Носов Г.В., Макенова Н.А., Канев Ф.Ю. Компьютерное исследование длинных линий и электромагнитного поля

Подождите немного. Документ загружается.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ

ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Г.В. Носов, Н.А. Макенова, Ф.Ю. Канев

КОМПЬЮТЕРНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ

ДЛИННЫХ ЛИНИЙ

И ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

Рекомендовано в качестве учебного пособия

Редакционно-издательским советом

Томского политехнического университета

Издательство

Томского политехнического университета

2011

УДК 537.8:681.3(076)

ББК 22.313я73

Н84

Носов Г.В.

Н84 Компьютерное исследование длинных линий и электро-

магнитного поля: учебное пособие / Г.В. Носов, Н.А. Макено-

ва, Ф.Ю. Канев; Томский политехнический университет. –

Томск: Изд-во Томского политехнического университета,

2011. – 104 с.

В пособии приводятся теоретические сведения и методические

указания по выполнению 7 лабораторных работ по исследованию длин-

ных линий и электромагнитного поля на ЭВМ, а также дается домашнее

задание по расчету электромагнитного поля трехпроводной линии, при-

водится пример расчета в среде Mathcad.

Предназначено для студентов электротехнических направлений и

специальностей всех форм обучения.

УДК 537.8:681.3(076)

ББК 22.313я73

Рецензенты

Доктор физико-математических наук

профессор Института оптики атмосферы СО РАН

В.П. Лукин

Доктор технических наук, профессор ТУСУРа

К.Т. Протасов

политехнического университета, 2011

ВВЕДЕНИЕ

Настоящее учебное пособие предназначено для студентов электро-

технических направлений очной и заочной форм обучения. В нем по-

мещен теоретический материал по третьей части курса теоретических

основ электротехники, а также приведены указания к выполнению ком-

пьютерных (виртуальных) лабораторных работ и примеры решения за-

дач с использованием редактора Mathсad.

В первом

разделе рассмотрена тема «Цепи с распределенными па-

раметрами» с основными уравнениями, характеризующими распределе-

ние токов и напряжений в линии, а также приведена численная модель,

позволяющая получить такое распределение в численном эксперименте.

Во втором разделе рассмотрено электромагнитное поле и возмож-

ность его компьютерного моделирования. Здесь приводится теоретиче-

ский материал и лабораторные работы

по темам «Взаимная индуктив-

ность», «Электростатическое поле», «Магнитное поле», «Стержневой

заземлитель».

Виртуальный (компьютерный) лабораторный практикум, описание

которого помещено в приложении, предназначен для помощи в изуче-

нии материала. Он включает 7 лабораторных работ, соответствующих

всем основным темам пособия. Работы, построенные на основе числен-

ных моделей, являются простыми в выполнении, они снабжены подроб-

ным описанием и инструкциями, позволяющими работать с программа-

ми в различных условиях.

Закрепление теоретического материала осуществляется выполне-

нием практического задания по расчету электромагнитного поля трех-

проводной линии, здесь же приведен пример его решения в среде Math-

cad.

Завершает пособие краткий словарь терминов и таблица принятых

обозначений.

Глава 1

ЦЕПИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

§1.1. Цепи с распределенными параметрами в установившемся

режиме

Цепями с распределенными параметрами называются такие цепи,

напряжения и токи которых изменяются вдоль их длины, что обуслов-

лено наличием продольных сопротивлений и поперечных проводимо-

стей. Примерами таких цепей являются воздушные и кабельные линии

электропередачи и связи, причем при





314



 изменение напряже-

ния и тока вдоль линий проявляется при их длине l>300 км. Линии, у

которых напряжения и токи заметно изменяются вдоль их длины, назы-

ваются длинными линиями. Распределенными параметрами линий явля-

ются следующие первичные параметры:







Ом

км

R – сопротивление проводов на единицу длины;







Гн

км

– индуктивность линии на единицу длины;





Ом км

G – проводимость изоляции линии на единицу длины;







км

С – емкость линии на единицу длины;

причем для однородных линий эти параметры постоянны.

Таким образом, напряжение u(x,t) и ток i(x,t) в длинных линиях яв-

ляются функциями координаты х и времени t (рис. 1.1).

Рис. 1.1.Токи и напряжения в длинной линии

Основные уравнения однородной линии

(,) (,)

(,) ,

(,) (,)

(,) .

























uxt ixt

Rixt L

ixt uxt

Guxt C

(1.11)

Знак «плюс» в этих уравнениях ставится при отсчете х от конца линии

(рис. 1.1) и знак «минус» – при отсчете х от начала линии.

Если напряжения и ток в линии изменяются во времени по гармониче-

скому закону





2sinω  (,) () () ,

uxt Ux t x





(,) 2 ()sin ()



  

ixt Ix t x

то тогда решение уравнений (1.11) для комплексов действующих значе-

ний будет следующим (х отсчитывается от конца линии)

ch sh

sh ch







  





  





()

() () ,







Ux Ux e U x Z I x

Ix Ix e x I x

1.12)

где

eUU







eII







– комплексы действующих значе-

ний напряжения и тока в конце линии (х=0),

1j ;

 ,

Ом – волновое сопротивление линии;

км



,ZY j – постоянная распространения линии;

Нп

км



, – коэффициент затухания (Непер на км);

рад

км



, – коэффициент фазы;

Ом

км



ZRjL – продольное сопротивление линии на единицу

длины;

Ом км







,YGjC – поперечная проводимость линии на единицу

длины.

Изменяя х от 0 до l, можно по формулам (1.12) рассчитать распре-

деление напряжения и тока вдоль линии и затем определить активную

мощность





cos() () () () () ( ),

Px Ux Ix x x

которая на основании закона сохранения энергии монотонно нарастает

от конца линии к ее началу.

Линией без искажений называется такая линия (связи), у которой

формы импульсов напряжения (тока) в начале и конце линии подобны.

Для этого необходимо, чтобы выполнялось условие



(1.13)

тогда





G ;



;.

LC Z

Линией без потерь называется такая линия, у которой

000 0



 

;

LG C так что можно принять ,; 00



GR тогда



 ;;

jjLCZZ

и уравнения (1.2) примут вид

cos sin

sin cos



















()

 





Ux U x jZI x

Ix j x I x

(1.14)

Для линии без потерь выполняется условие (1.13), поэтому линия без

потерь является линией без искажений.

Различают следующие установившиеся режимы линий:



режим холостого хода, когда 0

I



и сопротивление нагрузки

линии





, причем падающие и отраженные волны

напряжения в конце линии одинаковы;

 режим короткого замыкания, когда 0

U



и 0

Z , при этом

падающие и отраженные волны тока в конце линии одинаковы;

 режим согласованной нагрузки, когда

вн



, в этом режиме от-

сутствуют отраженные волны;

 режим произвольной нагрузки, когда

вн



.,  0

В линиях без потерь в режимах холостого хода, короткого замыка-

ния и реактивной нагрузки наблюдаются

стоячие волны как результат

наложения падающих и отраженных волн одинаковой амплитуды.

Стоячие волны имеют узлы и пучности. Расстояние между соседними

пучностями тока (напряжения) составляет половину длины волны, а

пучности тока сдвинуты относительно пучностей напряжения на чет-

верть длины волны (иными словами, совпадают с узлами напряжения и

наоборот). При наличии стоячих волн отсутствует

передача энергии от

источника к нагрузке.

Для линий с потерями и без потерь длина волны



и фазовая ско-

рость

 определяются через коэффициент фазы









;.

(1.15)

Так для воздушной линии без потерь при





314



 имеем



=6000 км





км

310



 – скорость света.

§1.2. Цепи с распределенными параметрами в переходном режиме

Переходные процессы в длинных линиях возникают при включе-

нии или отключении источника и нагрузки, а также при грозовых разря-

дах и прохождении импульсов напряжения и тока в линиях связи. При

этом падающие и отраженные волны распространяются вдоль линии с

фазовой

скоростью , причем в линиях без потерь падающие волны из-

меняются во времени по одному и тому же закону, но с опозданием во

времени относительно начала линии, а отраженные волны – с опоздани-

ем во времени относительно конца линии.

При расчете переходных процессов в длинных линиях, вызванных

прохождением импульсов напряжения и

тока, можно использовать час-

тотный (спектральный) метод. При этом спектральную функцию можно

определить при помощи прямого преобразования Фурье











() () ,

Fj ft e dt

(1.21)

а функцию времени при помощи обратного преобразования Фурье













() ( ) .

tFjed

(1.22)

Для применения частотного метода необходимо иметь нулевые на-

чальные условия и абсолютно интегрируемую функцию f(t), когда





()

ft M e и t>0. В этом случае спектральную функцию F(



j )

искомого напряжения или тока можно найти символическим методом, а

затем по (1.22) определить соответствующую функцию времени. 

В данной лабораторной работе в переходном режиме рассматрива-

ется прохождение вдоль линии синусоидального импульса от источника

напряжения (к=1, 2, 3,…, 10;



– длительность импульса):

sin 0 ,

() ()

0 при ,





















Utпри t

et u t

(1.23)

который подключается к двухпроводной линии в момент t=0, в конце

которой подсоединена нагрузка (рис. 1.2).

Рис. 1.2. Распространение импульса в линии

Для данного импульса (1.23) по соотношению (1.21) находим спек-

тральную функцию

():









(1 cos )

() .





















Uj U

(1.24)

В переходном режиме х отсчитывается от начала линии, тогда из

уравнений (6.1) для комплексных значений напряжения и тока получа-

ются следующие уравнения

() ch sh

() sh ch













 





 





Ux U x IZ x

xxIx

(1.25)

причем ток в начале линии будет следующим

ch sh

sh ch











вн

вв н

lZ l

ZlZ l

(1.26)

где сопротивление нагрузки линии при x=l равно (см. рис. 1.2)











URjL

CjRC

(1.27)

В результате на основании обратного преобразования Фурье (1.22)

можно определить напряжение и ток в линии в функции координаты х и

времени t:



(,) Re () cos









































Uxt Ux td

ixt Ix td

(1.28)

Если зафиксировать координату х от 0 до l, то по формулам

(1.23)–(1.28) можно определить изменение во времени тока и напряже-

ния в данной точке линии. При этом учитывается возможное много-

кратное распространение волн вдоль линии и их отражение от нагрузки

и начала линии. Коэффициент отражения для напряжения и тока

в опе-

раторной форме равен

() ()

() () .

() ()



 



нв

pZp

К p К p

pZp

(1.29)

Коэффициент отражения – это отношение отраженной волны то-

ка (напряжения) к падающей волне тока (напряжения) в конце линии.

Глава 2

ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ

§2.1. Общие сведения об электростатическом поле

Электростатическое поле – это частный вид электромагнитного

поля, создаваемый неподвижными в пространстве и неизменяемыми во

времени электрическими зарядами. Под зарядом тела q понимают ска-

лярную величину, равную алгебраической сумме элементарных элек-

трических зарядов электронов и протонов в этом теле. Размерность за-

ряда – кулон (Кл).

Под точечными зарядами подразумеваются заряды тел с геометриче-

скими размерами много меньше расстояния между этими телами.

Электростатическое поле проявляется механической силой F меж-

ду точечными зарядами

q и

q , расположенными на расстоянии r друг

от друга (закон Кулона):





где









абсолютная диэлектрическая проницаемость сре-

ды (размерность фарада на метр),





8,86 10







 диэлектриче-

ская проницаемость вакуума,



– относительная диэлектрическая про-

ницаемость среды (для вакуума и воздуха





Электростатическое поле характеризуется в каждой точке про-

странства вектором напряженности



и потенциалом



Напряженность

– это силовая характеристика поля, пропорцио-

нальная силе



действующей на пробный заряд q :



0

 lim .

Размерность

– вольт на метр





Если поле создается несколькими зарядами

( , ,... )

qq q в пространстве





const , то его напряженность равна геометрической сумме напря-

женностей от каждого из зарядов в отдельности

...





  

EE E,

т. е. при расчете такого поля применим метод наложения. Составляю-

щие вектора напряженности направлены от создающего их положи-

тельного заряда или к создающему их отрицательному заряду (рис. 2.1).

Рис. 2.1. Суммарная напряженность от действия двух зарядов

Потенциал



является скалярной величиной и определяется с точ-

ностью до постоянной. При этом обычно потенциал бесконечно удален-

ной точки или поверхности земли принимается равным нулю. Потенци-