241 242
1.9. Как изменится объем цилиндра, если радиус основания
увеличить в три раза, а высоту уменьшить в четыре раза?
1.10. Два различных цилиндра имеют равные площади боко-
вых поверхностей. Найдите отношение радиусов оснований, ес-
ли их высоты относятся как 3 : 1.
II уровень
2.1. Цилиндр, радиус основания которого равен 13 см, а вы-
сота – 10 см, пересечен плоскостью так, что в сечении получился
квадрат. Определите, на каком расстоянии от оси цилиндра про-
ведено сечение.
2.2. Через образующую цилиндра проведены две взаимно пер-
пендикулярные плоскости. Площадь каждого из полученных сече-
ний равна 71 дм
2
. Найдите площадь осевого сечения цилиндра.
2.3. Радиус основания цилиндра в три раза меньше его высо-
ты. Найдите угол между диагоналями осевого сечения цилиндра.
2.4. Цилиндрическая дымовая труба диаметром 60 см имеет
высоту 20 м. Определите, сколько квадратных метров листового
железа потребуется на ее изготовление, если на заклепки уходит
10 % всего необходимого количества железа.
2.5. Развертка боковой поверхности цилиндра – квадрат.
Найдите объем цилиндра, если радиус его основания на 3 см
меньше высоты.
2.6. Площадь основания цилиндра равновелика площади раз-
вертки его боковой поверхности. Найдите тангенс угла наклона
диагонали осевого сечения к плоскости основания цилиндра.
2.7. Прямоугольник со сторонами m и b является разверткой
боковых поверхностей двух различных цилиндров. Найдите от-
ношение объемов этих цилиндров.
2.8. Кусок льда, имеющий форму прямоугольного паралле-
лепипеда, размером 0,6 м ´ 0,4 м ´ 0,5 м, помещен в цилиндри-
ческий сосуд диаметра 0,9 м. Определите, какова будет высота
слоя воды после того, как лед растает. Удельный вес льда необ-
ходимо считать равным 0,92 г/см
3
.
III уровень
3.1. Точка окружности верхнего основания цилиндра соеди-
нена с точкой окружности нижнего основания. Угол между ра-
диусами, проведенными в эти точки, равен
a
. Найдите угол ме-
жду осью цилиндра и отрезком, соединяющим данные точки,
если высота цилиндра равна его диаметру.
3.2. К цилиндру проведена касательная прямая под углом
a
к плоскости основания. Определите расстояние от центра ниж-
него основания до прямой, если расстояние от центра до точки
касания равно d, а радиус основания равен R.
3.3. Высота цилиндра равна радиусу его основания и имеет
длину а. Через ось цилиндра проведена вторая цилиндрическая по-
верхность, которая делит окружность основания на две дуги, длины
которых относятся как 2 : 1. Найдите объем большей части цилин-
дра, на которые цилиндрическая поверхность делит цилиндр.
3.4. Два равных цилиндра, высоты которых больше их диа-
метров, расположены так, что их оси пересекаются под прямым
углом и точка пересечения осей равноудалена от оснований ци-
линдров. Найдите объем общей части этих цилиндров, если ра-
диус каждого из них равен 1 см.
12.5. Конус. Усеченный конус
Конической поверхностью называется поверхность, обра-
зованная всеми прямыми, проходящими через каждую точку
данной кривой и точку вне кривой (рис. 12.32).
Данная кривая называется направляющей, прямые – обра-
зующими, точка – вершиной конической поверхности.
Прямой круговой конической поверхностью называется
поверхность, образованная всеми прямыми, проходящими через
каждую точку данной окружности и точку на прямой, которая
перпендикулярна плоскости окружности и проходит через ее