где L
i
– коэффициент передачи i-го контура графа, равный про-
изведению коэффициентов передачи всех входящих в него ветвей
(звездочка означает, что соответствующее суммирование ведется
только для несоприкасающихся контуров).
искомый характеристический полином получают путем
умножения определителя на p
n
, где n – суммарный порядок ди-
намических блоков в заданной схемной реализации
После того как характеристический полином найден, для ана-
лиза устойчивости может быть применен любой известный кри-
терий – корневой, алгебраический или частотный.
Корневой критерий устойчивости. сформулируем условия,
при которых линейное дифференциальное уравнение с постоян-
ными коэффициентами является устойчивым. как известно, ре-
шение такого уравнения содержит слагаемые вида
где p
i
–
корни характеристического полинома. отсюда ясно, что, если
хотя бы один корень p
i
положителен или имеет положительную
вещественную часть, то в решении будет член, неограниченно
возрастающий со временем, и оно будет неустойчивым.
если изобразить корни характеристического полинома на
комплексной плоскости, то условие устойчивости линейного
дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами
можно сформулировать следующим образом.
дифференциальное уравнение устойчиво тогда и только тог-
да, когда все корни его характеристического полинома лежат
в левой комплексной полуплоскости. наличие корня на мни-
мой оси означает, что решение находится на границе устойчи-
вости.
например, математическая модель системы, описываемой
дифференциальным уравнением
устойчива, так как корни характеристического полинома
р
2
+ 2р + 5 = 0 имеют отрицательные вещественные части
т. е. лежат слева от оси ординат.
Алгебраические критерии устойчивости. Алгебраические
критерии устойчивости не требуют нахождения корней харак-
теристического полинома, а позволяют судить об устойчивости
на основе анализа коэффициентов этого полинома. основной
вклад в отыскание алгебраических критериев внесли Максвелл
(1868 г.), раус (1875 г.), гурвиц (1895 г.).