Непейвода Н.Н. Прикладная логика

Подождите немного. Документ загружается.

Глава 15. Корни неклассических

логик

§ 15.1. КОРНИ НЕКЛАССИЧЕСКИХ ЛОГИК

В ТРАДИЦИОННОЙ ЛОГИКЕ

Классическая логика последовательно проводит естественные матема-

тические принципы — минимальность используемых понятий, распро-

странение формализации на наиболее общую область, где она приме-

нима, доведение до конца тех предположений, которые мы вынуждены

сделать. Она согласуется с четырьмя законами традиционной логики.

Первые три из данных законов восходят к Аристотелю.Правда, Ари-

стотель никогда их явно не выделял, но повторил их в своих работах [1],

[2], [3], [4], [5] столько раз и в столь разнообразных вариантах, что было

очевидно их первостепенное значение.

15.1.1. Закон тождества

Как и другие законы, он был упомянут им во множестве вариантов, са-

мый выразительный из которых, пожалуй [4, кн. 4, гл. 4]:

...В самом деле, не означать что-то одно — значит ничего

не означать; если же слова ничего не обозначают, то конец

всякому рассуждению за и против, а в действительности —

и в свою защиту, ибо невозможно что-либо мыслить, если

не мыслят что-то одно.

Его содержательная формулировка

Один и тот же термин в одном и том же рассуждении должен

употребляться в одном и том же отношении, в одном и том

402

ГЛАВА 15. КОРНИ НЕКЛАССИЧЕСКИХ ЛОГИК

же смысле и применительно к одному и тому же месту и

времени.

Более краткая формулировка данного закона следующая:

Используемые понятия не должны ни изменяться,ни

подменяться в ходе одного и того же рассуждения.

(15.1)

Ее несколько более либеральный вариант

Используемые понятия не должны подменяться в

ходе одного и того же рассуждения.

(15.2)

Это предположение, конечно же, обязано выполняться в традиционных

математических рассмотрениях, да и не только в них. Например, кор-

ректный диспут в науке, в религии или в праве невозможен без следова-

ния закону тождества. Подмена понятий в ходе рассуждения либо спора

квалифицируется как софистический прием

Схоласты упростили формулировку закона тождества до лапидар-

ной:

Закон 15.1 (Тождества).

есть

Математической его формулировкой обычно служит формула

A ⇔ A. (15.3)

Поскольку эта формула не просто является тавтологией, а одной из са-

мых простых и устойчивых к смене логических понятий тавтологий,

закон тождества часто трактуется как полный трюизм. Из приведенных

выше рассмотрений видно, что это отнюдь не так. Конечно же, наибо-

лее абсолютной формулировкой закона тождества является (15.2), кото-

рая уж точно не должна нарушаться ни в каком честном рассуждении, за

исключением таких, целью которых является показать возможные дву-

смысленности либо нежелательные для автора понимания его положе-

ний.

Софисты — в древней Греции философы и риторы, обучавшие людей за плату ис-

кусству ведения споров и составления речей. Поскольку их клиенты и они сами бы-

ли больше заинтересованы в успехе, чем в выяснении истины, очень скоро софистами

стали называть людей, квалифицированно применяющих нечестные приемы в ходе вы-

ступлений либо споров.

15.1. КОРНИ НЕКЛАССИЧЕСКИХ ЛОГИК В ТРАДИЦИОННОЙ ЛОГИКЕ

403

Пример 15.1.1.

Рассмотрим случай, когда с целью повышения качества

некоторых товаров,ставших вредными для потребителей, вносится пред-

ложение о создании службы их сертификации и проверки качества. То-

гда вполне естественно задать вопрос человеку, вносящему данное пред-

ложение: что будет проверять эта служба на самом деле? Будет ли она

проверять качество товаров или же пункты ею самою разработанной

инструкции и зачастую с целью содрать с продавца либо взятку, либо

штраф?

Пример 15.1.2.

Очень жаль, что творцов нынешнего закона о компью-

терных преступлениях не заинтересовало такое естественное его толко-

вание. Поскольку любая манипуляция с данными есть либо их чтение,

либо изменение, либо уничтожение, то любая ошибка программиста и

многие ошибки пользователя становятся уголовно наказуемыми деяни-

ями, поскольку они приводят к несанкционированному чтению, изме-

нению либо уничтожению информации.

Если две последние формулировки создают впечатление полной три-

виальности данного закона, то первые четко показывают его важней-

шую роль в организации мышления. Подмена значений слов — один

из основных источников ошибок и главнейшее орудие софистов. Даже

частные случаи нарушения Закона Тождества получили свое название.

Например, в софизме

Взвод построен в две шеренги;

Галлиуллин — рядовой этого взвода;

Галлиуллин построен в две шеренги

подменяется собирательный и разделительный смысл слова ‘взвод’.

Это — ошибка “От смысла собирательного к смыслу разделительному”.

При формализации Закон Тождества неумолимо выдерживается в

ходе рассуждения, ценой того, что он практически всегда нарушается

в его начале и конце.

15.1.2. Закон непротиворечия

Закон Непротиворечия считается вторым из основных законов Логики,

сформулированных Аристотелем. Оригинальная аристотелевская фор-

мулировка данного утверждения следующая [4, кн. 4, гл. 3]:

Закон 15.2 (Непротиворечия).

Невозможно, чтобы одно и то же в одно

и то же время было и не было присуще одному и тому же в одном и том

404

ГЛАВА 15. КОРНИ НЕКЛАССИЧЕСКИХ ЛОГИК

же отношении (и все другое, что мы могли бы еще уточнить, пусть будет

уточнено во избежание словесных затруднений).

Эту формулировку, которая казалась излишне усложненной, упро-

стили до

Закон 15.3 (Непротиворечия, сокращенный).

Оба утверждения

не могут выполняться одновременно.

Пара высказываний A и

называется прямым противоречием.

Закону Непротиворечия соответствует метод рассуждений, извест-

ный в традиционной логике как приведение к абсурду (reductio ad absur-

dum).Чтобы доказать

,т. е.чтобы опровергнуть A, наоборот, времен-

но принимается A, и данное предположение приводится к абсурду, т. е.

из него выводится противоречие. Ему соответствует косвенное правило

естественного вывода

Допустим A

. . .

Обычно в современной логике Закон Непротиворечия формулируется в

виде математического утверждения

(A &

. Но у него имеется дру-

гая математическая формулировка, которая более адекватно выражает

его смысл. Это — требование непротиворечивости теории:

A и

не могут быть одновременно теоремами данной те-

ории.

Выражением математического Закона Непротиворечия в логике мож-

но считать правило, установленное средневековыми схоластами и име-

ющее в традиционной логике название:“Из лжи следует все что угодно”

(“ex falso quodlibet”):

Закон Непротиворечия с самого начала осознавался как ограниче-

ние, аналогичное Закону Тождества. Естественно, каждый из нас, кто

жив сейчас, через некоторое время будет мертв, а некоторое время назад

он еще не жил. Поэтому в законе непротиворечия оба члена противоре-

чия должны рассматриваться в одном и том же контексте и в одно и

то же время, и все прочее, как и подчеркивал Аристотель. Очевидно,

что одни и те же предметы в одно и то же время не могут обладать от-

рицающими друг друга свойствами. Например, никто не может быть в

15.1. КОРНИ НЕКЛАССИЧЕСКИХ ЛОГИК В ТРАДИЦИОННОЙ ЛОГИКЕ

405

одно и то же время выше 2 метров и не выше 2 метров, женат и холост.

Тем не менее в жизни мы часто встречаем нарушение данного закона. В

частности, женщина вполне может утверждать:

Все мужчины — подонки, а мой муж — хороший че-

ловек.

(15.4)

Порою одно и то же действие может квалифицироваться и как закон-

ное, и как незаконное, поскольку законность включает не только букву

законов, но и их толкование.

Внимательно посмотрев на этот закон, мы видим, что он отделяет

квазивысказывания от высказываний. Для квазивысказываний, конеч-

но же, непротиворечивости нельзя даже требовать. В частности, мно-

гие люди знают, что можно одновременно любить и ненавидеть одного

и того же человека.

Закон Непротиворечия принципиально отвергался в логике джайнов

и буддистов, поскольку они отрицали наличие объективных понятий в

нашем мире, и поэтому утверждение “

A есть и B, и не-B” рассматри-

валось ими как вполне допустимое.

В современной логике Закон Непротиворечия отвергается, в част-

ности, для формализаций понятий, заложенных в базу знаний, посколь-

ку любое знание специалиста в достаточно сложной предметной обла-

сти оказывается противоречивым по форме. Поэтому в настоящее время

интенсивно развиваются паранепротиворечивые логики, в которых, во

всяком случае, отвергается принцип ex falso quodlibet. Основоположни-

ком европейской паранепротиворечивой логики можно считать

Н. А. Васильева. Интенсивно развиваться стала она после трудов Нью-

тона Да Косты.

Паранепротиворечивой логикой приходится пользоваться также в

тех случаях, когда выводы делаются по умолчанию (если что-то не за-

прещено, то оно разрешено, или наоборот). Она показала свою полез-

ность также для задач ведения сложных баз данных, поскольку данные,

заложенные в разное время, могут начать противоречить друг другу.

Но, тем не менее, опыт показывает, что если есть хоть малейшая воз-

можность, нужно пытаться сохранять Закон Непротиворечия, и это оку-

пается.

406

ГЛАВА 15. КОРНИ НЕКЛАССИЧЕСКИХ ЛОГИК

15.1.3. Закон исключенного третьего

Еще один закон также принадлежит Аристотелю, оригинальная форму-

лировка которого была следующей:

Закон 15.4 (Исключенного третьего).

Оба утверждения

не

могут опровергаться одновременно

Уже сам Аристотель замечал, что закон исключенного третьего не

может быть применен даже к некоторым высказываниям. В качестве

примера он приводил, в частности,

Завтра будет морское сражение.

(15.5)

В самом деле, сегодня ни оно, ни его отрицание не ложны. Тем более

не универсальна часто используемая более жесткая формулировка за-

кона исключенного третьего, также упоминавшаяся Аристотелем, но не

являвшаяся главной для него:

Сильный закон исключенного третьего:

Одно из утверждений

или

истинно.

(15.6)

Эта формулировка в последнее время подменяется еще более узкой, сра-

зу привязанной к одной из формализаций логики:

Булев закон исключенного третьего:

A ∨

(15.7)

Именно формулировка (15.7) чаще всего понимается под законом ис-

ключенного третьего в современной математической логике. И именно

она чаще всего подвергается пересмотру в неклассических логиках.

15.1.4. Закон достаточного основания

Последний закон был, насколько известно, сформулирован Г. Лейбни-

цем намного позже (на 2 тысячелетия, согласно традиционной хроно-

логии, и уж ни в коем случае не менее чем на 500 лет) остальных.

Закон 15.5 (Достаточного основания).

Никакое высказывание

не

может утверждаться без достаточного основания.

Этот закон часто называют по-латыни: tertium non datur.

15.1. КОРНИ НЕКЛАССИЧЕСКИХ ЛОГИК В ТРАДИЦИОННОЙ ЛОГИКЕ

407

Только благодаря этому закону стало возможным развитие матема-

тической логики. Его часто используемая жесткая формулировка:

Никакое идеальное утверждение не может быть принято,

если оно не является следствием ранее принятых утвер-

ждений и строго установленных (экспериментальных) фак-

тов

отделяет математическую логику (и логику точных наук вообще) от со-

держательной.

Наиболее яркий пример применения этого закона — вся математи-

ческая практика, в которой математик имеет право утверждать нечто,

лишь доказав. Второй пример — католическая теология, в которой стро-

го следят за тем, чтобы новое утверждение было обосновано ссылками

на Священное Писание, Священное Предание и труды признанных схо-

ластов.

Пример 15.1.3.

Из-за закона достаточного основания родство индоевро-

пейских языков между собой признается неоспоримым фактом, посколь-

ку зафиксирован целый ряд языковых параллелей, и их число увеличи-

вается по мере возрастания древности источников.Точно та же ситуация

для семитских языков, и она даже прозрачнее, поскольку они объеди-

нены еще и сходством грамматик. Доказано и родство финно-угорских

языков, хотя здесь нет древних источников. А вот существование

но-

стратической

семьи языков, в которую входят и индоевропейские, и

финно-угорские, и семитские, и многие другие языки, остается гипоте-

зой, потому что еще не накоплено достаточного количества оснований.

На закон достаточного основания при переформулировках логики

стараются не покушаться (пытались сделать это при развитии т. н. диа-

лектической логики на базе конъюнктурно профанированных набросков

Гегеля и Маркса).

15.1.5. Алгебраические законы логики

Любая логическая теория, в которой есть эквивалентность и выполняет-

ся правило замены эквивалентных, может быть представлена как алге-

бра Линденбаума. Элементами этой алгебры являются классы формул,

для которых доказуема эквивалентность, а операциями — пропозици-

ональные связки. Поэтому эквивалентности между формулами могут

рассматриваться как тождества в соответствующей алгебре логики.

408

ГЛАВА 15. КОРНИ НЕКЛАССИЧЕСКИХ ЛОГИК

Алгебраические законы логики — соотношения между формулами,

характеристические для алгебры логики. Обычно в их число включают

следующие:

(Законы идемпотентности)

A & A ⇔ A A ∨ A ⇔ A

(15.8)

(Законы коммутативности)

A & B ⇔ B & A A ∨ B ⇔ B ∨ A

(15.9)

(Законы ассоциативности)

(A & B) & C ⇔ A & (B & C) (A ∨ B) ∨ C ⇔ A ∨ (B ∨ C)

(15.10)

(Законы поглощения)

(A & B) ∨ B ⇔ A (A ∨ B) & B ⇔ A

(15.11)

(Законы истины и лжи)

(A & 0) ⇔ 0 (A & 1) ⇔ A

(A ∨ 0) ⇔ A (A ∨ 1) ⇔ 1

(15.12)

Вышеперечисленные тождества гарантируют существование естествен-

ного частичного порядка на множестве логических значений и то, что

операции конъюнкции и дизъюнкции дают пересечение и объединение

значений. Таким образом, в этом случае логические значения образуют

решетку. Данные алгебраические тождества выполняются почти во всех

логиках, за исключением линейных конструктивных логик, введенных

Ж.-И. Жираром. В них

A & A сильнее A, поскольку требует за наши

ресурсы

построить две реализации A.

Еще два закона дистрибутивности также естественны, и нарушают-

ся лишь в квантовых логиках.

A & (B ∨ C) ⇔ (A & B) ∨ (A & C)

A ∨ (B & C) ⇔ (A ∨ B) & (A ∨ C)

(15.13)

Рассмотрим тождества формулировки отрицаний (4.41–4.48). Они

выведены для классической логики, но область их применения намного

шире. Правила формулировки отрицаний столь привлекательны, что да-

ют стимул для изменения логики не в сторону их нарушения,а в сторону

их восстановления, если они почему-то оказались нарушенными. Более

В естественной интерпретации линейной логики — за наши деньги.

15.1. КОРНИ НЕКЛАССИЧЕСКИХ ЛОГИК В ТРАДИЦИОННОЙ ЛОГИКЕ

409

того, они могут использоваться для введения отрицания в те логики, в

которых его не было сначала.

Правила формулировки отрицания, касающиеся отрицания, конъ-

юнкции и дизъюнкции, образуют систему, определяющую решетку с

инволюцией. Если к ним добавить закон исключенного третьего и за-

кон противоречия, то получается булева алгебра, являющаяся алгеброй

логических значений классической логики.

Упражнения к § 15.1

Разобрать следующие рассуждения. Корректны ли они? Если не-

корректны и опираются на некоторые законы логики, то за грани-

цы применимости каких законов они выходят?

15.1.1. Тот, кто ест меньше, более голоден. Тот, кто более голоден, ест

больше. Значит, тот, кто ест меньше, ест больше.

15.1.2. Тому, кто хочет учиться, поощрение не нужно. Тому, кто не хочет

учиться, оно бесполезно. Значит, поощрять учащихся бесполезно.

15.1.3. Если все люди равны по способностям изначально, то все раз-

личия происходят от воспитания и обучения. Подавляющее боль-

шинство знаний и привычек человек приобретает в первые годы

жизни, и многие из них — уже в утробе матери. Поэтому если все

люди равны изначально, кастовая система общества, когда про-

фессия человека предопределяется профессией его родителей,

является идеальной.

15.1.4. Тот, кто хочет что-то изучить, не знает этого. Незнающий не-

вежествен. Таким образом, лишь невежественные люди желают

учиться.

15.1.5. То, что ты не потерял, у тебя есть. Ты не терял рогов. Значит, у

тебя есть рога.

15.1.6. Все коммунисты — атеисты, материалисты и сторонники госу-

дарственного контроля за обществом. Иван Масонов — атеист,

материалист и государственник. Значит, он — коммунист.

15.1.7. В утверждении 15.4, как утверждают многие, на самом деле нет

внутреннего противоречия. Объясните, почему? (Как понимают

‘все’ в обыденной жизни?)

410

ГЛАВА 15. КОРНИ НЕКЛАССИЧЕСКИХ ЛОГИК

§ 15.2. СИЛА И НЕДОСТАТКИ КЛАССИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ

Чтобы перейти к неклассическим логикам, нам необходимо выяснить

причины, по которым недостаточно использование классической логи-

ки. Многие из них перечислялись во второй части учебного пособия.

Сейчас мы напомним и систематизируем основные выводы и положе-

ния, касающиеся самой классической логики и ее места в общей систе-

ме логик.

Положение 1. Классическая логика основывается на предположе-

нии, что значение сложного предложения зависит лишь от значений его

компонент, а не от их смысла. Формально такое предположение выра-

жается как правило замены эквивалентных:

A ⇔ B C[A]

C[B]

(15.14)

Положение 2. Замена эквивалентных приводит к тому, что логика

может быть описана через (возможно, переменное) множество логиче-

ских значений,составляющее алгебру, операции которой соответствуют

логическим связкам данной логики.

Положение 3. Классическая логика является истинностнозначной,

т. е. может быть описана через фиксированную алгебру логических зна-

чений

{0, 1}.

Положение 4.Классическая логика не обязательно требует двузнач-

ности интерпретаций. Необходимо и достаточно, чтобы множество ис-

тинностных значений образовывало булеву алгебру.Таким образом,сфе-

ра ее применения значительно шире, чем может показаться при ее стан-

дартном изложении через таблицы истинности.

Положение 5. Чтобы применять классическую логику, необходимо,

чтобы выполнялись основные свойства аксиоматики следования по Тар-

скому — рефлексивность, монотонность, транзитивность и теорема де-

дукции.

Положение 6. Следовательно, для ее применения необходимо быть

уверенным, как минимум, в том, что имеющиеся ресурсы достаточно

велики либо расходуемые достаточно малы, чтобы пренебречь их огра-

ниченностью; что новое знание не может перечеркнуть старое, что мы

можем пренебречь временем либо, по крайней мере, его необратимо-

стью.

Положение 7. Классическая логика перестает работать, если мы ин-

тересуемся не истинностью в случае неизменной фиксированной точки