Непопалов В.Н. Методы расчёта разветвленных электрических цепей постоянного тока
Подождите немного. Документ загружается.
21
1
R
1
E
6
J
6
R
6
I
5
R
5
E
2
R
3
R
4
R
7
R
7
J
7
E
1
I
2
I
3
I
4
I
5
I
7
I
6
I
′
1
2
3
0
Рис. 6Р
Решение.
В схеме q
= 4 узлов. По методу узловых напряжений необходимо составить три
уравнения. Положительные направления токов в ветвях указаны на рис. 2.7.
Каноническая форма записи узловых уравнений имеет вид
GU GU GU J
GU GU GU J
GU GU GU J
11 10 12 20 13 30 11
21 10 22 20 23 30 22
31 10 32 20 33 30 33
−−
=
−+−=
−−+=
,
,
,
где
521
11
111
RRR
G ++=
;
64321
22
11111
RRRRR
G ++++=
;
743
33
111
RRR
G ++=
–
собственные,
21
2112
11
RR
GG +==
; 0
3113
=
=
GG ;
43
3223
11
RR
GG +==
– об-
щие проводимости,
5
5
1
1
11
R
E
R
E
J −−=
;
1
1
622
R
E
JJ +−=
;
7
7
733
R
E
JJ +=
– узловые
токи.
Матричная форма записи узловых уравнений имеет вид
GGG
GG G
GGG
U
U
U
J
J
J
11 12 13
21 22 23
31 32 33
10
20
30
11
22
33
−−
−−
−−
⋅
=
или
nnnnn
JUG =
0
.
22
Решение этого уравнения
nnnnn
JGU
1
0
−
= .
Уравнения для расчета токов ветвей:
1
10201
1
R
UUE
I
+−
=
;
2
1020
2
R
UU
I
−
= ;
3
3020
3
R
UU
I
−
= ;
3
3020
3
R
UU
I
−
=
;
4
2030
4
R
UU
I
−
=
;
7
105
5
R
UE
I
+
=
6
20
6
R
U
I =
;
7
307
7
R
UE
I
+
−
= .
Баланс мощностей:
− мощность
R
P
, рассеиваемая резисторами,
7
2
76
2
65
2
54
2
43
2
32
2
21
2
1
RIRIRIRIRIRIRIP
R
++++++= ;
− мощность, генерируемая источниками,
730620775511ист
JUJUIEIEIEP
+
−
−
+
= .
Для численного решения воспользуемся математическим пакетом MathCAD.
R1 100
R2 130
R3 43
R4 75
R5 91
R6 110
R7 200
E1 15
E5 24
E7 8
J6 0.2
J7 0.1
G11
1
R1
1
R2
1
R5
G22
1
R1
1
R2
1
R3
1
R4
1
R6
G33
1
R3
1
R4
1
R7
G12
1
R1
1
R2
G21 G12
G23
1
R3
1
R4
G32 G23
G13 0
G31 0
J11
E5
R5
E1
R1
J22 J6
E1
R1
J33 J7
E7
R7
Gnn
G11
G21
G31
G12
G22
G32
G13
G23
G33
=Gnn
0.029
0.018
0
0.018
0.063
0.037
0
0.037
0.042
Jnn
J11
J22
J33
=Jnn
0.414
0.05
0.14
Un0
.
Gnn
1
Jn
n
U10
U20
U30
Un
0
=Un0
19.966
8.982
4.536
← Присвоение перемен-
ным заданных условием
задачи величин
← Расчет собственных и
общих проводимостей
←
← Расчет задающий токов
← Определение матриц
узловых проводимостей
Gnn и узловых токов Jnn
← Расчет узловых напря-
жений
← Вывод и присвоение
матрице Unn численных
значений узловых напря-
жений
← Расчет токов ветвей
23
I1
U10 U20 E1
R1
I2
U20 U10
R2
I3
U20 U30
R3
I4
U30 U20
R4
I5
U10 E5
R5
I6
U20
R6
I7
U30 E7
R7
=I1 0.04 =I2 0.084 =I3 0.103
=I4 0.059 =I5 0.044 =I6 0.082 =I7 0.063
Pr
.
I1
2
R1
.
I2
2
R2
.
I3
2
R3
.
I4
2
R4
.
I5
2
R5
.
I6
2
R6
.
I7
2
R7
=Pr 3.511
Pej
.
E1 I1
.
E5 I5
.
E7 I7
.
U20 J6
.
U30 J7
=Pej 3.511
← Вывод численных
значений токов ветвей
← Баланс мощностей
Токи ветвей:
I
1
= 0,04 A; I
2
= – 0,084 A; I
3
= – 0,103 A; I
4
= 0,059 A;
I
5
= 0,044 A; I
6
= – 0,082 A; I
7
= 0,063 A.
Рассеиваемая резисторами мощность P
R
= 3,511 Вт.
Мощность, генерируемая источниками
P
ист
=3,511 Вт.
Баланс мощностей выполняется, задача решена верно
3. Метод контурных токов
3.1. Общие сведения
Метод контурных токов основан на уравнениях второго закона Кирхгофа. Ме-
тод позволяет для решения задачи расчета токов ветвей уменьшить количество
совместно решаемых уравнений до числа независимых контуров
1
k
bqb−− +
(
b – число ветвей,
k
b – число ветвей c источниками токов, q – число узлов).
На рис. 1 показан фраг-
мент разветвленной цепи.
Контурный ток – расчетный
ток, совпадающий с обхо-
дом независимого контура.
Токи
11
I ,
22
I ,
33
I ,
44
I ,
55
I ,
1k
J – контурные токи. Кон-
турный ток
1k
J
известен и
равен току источника тока.
Уравнение 2-го закона
Кирхгофа для контура с то-
ком
11
I имеет вид
1
R
2
E
3
E
2
R
3
R
1k
J
4
R
11
I
22
I
33
I
44
I
55
I
1k
J
1
I
2
I
3
I
4
I
Рис. 1
()
111234
IRR RR+++ +
22 2
I
R –
33 3
I
R +
44 4
I
R –
55 1
I
R +
11k
JR=
23
E
E− .
24
Каноническая форма уравнений по методу контурных токов для случая 3-х
независимых контуров имеет вид:
11 11 22 12 33 13 11
I
RIRIR E
+
+=;
11 21 22 22 33 23 22
IR IR IR E
+
+=;
11 31 22 32 33 33 33
IR I R IR E
+
+=.
Сопротивления
11
R ,
22
R ,
33
R с одинаковыми индексами называются собст-
венными и определяются как суммы сопротивлений ветвей, входящих в 1-й,
2-й, 3-й контур.
Сопротивления
12 21
RR= ,
13 31
RR
=
,
23 32
RR
=
с разными индексами назы-
ваются общими и определяются как алгебраические (со знаком + или –) суммы
сопротивлений ветвей, входящих в 1-й и 2-й, 1-й и 3-й, 2-й и 3-й контуры. Знак
плюс, если направления контурных токов на общих сопротивлениях совпадают.
Э. д. с.
11
E
,
22
E
,
33
E
называются собственными э. д. с. контуров и опреде-
ляются как алгебраические суммы э. д. с., входящих в соответствующие конту-
ра. Со знаком плюс берутся те э. д. с., направления которых совпадают с на-
правлением контурного тока.
Решение типовых задач
Задача 1
Методом контурных токов найти токи ветвей цепи со схемой замещения рис. 1.
1
R
4
R
5
R
4
E
3
E
к
I
1
E
2
E
2
R
3
R
6
R
Рис. 1
Параметры элементов:
R
1
= 1 Ом, R
2
= 2 Ом, R
3
= 3 Ом, R
4
= 4 Ом, R
5
= 5 Ом,
R
6
= 6 Ом; Е
1
= 10 В, Е
2
= 20 В, Е
3
= 30 В, Е
4
= 40 В,
к
I = 1 А.
Задача 1Р
Решение
Назначаем положительные направления токов ветвей (рис. 1Р).
25
1
R
4
R
5
R
4
E
3
E
к
I
11
I
1
E
2
E
2
R
1
I
2
I
3
I
3
R
6
R
4
I
33
I
22
I
Рис. 1Р
На схеме замещения цепи число узлов
q = 3, ветвей b = 5, ветвей с источ-
никами токов
b
к
= 1. Независимых контуров b – q – b
к
+ 1 = 2. Необходимо за-
писать
2 уравнения по методу контурных токов.
Назначаем контурные токи
11
I ,
22
I . Контурный ток
33
I =
к
I = 1 А.
Контурные уравнения имеют вид:
11 11 12 22 13 33 11
RI RI RI E
+
+=;
21 11 22 22 23 33 22
RI RI RI E
+
+=.
Собственные сопротивления:
11 1 2 3 4
RRRRR=+++= 1 + 2 + 3+ 4 = 10 Ом;
22 456
RRRR=++= 4 + 5 + 6 = 15 Ом;.
Общие сопротивления:
12 21 4
RR R==−= – 4 Ом;
13
0R
=
;
23 6
RR
=
= 6 Ом.
Собственные э. д. с. контуров:
11 1 2 3
E
EE E=+−= 10 + 20 – 30 = 0;
22 3 4
E
EE
=
−= 30 – 40= –10 В.
Подставляем полученные числа в контурные уравнения, переносим известную
величину
23 33
6RI = В в правую часть второго уравнения. Получаем:
11 22
10 4 0II
−
= ;
11 22
415 16II
−
+=−
.
Решаем систему полученных уравнений, находим контурные токи:
11
I
= – 0,478 А,
22
I
= –1,194 А.
Токи ветвей:
111
II==– 0,478 А,
21122
II I
=
−= 0,716 А,
322
II==–1,194 А,
42233
II I
=
+=– 0,194 А.
Баланс мощностей.
Мощность, рассеиваемая в нагрузках:
26
()
22
н 11 2 3 24
PIRRR IR=++++
2
35
IR
2
46
IR
+
=
() ()()
222
2
0,478 6 0,716 4 1,194 5 0,194 6=− ⋅ + ⋅ +− ⋅ +− ⋅ =10,776 Вт.
Мощность источников:
()
ист 121
PEEI=+ −
32
E
I −
43
E
I
+
46k
IRI
=
= 30⋅(–0,478) – 30⋅(0,716) – 40⋅(–1,194) + (–0,194)⋅6⋅1 = 10,776 Вт.
Баланс мощностей выполняется. Задача решена верно.
Задача 2
Методом контурных токов най-
ти токи ветвей цепи со схемой
замещения рис. 1.
Параметры элементов:
R
1
= 100 Ом, R
2
= 200 Ом,
R
3
= 300 Ом, R
4
= 40 Ом;
Е
1
= 100 В, Е
2
= 200 В,
Е
3
= 300 В,
к1
I = 1 А,
к2
I = 2 А.
1
R
1
E
к1
I
3
R
2
R
3
E
4
R
к2
I
2
E
Рис. 1
Задача 2Р
Решение
Назначаем положительные направления токов ветвей (рис. 1Р).
1
R
1
E
1
I
к1
I
3
R
2
R
3
I
3
E
4
R
к2
I
2
I
2
E
4
I
44
I
11
I
22
I
33
I
к2
U
к1
U
27
Рис. 1Р
На схеме замещения число узлов
q = 3, ветвей b = 6, ветвей с источниками
токов
b
к
= 2 Независимых контуров b – q – b
к
+ 1 = 2. Необходимо записать 2
уравнения по методу контурных токов. Назначаем контурные токи
11
I ,
22
I .
Контурные токи
33
I =
к1
I
= 1 А,
44
I
=
к2
I
= 2 А.
Контурные уравнения имеют вид:
11 11 12 22 13 33 14 44 11
RI RI RI RI E+++=;
21 11 22 22 23 33 24 44 22
RI RI RI RI E+++=.
Собственные сопротивления:
11 1 2 3
RRRR=++= 100 + 200 + 300 = 600 Ом;
22 3 4
RRR=+= 300 + 40 = 340 Ом.
Общие сопротивления:
12 21 3
RR R==−= – 300 Ом;
13 1
RR
=
−= – 100 Ом;
14
R
=
200 Ом;
23
R = 0 Ом;
24
R = 0 Ом
Собственные э. д. с. контуров:
11 1 2 3
E
EE E=++= 600 В;
22 3
E
E
=
−= – 300 В.
Подставляем полученные числа в контурные уравнения. Переносим известные
величины
13 33
100RI
=
− В,
14 44
400RI
=
в правую часть первого уравнения.
Получаем:
11 22
600 300 300II
−
= ;
11 22
300 340 300II−+ =−.
Решаем систему полученных уравнений, находим контурные токи:
11
I
= 0,105 А,
22
I
= –0,789 А.
Токи ветвей:
11133
II I
=
−=– 0,895 А,
21144
II I
=
+= 2,105 А,
31122
II I=−=0,895 А,
422
II
=
= – 0, 789 А.
Баланс мощностей.
Мощность, рассеиваемая в нагрузках:
22 2 2
н 11 22 33 44
PIRIRIRIR=+++
=
() ()
22
22
0,895 100 2,105 200 0,895 300 0,789 40=− ⋅ + ⋅ + ⋅ +− ⋅ =1232 Вт.
Для расчета мощности источников необходимо определить напряжения на
источниках тока. Уравнение Кирхгофа для контуров
33
I и
44
I имеют вид:
к111 1
UIRE+=,
к222 2
UIR E
−
=− .
Откуда
к1111
UEIR
=
− = 189,5 В,
к2222
UEIR
=
−+ =221,1 В.
28
Мощность источников
ист 11 2 2 3 3
PEIEIEI=+ ++
к1
U
к1
I +
к2
U
к2
I =
= 100⋅(–0,895) + 200⋅2,105 + 300⋅0,895 + 189,5⋅1 + 221,1⋅2 = 1232 Вт.
Баланс мощностей выполняется. Задача решена верно.
Задача 3
Методом контурных токов найти токи ветвей цепи с зависимым источником тока,
управляемым напряжением (рис. 1).
R
1
2
R
4
R
3
R
1
E
1
gU
3
E
1
U
Рис. 1
Параметры элементов:
R
1
= 100 Ом, R
2
= 200 Ом, R
3
= 30 Ом, R
4
= 400 Ом;
g =
0,02 Ом
–1
, Е
1
= 100 В, Е
3
= 300 В.
Задача 2Р
Решение
Назначаем положительные направления токов ветвей (рис. 1Р).
R
1
2
R
4
R
3
R
1
E
1
gU
3
E
2
I
1
U
11
I
22
I
33
I
1
I
3
I
4
I
Рис. 1Р
На схеме замещения число узлов
q = 3, ветвей b = 5, ветвей с источниками
токов
b
к
= 1 Независимых контуров b – q – b
к
+ 1 = 2. Необходимо записать 2
уравнения по методу контурных токов.
29
Назначаем контурные токи
11
I
,
22
I
. Контурный ток
33
I =
1
gU
.
Записываем контурные уравнения:
11 11 12 22 13 1 11
RI RI RgU E
+
+=;
21 11 22 22 23 1 22
RI RI RgU E
+
+=.
Напряжение
1111
URI= . Контурные уравнения принимают вид:
()
11 13 1 11 12 22 11
RRgRIRI E++=;
()
21 23 1 11 22 22 22
RRgRIRI E++=,
1112
RRR=+=300 Ом,
22 3 4 5
RRRR=++=630 Ом,
12 21 2
RR R==−=–200 Ом,
13
R
=
0,
23 4
RR
=
−=– 400 Ом,
23 2
RR=− =–200 Ом,
11 1
100EE=− =− В,
22 3
300EE
=
= В.
Получаем:
11 22
300 200 100II
−
=− ;
11 22
1000 630 300II−+=.
Решаем систему полученных уравнений, находим контурные токи:
11
I
= 0,273 А,
22
I
= 0,909 А,
33
I =
111
gR I = 0,545 А.
Токи ветвей:
111
II==0,273 А,
21122
II I
=
−= – 0,636 А,
322
II==0,909 А,
43322
II I
=
−= – 0,364 А.
30
Баланс мощностей.
Мощность, рассеиваемая в нагрузках:
22 2 2
н 11 22 33 44
PIRIRIRIR=+++
=
166 Вт.
Мощность источников
ист 11 3 3 33 4 4
PEIEIIRI=− + + = 166 Вт.
Баланс мощностей выполняется. Задача решена верно.
4. Методы наложения и эквивалентного генератора
4.1. Общие сведения
В основе метода наложения лежит принцип наложения. Мгновенное значение то-
ка любой ветви линейной электрической цепи, содержащей несколько источни-
ков, равен алгебраической сумме мгновенных значений токов, вызываемых дейст-
вием каждого источника в отдельности. Так, для тока
k
i ветви с номером k элек-
трической цепи, содержащей n источников, следует:
(
)
n
k
k
n
ii=
∑
, где
(
)
n
k
i – ток ветви от действия одного источника с номером n.
Метод эквивалентного генератора применяется для расчета тока выделенной
ветви. По отношению выделенной ветви активный двухполюсник заменяется эк-
вивалентным генератором
г
E
;
г
R (рис. 1).Э.д.с. эквивалентного генератора равна
напряжению
0
U
на разомкнутой ветви:
г
E
=
0
U
; сопротивление
г
R
равно вход-
ному сопротивлению пассивного двухполюсника (рис. 2).
A
I
R
г
E
г
R
I
R
A
Рис. 1
A
0
I
=
0
U
П
г
R
Рис. 2