Норенков И.П. Основы автоматизированного проектирования

Подождите немного. Документ загружается.

Математические модели

процедурах анализа

на

макроуровне

Трансформаторные

связи

Гираторные

связи

/,=Я/

Рис. 3.5.

Элементы

взаимосвязи

подсистем

различной физической природы

Явление сжимаемости жидкости описывается компонентным уравнением,

вытекающим

из

закона Гука,

(3.12)

Дифференцируя

(3.12)

учитывая,

что

объемный расход

связан

со

скорос-

тью U

—

d&l/dt

соотношением

Q — US,

получаем

JAP/Л

где

E/(S

—

гидравлическая емкость.

Связь

подсистем

различной

физической

природы.

Используют сле-

дующие способы моделирования взаимосвязей подсистем:

помощью транс-

форматорной,

гираторной

связей

и с

помощью зависимости параметров компо-

нентов

одной подсистемы

от

фазовых переменных другой.

эквивалентных

схемах трансформаторные

гираторные

связи представлены зависимыми

источниками фазовых переменных, показанными

на

рис. 3.5.

На

этом рисунке

п —

коэффициент трансформации;

g —

передаточная проводимость;

U и / —

фазовые переменные

ву'-й

цепи;

j = 1

соответствует

первичной,

а/

= 2 —

вто-

ричной

цепи.

Примечание.

Следует

отметить,

что

рассмотренные

аналогии

фазовых

перемен-

ных,

топологических

компонентных

уравнений

разных

физических

систем

нашли

свое

отражение

международном

стандарте

VHDL-AMS,

котором

фазовые

переменные

типа потенциала названы

переменными

across

quantity,

переменные

типа

потока

—

through

quantity.

Представление

топологических

уравнений

Известен

ряд

методов формирования

ММС

на

макроуровне. Получаемые

их

помощью модели различаются ориентацией

на те или

иные численные

методы решения

набором базисных переменных,

т. е.

фазовых переменных,

остающихся

уравнениях итоговой ММС. Общей

для

всех методов является

исходная

совокупность топологических

компонентных уравнений

(3.

(3.2).

Математическое

обеспечение

анализа

проектных

решений

Рис.

3.6.

Эквивалентная

схема

(а) и ее

граф

(б )

При

записи

топологических

уравнений удобно использовать промежуточ-

ную

графическую форму

—

представление модели

виде эквивалентной схе-

мы,

состоящей

из

двухполюсных элементов. Общность подхода

при

этом сохра-

няется,

так как

любой многополюсный компонент можно заменить подсхемой

из

двухполюсников.

свою очередь, эквивалентную схему можно рассматри-

вать

как

направленный граф,

дуги

которого соответствуют ветвям схемы.

На-

правления

потоков

ветвях выбираются произвольно (если реальное направле-

ние

при

моделировании окажется противоположным,

то это

приведет лишь

отрицательным численным значениям потока).

Пример

некоторой простой эквивалентной схемы

соответствующего

ей

графа

приведен

на

рис. 3.6.

Для

конкретности

простоты изложения

на

рисунке

использованы

условные обозначения, характерные

для

электрических экви-

валентных схем,

по той же

причине далее

этом параграфе часто применяет-

ся

электрическая терминология. Очевидно,

что

поясненные выше аналогии

позволяют

при

необходимости легко перейти

обозначениям

терминам, при-

вычным

для

механиков.

Для

получения топологических уравнений

все

ветви эквивалентной

схемы

разделяют

на

подмножества

хорд

ветвей

дерева.

Имеется

виду покры-

вающее (фундаментальное) дерево,

т. е.

подмножество

из Р - 1

дуг,

не

образую-

щее ни

одного замкнутого контура,

где Р —

число вершин графа (узлов эквива-

лентной

схемы).

На

рис. 3.6,

показан граф эквивалентной схемы, приведенной

на

рис.

3.6,

а,

утолщенными линиями выделено

одно

из

возможных покрывающих

деревьев.

Выбор дерева однозначно определяет векторы напряжений

токов

хорд, напряжений

и„

токов

ВД

ветвей дерева

приводит

записи топологи-

ческих уравнений

виде

Ми„

= 0;

(3.13)

ВД

-М

= 0,

(3.14)

где

М —

матрица контуров

сечений;

—

транспонированная

М-матрица.

3.2,

Математические

модели

процедурах анализа

на

макроуровне

Таблица

3.1

Хорды

Ветви дерева

С1

-1

С2

-1

сз

-1

М-матрице

число строк соответству-

ет

числу хорд, число столбцов равно числу

ветвей дерева.

М-матрица

формируется

следующим образом. Поочередно

дере-

ву

подключаются хорды.

Если

при

подклю-

чении

дереву

р-й

хорды

q-я

ветвь входит

образовавшийся контур,

то

элемент мат-

рицы

при

совпадении направле-

ний

ветви

подключенной хорды,

-1

при

несовпадении направлений.

против-

ном

случае

= 0.

Для

схемы

на

рис.

3.6

М-матрица

представлена

виде

табл.

3.1

Особенности

эквивалентных

схем

механических

объектов

Для

каждой степени свободы строят свою эквивалентную схему. Каждому

телу

учитываемой массой соответствует узел схемы (вершина графа). Один

узел, называемый базовым, отводится телу, отождествляемому

инерциальной

системой отсчета.

Каждый

элемент массы изображают ветвью, соединяющей узел, соответ-

ствующий массе тела

базовым узлом; каждый элемент упругости

—

ветвью,

соединяющей узлы тел, связанных упругой связью; каждый элемент трения

—

ветвью, соединяющей узлы трущихся тел. Внешние воздействия моделируют-

ся

источниками

сил и

скоростей.

качестве примера

на

рис. 3.7,

изображена некоторая механическая сис-

тема

—

тележка, движущаяся

по

дороге

состоящая

из

платформы

А,

колес

51,52

рессор

С1,С2.

На

рис.

3.7,

приведена эквивалентная схема

для

верти-

кальных

составляющих

сил и

скоростей,

на

которой телам системы соот-

ветствуют одноименные узлы, учитываются массы платформы

колес, упру-

гость

рессор, трение между колесами

дорогой; неровности дороги вызьшают

воздействие

на

систему, изображенное

на

рис. 3.7,

б,

источниками силы.

Базовый

узел

а б

Рис. 3.7.

Простая

механическая

система:

эскизное

изображение;

б-

эквивалентная

схема

Математическое обеспечение анализа проектных

решений

Характеристика

методов

формирования

ММС

Исходную

систему

компонентных

топологических уравнений

(3.

(3.2)

можно

рассматривать

как

окончательную ММС, которая

подлежит числен-

ному

решению. Численное решение этой системы уравнений предполагает

ал-

гебраизацию

дифференциальных уравнений, например,

помощью преобразо-

вания

Лапласа

или

формул численного интегрирования.

программах анализа

нелинейных объектов

на

макроуровне,

как

правило, применяются формулы чис-

ленного интегрирования, примером которых может служить неявная формула

Эйлера

где

значение переменной

V на

г-м

шаге интегрирования;

А„

— шаг

интегрирования.

Алгебраизация

подразумевает предварительную дискретиза-

цию

независимой переменной

(вместо непрерывной переменной

получаем

конечное

множество значений

она

заключается

представлении

ММС в

виде

системы

уравнений

(VJ

= 0;

(3.15)

(¥„-¥„_,)//*„

неизвестными

где

использовано обозначение

Z =

dV/dt.

Эту

систему

алгебраических уравнений,

общем случае нелинейных, необходимо решать

на

каждом

шаге численного интегрирования исходных дифференциальных урав-

нений.

Однако

порядок этой системы довольно высок

примерно равен

2а + у, где

а —

число ветвей эквивалентной схемы (каждая ветвь дает

две

неизвестные

величины

—

фазовые переменные типа потока

типа потенциала,

за

исключени-

ем

ветвей внешних источников,

каждой

из

которых

не

известна лишь одна

фа-

зовая

переменная),

—число

элементов

векторе производных. Чтобы снизить

порядок

системы уравнений

и тем

самым повысить вычислительную

эффек-

тивность ММС, желательно выполнить предварительное преобразование моде-

ли

(в

символическом виде) перед

ее

многошаговым численным решением.

Предварительное преобразование сводится

исключению

из

системы части

неизвестных

соответствующего числа уравнений. Оставшиеся неизвестные

называют

базисными.

зависимости

от

набора базисных неизвестных разли-

чают несколько методов формирования ММС.

Согласно

методу

переменных

состояния

(более

полное название метода

—

метод переменных, характеризующих состояние), вектор базисных перемен-

ных

состоит

из

переменных

состояния.

Этот вектор включает неизбыточ-

ное

множество переменных, характеризующих накопленную

системе энер-

Математические

модели

процедурах анализа

на

макроуровне

гию.

Например, такими переменными могут быть скорости

тел

(кинетическая

энергия

определяется скоростью,

так как

равна

Мм

/2),

емкостные напряже-

ния,

индуктивные токи

и т. п.

Очевидно,

что

число уравнений

не

превышает

у.

Кроме

того,

итоговая форма

ММС

оказывается приближенной

явной форме

представления системы дифференциальных уравнений,

т. е. к

форме,

которой

вектор

dWIdt

явно выражен через вектор

W, что

упрощает дальнейшее приме-

нение

явных методов численного интегрирования. Метод реализуется путем

особого

выбора системы хорд

ветвей дерева

при

формировании топологи-

ческих

уравнений. Поскольку явные методы численного интегрирования

дифференциальных

уравнений

не

нашли широкого применения

программах

анализа,

то

метод переменных состояния также теряет актуальность

и его

при-

менение

оказывается довольно редким.

классическом варианте

узлового

метода

качестве базисных перемен-

ных

используются

узловые

потенциалы

(т. е.

скорости

тел

относительно

инер-

циальной

системы отсчета, абсолютные температуры, перепады давления

между

моделируемой

внешней средой, электрические потенциалы относи-

тельно

базового

узла).

Число узловых потенциалов

соответственно уравнений

ММС

оказывается равным

-1,

где р —

число узлов

эквивалентной

схеме.

Обычно

заметно меньше

а, и,

следовательно, порядок системы уравнений

ММС

снижен более

чем в 2

раза

по

сравнению

порядком исходной системы.

Однако

классический вариант узлового метода имеет ограничения

на

при-

менение,

потому

современных программах анализа наибольшее распрост-

ранение

получил

модифицированный

узловой

метод.

Узловой

метод

Матрицу контуров

сечений

М в

узловом методе формируют следующим

образом.

Выбирают базовый узел эквивалентной схемы

каждый

из

остальных

узлов

соединяют

базовым фиктивной ветвью. Именно фиктивные ветви при-

нимают

качестве ветвей дерева,

а все

реальные ветви оказываются

числе

хорд.

Поскольку токи фиктивных ветвей равны нулю,

вектор напряжений фик-

тивных

ветвей есть вектор узловых потенциалов

ф,

то

уравнения

(3.13)

(3.14)

принимают

вид

M<p

= 0;

(3.16)

(3.17)

где

и I —

векторы напряжений

токов реальных ветвей.

Компонентные

уравнения

алгебраизуются

помощью одной

из

формул чис-

ленного

интегрирования, линеаризуются

помощью разложения

в ряд

Тейлора

сохранением только линейных членов,

и их

представляют

виде

Основы

автоматизированного

проектирования

Математическое

обеспечение

анализа

проектных

решений

1„

С„и

+А„,

(3.18)

где

С„

—

диагональная матрица

проводимостей

ветвей, рассчитанная

точ-

ке

(„;

А„ —

вектор, зависящий

от

значений фазовых переменных

на

предшест-

вующих шагах интегрирования

потому

уже

известный

моменту времени

Каждая

ветвь

(за

исключением идеальных источников напряжения) имеет про-

водимость, которая занимает одну

из

диагональных клеток матрицы проводи-

мостей.

Подставляя

(3.18)

затем

(3.16)

(3.17),

окончательно получаем

ММС:

1„=

А„)

= -

ФЯ

А„

или

Я„Ф„=В

(3.19)

где

Я„

С„М

матрица

Якоби;

В„

—

вектор правых частей. Отме-

тим,

что

матрица

имеет

размер

а х (р - 1),

матрица

С„

— а х а, а

матрица

Лкоби-(р-1)х(р-1).

Система

(3.19)

является системой линейных алгебраических уравнений

(СЛАУ), полученной

результате дискретизации независимой переменной,

ал-

гебраизации

дифференциальных уравнений

линеаризации алгебраических урав-

нений.

Алгебраизация

приводит

необходимости пошагового вычислительно-

го

процесса интегрирования, линеаризация

— к

выполнению итерационного

вычислительного процесса

на

каждом шаге интегрирования.

Рассмотрим, каким образом определяются проводимости ветвей.

Для

резистивных

ветвей проводимость

—

величина, обратная сопротивле-

нию

При

использовании неявного метода Эйлера проводимость емкостной

вет-

ви

можно получить

из ее

компонентного уравнения следующим образом.

На

и-м

шаге интегрирования

Cdu/dt

С(и„

-и..

,)/*„,

проводимость

g =

д1„1ди„

и при С =

const имеем

g=C/h

При

этом

вектор правых частей входит элемент

а„ =

Проводимость индуктивной

вбтви

можно найти аналогично:

и„

!(/„-/„

_,)/Л„

и при L =

const

3.2. Математические

модели

процедурах анализа

на

макроуровне

Аналогично определяют проводимости

и при

использовании

других

раз-

ностных

формул

численного интегрирования, общий

вид

которых

dU/dt

ц„и„-

л„,

где

ц„

зависит

от

шага интегрирования;

г\„—

от

значений вектора

U на

предыду-

щих

шагах.

Классический вариант узлового метода

имеет

ограничения

на

применение.

Так,

не

допустимы идеальные

(с

бесконечной проводимостью) источники

на-

пряжения,

зависимые источники, аргументами которых являются токи,

так-

же

индуктивности, поскольку

классическом варианте токи

не

входят

число

базисных переменных. Устранить

эти

ограничения довольно просто

—

нужно

расширить совокупность базисных координат, включив

в нее

токи-аргументы

зависимых источников,

также токи индуктивных ветвей

источников напря-

жения.

Полученный вариант метода называют

модифицированным

узловым

методом.

Согласно

модифицированному узловому методу,

дерево

при

построе-

нии

матрицы

включают ветви источников напряжения

затем фиктивные

ветви.

результате матрица

принимает

вид

(табл.

3.2),

где

введены обо-

значения:

HCT

(I)

—

источники напряжения, зависящие

от

тока;

Е(/)

—

независимые источники напряжения;

ИСТ

(1)

—

источники тока, зависящие

от

тока;

L —

индуктивные ветви;

подматрица контуров хорд группы

i и

сечений фиктивных ветвей

группы^.

Те

же

обозначения

HCT

I, Е,

ИСТ

будем использовать

и для

соответствующих

векторов

напряжений

токов. Назовем ветви, токи которых являются аргу-

ментами

выражениях

для

зависимых источников,

т. е.

входят

вектор

особыми

ветвями. Остальные ветви

(за

исключением индуктивных)

—

неособые.

Введем также обозначения:

вектор индуктивных токов;

Ц,.

векторы токов

напряжений неособых ветвей;

диагональные

матрицы

проводимостей

ветвей неособых, индуктивных, особых.

Уравнение

закона токов Кирхгофа

(3.17)

для

фиктивных ветвей имеет

вид

Таблица

3.2

Тип

ветви

Неособые ветви

1ист(1)

Фиктивные

ветви

м„

и„

ст

(1)

Е(/)

М„

Математическое

обеспечение

анализа

проектных

решений

Исключим

вектор

помощью компонентного уравнения

(3.18),

вектор

ИСТ

помощью очевидного выражения

где

К =

(91

ИСТ

/51)

матрица передаточных коэффициентов источников тока.

Используем также выражение

(3.16),

принимающее

вид

U,=

М„

ИСТ

= -

1]Ф

(Ш

ИСТ

/Э1)1

М,

Е.

Получаем систему

из

трех матричных уравнений

неизвестными векторами

ф,

I и

(М

)

С/М

RI)

(М

)

(М

)

KI =

(М

)

(С,М

Е-А,);

(3.20)

= -

СДМ

Е)

А,;

(3.21)

I = -

С,(М

Е)

А„

(3.22)

где

обозначено

R =

(5U

HCT

/9I).

Эта

система

является итоговой

ММ в

узло-

вом

модифицированном методе.

Замечания.

Вектор индуктивных токов нельзя исключить

из

итоговой системы урав-

нений,

так как его

значения

входят

вектор

на

последующих

шагах

численного

интег-

рирования.

Источники тока, зависящие

от

напряжений, относятся

неособым

ветвям,

их

проводимости

Э1

ист

/5и

входят

матрицу

которая

при

этом

может

иметь

недиаго-

нальный вид.

Источники напряжения, зависящие

от

напряжений,

приведенных

выше

выражениях

не

учитываются,

при их

наличии нужно

матрице

выделить

столбец

для

этих

ветвей,

что

приведет

появлению дополнительных

слагаемых

правых частях урав-

нений

(3.20)-(3.22).

3.3.

Методы

алгоритмы

анализа

на

макроуровне

Выбор

методов

анализа

во

временной

области

Анализ

процессов

проектируемых объектах можно проводить

во

времен-

ной

частотной областях. Анализ

во

временной

области (динамический ана-

лиз) позволяет получить картину переходных процессов, оценить динамичес-

кие

свойства объекта,

он

является важной процедурой

при

исследовании

как

линейных,

так и

нелинейных систем. Анализ

частотной области более спе-

цифичен,

его

применяют,

как

правило,

объектам

линеаризуемыми матема-

тическими моделями

при

исследовании колебательных стационарных процес-

сов, анализе устойчивости, расчете искажений информации, представляемой

спектральными составляющими сигналов,

и т. п.

100

3.3.

Методы

алгоритмы анализа

на

макроуровне

Методы анализа

во

временной области, используемые

универсальных про-

граммах

анализа

САПР,

— это

численные методы интегрирования систем

обыкновенных

дифференциальных уравнений

(СОДУ):

Другими словами,

это

методы

алгебраизации

дифференциальных уравне-

ний.

Формулы интегрирования СОДУ могут входить

математическую

мо-

дель

независимо

от

компонентных уравнений,

как это

имеет

место

(3.

5),

или

быть

интегрированными

математические модели компонентов,

как это вы-

полнено

узловом методе.

От

выбора метода решения СОДУ существенно зависят такие характерис-

тики

анализа,

как

точность

вычислительная эффективность.

Эти

характе-

ристики

определяются прежде всего типом

порядком выбранного метода

ин-

тегрирования

СОДУ.

Применяют

два

типа методов интегрирования

—

явные (иначе

экстраполя-

ционные,

или

методы,

основанные

на

формулах интегрирования

вперед)

неяв-

ные

(интерполяционные, основанные

на

формулах интегрирования назад). Раз-

личия

между ними удобно показать

на

примере простейших методов первого

порядка

—

методов Эйлера.

Формула

явного

метода

Эйлера представляет собой

следующую

формулу

замены

производных

точке

Здесь

индекс равен номеру шага интегрирования;

—

размер шага

интегрирования

(обычно

называют просто шагом интегрирования).

формуле

неявного

метода

Эйлера использовано дифференцирование

</V/A|=(V-V

,)/A,

1ц

п-1

п'

гае

Л„

*„-*„_,.

Выполним сравнительный анализ явных

неявных методов

на

примере

мо-

дельной

задачи:

dVldt

= AV

(3.23)

при

ненулевых начальных условиях

О и при

использовании методов Эйле-

ра

постоянным шагом

Здесь

А —

постоянная матрица;

V —

вектор фазовых

переменных.

При

алгебраизации явным методом имеем

или

101

Математическое обеспечение анализа проектных

решений

где

Е —

единичная матрица. Вектор

n+1

можно выразить через вектор началь-

ных

условий

= (E +

/zA)"V

(3.24)

Обозначим

В = Е +

НА

(3.25)

применим преобразование подобия

для

матрицы

В:

T-'diag^JT.

Здесь

Т -

преобразующая матрица;

diag{A,

} -

диагональная матрица

соб-

ственными значениями

А,

матрицы

В на

диагонали. Нетрудно видеть,

что

Из

линейной алгебры известно,

что

собственные значения матриц, связанных

арифметическими операциями, оказываются связанными такими

же

преобра-

зованиями. Поэтому

из

(3.25)

следует:

Точное

решение модельной задачи

.23)

—

0 при

—

°о,

следовательно,

условием устойчивости процесса численного решения можно считать

У„

->Оприи->оо,

откуда

последовательно получаем

(Е +

/zA)"

->•

О,

так

как

0, то (Е +

ЛА)"

поскольку

0, то

Я.£

-»

0 и

условие устой-

чивости

-К |1 +

ЛХ

Ау

< 1.

(3.26)

Известно,

что для

физически устойчивых систем собственные значения

матрицы

коэффициентов

ММС

оказываются отрицательными. Если

тому

же все

А.

действительные величины (характер процессов

в ММС с

моделью

(3.23)

апериодический),

то

естественно определить постоянные времени физи-

ческой

системы

как

^-^А,,

условие

(3.26)

конкретизируется следующим образом

-1<|1-А/т|<1шшО<А<2т

тш

(3.27)

где т —

минимальная постоянная времени. Если использовать явные методы

более высокого порядка,

то

может увеличиться

коэффициент

перед

шт

.27),

но

это

принципиально

не

меняет оценки явных методов.

102