Обработка материалов давлением: сборник научных трудов. Вып. №20

Подождите немного. Документ загружается.

UMFORMTECHNIK

ОБРОБКА МАТЕРІАЛІВ ТИСКОМОБРОБКА МАТЕРІАЛІВ ТИСКОМ

MATERIALS WORKING BY PRESSUREMATERIALS WORKING BY PRESSURE

№1 (20)№1 (20)

БРАБОТКА

АТЕРИАЛОВ

АВЛЕНИЕМ

2009

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

ДОНБАССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНАЯ

АКАДЕМИЯ

ОБРАБОТКА

МАТЕРИАЛОВ

ДАВЛЕНИЕМ

СБОРНИК НАУЧНЫХ ТРУДОВ

№ 1 (20) – 2009

Краматорск

УДК 621.7

ОБРАБОТКА

МАТЕРИАЛОВ

ДАВЛЕНИЕМ

ОБРОБКА

МАТЕРІАЛІВ

ТИСКОМ

MATERIALS

WORKING BY

PRESSURE

Сборник научных трудов

№1 (20) – 2009

Збірник наукових праць

№1 (20) – 2009

Collection of science papers

№1 (20) – 2009

Основатель

Донбасская государственная

машиностроительная академия

Засновник

Донбаська державна

машинобудівна академія

Founder

Donbass State

Engineering Academy

Свидетельство

про государственную регистрацию

серия КВ № 13770-2744P

от 17.03.2008

Свідоцтво

про державну реєстрацію

серія КВ № 13770-2744P

від 17.03.2008

Registration certificate

№ 13770-2744P

dated 17.03.2008

В сборнике размещены статьи различных направлений процессов и машин обработки

материалов давлением, подготовленные профессорско-преподавательским составом,

научными сотрудниками, аспирантами, соискателями, специалистами. Сборник

предназначен для научных и инженерных работников, аспирантов и студентов.

У збірнику розміщено статті різних напрямків процесів і машин обробки матеріалів

тиском, підготовлені професорсько-викладацьким складом, науковими співробітниками,

аспірантами, здобувачами, фахівцями. Збірник призначений для наукових й інженерних

працівників, аспірантів і студентів.

Different articles of various directions of processes and machines of materials forming,

prepared by the faculty, scientific employees, post-graduate students, competitors, experts are

placed in this collection. The collection is intended for scientific and engineering workers, post-

graduate students and students.

Редакционная коллегия: Алиев И. С., д-р техн. наук, проф. (председатель редакционной

коллегии); Бейгельзимер Я. Е., д-р техн. наук, проф.; Доброносов Ю. К., канд. техн. наук, доц.,

(ответственный секретарь); Заблоцкий В. К., д-р техн. наук, проф.; Кассов В. Д., д-р техн. наук, проф.;

Лаптев А. М., д

-р техн. наук, проф.; Миленин А. А., д-р техн. наук, проф. (Польша); Мороз Б. С., д-р

техн. наук, проф. (Россия);

Огородников В. А. д-р техн. наук, проф.; Роганов Л. Л., д-р техн . наук,

проф.; Розенберг О. А., д-р техн. наук, проф.; Сатонин А. В., д-р техн. наук, проф.; Соколов Л. Н., д-р

техн. наук, проф.; Сосенушкин Е. Н., д-р техн. наук, проф.(Россия); Тарасов А

. Ф., д-р техн. наук,

проф.; Титов В. А., д-р техн. наук, проф.; Федоринов В. А., канд. техн. наук, проф.; Яковлев С. С., д-р

техн. наук, проф. (Россия).

Ответственный за выпуск проф. Алиев И. С.

Статьи прорецензированы членами редакционной коллегии.

Материалы номера печатаются на языке оригинала.

Рекомендовано к печати ученым советом Донбасской государственной

машиностроительной академии (протокол № 9 от 26.03.2009).

ISBN 978-966-379-325-2 © Донбасская государственная

машиностроительная академия, 2009

академія, 2009

Обработка материалов давлением № 1 (20), 2009

РАЗДЕЛ I

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ

ОБРАБОТКИ ДАВЛЕНИЕМ

УДК 539.375+621.7.01

Алюшин Ю. А.

Жигулев Г. П.

Широких А. М.

Скрипаленко М. М.

МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТРАЕКТОРИЙ ЧАСТИЦ В ПРОЦЕССАХ

ДЕФОРМАЦИИ

При выборе методов исследования процессов деформации следует учитывать как точ-

ность исходных данных (граничные условия, свойства материала и пр.), так и конечную цель.

Если ограничиться только определением зависимости энерго-силовых параметров на основе мо-

дели идеальной жестко – пластической среды, тогда достаточно рассмотреть поля линий сколь-

жения или кинематически возможные поля скоростей [1, 2]. Если же целями решения являются

выявление зон с предельными условиями, например, за счет исчерпания пластических свойств

материала, изменение свойств заготовки за счет накопленной деформации, тогда необходимо

учитывать историю деформирования с построением траекторий частиц и определением локаль-

ных кинематических и энергетических характеристик на рассматриваемом временном интерва-

ле. Для решения таких задач в настоящее время широко используется метод численного реше-

ния дифференциальных уравнений - метод конечных элементов (МКЭ), который отличается

достаточно трудоемкой процедурой ввода исходных данных, в существенной степени опреде-

ляющих конечные результаты [1].

Данная работа ориентирована на анализ процессов деформации по траекториям частиц в

пространстве переменных Лагранжа [3]. Расчет процессов деформации по траекториям точек

имеет принципиальное отличие от МКЭ, так как по существу не требует решения дифференци-

альных уравнений, уравнения движения с переменными Эйлера и Лагранжа предполагаются из-

вестными. Решение сводится к дифференцированию этих уравнений для определения скоростей

перемещения, скоростей деформации и других локальных кинематических характеристик про-

цесса. Причем, так как уравнения движения предполагаются заданными в аналитической форме,

то их дифференцирование не представляет трудностей. К численному интегрированию прихо-

дится прибегать лишь при расчете параметра упрочнения Одквиста, но и эта проблема может

быть снята, если перейти к аналогичной характеристике, связанной с изменением энергетиче-

ского состояния частицы, в пространстве переменных Лагранжа [4]. В общем случае уравнения

движения можно получить либо из экспериментальных исследований (метод визиопластично-

сти), либо аналитически.

Целью работы является описание аналитических методов определения уравнений движе-

ния частиц в области деформации: а) из алгебраических уравнений, соответствующих инте-

гральному условию постоянства объема, б) интегрированием по времени полей скоростей, в ча-

стности кинематически возможных, в) с помощью принципа суперпозиции уравнений движения

[5], принимая за основу известные решения для более простых процессов.

В любом случае уравнения движения должны удовлетворять условию постоянства объема

в окрестности каждой частицы, начальным и граничным условиям для скоростей. В последую-

щем изложении в качестве переменных Лагранжа приняты начальные (при t = 0) координаты

частиц

, ух ==

Для процессов с геометрически простой формой очага деформации уравнения движе-

ния можно получить из алгебраических уравнений, соответствующих постоянству объема.

Обработка материалов давлением № 1 (20), 2009

Например, для плоской осадки с произвольным трением перемещение частиц заготовки на

контактной поверхности можно описать уравнением:

(

)

[

]

1/1

−

hhmx

, (1)

где x

– абсцисса частицы с начальной координатой

, h

и h – начальная и текущая высота от

плоскости симметрии заготовки, коэффициент m характеризует условия трения и может прини-

мать значения 10 ≤≤ m ( 0=m соответствует полному прилипанию или высадке концевой час-

ти стержня, 1=m – равномерной деформации). Значение абсциссы х

для частицы с координа-

тами

x , 0

=y зависит от m. Например, если считать, что линии const=

остаются пря-

мыми, тогда из условия постоянства объема можно записать:

hxxh

)(

или

()

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−−−= )1(2

. (2)

Неизменность объема, ограниченного линиями const

const

, в интегральной

форме )(5,0

xxy +=

αβ

определяет координату х:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−−−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−−−= 1)1(4)1()2(

. (3)

Начальному моменту

hh = соответствует

, при 0

имеем 0=x , на оси 0

абсцисса принимает максимальное значение

, на контакте

выполняется условие

заданного прилипания (1). Для определения ординаты используем условие постоянства объема

)(2

xxy +=

αβ

для части заготовки

≤

x ,

≤

у , откуда:

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−−−+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−−−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−−−= )1()2(1)1(4)1()2(/2

. (4)

Все граничные и начальные условия выполняются. Якобиан преобразования (3) и (4) со-

ответствует условию постоянства объема R=1, так как при любом

≠

x имеем 0=

y ,

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−−−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−−−== 1)1(4)1()2(

Аналогичным образом можно получить уравнения движения для осесимметричного про-

цесса осадки (высадки).

С учетом накопленного за последние годы опыта, можно рекомендовать для описания

траекторий использовать кинематически возможные поля скоростей, применяемые при решении

разнообразных задач, в том числе по оптимизации и выявлению предельных условий деформа-

ции [1]. Для процесса плоской штамповки

с произвольной формой штампа, можно принять поле

скоростей, состоящее из 3 зон. Зона 1 (

ах

≤

) расположена под плоским участком штампа

y = h. В зоне 2 на участке

≤≤ xa сохраняется контакт заготовки с инструментом, контур ко-

торого описывает функция:

)(

xfhy += ; где )(xf =0 при х = а. (5)

В зоне 3 (

bx ≤≤

) верхняя поверхность формируется с учетом особенностей течения

металла в очаге деформации и граничного условия на плоскости

, где принято 0

v . Та-

кой вариант соответствует заполнению полости штампа. Заменив последнее ограничение, мож-

но распространить решение на процессы протяжки и штамповку с облоем [4]. Параметр )(

зависит от текущей высоты

h, неизменными остаются размеры «а» и «b». При отсутствии плос-

кого участка следует принять

а = 0 и фактически остаются две зоны с произвольной формой

штампа и определяемым в процессе решения контуром заготовки на участке, где отсутствует ее

контакт с инструментом.

Предполагаем, что в каждой области горизонтальная компонента скорости

не зависит

от ординаты

у. Тогда для зоны 1 можно принять поле скоростей, соответствующее равномерной

деформации:

Обработка материалов давлением № 1 (20), 2009

hxvv

= ; hyvv

−= ; ax

≤

0 ; hy ≤≤0 . (6)

На границе между зонами 2 и 3 с абсциссой х

значение горизонтальной компонен-

ты из условия равенства нулю потока вектора скорости составит:

23023

/ hvu

= ; )(

fhh

; ))(/(

023

fhvu +

Без нарушения граничных условий на плоскостях х = а, х =

для произвольного сечения

х в зоне 2 можно принять:

))(/(

xfhхvv

. (7)

Из дифференциального условия постоянства объема 0// =∂

∂

yvхv

yх

получаем:

)](/[)]()([ xfhxfxxfhyvv

′

−+−= , (8)

(константа интегрирования

)(х

при граничном условии 0

v при у = 0 равна 0).

Поле скоростей (7) и (8) является кинематически возможным, так как удовлетворяет ус-

ловию постоянства объема и граничным условиям, в том числе для нормальной компоненты на

поверхности контакта с инструментом (

tgxf

′

)():

])()()[(cos])()[(coscos)(sin)(

kykxkykxkykxn

vxfvvtgvvvv −

′

−

После подстановки выражений для компонент скорости на контактной поверхности

))(/()(

xfhхvv

;

[

]

))(/()(1)(

xfhxfxvv

′

−

получаем

cos

, что соответствует нормальной компоненте скорости инструмента в со-

ответствующей точке этой поверхности. Разрыв тангенциальной компоненты составляет:

)](])[()[(cos]])[()[(cossin])[(cos)(

000

xfvvvtgvvvvvvv

kykxkykxkykx

′

−+

−

=−+=

В зоне 3 для горизонтальной компоненты скорости, с учетом граничных условий на

плоскостях

=х (

= ) и

bx =

v ), примем:

)]/()(1))[(/()(

−

= bxfhtvv

. (9)

Из условия постоянства объема для вертикальной компоненты скорости получаем:

))()(/(

fhbyvv

−

. (10)

Для последующего расчета усилий достаточно определить компоненты тензора скорости

деформации сдвига. Однако для учета упрочнения и оценки ресурса пластичности необходимо

иметь информацию об истории деформирования в окрестности каждой частицы. Для этого тре-

буются уравнения движения, которые для каждой зоны можно найти интегрированием скоро-

стей. Равномерной деформации в зоне 1 соответствуют уравнения [4]:

hhx /

;

/ hhy

. (11)

В соответствии уравнений движения (11) и поля скоростей (6) можно убедиться, диффе-

ренцируя уравнения (11) по времени:

hxvdtdhhhdtdxv

/)/)(/(/

=−==

так как dtdhv /

−= ,

или интегрируя уравнения (6), например:

0//

+ hxdhdx ; Cxh

Константу С находим из начального условия

и получаем первое из уравнений (11).

В зоне 2 уравнения движения можно получить, используя описанную методику и поле

скоростей (7), (8). В частности из уравнения (7), с учетом dtdhv /

−

, для зоны 2 получим:

0))(/(/

xfhхdhdx

или, после интегрирования,

)()(

FhxFhx

, (12)

где

∫

= dxxfxF )()(– первообразная функции контура. Общее решение (12) позволяет найти те-

кущую координату х при любом значении высоты h.

Обработка материалов давлением № 1 (20), 2009

Если в исходном состоянии частица находилась в зоне 1 и имела координаты (

,),

тогда она переходит в зону 2 при пересечении плоскости х = а, когда высота равна ahh /

012

′

константа С

принимает такое же значение, как и в зоне 1 (

Если же в исходном состоянии при t = 0 частица уже находилась в зоне 2 (начальный

момент времени можно принимать на любом этапе деформации), тогда:

)(

FhC

Для определения уравнения движения в направлении оси у удобно воспользоваться

значением Якобиана :

∂

−

∂

αββα

yxyx

R .

Отсюда:

))(/())((/

fhxfhy

+=∂∂ или ))(/())((

fhxfhy +

. (13)

С учетом граничного условия у = 0 при 0

константа интегрирования обращается в 0.

Для зоны 3 уравнения движения находим из уравнений (9) и (10):

)(

+−

fhb

, отсюда

ξβξ

′′

−

′′

−

′′

fhfhy ))(())((

. (14)

С учетом уравнения (9) для абсциссы частиц при их движении в зоне 3 можно записать:

ξαξ

′′

−

′′

−

′′

fhfhх ))(())(( . (15)

Значения

′′

′

должны быть определены в момент перехода частицы в зону 3.

При анализе осесимметричной деформации, с учетом замены обозначений осей коорди-

нат

⇒

zy ⇒

и прежнего предположения, что радиальная компонента скорости не зависит

от осевой координаты, для зоны 1 можно принять:

hvv 2/

; hzvv

−

. (16)

На границе зон 1 и 2 (поверхность )a

радиальная компонента принимает значение

havv 2/)(

012

, а на границе зон 2 и 3 (поверхность

)

23023

2/)( hvv

. Если поверхность

инструмента, по аналогии с уравнением (5), описывает функция:

)(

fhz +

; где )(

f =0; при

= а, (17)

тогда для любой точки зоны 2 можно принять

))(/(5,0

fhvv

. (18)

Из условия постоянства объема 0)( =Vdiv

находим осевую компоненту скорости:

[

]

))(/()())(/(25,0

ρρρρ

fhffhzvv

′

−+−= . (19)

Как и при плоской деформации, рассматриваемое поле скоростей удовлетворяет гранич-

ным условиям, в том числе на поверхности штампа, где нормальные компоненты скорости на

обеих сторонах поверхности контакта принимают значения (

tgf

′

)():

ρρ

θθθθθ

ρρ

cos

)(

2)(

)(

cos)(coscossin

vtgvvvv

zzn

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

′

−+

′

=−=−= .

Используя аналогичные предположения, находим кинематически возможное поле скоро-

стей для зоны 3:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

ξρ

bfh

vv 1

))((2

)(

;

−

))((2

. (20)

Уравнения движения в форме Лагранжа для зоны 1 имеют вид:

hh /

αρ

= ;

/ hhz

. (21)

Для зоны 2 из уравнения (18) получаем линейное неоднородное уравнение:

/)(2/2/ fhddh

−

. (22)

С учетом общего решения для однородного уравнения )(

ρρ

Ch = находим:

Обработка материалов давлением № 1 (20), 2009

ρρρρρ

ddCСddh /)/1(/)(2/

+−= ;

/)(/

ρρρ

Ch = .

Исходное уравнение (22) принимает вид:

)(2/

fddC

−

Отсюда:

111

)()(2)( CFCdfC +−=+−=

∫

ρρρρρ

и общее решение для уравнения движения ),,(

, вместо уравнения (12) для плоской

деформации, с учетом начальных условий принимает вид:

)()(

ααρρ

FhFh +=+

, (23)

где

∫∫

)()(2)(

ρρρρρρ

dfdfF

Нетрудно убедиться, что полученное соотношение после дифференцирования совпадает

с исходным уравнением (22).

Осевую координату находим из уравнения:

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

′

−

−=

))((2

)(

ρρ

или

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

′

−

−=

))((2

)(

ρρ

После интегрирования получаем:

)(2

)2(

)(2

)2(

))(())((

ρξ

ξβξ

′′

−

′′

−

′′

fhfhz

При значительном трении на плоском участке штампа

≤

0 можно предусмотреть

образование застойной области с описанием ее границы в виде квадратичной или иной параболы

[1], тогда области 1 и 2 фактически объединяются в одну.

Наиболее эффективным при анализе сложных процессов деформации является принцип

суперпозиции [5], когда, заменяя переменные Лагранжа внешнего (наложенного) движения вы-

ражениями для переменных Эйлера внутреннего (вложенного) движения, сразу получаем в

ин-

тегральной форме уравнения совмещенного движения. Так как смещения в процессах деформа-

ции невелики, замена внешнего движения на внутреннее не оказывает существенного влияния

на конечные результаты. Важно, что для описания движения всех накладываемых процессов

должна быть использована единая система отсчета наблюдателя. В частности, при трехмерной

деформации, если уравнения движения описать

простейшими уравнениями:

в плоскости

xOz hhxx /

= ;

;

/ hhzz = ;

в плоскости yOz

xx = ; hhyy /

;

/ hhzz = ;

тогда уравнения для совмещенной деформации принимают вид:

hhxx /

= ; hhyy /

;

)/( hhzz =

при выборе любого движения в качестве внутреннего или внешнего. Аналогичная ситуация

имеет место при осадке с кручением [4].

Для установившихся процессов внешним должно быть переносное перемещение заго-

товки с заданной скоростью инструмента. Например, принимая в качестве переменных Лагран-

жа начальные координаты частиц

х=

, поперечно – винтовую прокатку можно

рассматривать как наложение поступательного движения с постоянной скоростью

v в направ-

лении оси прокатки [6]:

;

у ; tvz

, (24)

вращения с постоянной угловой скоростью

−Δ= sincosx

;

Δ= cossiny

; t

;

=z . (25)

И непосредственно деформации в пространстве между валками и в примыкающих к нему

объемах («внешние зоны деформации»). Предполагая деформацию однородной по сечению

гильзы и принимая логарифмическую меру Генки:

)/ln(

. (26)

Деформацию можно описать простейшими уравнениями как при линейном растяжении в на-

правлении оси «z» :

Обработка материалов давлением № 1 (20), 2009

)exp(

= ; )5,0exp(

−

; )5,0exp(

−

. (27)

Деформация

является функцией времени. Если расстояние между плоскостями начала

и окончания деформации обозначить через

L, тогда можно записать Ltv

сz

= , где

– де-

формация частиц при выходе из очага деформации,

v – усредненная по длине очага деформа-

ции скорость заготовки. В результате суперпозиции уравнения совмещенного движения в форме

Лагранжа принимают вид:

)sincos)(2/exp(

−

−= Ltvx

;

)cossin)(2/exp(

+Δ−= Ltvy

; tvLtvz

с 00

)/exp( +

. (28)

Дифференцирование этих уравнений позволяет определить компоненты скорости, скоро-

сти деформации в декартовой или цилиндрической системе координат. Значение якобиана сис-

темы (28) подтверждает, что деформация происходит без изменения объема частиц. При отсут-

ствии деформации (

= 0) скорость частиц в направлении оси z остается неизменной. Для про-

дольной прокатки в качестве внутреннего движения можно использовать решения для штампов-

ки (12) –(16).

ВЫВОДЫ

Рассмотрены различные варианты определения траекторий частиц в процессах плоской,

осесимметричной и трехмерной деформации, в том числе на основе решения алгебраических

уравнений, соответствующих интегральному условию постоянства объема, интегрирования ки-

нематически возможных полей скоростей и

принципа суперпозиции уравнений движения с ис-

пользованием известных решений для более простых процессов. Приведены примеры уравне-

ний движения в форме Лагранжа, которые могут быть использованы для исследования процес-

сов плоской и осесимметричной осадки, высадки, протяжки, штамповки и прокатки. Рекомен-

дуемые методы и уравнения движения расширяют возможности исследования процессов де-

формации,

построения математических моделей и решения широкого спектра практических за-

дач от расчета усилий до оценки изменения локальных свойств заготовки, степени упрочнения,

использования пластических свойств и пр.

ЛИТЕРАТУРА

1. Теория ковки и штамповки: учеб. пособие для вузов // Е. П. Унксов, У. Джонсон, В. Л. Колмогоров и

др.; под общ. ред. Е. П. Унксова, А. Г. Овчинникова. – 2- е изд. – М.: Машиностроение, 1992. – 720 с: ил.

2. Бровман М. Я. К расчету напряжений при плоской деформации в процессах обработки металлов

давлением // Кузнечно – штамповочное производство

. – 2008. – № 9. – С. 13–8.

3. Алюшин Ю. А. Развитие методов моделирования в механике на основе описания движения в перемен-

ных Лагранжа. Номер гос. регистр. 01.2.006.140822, инв. номер ВНТИЦ 02200950038 / Ю.А. Алюшин . – 122 с.

4. Алюшин Ю. А. Механика процессов деформации в пространстве переменных Лагранжа: учеб. посо-

бие для вузов / Ю. А. Алюшин.– М.: Машиностроение, 1997. – 136 с.

5. Алюшин Ю. А. Принцип суперпозиции движений в пространстве переменных Лагранжа

/ Ю. А. Алюшин // Проблемы машиностроения и надежности машин. – 2001. – № 3. – С. 13–19.

6. Кинематически возможные поля скоростей при поперечно – винтовой прокатке / Ю. А. Алюшин,

А. В. Гончарук, Г. П. Жигулев, Р. Н. Фартушный // Обработка материалов давлением. – Краматорск. – 2008. –

№1 (18). – С. 4–10.

Алюшин Ю. А. – д-р техн. наук, проф. МГГУ;

Жигулев Г. П. – канд. техн. наук, доц. МГТУ «МИСИС»;

Широких А. М. – аспирант МГТУ «МИСИС»;

Скрипаленко М. М. – канд. техн. наук, ассистент МГТУ «МИСИС».

МГГУ – Московский государственный горный университет, г. Москва;

МГТУ «МИСиС» – Московский государственный технологический университет

«МИСиС», г. Москва.

E-mail: kaf_tpm@msmu.ru

Обработка материалов давлением №1 (20), 2009

УДК 621.01..53 (075.8)

Шестаков Н. А.

Субич В. Н.

Власов А. В.

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОТЕРИ УСТОЙЧИВОСТИ ПЛАСТИЧЕСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ

Неустойчивость пластической деформации часто является причиной брака в листовой

штамповке. Различают три основных вида потери устойчивости: образование складок, мест-

ных утонений и полос скольжения. Полосы скольжения появляются на поверхности вытяги-

ваемых заготовок из материала, кривая упрочнения которых имеет выраженную площадку

текучести. Для исключения полос скольжения сталь подвергают дрессировке, а в некоторых

случаях легированию. Первые два вида потери устойчивости могут возникать в случае, когда

в процессе пластического течения накопленная деформация в опасных областях деформи-

руемой заготовки достигает некоторых критических значений. В этом случае цель техноло-

гических расчетов на устойчивость заключается в оценке предельных технологических па-

раметров, до достижения которых пластическая деформация является устойчивой.

Анализируя результаты известных исследований устойчивости пластин и оболочек [1],

необходимо отметить, что полученные теоретические величины критических нагрузок во

многих случаях существенно отличаются от установленных экспериментально. Это связано,

в частности, с тем, что используемые при решении задач статические и энергетические кри-

терии применимы лишь для консервативных систем. Кроме того, для этих систем они явля-

ются эквивалентными, поскольку совпадают уравнения устойчивости и дифференциальные

уравнения Эйлера, сообщающие минимум функционалу полной энергии.

Системы, в частности пластины, в которых возникают упругопластические деформа-

ции, не являются консервативными, и для исследования их устойчивости необходимо исполь-

зовать динамические критерии, т. е. исследовать движение упругопластической среды вблизи

состояния равновесия при сообщении системе некоторых возмущений. В математическом

плане это вызывает практически непреодолимые трудности. Однако и при использовании ди-

намического критерия не следует ожидать заметного повышения точности решений, посколь-

ку на устойчивость систем существенно влияют несовершенства геометрии, отклонения

в свойствах материала, неточность граничных условий и т. д. Поэтому, по мнению Л. М. Кача-

нова, «…неизбежен анализ устойчивости пластин при наличии начальных возмущений» [2].

Несмотря на то, что в этом случае задача при ее постановке в классическом виде су-

щественно усложняется, рассматривать собственно устойчивость здесь нет необходимости;

можно ограничиться исследованием движения среды на предмет установления допустимой

величины выпучивания, используя эффективные численные методы. При этом реальные

возмущения могут быть заменены возмущениями, вносимыми в равномерную КЭ сетку

и моделирующими как отклонения от основной геометрической формы пластины, так и не-

равномерность ее механических свойств.

Остается открытым вопрос о совокупности влияющих на устойчивость возмущений,

их амплитуде и законе распределения. Однако, если считать наиболее существенными пара-

метрами геометрию и механические свойства, то упомянутые выше характеристики могут

быть получены из ограниченного количества достаточно простых экспериментов.

При формулировке задачи устойчивости пластин с начальными возмущениями следует

учитывать то обстоятельство, что в большей степени соответствуют эксперименту те решения,

которых потеря устойчивости связывается только с пластическими деформациями [2]. Мож-

но предположить, что исходная неоднородность геометрии и механических свойств заготов-

ки только инициирует начало потери устойчивости. Дальнейшее развитие процессов, приво-

дящих к появлению дефектов в виде потери устойчивости, в большинстве случаев

является следствием положительной обратной связи и напрямую не связано с

исходными не-

однородностями.