷íîãî ÷èñëà a

ñïðàâåä-

ëèâà çàïèñü

10...1010

cccca

+×++×+×=

ñôîðìóëèðîâàíà äàííàÿ òåîðåìà, à âòîðàÿ  ïîðÿäêî-

âûé íîìåð òåîðåìû â ýòîì ðàçäåëå. Íàïðèìåð, Ò.4.6

îçíà÷àåò, ÷òî ðå÷ü èäåò î òåîðåìå 6 èç ðàçäåëà IV. Â

êíèãå ïðèíÿòû ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ: íà÷àëî è

êîíåö ðåøåíèÿ ïðèìåðà îòìå÷àþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî

çíàêàìè q è n.

Äëÿ óäîáñòâà ïîëüçîâàíèÿ ñïðàâî÷íèêîì â êîíöå

åãî ïîìåùåíû ñïèñêè îñíîâíûõ ôîðìóë è îñíîâíûõ

îáîçíà÷åíèé, à òàêæå ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü.

Ñïðàâî÷íèê ïîìîæåò âàì:

 áûñòðî íàéòè íóæíóþ èíôîðìàöèþ î òîì èëè

èíîì ïîíÿòèè, îïðåäåëåíèè, ñâîéñòâå, î òîé èëè èíîé

ôîðìóëå, òåîðåìå;

 ïîâòîðèòü ñîîòâåòñòâóþùèé ìàòåðèàë ïðè ïîä-

ãîòîâêå ê óðîêó, ê òåñòèðîâàíèþ, ê êîíòðîëüíîé ðàáî-

òå, ê ýêçàìåíó;

 âñïîìíèòü, êàê ðåøàþòñÿ òèïîâûå ïðèìåðû è

çàäà÷è øêîëüíîãî êóðñà ìàòåìàòèêè;

 ïîäãîòîâèòüñÿ ê âñòóïèòåëüíîìó ýêçàìåíó èëè

ñîáåñåäîâàíèþ ïî ìàòåìàòèêå ïðè ïîñòóïëåíèè â âóç

èëè äðóãîå ó÷åáíîå çàâåäåíèå.

Ïðåäèñëîâèå

ÀËÃÅÁÐÀ

Ðàçäåë I

×ÈÑËÀ

§ 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà

1. Çàïèñü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. ×èñëà 1, 2, 3, 4,

5, ..., èñïîëüçóþùèåñÿ äëÿ ñ÷åòà ïðåäìåòîâ èëè äëÿ

óêàçàíèÿ ïîðÿäêîâîãî íîìåðà òîãî èëè èíîãî ïðåä-

ìåòà ñðåäè îäíîðîäíûõ ïðåäìåòîâ, íàçûâàþòñÿ íà-

òóðàëüíûìè. Ëþáîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî â äåñÿòè÷-

íîé ñèñòåìå ñ÷èñëåíèÿ çàïèñûâàåòñÿ ñ ïîìîùüþ

öèôð 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Íàïðèìåð, çàïèñü 2457

îçíà÷àåò, ÷òî 2  öèôðà òûñÿ÷, 4  öèôðà ñîòåí,

5  öèôðà äåñÿòêîâ è 7  öèôðà åäèíèö, ò. å.

2457 = 2 · 1000 + 4 · 100 + 5 · 10 + 7.

Âîîáùå, åñëè à  öèôðà òûñÿ÷, b  öèôðà ñîòåí,

ñ  öèôðà äåñÿòêîâ è d  öèôðà åäèíèö, òî èìååì

a · 1000 + b · 100 + c · 10 + d.

Èñïîëüçóåòñÿ òàêæå ñîêðàùåííàÿ çàïèñü abcd (íà-

ïèñàòü abcd íåëüçÿ, ïîñêîëüêó òàêàÿ çàïèñü îçíà÷àåò

ïðîèçâåäåíèå ÷èñåë à, b, c, d).

Â îáùåé ôîðìå äëÿ m-çíà÷íîãî ÷èñëà a

ñïðàâåä-

ëèâà çàïèñü

10...1010

cccca

+×++×+×=

ñôîðìóëèðîâàíà äàííàÿ òåîðåìà, à âòîðàÿ  ïîðÿäêî-

âûé íîìåð òåîðåìû â ýòîì ðàçäåëå. Íàïðèìåð, Ò.4.6

îçíà÷àåò, ÷òî ðå÷ü èäåò î òåîðåìå 6 èç ðàçäåëà IV. Â

êíèãå ïðèíÿòû ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ: íà÷àëî è

êîíåö ðåøåíèÿ ïðèìåðà îòìå÷àþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî

çíàêàìè q è n.

Äëÿ óäîáñòâà ïîëüçîâàíèÿ ñïðàâî÷íèêîì â êîíöå

åãî ïîìåùåíû ñïèñêè îñíîâíûõ ôîðìóë è îñíîâíûõ

îáîçíà÷åíèé, à òàêæå ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü.

Ñïðàâî÷íèê ïîìîæåò âàì:

 áûñòðî íàéòè íóæíóþ èíôîðìàöèþ î òîì èëè

èíîì ïîíÿòèè, îïðåäåëåíèè, ñâîéñòâå, î òîé èëè èíîé

ôîðìóëå, òåîðåìå;

 ïîâòîðèòü ñîîòâåòñòâóþùèé ìàòåðèàë ïðè ïîä-

ãîòîâêå ê óðîêó, ê òåñòèðîâàíèþ, ê êîíòðîëüíîé ðàáî-

òå, ê ýêçàìåíó;

 âñïîìíèòü, êàê ðåøàþòñÿ òèïîâûå ïðèìåðû è

çàäà÷è øêîëüíîãî êóðñà ìàòåìàòèêè;

 ïîäãîòîâèòüñÿ ê âñòóïèòåëüíîìó ýêçàìåíó èëè

ñîáåñåäîâàíèþ ïî ìàòåìàòèêå ïðè ïîñòóïëåíèè â âóç

èëè äðóãîå ó÷åáíîå çàâåäåíèå.

ÀËÃÅÁÐÀ

§ 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà

ÀËÃÅÁÐÀ

Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ

Íàïîìíèì ïîðÿäîê àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé â

÷èñëîâîì âûðàæåíèè: ïðåæäå âñåãî âûïîëíÿþò äåé-

ñòâèÿ â ñêîáêàõ; âíóòðè ëþáûõ ñêîáîê ñíà÷àëà âû-

ïîëíÿþò óìíîæåíèå è äåëåíèå, à çàòåì ñëîæåíèå è

âû÷èòàíèå. Íàïðèìåð, åñëè íóæíî íàéòè çíà÷åíèå

âûðàæåíèÿ

(28 · 93 + (1927  1873) · 31) : 6  710,

òî ïîðÿäîê äåéñòâèé òàêîâ:

(28 · 93 + (1927  1873) · 31) : 6  710.

3. Äåëåíèå ñ îñòàòêîì. Åñëè íàòóðàëüíîå ÷èñëî

m íå äåëèòñÿ íà íàòóðàëüíîå ÷èñëî n, ò. å. íå ñóùå-

ñòâóåò òàêîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà k, ÷òî m = nk, òî

ðàññìàòðèâàþò äåëåíèå ñ îñòàòêîì. Íàïðèìåð, ïðè

äåëåíèè ÷èñëà 43 íà ÷èñëî 18 â ÷àñòíîì ïîëó÷àåòñÿ

2 è â îñòàòêå 7, ò. å. 43 = 18 · 2 + 7. Â îáùåì ñëó÷àå,

åñëè m  äåëèìîå, n  äåëèòåëü (m > n), p  ÷àñ-

òíîå è r  îñòàòîê, òî

m = np + r, (1)

ãäå r < n. Çäåñü m, n, p, r  íàòóðàëüíûå ÷èñëà (èñ-

êëþ÷åíèå ñîñòàâëÿåò ñëó÷àé, êîãäà m äåëèòñÿ íà n

áåç îñòàòêà è r = 0). Íàïðèìåð, åñëè n = 3, à r = 2, òî

m = 3p + 2. Ýòî ôîðìóëà ÷èñåë, êîòîðûå ïðè äåëåíèè

íà 3 äàþò â îñòàòêå 2.

Ï ð è ì å ð. Íàéòè ÷àñòíîå è îñòàòîê îò äåëåíèÿ

÷èñëà 36 421 íà ÷èñëî 25.

q Âûïîëíèì äåëåíèå «óãëîì»:

1 4 2 3 5 6

èëè

,...

121

mmm

cccca

ãäå

cccc

,,...,,

121

 öèôðû.

2. Àðèôìåòè÷åñêèå äåéñòâèÿ íàä íàòóðàëüíû-

ìè ÷èñëàìè. Ðåçóëüòàòîì ñëîæåíèÿ èëè óìíîæå-

íèÿ äâóõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë âñåãäà ÿâëÿåòñÿ íàòó-

ðàëüíîå ÷èñëî: åñëè m, n  íàòóðàëüíûå ÷èñëà, òî

ð = m + n òàêæå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, m è n  ñëàãà-

åìûå, ð  ñóììà; ð = mn òàêæå íàòóðàëüíîå ÷èñëî,

m, n  ìíîæèòåëè, ð  ïðîèçâåäåíèå.

Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ñâîéñòâà:

. a + b = b + a (ïåðåìåñòèòåëüíîå ñâîéñòâî

ñëîæåíèÿ);

. (a + b) + c = a + (b + c) (ñî÷åòàòåëüíîå ñâîé-

ñòâî ñëîæåíèÿ);

. ab = ba (ïåðåìåñòèòåëüíîå ñâîéñòâî óì-

íîæåíèÿ);

. (ab) c = a (bc) (ñî÷åòàòåëüíîå ñâîéñòâî óì-

íîæåíèÿ);

. a (b + c) = ab + ac (ðàñïðåäåëèòåëüíîå ñâîé-

ñòâî óìíîæåíèÿ îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ).

Â ðåçóëüòàòå âû÷èòàíèÿ èëè äåëåíèÿ íàòóðàëü-

íûõ ÷èñåë íå âñåãäà ïîëó÷àåòñÿ íàòóðàëüíîå ÷èñëî.

Åñëè m, n, k  íàòóðàëüíûå ÷èñëà, òî ïðè m  n =

= k ãîâîðÿò, ÷òî m  óìåíüøàåìîå, n  âû÷èòàå-

ìîå, k  ðàçíîñòü; ïðè m : n = k ãîâîðÿò, ÷òî m 

äåëèìîå, n  äåëèòåëü, k  ÷àñòíîå; ÷èñëî m íà-

çûâàþò òàêæå êðàòíûì ÷èñëà n, à ÷èñëî n  äåëè-

òåëåì ÷èñëà m. Åñëè m  êðàòíîå ÷èñëà n, òî ñóùå-

ñòâóåò íàòóðàëüíîå ÷èñëî k òàêîå, ÷òî m = kn.

Èç ÷èñåë ñ ïîìîùüþ çíàêîâ àðèôìåòè÷åñêèõ äåé-

ñòâèé è ñêîáîê ñîñòàâëÿþò ÷èñëîâûå âûðàæåíèÿ.

Åñëè â ÷èñëîâîì âûðàæåíèè âûïîëíèòü óêàçàííûå

äåéñòâèÿ, ñîáëþäàÿ ïðèíÿòûé ïîðÿäîê, òî ïîëó÷èòñÿ

÷èñëî, êîòîðîå íàçûâàåòñÿ çíà÷åíèåì âûðàæåíèÿ.

36421 25

25 1456

114

100

142

125

171

150



ÀËÃÅÁÐÀ

§ 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà

ÀËÃÅÁÐÀ

Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ

Íàïîìíèì ïîðÿäîê àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé â

÷èñëîâîì âûðàæåíèè: ïðåæäå âñåãî âûïîëíÿþò äåé-

ñòâèÿ â ñêîáêàõ; âíóòðè ëþáûõ ñêîáîê ñíà÷àëà âû-

ïîëíÿþò óìíîæåíèå è äåëåíèå, à çàòåì ñëîæåíèå è

âû÷èòàíèå. Íàïðèìåð, åñëè íóæíî íàéòè çíà÷åíèå

âûðàæåíèÿ

(28 · 93 + (1927  1873) · 31) : 6  710,

òî ïîðÿäîê äåéñòâèé òàêîâ:

(28 · 93 + (1927  1873) · 31) : 6  710.

3. Äåëåíèå ñ îñòàòêîì. Åñëè íàòóðàëüíîå ÷èñëî

m íå äåëèòñÿ íà íàòóðàëüíîå ÷èñëî n, ò. å. íå ñóùå-

ñòâóåò òàêîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà k, ÷òî m = nk, òî

ðàññìàòðèâàþò äåëåíèå ñ îñòàòêîì. Íàïðèìåð, ïðè

äåëåíèè ÷èñëà 43 íà ÷èñëî 18 â ÷àñòíîì ïîëó÷àåòñÿ

2 è â îñòàòêå 7, ò. å. 43 = 18 · 2 + 7. Â îáùåì ñëó÷àå,

åñëè m  äåëèìîå, n  äåëèòåëü (m > n), p  ÷àñ-

òíîå è r  îñòàòîê, òî

m = np + r, (1)

ãäå r < n. Çäåñü m, n, p, r  íàòóðàëüíûå ÷èñëà (èñ-

êëþ÷åíèå ñîñòàâëÿåò ñëó÷àé, êîãäà m äåëèòñÿ íà n

áåç îñòàòêà è r = 0). Íàïðèìåð, åñëè n = 3, à r = 2, òî

m = 3p + 2. Ýòî ôîðìóëà ÷èñåë, êîòîðûå ïðè äåëåíèè

íà 3 äàþò â îñòàòêå 2.

Ï ð è ì å ð. Íàéòè ÷àñòíîå è îñòàòîê îò äåëåíèÿ

÷èñëà 36 421 íà ÷èñëî 25.

q Âûïîëíèì äåëåíèå «óãëîì»:

1 4 2 3 5 6

èëè

,...

121

mmm

cccca

ãäå

cccc

,,...,,

121

 öèôðû.

2. Àðèôìåòè÷åñêèå äåéñòâèÿ íàä íàòóðàëüíû-

ìè ÷èñëàìè. Ðåçóëüòàòîì ñëîæåíèÿ èëè óìíîæå-

íèÿ äâóõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë âñåãäà ÿâëÿåòñÿ íàòó-

ðàëüíîå ÷èñëî: åñëè m, n  íàòóðàëüíûå ÷èñëà, òî

ð = m + n òàêæå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, m è n  ñëàãà-

åìûå, ð  ñóììà; ð = mn òàêæå íàòóðàëüíîå ÷èñëî,

m, n  ìíîæèòåëè, ð  ïðîèçâåäåíèå.

Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ñâîéñòâà:

. a + b = b + a (ïåðåìåñòèòåëüíîå ñâîéñòâî

ñëîæåíèÿ);

. (a + b) + c = a + (b + c) (ñî÷åòàòåëüíîå ñâîé-

ñòâî ñëîæåíèÿ);

. ab = ba (ïåðåìåñòèòåëüíîå ñâîéñòâî óì-

íîæåíèÿ);

. (ab) c = a (bc) (ñî÷åòàòåëüíîå ñâîéñòâî óì-

íîæåíèÿ);

. a (b + c) = ab + ac (ðàñïðåäåëèòåëüíîå ñâîé-

ñòâî óìíîæåíèÿ îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ).

Â ðåçóëüòàòå âû÷èòàíèÿ èëè äåëåíèÿ íàòóðàëü-

íûõ ÷èñåë íå âñåãäà ïîëó÷àåòñÿ íàòóðàëüíîå ÷èñëî.

Åñëè m, n, k  íàòóðàëüíûå ÷èñëà, òî ïðè m  n =

= k ãîâîðÿò, ÷òî m  óìåíüøàåìîå, n  âû÷èòàå-

ìîå, k  ðàçíîñòü; ïðè m : n = k ãîâîðÿò, ÷òî m 

äåëèìîå, n  äåëèòåëü, k  ÷àñòíîå; ÷èñëî m íà-

çûâàþò òàêæå êðàòíûì ÷èñëà n, à ÷èñëî n  äåëè-

òåëåì ÷èñëà m. Åñëè m  êðàòíîå ÷èñëà n, òî ñóùå-

ñòâóåò íàòóðàëüíîå ÷èñëî k òàêîå, ÷òî m = kn.

Èç ÷èñåë ñ ïîìîùüþ çíàêîâ àðèôìåòè÷åñêèõ äåé-

ñòâèé è ñêîáîê ñîñòàâëÿþò ÷èñëîâûå âûðàæåíèÿ.

Åñëè â ÷èñëîâîì âûðàæåíèè âûïîëíèòü óêàçàííûå

äåéñòâèÿ, ñîáëþäàÿ ïðèíÿòûé ïîðÿäîê, òî ïîëó÷èòñÿ

÷èñëî, êîòîðîå íàçûâàåòñÿ çíà÷åíèåì âûðàæåíèÿ.

36421 25

25 1456

114

100

142

125

171

150



ÀËÃÅÁÐÀ

§ 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà

ÀËÃÅÁÐÀ

Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ

íèå

íàçûâàþò ñòåïåíüþ, à  îñíîâàíèåì ñòå-

ïåíè, n  ïîêàçàòåëåì ñòåïåíè.

Ïîýòîìó ìîæíî çàïèñàòü:

360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 2

· 3

· 5.

5. Íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü íåñêîëüêèõ íà-

òóðàëüíûõ ÷èñåë. Ïóñòü äàíû ÷èñëà 72 è 96. Âûïè-

øåì âñå äåëèòåëè ÷èñëà 72:

1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12 , 18, 24, 36, 72.

Âûïèøåì âñå äåëèòåëè ÷èñëà 96:

1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96.

Ñðåäè âûïèñàííûõ ÷èñåë åñòü îäèíàêîâûå:

1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.

Âñå ýòè ÷èñëà íàçûâàþò îáùèìè äåëèòåëÿìè

÷èñåë 72 è 96, à íàèáîëüøåå èç íèõ  íàèáîëüøèì

îáùèì äåëèòåëåì.

Äëÿ ëþáûõ çàäàííûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë à è b

ìîæíî íàéòè íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü. Îí îáî-

çíà÷àåòñÿ D (a, b) (÷èòàåòñÿ: «D îò a, b»). Åñëè ÷èñëà

a è b òàêîâû, ÷òî D (a, b) = 1, òî îíè íàçûâàþòñÿ âçà-

èìíî ïðîñòûìè.

Íàïðèìåð, âçàèìíî ïðîñòûìè ÿâëÿþòñÿ ÷èñëà 72

è 35 (õîòÿ êàæäîå èç íèõ  ñîñòàâíîå ÷èñëî).

×òîáû íàéòè íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü íå-

ñêîëüêèõ ÷èñåë, íàäî ðàçëîæèòü ýòè ÷èñëà íà ïðî-

ñòûå ìíîæèòåëè è íàéòè ïðîèçâåäåíèå îáùèõ ïðî-

ñòûõ ìíîæèòåëåé, âçÿâ êàæäûé èç íèõ ñ íàèìåíü-

øèì (èç èìåþùèõñÿ) ïîêàçàòåëåì.

Ï ð è ì å ð. Íàéòè D (3780, 7056).

q Èìååì 3780 = 2

· 3

· 5 · 7, 7056 = 2

· 3

· 7

Òîãäà D (3780, 7056) = 2

· 3

· 7 = 252; âçÿòû òå

ïðîñòûå ìíîæèòåëè, êîòîðûå âõîäÿò è â ðàçëîæåíèå

÷èñëà 3780, è â ðàçëîæåíèå ÷èñëà 7056. n

Èòàê, ÷àñòíîå 1456, à îñòàòîê 21. Âîñïîëüçîâà-

âøèñü ðàâåíñòâîì (1), ìîæåì çàïèñàòü:

36 421 = 25 · 1456 + 21.

Çàìåòèì, ÷òî ýòîò ïðèìåð ìîæíî ðåøèòü è ïî-äðó-

ãîìó, íå èñïîëüçóÿ äåëåíèå «óãëîì», à íåïîñðåä-

ñòâåííî èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (1). Èìååì 36 421 =

= 36 400 + 21 = 25 · 1456 + 21. Çíà÷èò, 1456  ÷àñò-

íîå, à 21  îñòàòîê. n

4. Ðàçëîæåíèå íàòóðàëüíîãî ÷èñëà íà ïðîñòûå

ìíîæèòåëè. Åñëè ÷èñëî èìååò òîëüêî äâà äåëèòå-

ëÿ  ñàìî ñåáÿ è åäèíèöó, òî îíî íàçûâàåòñÿ ïðî-

ñòûì; åñëè ÷èñëî èìååò áîëåå äâóõ äåëèòåëåé, òî

îíî íàçûâàåòñÿ ñîñòàâíûì; ÷èñëî 1 íå îòíîñÿò íè ê

ïðîñòûì, íè ê ñîñòàâíûì. Òàê, ÷èñëî 37 ïðîñòîå, îíî

èìååò òîëüêî äâà äåëèòåëÿ: 1 è 37; ÷èñëî 36 ñîñòàâ-

íîå, îíî èìååò áîëåå äâóõ äåëèòåëåé: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18,

36. Ïðîñòîå ÷èñëî 37 ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ïðî-

èçâåäåíèÿ äâóõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë òîëüêî îäíèì ñïî-

ñîáîì (åñëè íå ó÷èòûâàòü ïîðÿäîê ìíîæèòåëåé):

37 = 1 · 37; ñîñòàâíîå ÷èñëî 36 ìîæíî ïðåäñòàâèòü â

âèäå ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë áîëåå ÷åì

îäíèì ñïîñîáîì: 36 = 1 · 36 = 2 · 18 = 3 · 12 è ò. ä.

Îäíàêî â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ ïðîñòûõ ìíîæèòåëåé

ñîñòàâíîå ÷èñëî 36 ìîæíî ïðåäñòàâèòü òîëüêî îäíèì

ñïîñîáîì: 36 = 2 · 2 · 3 · 3.

Ò.1.1. Ëþáîå ñîñòàâíîå ÷èñëî ìîæíî ðàçëîæèòü íà

ïðîñòûå ìíîæèòåëè, ïðè÷åì òîëüêî îäíèì ñïîñî-

áîì.

Åñëè â ðàçëîæåíèè ÷èñëà íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè

îäèí è òîò æå ìíîæèòåëü à âñòðå÷àåòñÿ n ðàç, òî çà-

ïèñûâàþò êðàòêî:

, ò. å.

aaaa

=×××

43421

...

. Âûðàæå-

ÀËÃÅÁÐÀ

§ 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà

ÀËÃÅÁÐÀ

Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ

íèå

íàçûâàþò ñòåïåíüþ, à  îñíîâàíèåì ñòå-

ïåíè, n  ïîêàçàòåëåì ñòåïåíè.

Ïîýòîìó ìîæíî çàïèñàòü:

360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 2

· 3

· 5.

5. Íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü íåñêîëüêèõ íà-

òóðàëüíûõ ÷èñåë. Ïóñòü äàíû ÷èñëà 72 è 96. Âûïè-

øåì âñå äåëèòåëè ÷èñëà 72:

1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12 , 18, 24, 36, 72.

Âûïèøåì âñå äåëèòåëè ÷èñëà 96:

1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96.

Ñðåäè âûïèñàííûõ ÷èñåë åñòü îäèíàêîâûå:

1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.

Âñå ýòè ÷èñëà íàçûâàþò îáùèìè äåëèòåëÿìè

÷èñåë 72 è 96, à íàèáîëüøåå èç íèõ  íàèáîëüøèì

îáùèì äåëèòåëåì.

Äëÿ ëþáûõ çàäàííûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë à è b

ìîæíî íàéòè íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü. Îí îáî-

çíà÷àåòñÿ D (a, b) (÷èòàåòñÿ: «D îò a, b»). Åñëè ÷èñëà

a è b òàêîâû, ÷òî D (a, b) = 1, òî îíè íàçûâàþòñÿ âçà-

èìíî ïðîñòûìè.

Íàïðèìåð, âçàèìíî ïðîñòûìè ÿâëÿþòñÿ ÷èñëà 72

è 35 (õîòÿ êàæäîå èç íèõ  ñîñòàâíîå ÷èñëî).

×òîáû íàéòè íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü íå-

ñêîëüêèõ ÷èñåë, íàäî ðàçëîæèòü ýòè ÷èñëà íà ïðî-

ñòûå ìíîæèòåëè è íàéòè ïðîèçâåäåíèå îáùèõ ïðî-

ñòûõ ìíîæèòåëåé, âçÿâ êàæäûé èç íèõ ñ íàèìåíü-

øèì (èç èìåþùèõñÿ) ïîêàçàòåëåì.

Ï ð è ì å ð. Íàéòè D (3780, 7056).

q Èìååì 3780 = 2

· 3

· 5 · 7, 7056 = 2

· 3

· 7

Òîãäà D (3780, 7056) = 2

· 3

· 7 = 252; âçÿòû òå

ïðîñòûå ìíîæèòåëè, êîòîðûå âõîäÿò è â ðàçëîæåíèå

÷èñëà 3780, è â ðàçëîæåíèå ÷èñëà 7056. n

Èòàê, ÷àñòíîå 1456, à îñòàòîê 21. Âîñïîëüçîâà-

âøèñü ðàâåíñòâîì (1), ìîæåì çàïèñàòü:

36 421 = 25 · 1456 + 21.

Çàìåòèì, ÷òî ýòîò ïðèìåð ìîæíî ðåøèòü è ïî-äðó-

ãîìó, íå èñïîëüçóÿ äåëåíèå «óãëîì», à íåïîñðåä-

ñòâåííî èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (1). Èìååì 36 421 =

= 36 400 + 21 = 25 · 1456 + 21. Çíà÷èò, 1456  ÷àñò-

íîå, à 21  îñòàòîê. n

4. Ðàçëîæåíèå íàòóðàëüíîãî ÷èñëà íà ïðîñòûå

ìíîæèòåëè. Åñëè ÷èñëî èìååò òîëüêî äâà äåëèòå-

ëÿ  ñàìî ñåáÿ è åäèíèöó, òî îíî íàçûâàåòñÿ ïðî-

ñòûì; åñëè ÷èñëî èìååò áîëåå äâóõ äåëèòåëåé, òî

îíî íàçûâàåòñÿ ñîñòàâíûì; ÷èñëî 1 íå îòíîñÿò íè ê

ïðîñòûì, íè ê ñîñòàâíûì. Òàê, ÷èñëî 37 ïðîñòîå, îíî

èìååò òîëüêî äâà äåëèòåëÿ: 1 è 37; ÷èñëî 36 ñîñòàâ-

íîå, îíî èìååò áîëåå äâóõ äåëèòåëåé: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18,

36. Ïðîñòîå ÷èñëî 37 ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ïðî-

èçâåäåíèÿ äâóõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë òîëüêî îäíèì ñïî-

ñîáîì (åñëè íå ó÷èòûâàòü ïîðÿäîê ìíîæèòåëåé):

37 = 1 · 37; ñîñòàâíîå ÷èñëî 36 ìîæíî ïðåäñòàâèòü â

âèäå ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë áîëåå ÷åì

îäíèì ñïîñîáîì: 36 = 1 · 36 = 2 · 18 = 3 · 12 è ò. ä.

Îäíàêî â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ ïðîñòûõ ìíîæèòåëåé

ñîñòàâíîå ÷èñëî 36 ìîæíî ïðåäñòàâèòü òîëüêî îäíèì

ñïîñîáîì: 36 = 2 · 2 · 3 · 3.

Ò.1.1. Ëþáîå ñîñòàâíîå ÷èñëî ìîæíî ðàçëîæèòü íà

ïðîñòûå ìíîæèòåëè, ïðè÷åì òîëüêî îäíèì ñïîñî-

áîì.

Åñëè â ðàçëîæåíèè ÷èñëà íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè

îäèí è òîò æå ìíîæèòåëü à âñòðå÷àåòñÿ n ðàç, òî çà-

ïèñûâàþò êðàòêî:

, ò. å.

aaaa

=×××

43421

...

. Âûðàæå-