Медведев Г.А. Математические модели финансовых рисков. Часть 1

Подождите немного. Документ загружается.

233

функции (т.е. f(X,t) преобразуется в g(Х)) и в некоторых случаях делает более

легким решение УЧП.

Пусть g(Х) º L

{f(X,t)} . При использовании преобразования функции

f(X,t) являются важными следующие свойства g(Х) :

1. Любая частная производная преобразования функции равна преобразо-

ванию частной производной, исключая производную по времени. Это приме-

нимо также ко вторым частным производным :

(Х) º L

(X,t)} .

Свойство может быть легко доказано применением правила Лейбница для

дифференцирования под знаком интеграла.

2. Преобразование Лапласа производной по времени (время = времени до

погашения) выражается в виде:

(X,t)} = qL

{f(X,t)} – f(X,0) .

Второй член в разности равен окончательной стоимости ценной бумаги.

3. Преобразование Лапласа является линейным оператором

L{аf(X,t) + bg(Х, t)} = аL{f(X,t)} + bL{g(X,t)} .

Это применяется также и к инверсии преобразования Лапласа. Названные три

свойства помогают успешно манипулировать преобразованиями Лапласа. Как

только упрощенное обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) для

g(Х) решено, по таблицам преобразований Лапласа можно находить обратное

преобразование f(X,t) , являющееся стоимостью актива.

СЛУЧАЙ 3

В случае, когда Х следует арифметическому броуновскому движению и

f = f(X,t) . может быть получено следующее дифференциальное уравнение для

стоимости f(X,t) :

аf

ХХ

+ bf

+ сf – f

= Хd + е ; f(X,0) = mX + n .

Пусть h(X) = L

{f(X,t)} представляет преобразование Лапласа f с параметром

s . Тогда должно удовлетворяться следующее уравнение :

аh

ХХ

+ bh

+ (с – s)h = Х(d – тs)/s + (е – пs)/s .

Это следует из свойств преобразований Лапласа. Преобразования устраняют

производную по времени из УЧП.

234

()

{}

bbacs

-± - -

()

(

)

()()

hX AX AX

Xd ms

sb c s

ens

sc s

=+ +

()() ()()

ab ba acs a-± - - -

В случае 1 мы имеем

h = А

ехр(k

Х) + А

ехр(k

Х) + Х(d – тs)/[s(с – s)] +

+ (е – пs)/[s(с – s)] – b(d – тs)/[s(с – s)

] ,

где

, k

> k

Мы обычно предполагаем (если а > 0) , что s является достаточно большим,

чтобы выполнялось неравенство а(с – s) < 0 , и, следовательно, k

> 0 > k

Значения А

и А

определяются из граничных условий на h(Х). Чтобы

найти значение f , мы должны обратить h(Х) , используя таблицы преобразо-

ваний Лапласа. Заметим, что А

и А

часто зависят от s ; это может затруднить

обращение. Во многих случаях такие выражения следует разложить на сумму

простых дробей. Если это возможно, линейность обратного преобразования по-

зволяет найти обратное преобразование каждой компоненты отдельно и сло-

жить (или вычесть) их.

СЛУЧАЙ 4

В случае, когда Х следует геометрическому броуновскому движению и

f = f(X,t) , может быть получено следующее дифференциальное уравнение для

стоимости f(X,t) :

аХ

ХХ

+ bХf

+ сf – f

= Хd + е ; f(X,0) = mX + n .

Пусть h(X) = L

{f(X,t)} представляет преобразование Лапласа f с параметром

s . Тогда должно удовлетворяться следующее уравнение :

аХ

ХХ

+ bХh

+ (с – s)h = Х(d – тs)/s + (е – пs)/s ,

и из случая 2 мы имеем

где

1,2

= , g

> g

235

()

hX AX AX

sr s

=+ +

()()

sasb

at bt--

Снова предположим (когда а > 0), что s достаточно велико, чтобы обеспечить

неравенство а(с – s) < 0 , тогда g

> 0 > g

Значения А

и А

определяются из граничных условий на h , которые мо-

гут отличаться от граничных условий на f . Чтобы найти значение f , мы долж-

ны обратить h , используя таблицы преобразований Лапласа.

Пример. Рассмотрим снова предыдущий пример, но предположим нали-

чие потока платежей только на последнем периоде t . Тогда f(X,0) = 0 , ко-

гда срок действия актива истекает. Мы можем применить случай 4, придавая

следующие значения параметрам: а = 0,5s

, b = a , с = – r , т = 0 , п = 0 , d =

– 1 , е = 0. Решение для преобразования Лапласа имеет вид:

Поскольку производная является ограниченной, то А

= 0. При Х = 0 преобра-

зование Лапласа равно нулю, т. е. h(0) = 0 , так что А

= 0. Используя обратное

преобразование:

если f(s) = (а < b) , то F(t) = ,

мы имеем :

h = Х / [(s + а)(s + b)] при а = 0 и b = r – a .

(использованные в этом месте обозначения а и b выбираются только для со-

ответствия с формулой преобразования и не связаны с предыдущими определе-

ниями а и b.) Инвертируя h , мы находим :

f(Х, t) = Х [1 – ехр{– (r – a)t}] / (r – a) .

Поэтому f является настоящей стоимостью аннуитета с начальным уровнем Х

и темпом роста a , дисконтированным при ставке r , свободной от риска.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ РИККАТИ

При анализе аффинных моделей временной структуры процентных ставок

встречается нелинейное дифференциальное уравнение, известное под названи-

ем уравнение Риккати. Приведем некоторые сведения о его решении. Общий

вид этого уравнения относительно некоторой функции b(t) сводится к сле-

дующему:

236

() () ()() ()

Pb Qb R

tt tt t=++

()

()()

ttt

-=t

() () () () ()()

RP zt

ttt

0-+

()

ll s+± + +

()

Aue A u e

Ae A e

11 2 2

()

(

)

()

uuue

-- -

122

()

s=++k

()

ele

+++ -

В общем случае это дифференциальное уравнение в квадратурах неразрешимо.

Однако иногда решение все же может быть получено в явном виде. Перейдем к

новой функции z(t) при помощи следующей замены переменной

тогда уравнение Риккати приводится к линейному дифференциальному уравне-

нию второго порядка относительно z(t) :

Приведем решение этого уравнения для случая постоянных коэффициентов Р ,

Q , R : Р = 1, Q = - l - k , R = - s

/ 2 ; и начального условия b(0) = 0 . Реше-

ние уравнения для функции z(t) имеет вид

z(t) = А

ехр(и

t) + А

ехр(и

t) ,

где и

1,2

являются корнями квадратного уравнения и

- (l+k)и - (s

/2) = 0, т. е.

1,2

= , следовательно,

, b(0) = 0.

Из начального условия следует, что А

= - А

. Поэтому явный вид реше-

ния с учетом того, что и

= - (s

/2) , принимает форму

Наконец, если обозначить

el , получим

237

ЛИТЕРАТУРА

Black F., Karasinski P. Bond and option pricing when short rates are lognormal

// financial Analysts Journal. – 1991. – p. 52 - 59.

Black F., Scholes M. The pricing of options and corporate liabilities // Journal

of Political Economy. - 1973. - Vol. 81. - p. 637 - 654.

Bjork T. Arbitrage theory in continuous time. - Stockholm: Stockholm School

of Economics, 1995.- 120 p.

Cox J., Ingersoll J., Ross S. A theory of the term structure of interest rates //

Econometrica. - 1985. - Vol. 53, № 2. - p. 385 - 407.

Heath D., Jarrow R., Morton A. Bond pricing and the term structure on interest

rates: a new methodology for contingent claims valuation // Econometrica. –

1992. - Vol. 60, № 1. p. 77 - 105.

Ho T.S.Y., Lee S.-B. Term structure movements and pricing interest rate

contingent claims // Journal of Finance. – 1986. - Vol. 41, № 5. - p. 1011 –

1029.

Hull J. C. Options, futures, and other derivative securities. - Englewood Clifs:

Prentice Hall, 1993.- 492 p.

Hull J., White A. One - factor interest - rate models and the valuation of interest

- rate derivative securities // Journal of Financial and Quantitative Analysis. –

1993. - Vol. 28, № 2. p. 235 - 254.

Medvedev G. A., Cox S. H. The market price of risk for affine interest rate term

structures: Proceedings of the 6-th International AFIR Symposium.-

Nuremberg, 1996 - p. 913 - 924.

Medvedev G. A. On estimates of yield rate parameters and spot rate parameters

by yield curves: Proceedings of the 5-th International Conference CDAM’98.

Vol. 1. - Minsk, 1998. - p. 181 - 190.

Medvedev G. A. On fitting the autoregressive investment models to real

financial data: Transactions of the 26-th International Congress of Actuaries.-

Birmingham, 1998. - p. 187 - 211.

238

Medvedev G. A. On some mathematical models of real financial time series,

Springer Lecture Notes, 1999.

Merton R. C. Theory of rational option pricing // Bell Journal of Economics

and Management Science. - 1973. - Vol. 4. - p. 141 - 183.

Mihlstein G. N. Approximate integration of stochastic differential equations //

Theory Probability Applications. – 1974. – Vol. 19. – p. 557 - 562.

Rendleman R., Bartter B. The pricing of options on debt securities // Journal of

Financial and Quantitative Analysis. – 1980. – Vol. 15. – p. 11 - 24.

Richard S. F. An arbitrage model of the term structure of interest rate // Journal

of Financial Economics. - 1978. - Vol. 6. - p. 33 - 57.

Shimko D. C. Finance in continuous time. - Miami: Kolb Publishing Company,

1992.- 109 p.

Vasicek O. An equilibrium characterization of the term structure // Journal of

Financial Economics. – 1977. - Vol. 5. - p. 177 - 188.

Wilkie A. D. A stochastic investment model for actuarial use: Transactions of

Faculty of Actuaries. - 1986. - Vol. 39.- p. 341 - 403.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие 3

Введение 5

1 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЦЕН

ФИНАНСОВЫХ АКТИВОВ

1.1. Финансовые инструменты. Модель Блэка-Шоулса

1.2. Детерминированная модель временной структуры процентных

ставок

2 МОДЕЛИ НЕПРЕРЫВНОГО ВРЕМЕНИ

2.1. Модель Васичека

2.2. Однофакторные модели краткосрочных ставок

2.3. Однофакторные модели форвардных ставок

2.4. Двухфакторная модель временной структуры процентных ставок

3 МОДЕЛИ ДИСКРЕТНОГО ВРЕМЕНИ

3.1. Авторегрессионные модели и стохастические

дифференциальные уравнения

109

3.2. Модели, основанные на стохастических дифференциальных

уравнениях произвольного порядка

118

4 ДИСКРЕТНЫЕ МОДЕЛИ

4.1. Биномиальные модели

141

4.2. Применение триномиальных деревьев

149

4.3. Модель Хо-Ли

166

5 СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПРОЦЕССОВ ПРОЦЕНТНЫХ

СТАВОК

5.1. Оценка параметров моделей краткосрочных процентных ставок

184

5.2. Предсказание доходности ценных бумаг

195

5.3. Матричные модели предсказания

211

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ДОПОЛНЕНИЕ

Непрерывные стохастические процессы

223

Дифференциальные уравнения

230

Литература 237