Маслова Т.Н., Суходский А.М. Справочник школьника по математике. 5-11 кл
Подождите немного. Документ загружается.
571
570
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ Ãåîìåòðèÿ
Ïëîùàäü:
,prS =
ãäå ð ïîëóïåðèìåòð, r ðàäèóñ âïèñàííîé îê-
ðóæíîñòè.
7. Ïàðàëëåëîãðàìì
Îáîçíà÷åíèÿ:
ba,
ñòîðîíû;
ba,
óãëû, ïðèëåæàùèå ê îäíîé ñòîðîíå;
ba
hh
,
âûñîòû;
21
,
dd
äèàãîíàëè;
j
óãîë ìåæäó äèàãîíàëÿìè.
Ñóììà óãëîâ, ïðèëåæàùèõ ê îäíîé ñòîðîíå, ðàâíà
180° (ðèñ. 322):
.180°=b+a
Äèàãîíàëè â òî÷êå ïåðåñå÷åíèÿ äåëÿòñÿ ïîïîëàì
(ðèñ. 322):
.5,0,5,0
21
dODBOdOCAO ====
Ñóììà êâàäðàòîâ äèàãîíàëåé ðàâíà ñóììå êâàä-
ðàòîâ ñòîðîí:
)
.
(
2
222
2
2
1
badd +=+
Ôîðìóëû äëÿ ïëîùàäè:
1)
ba
bhahS
==
(ðèñ. 323).
2)
a= sinabS
(ðèñ. 322).
3)
j= sin5,0
21
ddS
(ðèñ. 324).
Ðèñ. 322
Ðèñ. 323
Ðèñ. 324
571
570
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ Ãåîìåòðèÿ
Ïëîùàäü:
,prS =
ãäå ð ïîëóïåðèìåòð, r ðàäèóñ âïèñàííîé îê-
ðóæíîñòè.
7. Ïàðàëëåëîãðàìì
Îáîçíà÷åíèÿ:
ba,
ñòîðîíû;
ba,
óãëû, ïðèëåæàùèå ê îäíîé ñòîðîíå;
ba
hh
,
âûñîòû;
21
,
dd
äèàãîíàëè;
j
óãîë ìåæäó äèàãîíàëÿìè.
Ñóììà óãëîâ, ïðèëåæàùèõ ê îäíîé ñòîðîíå, ðàâíà
180° (ðèñ. 322):
.180°=b+a
Äèàãîíàëè â òî÷êå ïåðåñå÷åíèÿ äåëÿòñÿ ïîïîëàì
(ðèñ. 322):
.5,0,5,0
21
dODBOdOCAO ====
Ñóììà êâàäðàòîâ äèàãîíàëåé ðàâíà ñóììå êâàä-
ðàòîâ ñòîðîí:
)
.
(
2
222
2
2
1
badd +=+
Ôîðìóëû äëÿ ïëîùàäè:
1)
ba
bhahS
==
(ðèñ. 323).
2)
a= sinabS
(ðèñ. 322).
3)
j= sin5,0
21
ddS
(ðèñ. 324).
Ðèñ. 322
Ðèñ. 323
Ðèñ. 324
573
572
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ Ãåîìåòðèÿ
4) Ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà, ïîñòðîåííîãî íà âåê-
òîðàõ
a
è
,b
ðàâåí ìîäóëþ âåêòîðíîãî ïðîèçâåäå-
íèÿ
a
íà
.b
8. Ïðÿìîóãîëüíèê (ðèñ. 325)
Äèàãîíàëè ïðÿìîóãîëüíèêà ðàâíû:
.dBDAC ==
Ñâÿçü ìåæäó ñòîðîíàìè è äèàãîíàëüþ:
222
bad +=
.
Äèàãîíàëè ðîìáà ÿâëÿþòñÿ áèññåêòðèñàìè åãî
óãëîâ:
;
2
a
=Ð=Ð DAOBAO
.
2
b
=Ð=Ð CBOABO
Ñâÿçü ìåæäó ñòîðîíîé è äèàãîíàëÿìè:
.4
22
2
2
1
add =+
Ôîðìóëû äëÿ ïëîùàäè:
1)
.
a
ahS
=
2)
.sin
2
a= aS
3)
.5,0
21
ddS =
10. Êâàäðàò (à ñòîðîíà; ðèñ. 327)
Äèàãîíàëè êâàäðàòà ðàâíû è âçàèìíî ïåðïåíäè-
êóëÿðíû: d
1
= d
2
= d, d
1
^
d
2
.
Ôîðìóëû äëÿ ïëîùàäè:
.sin5,0;
2
j== dSabS
9. Ðîìá (à ñòîðîíà; ðèñ. 326)
Äèàãîíàëè ðîìáà âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû:
d
1
^
d
2
.
Ðèñ. 326
Ðèñ. 325
β
2
β
2
573
572
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ Ãåîìåòðèÿ
4) Ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà, ïîñòðîåííîãî íà âåê-
òîðàõ
a
è
,b
ðàâåí ìîäóëþ âåêòîðíîãî ïðîèçâåäå-
íèÿ
a
íà
.b
8. Ïðÿìîóãîëüíèê (ðèñ. 325)
Äèàãîíàëè ïðÿìîóãîëüíèêà ðàâíû:
.dBDAC ==
Ñâÿçü ìåæäó ñòîðîíàìè è äèàãîíàëüþ:
222
bad +=
.
Äèàãîíàëè ðîìáà ÿâëÿþòñÿ áèññåêòðèñàìè åãî
óãëîâ:
;
2
a
=Ð=Ð DAOBAO
.
2
b
=Ð=Ð CBOABO
Ñâÿçü ìåæäó ñòîðîíîé è äèàãîíàëÿìè:
.4
22
2
2
1
add =+
Ôîðìóëû äëÿ ïëîùàäè:
1)
.
a
ahS
=
2)
.sin
2
a= aS
3)
.5,0
21
ddS =
10. Êâàäðàò (à ñòîðîíà; ðèñ. 327)
Äèàãîíàëè êâàäðàòà ðàâíû è âçàèìíî ïåðïåíäè-
êóëÿðíû: d
1
= d
2
= d, d
1
^
d
2
.
Ôîðìóëû äëÿ ïëîùàäè:
.sin5,0;
2
j== dSabS
9. Ðîìá (à ñòîðîíà; ðèñ. 326)
Äèàãîíàëè ðîìáà âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû:
d
1
^
d
2
.
Ðèñ. 326
Ðèñ. 325
β
2
β
2
575
574
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ Ãåîìåòðèÿ
Ñâÿçü ìåæäó ñòîðîíîé è äèàãîíàëüþ:
.2ad =
Ôîðìóëû äëÿ ïëîùàäè:
.5,0;
22
dSaS ==
11. Òðàïåöèÿ
Îáîçíà÷åíèÿ (ðèñ. 328):
ba,
îñíîâàíèÿ;
l
ñðåäíÿÿ ëèíèÿ;
h
âûñîòà;
21
,
dd
äèàãîíàëè;
j
óãîë ìåæäó íèìè.
Ñóììà óãëîâ, ïðèëåæàùèõ ê êàæäîé èç áîêîâûõ
ñòîðîí ÀÂ è CD, ðàâíà 180°:
.180;180 °=Ð+а=Ð+Ð ADCBCDABCDAB
Ñðåäíÿÿ ëèíèÿ ïàðàëëåëüíà îñíîâàíèÿì è ðàâíà
åå ïîëóñóììå:
MN +AD, MN +BC, l = 0,5 (a + b).
Ôîðìóëû äëÿ ïëîùàäè:
1)
.)(5,0 hbaS +=
2)
.lhS =
3)
.sin5,0
21
j= ddS
12. Ðàâíîáî÷íàÿ òðàïåöèÿ
Äèàãîíàëè ðàâíîáî÷íîé òðàïåöèè ðàâíû:
dBDAC ==
(ðèñ. 329).
Ðèñ. 328
Ðèñ. 327
Ðèñ. 329
575
574
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ Ãåîìåòðèÿ
Ñâÿçü ìåæäó ñòîðîíîé è äèàãîíàëüþ:
.2ad =
Ôîðìóëû äëÿ ïëîùàäè:
.5,0;
22
dSaS ==
11. Òðàïåöèÿ
Îáîçíà÷åíèÿ (ðèñ. 328):
ba,
îñíîâàíèÿ;
l
ñðåäíÿÿ ëèíèÿ;
h
âûñîòà;
21
,
dd
äèàãîíàëè;
j
óãîë ìåæäó íèìè.
Ñóììà óãëîâ, ïðèëåæàùèõ ê êàæäîé èç áîêîâûõ
ñòîðîí ÀÂ è CD, ðàâíà 180°:
.180;180 °=Ð+а=Ð+Ð ADCBCDABCDAB
Ñðåäíÿÿ ëèíèÿ ïàðàëëåëüíà îñíîâàíèÿì è ðàâíà
åå ïîëóñóììå:
MN +AD, MN +BC, l = 0,5 (a + b).
Ôîðìóëû äëÿ ïëîùàäè:
1)
.)(5,0 hbaS +=
2)
.lhS =
3)
.sin5,0
21
j= ddS
12. Ðàâíîáî÷íàÿ òðàïåöèÿ
Äèàãîíàëè ðàâíîáî÷íîé òðàïåöèè ðàâíû:
dBDAC ==
(ðèñ. 329).
Ðèñ. 328
Ðèñ. 327
Ðèñ. 329
577
576
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ Ãåîìåòðèÿ
Îêîëî ëþáîé ðàâíîáî÷íîé òðàïåöèè ìîæíî îïèñàòü
îêðóæíîñòü (ðèñ. 330). Ýòà îêðóæíîñòü ñîâïàäàåò ñ
îêðóæíîñòüþ, îïèñàííîé îêîëî ëþáîãî òðåóãîëüíè-
êà, âåðøèíû êîòîðîãî ñîâïàäàþò ñ âåðøèíàìè
òðàïåöèè.
 ðàâíîáî÷íóþ òðàïåöèþ ìîæíî âïèñàòü îêðóæ-
íîñòü òîëüêî ïðè óñëîâèè, ÷òî áîêîâàÿ ñòîðîíà òðà-
ïåöèè ðàâíà ïîëóñóììå åå îñíîâàíèé (ðèñ. 331):
).(5,0 bam +=
Âûñîòà òàêîé òðàïåöèè ðàâíà äèàìåòðó âïèñàí-
íîé îêðóæíîñòè:
.2rh =
13.Ïðîèçâîëüíûé âûïóêëûé n-óãîëüíèê
Ñóììà âíóòðåííèõ óãëîâ ðàâíà 180° (n 2).
Ñóììà âíåøíèõ óãëîâ ðàâíà 360°.
Ïëîùàäü âûïóêëîãî n-óãîëüíèêà, â êîòîðûé ìîæ-
íî âïèñàòü îêðóæíîñòü:
,prS =
ãäå ð ïîëóïåðèìåòð, r ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæ-
íîñòè.
14. Ïðàâèëüíûé n-óãîëüíèê
Îáîçíà÷åíèÿ (ðèñ. 332):
n
a
ñòîðîíà âïèñàííîãî n-óãîëüíèêà;
n
R
åãî ðàäèóñ (ò. å. ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæ-
íîñòè);
n
r
àïîôåìà (ò. å. ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæ-
íîñòè);
Ðèñ. 330
Ðèñ. 331
577
576
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ Ãåîìåòðèÿ
Îêîëî ëþáîé ðàâíîáî÷íîé òðàïåöèè ìîæíî îïèñàòü
îêðóæíîñòü (ðèñ. 330). Ýòà îêðóæíîñòü ñîâïàäàåò ñ
îêðóæíîñòüþ, îïèñàííîé îêîëî ëþáîãî òðåóãîëüíè-
êà, âåðøèíû êîòîðîãî ñîâïàäàþò ñ âåðøèíàìè
òðàïåöèè.
 ðàâíîáî÷íóþ òðàïåöèþ ìîæíî âïèñàòü îêðóæ-
íîñòü òîëüêî ïðè óñëîâèè, ÷òî áîêîâàÿ ñòîðîíà òðà-
ïåöèè ðàâíà ïîëóñóììå åå îñíîâàíèé (ðèñ. 331):
).(5,0 bam +=
Âûñîòà òàêîé òðàïåöèè ðàâíà äèàìåòðó âïèñàí-
íîé îêðóæíîñòè:
.2rh =
13.Ïðîèçâîëüíûé âûïóêëûé n-óãîëüíèê
Ñóììà âíóòðåííèõ óãëîâ ðàâíà 180° (n 2).
Ñóììà âíåøíèõ óãëîâ ðàâíà 360°.
Ïëîùàäü âûïóêëîãî n-óãîëüíèêà, â êîòîðûé ìîæ-
íî âïèñàòü îêðóæíîñòü:
,prS =
ãäå ð ïîëóïåðèìåòð, r ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæ-
íîñòè.
14. Ïðàâèëüíûé n-óãîëüíèê
Îáîçíà÷åíèÿ (ðèñ. 332):
n
a
ñòîðîíà âïèñàííîãî n-óãîëüíèêà;
n
R
åãî ðàäèóñ (ò. å. ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæ-
íîñòè);
n
r
àïîôåìà (ò. å. ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæ-
íîñòè);
Ðèñ. 330
Ðèñ. 331
579
578
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ Ãåîìåòðèÿ
n
P
ïåðèìåòð;
n
S
ïëîùàäü.
Âûðàæåíèÿ
n
a
è
n
r
÷åðåç
:
n
R
.
180
cos,
180
sin2
n
Rr
n
Ra
nnnn
°
=
°
=
 ÷àñòíîñòè, äëÿ ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà, âïè-
ñàííîãî â îêðóæíîñòü ðàäèóñà R:
;5,0,3
33
RrRa ==
äëÿ êâàäðàòà:
;25,0,2
44
RrRa ==
äëÿ ïðàâèëüíîãî øåñòèóãîëüíèêà:
.35,0,
66
RrRa ==
Âûðàæåíèÿ
n
R
è
n
r
÷åðåç a
n
:
.
180
ctg
2
,
180
sin2
n
a
r
n
a
R
n
n
n
n
°
=
°
=
 ÷àñòíîñòè, äëÿ ðàäèóñà R îêðóæíîñòè, îïèñàí-
íîé îêîëî ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà, êâàäðàòà, ïðà-
âèëüíîãî øåñòèóãîëüíèêà:
;,
2
2
,
3
3
6
43
aR
a
R
a
R ===
äëÿ ðàäèóñîâ îêðóæíîñòåé, âïèñàííûõ â ïðàâèëü-
íûé òðåóãîëüíèê, êâàäðàò, ïðàâèëüíûé øåñòèóãîëü-
íèê (àïîôåì ýòèõ ôèãóð):
.
2
3
,
2
,
6
3
6
6
4
4
3
3
a
r
a
r
a
r ===
Âûðàæåíèÿ
n
P
è
n
S
÷åðåç R
n
:
;
180
sin2
n
nRnaP
nnn
°
==
;
180
ctg
4
1
2
n
naS
nn
°
=
.
360
sin
2
1
2
n
nRS
nn
°
=
Ðèñ. 332
579
578
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ Ãåîìåòðèÿ
n
P
ïåðèìåòð;
n
S
ïëîùàäü.
Âûðàæåíèÿ
n
a
è
n
r
÷åðåç
:
n
R
.
180
cos,
180
sin2
n
Rr
n
Ra
nnnn
°
=
°
=
 ÷àñòíîñòè, äëÿ ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà, âïè-
ñàííîãî â îêðóæíîñòü ðàäèóñà R:
;5,0,3
33
RrRa ==
äëÿ êâàäðàòà:
;25,0,2
44
RrRa ==
äëÿ ïðàâèëüíîãî øåñòèóãîëüíèêà:
.35,0,
66
RrRa ==
Âûðàæåíèÿ
n
R
è
n
r
÷åðåç a
n
:
.
180
ctg
2
,
180
sin2
n
a
r
n
a
R
n
n
n
n
°
=
°
=
 ÷àñòíîñòè, äëÿ ðàäèóñà R îêðóæíîñòè, îïèñàí-
íîé îêîëî ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà, êâàäðàòà, ïðà-
âèëüíîãî øåñòèóãîëüíèêà:
;,
2
2
,
3
3
6
43
aR
a
R
a
R ===
äëÿ ðàäèóñîâ îêðóæíîñòåé, âïèñàííûõ â ïðàâèëü-
íûé òðåóãîëüíèê, êâàäðàò, ïðàâèëüíûé øåñòèóãîëü-
íèê (àïîôåì ýòèõ ôèãóð):
.
2
3
,
2
,
6
3
6
6
4
4
3
3
a
r
a
r
a
r ===
Âûðàæåíèÿ
n
P
è
n
S
÷åðåç R
n
:
;
180
sin2
n
nRnaP
nnn
°
==
;
180
ctg
4
1
2
n
naS
nn
°
=
.
360
sin
2
1
2
n
nRS
nn
°
=
Ðèñ. 332