30
Прямые и обратные задачи ТК
При известной математической модели процесса теплопроводности
необходимо выяснить, какие величины и зависимости, входящие в описание,
известны, а какие необходимо определить. В зависимости от этого
возникающие задачи можно разделить на два вида [5].
Прямая задача. Требуется определить температурное поле, если
известно дифференциальное уравнение исследуемого процесса, и заданы
дополнительные условия, полностью определяющие соответствующую
краевую задачу.
Обратная задача. Требуется определить граничные условия или
коэффициенты, входящие в основное дифференциальное уравнение, если
имеется математическое описание процесса и задано теоретически или
экспериментально температурное поле, в частности, на поверхности
исследуемого объекта.
Обычно решение обратных задач базируется на решении прямых задач,
а для поиска оптимальных результатов используются методы минимизации
ошибок (симплекс-метод и т.д.). Решение обратных задач сопряжено с
бόльшими трудностями, чем решение прямых задач.
Краевые задачи подразделяют на линейные и нелинейные. Уравнение
называется линейным, если оно линейно относительно неизвестной функции
(температура) и ее производных. Если в математическом описании задачи
хотя бы одно уравнение нелинейно, то и вся краевая задача является
нелинейной.
Моделирование задач теплопередачи
Одномерные системы представляют собой наиболее простые случаи
распространения теплового потока только в одном направлении. К этой
категории относится ряд важных практических задач, например,
теплопередача через пластину, через стенку трубы с изоляцией и многие
другие. В ТК одномерные классические решения позволяют оценить глубину
залегания и толщину дефектов, но не их поперечные размеры. Таким
образом, с точки зрения ТК, основным отличием многомерных задач от
одномерных является возможность учитывать диффузию тепла в материале
объекта контроля вокруг дефектов конечных размеров.
Одномерные, в том числе многослойные, задачи решают аналитически с
использованием операционного метода, метода «термического
четырехполюсника» или функций Грина, а также и численными методами,
тогда как для многомерных моделей наиболее пригодны исключительно
численные методы.
В качестве примера использования одномерного моделирования
приведем пример численного моделирования воздушного дефекта внутри
пластины из пластика в программе MultiLayer1D. Представленный ниже Рис.
2.1 иллюстрирует процесс получения температурного сигнала (С) из двух
кривых – графика развития температуры для дефектной структуры (Д) и