Меледин Т.В., Черкасский В.С. Электродинамика в задачах. Часть 1. Электродинамика частиц и полей

Подождите немного. Документ загружается.

100

3 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК

проходит поток электронов, испускаемых плоско-

стью O с потенциалом U = 0. Найти максималь-

ную плотность тока, поступающего на плоскость 2

при работе системы в режиме виртуального катода,

если расстояние d

 2d. Нарисовать ход потенци-

ала между пластинами.

3.41. В вакуумном диоде (с зазором d, работающем в режиме за-

кона "3/2", ускоряется до релятивистских скоростей v ∼ c широкий

электронный пучок (радиус r  d) Ток пучка – J. Оценить, во

сколько раз в случае широкого и короткого пучка сила кулоновско-

го расталкивания в радиальном направлении меньше силы магнитного

сжатия.

3.42. Оценить предельный ток широкого и короткого (r  d) ва-

куумного диода (d – зазор диода, r – радиус электронного пучка в

диоде).

3.43. Оценить потенциал объемного заряда релятивистского (γ  1)

электронного пучка (радиус – a, ток – J), пролетающего в простран-

стве между двумя проводящими заземленными плоскостями, расстоя-

ние между которыми равно d (d  a). Скорость электронов в пучке

перпендикулярна плоскостям.

3.3. Решение типичных задач

Р.34. В бесконечную проводящую с проводимостью σ и проница-

емостью ε среду помещен заряд Q

. Найти время релаксации, т. е.

время, в течение которого заряд уменьшится в e раз.

Пусть в момент времени t внутри объема V , куда первоначально

был помещен заряд Q

, находится заряд Q(t). За время dt из объема

3.3 Решение типичных задач

101

вытечет количество заряда

dQ = −



(

j d~s)



dt ,

где

(

j d~s) — полный ток через поверхность S, ограничивающий

объем V ;

j — вектор плотности тока на этой поверхности. Используя

дифференциальный закон Ома

j = σ

E, находим, что

= −

(

D d~s) = −

4πQ.

Решая это дифференциальное уравнение и используя начальное усло-

вие Q(0) = Q

, получаем

Q = Q

−

4πσ

= Q

−

откуда видно, что заряд уменьшается в e раз за время τ = ε/4πσ.

Р.35. Найти закон преломления линий тока на плоской поверхности

раздела двух сред с проводимостями σ

и σ

В стационарном случае div

j = 0, откуда j

| = j

|. Нормаль-

ные составляющие к границе раздела двух

сред непрерывны, иначе на границе бу-

дет изменяться заряд. С другой стороны,

rot

E = 0, откуда следует непрерывность

тангенциальной составляющей напряжен-

ности электрического поля E

1τ

= E

2τ

Так как

j = σ

E, то

1τ

= σ

1τ

, j

2τ

= σ

2τ

= j

1τ

Поскольку j

1τ

= tg α (см. рисунок), то

tg α

102

3 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК

Р.36. Из толстой длинной трубы с радиусами a и b, сделанной из

материала с проводимостью σ, вырезана вдоль оси часть с угловым

размерам α

. К продольным плоскостям разреза подведено напряже-

ние U. Найти распределение плотности тока j(r) по сечению отрезка

трубы и сопротивление единицы длины. Краевыми эффектами прене-

бречь.

В цилиндрической системе координат j = j

. Поскольку плот-

ность тока j

зависит только от r, то E

= j

/σ зависит тоже

только от r. Тогда через интеграл по дуге определенного радиуса раз-

ность потенциалов или напряжение запишется так:

U =

(2π−α

(

E d~r) = E

(r)(2π − α

)r,

откуда

(r) =

(2π − α

и, следовательно,

(r) =

Uσ

(2π − α

Найдем величину тока на единицу длины трубы:

J =

(r) dr =

Uσ ln b/a

2π − α

Поскольку J = U/R, то из последнего выражения следует, что

сопротивление единицы длины трубы:

R =

2π − α

σ ln b/a

Р.37. В бесконечной среде с проводимостью σ, где шел ток с плот-

ностью

, всюду одинаковой, возникла сферическая полость радиуса

3.3 Решение типичных задач

103

a (внутри полости σ = 0). Найти результирующее распределение то-

ков

R).

Распределение постоянных токов в проводящей среде описывает-

ся уравнением div

R) = 0, где

R)— объ-

емная плотность тока. Так как

j = σ

E и

E = −grad ϕ, то для распределения потен-

циала получается уравнение

∆ϕ = 0 (1)

с граничными условиями на поверхности сферической полости:

(a)=ϕ

(a); j



R=a



R=a

или σ

∂ϕ

∂R



R=a

=σ

∂ϕ

∂R



R=a

(2)

Уравнение (1) и граничные условия (2) аналогичны таковым для

электрической задачи: диэлектрический шар с проницаемостью ε

по-

гружен в неограниченный диэлектрик с проницаемостью ε

, если ε

заменить на σ

, а ε

на σ

. Поэтому, использовав решение задачи

Р.22 и положив σ

= 0, σ

= σ, получим для распределения потен-

циала и напряженности электрического поля следующие выражения:

ϕ =







−

z при R ≤ a

−E

z −

(

R)a

при R ≥ a

E =







при R < a

−

(

при R > a,

где

/σ — напряженность электрическога поля вдали от по-

лости. Поскольку

j = σ

E , то распределение тока

j =









1 +



−

(

при R > a

0 при R < a.

104

3 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК

Р.38. В закипевшем жидком металлическом теплоносителе образо-

вались сферические пузырьки почти непроводящего пара в количестве

n штук в единице объема. Радиусы их практически одинаковы и равны

a. Проводимость жидкого металла до образования пузырьков была

. Найти усредненную проводимость σ закипевшего теплоносителя,

пренебрегая влиянием пузырьков друг на друга ( na

 1).

Если в среде образовались мелкие пузырьки, то можно рассмат-

ривать поле, усредненное по объемам, большим по сравнению с мас-

штабами неоднородностей. По отношению к такому среднему полю

смесь жидкого теплоносителя и пузырьков непроводящего пара явля-

ется однородной и может характеризоваться некоторой средней про-

водимостью. Если

j и

E — усредненные по объему плотность тока и

напряженность электрического поля, то

j = σ

E , (1)

где σ и есть некоторая усредненная эффективная проводимость заки-

певшего теплоносителя. Вычислим среднее значение от

j − σ

E, по

большому объему V . С одной стороны,

(

j − σ

E) dv =

j − σ

E . (2)

С другой стороны, подынтегральное выражение отлично от нуля толь-

ко внутри объемов пузырьков и с учетом того, что

j = 0 внутри каж-

дого пузырька, получаем

(

j − σ

E) dv = −2πna

E . (3)

Здесь использовано, что внутри сфер поле равно (см. Р.37) 3

E/2,

т. е. что пузырьки находятся во внешнем поле, равном среднему. При-

3.3 Решение типичных задач

105

равнивая правые части формул (2) и (3) с учетом уравнения (1), окон-

чательно получаем

σ = σ

(1 − 2πna

) при na

 1 .

Р.39. В неоднородной проводящей среде с проводимостью σ(~r) и

диэлектрической проницаемостью ε(~r) поддерживается стационарное

распределение токов

j(~r). Найти объемное распределение зарядов ρ(~r)

в этой среде.

По закону Ома в дифференциальной форме

j = σ

По закону сохранения заряда в стационарном случае div

j = 0, т.

е.

div(σ

E) = σ div

E +

E grad σ = 0;

откуда

div

E = −

E(grad σ)/σ. (1)

По теореме Гаусса в дифференциальной форме div

D = 4πρ; отку-

да

ρ =

4π

div(ε

E) =

4π

E · grad ε + ε div

E).

Взяв div

E из (1), получим

ρ =

4πσ

(σ grad ε − ε grad σ) =

4πσ

(σ grad ε − ε grad σ).

Отметим, что ρ ≡ 0 при

grad ε

grad σ

В отсутствие поляризуемости среды, когда ее свойства описывают-

ся лишь через проводимость σ(~r), получаем

ρ(~r) = −

(

j · grad σ)

4πσ

при

∂ρ

∂t

= 0.

106

3 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК

Р.40. Найти вольт-амперную характеристику (связь между током

J и напряжением U) для плоского диода. Площадь электродов S,

расстояние между ними d. Катод неограниченно испускает электро-

ны (заряд – e, масса – m) с нулевой начальной скоростью (закон

"3/2"). Считать, что электрическое поле у катода полностью компен-

сируется полем образовавшегося между электродами объемного заря-

да электронного облака.

Запишем уравнение Пуассона для координаты x, отсчитываемой от

катода (заземленного электрода): 4ϕ(x) = −4πρ, ρ = j/v. Из за-

кона сохранения энергии mv

/2 = eϕ(x), откуда v(x) =

2e/m · ϕ(x).

Таким образом, имеем

= 4π

−1/2

≡ Aϕ

−1/2

где A = 2π

, ϕ(0) = 0, ϕ(d) = U, (dϕ/dx)

x=0

= 0.

Представим уравнение в виде

dx ·

dϕ

= Aϕ

−1/2

dϕ =



dϕ



и проинтегрируем его, домножив обе части на 2:



dϕ



= 2A

−1/2

dϕ = 4Aϕ

1/2

+ C

= 0 из граничных условий ϕ(0) = 0 и E(0) = 0.

Тогда

dϕ

= 2

√

Aϕ

1/4

Интергируем еще раз:

√

Ax =

−1/4

dϕ =

3/4

+ C

. C

= 0 при ϕ(0) = 0.

3.3 Решение типичных задач

107

Так как ϕ(d) = U, то

√

Ad =

3/4

, откуда

= U

3/2

Подставляя

A = 2π

имеем

· 2π

= U

3/2

т. е.

J =

√

9π

· U

3/2

Р.41. Найти вольт-амперную характеристику цилиндрического дио-

да (радиус анода – a, радиус катода мал). Краевыми эффектами пре-

небречь. Длина диода – l.

Решим задачу иным нежели предыдущую способом.

Уравнение Пуассона в цилиндрической системе координат записы-

вается так:



dϕ(R)



= −4πρ(R) =

4πJ

2πRe

−1/2

(R),

т. е.



dϕ



−1/2

= Aϕ

−1/2

; ϕ(0) = 0; ϕ(a) = U.

Ищем решение в виде ϕ(R) = CR

Подставляем в уравнение и получаем

Cα(α − 1)R

α−1

= AC

−1/2

−α/2

Степени R должны быть одинаковы: α − 1=−α/2, откуда α=

Подставляя α =

в предыдущее уравнение и сокращая на R

2/3

получаем уравнение для C:

C = AC

−1/2

108

3 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК

откуда

C =





2/3

Таким образом,

ϕ(R) =





2/3

откуда

U =

4aA

, J =

√

3/2

Р.42. Между параллельными плоскими электродами 1 и 2, имею-

щими потенциалы U

и U

, проходит поток электронов, испускаемых

катодом O с потенциалом U = 0. Найти максимальную плотность

тока j

, поступающего на анод 2 при работе системы в режиме вирту-

ального катода. Расстояние d

между электродами 0 и 1 много меньше

интервала 2d между электродами 1 и 2.

На каком расстоянии x

от плоскости 1 при этом находится вирту-

альный катод (U(x

) = 0)?

При прохождении потока электронов между электродами 1 и 2 с

потенциалами U

и U

из-за образования объемного заряда происхо-

дит "провисание"потенциала U(x) вплоть до зануления в плоскости,

находящейся на расстоянии x

от электрода 1. (Так как d

<< 2d по

условию, то и на расстоянии x

от реального катода 0). В этой плос-

кости скорости электронов обращаются в нуль и часть электронов по-

ворачивает обратно к электроду 1. Такое «провисание» потенциала до

нулевого значения называется образованием виртуального катода 3.

Теперь от электрода 1 идет ток с плотностью j

, от виртуального

катода 3 в обратном направлении идет отраженный ток −j

и к элек-

троду 2 приходит ток с плотностью j

: j

= j

− j

Отсюда максимальный ток на аноде 2 j

2max

получается в режиме

возникновения виртуального катода, если отраженный ток j

обраща-

3.3 Решение типичных задач

109

ется в нуль, т. е.

2max

= j

, при j

= 0. (1)

Заметим, что режим виртуального катода соответствует при этом то-

му, что образовались как бы два диода с общим катодом, которые

включены навстречу друг другу.

У одного анодное напряжение U

, у другого U

. В плоском диоде с

расстоянием между электродами 2d и напряжением на аноде U

вольт-

амперная характеристика выглядит так (см. задачу 40):

√

9π

3/2

(2d

. (2)

Тогда

3/2

(2d − x

)

, j

3/2

= j





(2d)

. (3)

Введем безразмерные параметры:

k = (U

)

1/2

и l = x

/2d, l < 1.

Подставляя j

и j

из уравнения (3) в уравнение (1) и сокращая

на j

, получаем 1/(1 − l)

= k

, откуда для l следует квадратное

уравнение: l

= k

− 2k

l + k

Записываем уравнение в стандартной форме: (k

− 1)l

− 2k

l +

= 0 и получаем решение

1,2

√

− k

+ k

− 1

± k

3/2

− 1

Оставляем лишь один корень, отвечающий условию l < 1.

l =

− k

3/2

− 1

3/2

− 1)

3/2

)

− 1

3/2

+ 1

1 − k

−3/2

т. е.

1 + (U

)

3/2