Никифорова И.А. Математика в экономике: сборник задач. Часть ?
Подождите немного. Документ загружается.
181
18)
(
)
Ce
x
x
+⋅
−
7
49
17
; 19)
(
)
Ce
x
x
+⋅
⋅
−
3
3
35
; 20)
(
)
Ce
x
x
+⋅
+
2
4
110
;
21)
( )
Cx
x
+−1ln2
4
2
; 22) Cx
xx
xx
xx
+
+−−⋅
+−
49
ln
23
2323
;
23)
(
)
(
)
Cxarctgxx ++−+⋅ 2214ln
2
; 24)
( )( )
C
x
arctgxx +⋅+−+⋅
2
424ln
2
;
25)
(
)
Cxxx ++−⋅ 2ln2ln
2
; 26)
(
)
Cxx
x
+++⋅− 2ln2ln
1
2
; 27)
Cxx +
−⋅
2
3
ln
2
3
3
2
;
28)
(
)
Cxxx ++−⋅⋅ 18ln6ln3
2
3
; 29)
(
)
Cxxxx ++−++
22
11ln
;
30)
(
)
( )
Cxxxxx +−⋅+++− arcsin
2
1
11ln
; 31)
C
x
xarctgx +
−
−−⋅
4
14
14
;
32)
C
x
xarctgx +
−⋅
−−⋅⋅
5
15
15
; 33)
Cxxx +−⋅+⋅⋅ 14arcsin2
;
34)
(
)
Cxxarctgx ++−⋅⋅ 1ln2 ; 35)
(
)
Cxxx +−⋅+⋅+⋅ 12arcsin12
;
36)
(
)
Cxxx ++⋅+⋅−⋅− 12arccos12
; 37)
Ctgx
x
x
+
−
2
cos
2
1
;
38)
C
x
xxx +
−−
2
2cos
2sin
4
1
2
; 39) Cxxсtgx ++− sinln ; 40) Cxxtgx ++ cosln ;
41)
(
)
Cex
x
+⋅+−
−
2
1
2
1
2
; 42)
(
)
Cex
x
+⋅−12
; 43)
Cxxx +−⋅−− arccos1
2
;
44)
(
)
Cxxxxx +−−⋅+⋅⋅ 212arcsinarcsin
2
; 45)
( ) ( )( )
Cxx
x
++ lnsinlncos
2
;
46)
(
)
(
)
(
)
C
xxx
+
−
2
2lncos2lnsin
; 47)
(
)
C
xxe
x
+
−⋅
2
cossin
;
48)
(
)
C
xxe
x
+
+⋅
2
cossin
; 49)
(
)
C
xxe
x
+
+⋅
13
3cos23sin3
2
;
50) C
xxe
x
+
−−
−
13
4
2cos2
4
2sin3
3
ππ
; 51)
(
)
C
b
a
bxbbxae
ax
+
+
−⋅
22
cossin
;
182
52)
C
a
x
axax +
⋅+−⋅⋅ arcsin
2
1
222
; 53)
(
)
(
)
Cxxctgx
+
−
+
−
1sinln
.
4.104. 1)
1−
⋅−⋅=
n
ax
n
n
J
a
n
e
a
x
J ; 2)
1
ln
−
⋅−⋅=
n
n
n
JnxxJ ;
3)
2
1
1
sincos
1
−
−
⋅
−
+⋅⋅−=
n
n
n
J
n
n
xx
n
J ; 4)
2
1
1
cossin
1
−
−
⋅
−
+⋅⋅=
n
n
n
J
n
n
xx
n
J ;
5)
( )
2
1
1
2
sin1
cos
−
−
⋅
−
−
+
⋅−
−=
n
n
n
J
n
n
xn
x
J
; 6)
( )
2
1
1
2
cos1
sin
−
−
⋅
−
−
+
⋅−
=
n
n
n
J
n
n
xn
x
J
.
4.105. 1)
(
)
−⋅+++⋅−
−x
exxxx 60205
232
(
)
Сex
x
+⋅+−
−
1120 ;
2)
(
)
Сxxxxx ++−+−⋅ 24ln24ln12ln4ln
234
; 3)
( )
Сxx ++⋅⋅− 2sincos
3
1
2
;
4) Сx
x
xx +
++⋅⋅
2
2sin
8
3
cossin
4
1
3
; 5) С
x
ctgx
+
+− 2
sin
1
3
2
;
6)
С
x
x
xx
x
+
+
+
+⋅
cos
sin1
ln
16
3
2
3
cos
1
cos4
sin
22
. 4.106. Сx +−− 3ln .
4.107. Сx ++32ln
2
1
. 4.108.
( )
С
x
+
+
⋅−
3
5
1
3
1
.
4.109.
( )
С
x
+
+
⋅−
2
15
1
10
1
. 4.110.
( )
С
x
+
+
⋅−
1
1
2
1
. 4.111.
( )
С
x
+
−
−
3
1
.
4.112.
(
)
Сxarctg
+
−
2
. 4.113.
(
)
Сxarctg
+
+
1
. 4.114.
(
)
( )
3
2
ln
2
−
−
x
xC
.
4.115.
( )
5
ln
5
1
+x
Cx
. 4.116.
(
)
( )
2
3
2
3
ln
+
+
x
xC
. 4.117.
(
)
( )
1
2
ln
3
−
−
x
xC
. 4.118.
С
x
x
+
+
−
5
1
ln
6
1
.
4.119.
( )
+
−
2
1
ln
3
x
x
С . 4.120.
(
)
( )
1
2
ln
2
1
8
−
−
x
xC
. 4.121.
(
)
Сxx ++⋅− 321ln .
4.122.
(
)
( )
1
1
ln
3
+
⋅−
x
xxC
. 4.123.
(
)
(
)
( )
4
3
2
31
ln
12
1
+
+⋅−
x
xxC
.
183
4.124.
(
)
(
)
x
xxС 21
ln
+
⋅
−
⋅
. 4.125. 3ln
24
7
1ln
8
5
−++ xx Сx ++− 3ln
12
11
.
4.126.
С
xx
x
++
− 12
ln
. 4.127.
( )( )
( )
С
x
xx +
+
+++
32
9
31ln
4
1
3
.
4.128.
(
)
( )
2
2
2
1
ln
3
3
+
−
+
−
x
x
xC
. 4.129.
(
)
2
12
ln
2
2
−
−
−
x
x
xC
.
4.130.
(
)
( )
(
)
С
x
arctg
x
xx
+
−
+
+
+−
3
12
3
1
1
1
ln
6
1
2
2
. 4.131.
(
)
( )
С
x
x
x
+
+
−
+
+
12
1
1
1
ln
4
1
2
2
.
4.132.
( )
+++−− 42ln
12
1
2ln
6
1
2
xxx
(
)
С
x
arctg +
+
3
1
32
1
4.133. Сxxx
x
+−+++ 2ln84
3
2
3
. 4.134.
С
x
x
x
x
x
+
−
+++
2
3
2
1
ln
2
2
.
4.135.
С
x
xx
x +
−
+
−
5
3
2
2
2
ln
4
1
.
4.136.
(
)
С
x
x
x
x
+
−
++
8
2
1
ln4
2
4.137.
−+ x
x
6
2
2
Сxx +−+− 4ln342ln6
.
4.138.
(
)
( )
С
x
xx
x +
+
−
+
4
3
1
1
ln3 .
4.139. С
x
arctgxx +++
2
2
3
ln3 .
4.140.
( )
+
+
+
1
1
2
2
x
x
( )
С
x
+
+
2
1
2
.
4.141.
Сxxx ++++−+ 3ln
2
1
2ln21ln
2
3
.
4.142.
(
)
(
)
Сarctgx
x
x
++
+
−
2
1
12
1
2
.
4.143.
Сarctgx
x
x
x +−
+
−
+
1
1
ln
2
1
.
4.144.
(
)
(
)
С
x
arctg
x
x
+
⋅
+
+
−
224
3
24
103
2
.
4.145.
( )
+
+
−
24
2
2
x
x
С
x
arctg +
224
1
.
4.146.
+
+−
++
12
12
ln
24
1
2
2
xx
xx
С
x
x
arctg +
−
2
1
2
22
1
.
184
4.147. 1) С
x
x
+
+
+
5
1
ln
8
1
2
2
; 2)
( )
( )
( )
С
x
x
x
+
+
−
+
+−
+
26
14
1
17
3
6
1
1
1
;
3) Сx +−1ln
8
1
8
; 4) −xln
( )
( )
С
x
x +
+
−+−
1
1
1ln
6
1
6
6
;
5) x
x
x
ln
4
1
2
1
42
+−
(
)
Сx ++− 1ln
2
1
2
;
6)
6
1
(
)
C
x
arctgxxx +
+
+++−−
7
12
7
1
2ln
2
1
1ln
3
363
.
4.148. Указание. Для доказательства используйте равенства (4.10)
4.149. а)
x
t
sin
=
; б)
tgx
t
=
; в)
ctgx
t
=
; г)
tgx
t
=
; д)
x
t
cos
=
; е)
tgx
t
=
.
4.150. 1)
С
x
tgarctg +
−1
2
; 2) С
x
tg
x
tg
+
−
+
5
2
5
2
ln
5
1
; 3) Cxtgx
xtg
++−
3
3
;
4) Сtgxtgx ++
2
1
ln
2
1
; 5)
С
tgx
tgx
+
+
+
6
2
ln
4
1
; 6) Сxx +−sinsinln ;
7)
С
x
xx
+
+
−
−
1cos2
1cos2
ln
24
3
2
cos
; 8) Сxx +−cossinln ; 9)
С
x
tg +
2
ln
;
10) С
x
tg
arctg +
−
3
1
2
2
3
2
; 11)
С
tgx
tgx
+
+
−
72
72
ln
74
1
; 12) Сx ++−
2
cos41ln
4
1
;
13) C
x
tg
x +
+
+
2
1
2
; 14)
( )
Cxarctg
x
x +−− sin6
sin
2
sin ; 15)
( )
++− 1cos
5
6
xarctg
( )
2
2
1cos
2cos2cos
ln
5
1
−
++
x
xx
C
+
; 16) С
x
xx ++−
10
cos3sinln
10
3
; 17)
+
2
ln
3
1 x
tg
185
С
x
tg
x
tg +−−−+ 1
2
ln3
2
ln
3
5
; 18) C
x
tg
arctg
x
tg
+
+
+
+
−
15
1
2
4
15
1
)1
2
(
1
3
2
.
4.151. 1) С
xx
x +++
16
2sin
2
sin
8
3
; 2) С
xxx
x +++−
48
2sin
64
4sin3
4
2sin
16
5
3
;
3) −x
16
1
С
xx
++−
48
2sin
64
4sin
3
; 4) Сxctgxctg +− 282
3
8
3
;
5) С
xx
+−−
12
6cos
8
4cos
; 6) С
xx
++
6
5
sin
5
3
6
sin3 ; 7) С
xx
+−
50
25sin
10
5sin
;
8) +++
16
4sin
8
2sin
4
1 xx
x
С
x
++
24
6sin
; 9)
С
xxx
+−+−
32
8cos
16
4cos
4
2cos
.
4.152. 1) С
x
arctgx +−⋅
2
126
6
6
; 2)
( ) ( )
Cxx +−⋅+
3
2
3294
40
3
;
3)
(
)
Cxx +−+++ 13ln34
44
; 4) C
x
x
+
−
+
⋅
3
2
2
2
4
3
; 5) С
x
x
+
−
+
1
1
;
6)
Сxxxx ++−⋅+⋅−⋅ 1ln242464
121264
; 7)
С
x
arctg +
+
2
1
;
8)
(
)
( )
Сxarctgxxx
x
+−⋅+−⋅−−+−⋅
−
6
6
5
6
32332
5
3
3232
7
56
;
9)
(
)
( )
С
x
xx
arctg
x
x
x
x
xxx
xx
+
⋅
+−⋅
−
+
−
+
−
−
−−⋅
⋅+−
3
33
3
1
3
2
33
4
33
3
12
3
1
1
11
ln
2
1
1
21
ln
3
1
;
10)
C
x
x
+
−
+
⋅−
3
1
1
2
3
; 11)
(
)
(
)
Сaxarctgaxax ++⋅++−++
63
6ln1ln3
;
12) Сxarctg
x
x
+⋅−
+
−
4
4
4
2
1
1
ln . 4.153. 1)
( )
Сxx
xx
+−⋅−⋅+
22
42
4
2
arcsin2 ;
2) C
x
x
x +
++
−+
++
11
11
ln
2
1
1
2
2
2
; 3)
( )
Сxxx
x
+−−⋅+⋅+
+
2
211
2
1
2
1
arcsin
;
186
4)
C
xx
x
+
+−
−
⋅
52
1
4
1
2
; 5)
С
x
x
+
−
−
⋅
1
1
2
; 6) +
−
−
x
x 1
2
Cxx +−+ 1ln
2
.
4.154.
C
x
x
x +
++
−+
++
11
11
ln12
. 4.155. C
xarctg
+
3
3
. 4.156.
C
axx
ax
a
+−
+ 1
ln
1
2
.
4.157. C
x
tg
+
+
−
1
2
2
. 4.158. C
x
xxtgx +−+
2
cosln
2
. 4.159. C
e
e
x
x
+
+
−
5
1
ln
6
1
.
4.160.
Cxx ++− 16
2
. 4.161.
Cx
x
tg ++cos
2
ln
. 4.162.
( )
C
baxa
axb
+
+
−
3
6
3
.
4.163.
(
)
Cxe
x
++⋅−
−
12
. 4.164.
Cxxxxx +−+++ 21lnln
2
.
4.165.
Cxxx +
++−−−
2
1
3
2
arcsin
2
7
2
2
. 4.166.
( )
+++ 42ln
2
1
2
xx
C
x
arctg +
+
+
3
1
3
2
. 4.167. C
x
x +
−
5
5sin
sin
2
1
. 4.168.
( )
Cexx
x
+++−
−
2
2
13622
.
4.169.
(
)
Carctg
xx
+−−− 1212
2
ln
2
. 4.170.
( )
C
x
+
−
3
sin13
1
. 4.171.
+⋅ x2
C
x
arctgx +
−⋅
−⋅+
3
12
3
8
4
4
4
. 4.172.
C
x
x
ctgx
+
−
⋅
−
cos
ln
. 4.173. −−
x
1
C
arctgx
+
−
. 4.174.
( )
Cxx +++ 14sin
2
1
2
. 4.175.
( )
−+− 1ln
2
1
2
xxarctgx
Cxarctg +−
2
2
3
. 4.176. C
xxx
++−
4
cos
6
3cos
20
5cos
. 4.177. −+− xx
x
122
3
2
3
Cx ++− 3ln36 . 4.178. Cxtgtgx +⋅−
3
4
4
3
2 . 4.179.
(
)
Cxxarctgx +−+1
.
4.180.
( )
(
)
Cee
xx
+−⋅+
5
4
12ln
3
1
. 4.181.
( )
(
)
Cxax
a
+−+
3
3
3
2
.
4.182.
( )
Cxx
x
++ 2lncos2lnsin
2
. 4.183.
( )
C
x
x
+
+
−
3
324
21
. 4.184.
C
x
x
+−
3
sin
3
1
sin
1
.
187
4.185.
(
)
Cxxx ++− 5ln4ln
2
. 4.186.
Cxxxx +
−+++
4
1ln2
.
4.187.
Carctgx
x
x
x
x
+−
+
−
++
1
1
ln
2
2
2
. 4.188.
( )
Ctgxarctg +3
3
1
. 4.189. +
4
2
x
C
xx
x +++
8
2cos
4
2sin
. 4.190.
(
)
Cx
x
++⋅
−
1
3
2
2
2
. 4.191.
C
x
x
arctgx +
+
+
2
12
1
.
4.192. Ctgx
a
b
arctg
ab
+
⋅
1
. 4.193.
Cxx +−⋅− ln12
12
.
4.194. Cxx
x
+
+−
2
1
lnln
2
2
2
. 4.195.
( )
Cxxx +++ cos4sin3ln34
25
1
. 4.196.
+
x
Ce
x
+−+ 3ln . 4.197.
(
)
Cxxxx ++− 2cos2sin1
2
. 4.198.
Cctgx
x
x
+
+−
2
sin2
1
.
4.199. C
x
x
+
+
−
−
1
1
. 4.200.
( )
Ctgxtgx ++ln
2
1
. 4.201. C
xx
x
+
−
−
−
+
2
5
2
3
ln
25
1
. 4.202.
C
x
x
x
arctgx
+
+
−−
2
1
ln
. 4.203.
( )
C
e
ee
e
x
xx
x
+
+
++
++
3
2
16
112718
1ln
.
4.204. C
x
tg
arctg +
⋅
3
2
3
2
. 4.205. C
x
x
arctgx +
+
−
−−
1
1
21
2
. 4.206. C
x
+
cos
2
.
4.207.
(
)
(
)
Cexex
xx
+−+−++− 11ln42122
. 4.208. +−−++ 1ln
2
2
2
xxx
x
C
x
x
+
+−
−−
+
512
512
ln
5
2
. 4.209.
C
e
e
e
xxx
+
⋅
−
cos
sin
. 4.210.
(
)
⋅+⋅
3
2
16 x
C
xxx
+
+
+
+−
⋅
7
1
80
965
2
. 4.211.
C
tgx
tgx
+
−
+
3
3
ln
32
1
. 4.212. +⋅
2
x
tgx
C
x
++
2
cosln2
. 4.213.
(
)
C
x
x +
−
+
3
4
3
2
2
. 4.214.
( )
Cxx +− cosln21cos
2
1
2
.
188
4.215.
( )
C
x
xx
+
+⋅
++
3
2
1412
166
. 4.216.
Ctgxxtg +++
2
4,0ln
5
1
. 4.217.
−++ 2
2
xx
Cxxx +++⋅++ 2212ln
2
1
2
. 4.218.
C
xxx
x
+
+
−−
+
1
111
ln2
4
1
444
4
.
4.219. C
x
xx +
−
+−+−
10
2ln
arcsin2lnln46
2
. 4.220.
(
)
Cx
x
xx
+−
−⋅
−
arcsin
2
3
12
3
2
2
.
4.221.
(
)
C
xx
x
x
+
−⋅
+
−
4
1
arcsin
4
12
22
. 4.222.
(
)
Cxx +++
24
16ln
2
1
.
ГЛАВА 5
5.21)
()
∫
=∆
2
1
q
q
dqqMCC ; 2)
( )
()
∫
⋅
−
2
1
12
1
q
q
dqqMC
qq
. 5.5.
()
dttfk ⋅⋅
∫
5,1
1
. 5.6.
()
dxxf
L
⋅
∫
0
.
5.10. 1)
4
6
π
π
<< J ; 2)
4
3
0 << J ; 3)
10
6
<
<
J
; 4)
7
12
3
4
<< J ; 5)
1
0
<
<
J
.
5.11. 1) 5; 2)
15
19
; 3)
2
ln
7
; 4)
2
3ln
; 5)
4
7
; 6)
2
ln
; 7)
12
π
;
8) 2ln7
2
11
+ ; 9)
1
sin
; 10)
6
π
; 11)
π
; 12)
4
π
−arctge ;
13)
−
2
1
2
3
4
1
arctgarctg ; 14)
(
)
4
2
1
ee − . 5.12. 1)
6
5
; 2) 1.
5.14. 1)
(
)
3ln22
−
; 2)
7
6
66− ; 3)
−⋅
4
12
π
; 4)
5
1
5
2
arctg
; 5)
+
5
2
ln3
3
2
;
6)
1
2
ln
+
e
e
; 7)
6
π
; 8)
π
; 9)
(
)
32ln
2
1
3 +− ; 10)
4
π
−arctge .
5.17. 1)
π
; 2)
( )
1
4
1
2
+e ; 3)
2ln
3
−
π
; 4)
1
2
−
e
; 5)
(
)
3ln935
18
1
−π ;
6)
4
2
−
⋅
π
; 7)
−
e
1
12
; 8)
−1
84
1
2
π
; 9)
(
)
5
2−
π
e
; 10) 2. 5.18. а)
2
1
; б)
6
π
;
189
в) 1
4
−
π
; г)
3
2
; д)
2
ln
. 5.19. ≈⋅
0
120
29
6 u 6,24
0
u
⋅
у. ед. 5.20. 49,5 у. ед.
5.21. 1)
⋅−⋅ ba
π
2
24
квт.; 2)
≈
⋅
−⋅
π
23
5120
437,94 квт.
5.22.1)
+⋅
π
b
a
3
212 квт.; 2)
≈
497580 квт. 5.23. 156. 5.24. 1) ср. прирост равен 16,
достигается при
3
2
1=q ; 2) ср. прирост равен 46, достигается при
≈= 7q
2,65.
5.25. 1) 72000 тыс. руб./год; 2)
24,714
4
3
≈
года. 5.26. a) 0;
б)
2
sin
a
−
; в)
2
sin
b
. 5.27. 1)
x
xsin
; 2)
(
)
1cos22
sin
−x
x
x
; 3)
+
x
x
2
cos
22
1
cos
1
x
x
+ ;
4)
4
1 x+−
; 5)
ttt ln4
3
2
⋅
; 6) t
t
ln
2
− . 5.28. 1) 1; 2)
3
2
; 3) 0.
5.29. 1)
−
=
1
x
точка максимума,
−
=
4
x
точка минимума; 2)
−
=
1
x
точка максиму-
ма,
−
−
=
1
x
точка минимума; 1)
(
)
−
∈
−
=
Nnnx
n
,12
π
точки максимума,
−
∈
=
Nnnx
n
,2
π
точки минимума. 5.30. 1)
() ()
∫
+=
Q
dQQMCCQC
0
0
;
2)
(
)
QQQQC 523390
23
+++=
; 3)
(
)
(
)
(
)
QQC 31ln12
+
+
=
;
82
ln
2
=
∆
C
д. ед.;
4)
(
)
QQQQQC 224255
234
+−++= ;
5
,
152
=
∆
C
д. ед. 5.31. а)
(
)
−
=
2QC
Q255
1
+
−
; б)
=
∆
C
≈
346
5
14,45 руб.,
=
∆
∆
q
C
≈
346
1
2,9.
5.32. 1)
() ()
∫
=
Q
dQQMRQR
0
; 2)
(
)
QQQR 65,4
2
−=
; 3)
(
)
(
)
1ln25,1
4
++= QQQR
. 5.33.
(
)
YYYС ⋅++= 2,05,033
. 5.34.
() ( )
10001313
9
140
+++= tttK .
5.35. 1) ≈−
3
1
1
2
ln
3
0,109 (кв. ед.); 2)
3
2
10 (кв. ед.); 3) 1 (кв. ед.); 4)
3
2
2 (кв. ед.); 5)
190
4,5 (кв. ед.); 6)
3
1
1 (кв. ед.); 7)
3
1
5 (кв. ед.); 8)
3
2
26 (кв. ед.); 9) 0,5 (кв. ед.);
10)
6
2
3
π
+ (кв. ед.) 11)
36
ln
5
,
17
−
(кв. ед.); 12) 5,5 (кв. ед.). 5.36. 9 (кв. ед.).
5.37. 2,25 (кв. ед.). 5.38. 1)0,5; 2)
15
,
0
≈
. 5.39. 1)
≈
1326,4; 2) 170
3
2
.
5.40. 1)
≈
125,6; 2)
3
1
405
. 5.41. 1)
≈
W
280,514,
=
V
113,4; 2)
≈
∆
W
33,13,
≈
∆
V
3,3;
3)
≈
∆
W
-39,734. 5.42. 1) 0,5; 2) расходится; 3) 0,5; 4)
π
; 5) –1;
6) расходится; 7) расходится; 8) 2π ; 9) расходится; 10) 1+
2
ln
; 11)
(
)
11
−
α
при
1
>
α
, расходится при
1
≤
α
; 12) расходится. 5.43. 1) 1, 3, 12; 2) 1,
3
1
1
,
3
2
2
; 3) 1,
2
ba
+
,
3
22
baba ++
; 4) 1,
λ
1
,
2
2
λ
−
. 5.44. 1) 2; 2) расходится; 3) 0;
4) расходится; 5) расходится; 6)
17
5
; 7) 0; 8)
(
)
α
−
11 при
1
<
α
, расходится при
1
≥
α
. 5.45. 1) 0,5; 2)
π
1
; 3)
π
2
; 4) 1.