Патудин В.М., Блем А.Г. Математическая экономика

Подождите немного. Документ загружается.

ГОУ ВПО Алтайский технический университет им. И.И. Ползунова

Кафедра информационных систем в экономике

В.М. Патудин, А.Г. Блем

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИКА

Методические материалы по курсу лекций «Математическая эко-

номика» для студентов специальности «Прикладная информатика в эко-

номике»

Барнаул 2010

С О Д Е Р Ж А Н И Е

1. СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

1.1 Понятие математической модели экономического процесса 3

1.2 Классификация математических моделей 11

1.3 Примеры построения математических моделей экономических задач 13

2. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ 16

2.1 Постановка задачи линейного программирования 16

2.2 Линейное программирование в экономике 18

2.3 Графический метод решения задачи линейного программирования 23

2.4 Основная задача линейного программирования 28

2.5 Симплекс-метод 30

2.6 Пример расчета экономико-математической модели 35

2.7 Двойственная задача линейного программирования 40

2.8 Целочисленное линейное программирование 41

3 ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА 44

3.1 Построение транспортной модели 44

3.2 Сбалансированные и несбалансированные транспортные модели 45

3.3 Определение начального плана транспортировок. 49

3.4 Оптимальный план транспортной задачи. Метод потенциалов 54

3.5 Экономические задачи, сводящиеся к транспортным моделям 59

3.6 Венгерский метод решения задачи о назначениях 62

3.7 Примеры задачи о назначениях к решению экономических проблем 67

4 НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ 69

4.1 Постановка задачи нелинейного программирования 69

4.2 Геометрическая интерпретация задачи нелинейного программирования 69

4.3 Метод множителей Лагранжа 72

4.4 Пример нелинейной экономико-математической модели 74

5 ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ 77

5.1 Постановка задачи динамического программирования. 77

5.2 Составление математической модели динамического программирования 79

5.3 Этапы решения задачи динамического программирования 80

5.4 Задача замены оборудования как задача динамического программирования 81

5.5. Распределение инвестиций как задача динамического программирования 85

6 МОДЕЛИ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ (СМО) 91

6.1 Определение систем массового обслуживания (СМО) 91

6.2 Классификация СМО 92

6.3 Параметры СМО 92

6.4 Модели СМО с отказами. 93

6.5 Модели СМО с неограниченным временем ожидания 94

6.6. Модели замкнутых СМО 95

7 МОДЕЛИ СЕТЕВОГО ПЛАНИРОВАНИЯ И УПРАВЛЕНИЯ (СПУ) 97

ЛИТЕРАТУРА 101

1. СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

1.1. Понятие математической модели экономического процесса

Из курса теории систем и системного анализа известно, что любая эко-

номическая система состоит из управляемой части (объекта управления) и

управляющей части (субъекта управления). Из этого же курса известно, что

управление реальными экономическими системами носит многоуровневый

характер, однако на каждом уровне управления можно выделить управляемую

и управляющие части, а также внешнюю по отношению к рассматриваемой

экономической системе среду. Принципиальная схема процесса управления

некоторым экономическим объектом представлена на рисунке 1.1.

Объект управления (управляемая часть) характеризуется набором пере-

менных

S(t) = <S1(t), S2(t),…, Sn(t)>, которые изменяются во времени под воздейст-

вием управляемых X(t) = <X1(t), X2(t),…, Xk(t)> и неуправляемых V(t)=

<V1(t), V2(t),…, Vh(t)> воздействий. Неуправляемые воздействия представля-

ют собой воздействие на экономическую систему со стороны внешней среды,

а управляемые воздействия – это управляющие воздействия субъекта управле-

ния на объект управления.

Часть характеристик объекта управления при решении тех или иных

проблем можно считать неизменными. Такие характеристики будем называть

постоянными параметрами объекта управления и обозначать как A = <A1,

A2,…, Ak>.

ОБЪЕКТ УПРАВЛЕНИЯ (ОУ)

(управляемая часть системы)

S(t) = <S

(t), S

(t),…, S

(t)> -

переменные,

описывающие состояние ОУ в момент

времени

A = <A

, A

,…, A

> -

постоянные параметры ОУ



X(t) = <X1(t), X2(t),…, Xk(t)> -

управляющее воздействие на ОУ в

момент времени t

СУБЪЕКТ УПРАВЛЕНИЯ

(управляющая часть системы)

W(Y

, Y

,…, Y

) – критерий эффективности

функционирования объекта управления



V(t)



S(t)



V(t) = <V1(t), V2(t),…, Vh(t)>

-неуправляемые воздействия



Y(t) = <Y1(t),Y2(t),…,Ym(t)>

-выходные переменные



Y(t)

Рис.1.1 Общая схема процесса управления экономическим объектом

Среди переменных, описывающих функционирование экономических

объектов обычно выделяется группа переменных, по значениям которых оце-

нивается качество функционирования. В экономических системах это может

быть «прибыль», «рентабельность» «объем продаж» и т.п. Такие переменные

будем называть выходными переменными (показателями эффективности) и

обозначать как Y(t) = <Y1(t), Y2(t),,…, Ym(t)>.

Очевидно, что задача субъекта управления – сформировать такие управ-

ляющие воздействия X, чтобы добиться наилучших значений выходных пе-

ременных Y.

Как правило, возможных вариантов (альтернатив) при выработке управ-

ляющих воздействий X у субъекта управления несколько, в некоторых слу-

чаях количество возможных альтернатив (возможных значений X) вообще

стремится к бесконечности, поэтому у субъекта управления возникает про-

блема принятия оптимального решения. Проблема принятия решений была

рассмотрена в курсе «Теория систем и системный анализ», поэтому здесь мы

только коротко напомним о её сущности.

Процесс принятия решения состоит в определении:

Цели – что нужно достигнуть в результате решения задачи (при формировании цели

субъект управления ориентируется на свои собственные предпочтения, на задания выше-

стоящего уровня управления и т.п.);

Средств – какими ресурсами мы можем воспользоваться для достижения цели;

Критерия (критериев) – требования к достижению цели. Критерий (критерии) по-

зволяют выбрать лучшее решение.

Возможных путей (альтернатив) достижения цели.

Для принятия решения нужно получить выражение, связывающее цель со средства-

ми. Такие выражения в различных прикладных областях получили названия: критерий

функционирования, критерий или показатель эффективности, целевая или критериальная

функция, функция цели и т.п.

Если удается построить такое выражение, каким бы сложным оно не было, то за-

дача почти всегда может быть решена, то есть формализованное представление задачи

позволяет потом использовать формализованные методы анализа проблемной ситуа-

ции.

Следует отметить, что среди критериев могут быть и принципиально неформали-

зуемые (красота, комфорт, безопасность). В этих случаях полностью формализованная

постановка задачи оказывается нереализуемой, и для принятия решений следует использо-

вать интуицию и опыт экспертов

В курсе экономической математике будут рассматриваться случаи, когда

могут быть использованы формализованные методы анализа и решения про-

блем, то есть такие случаи, когда между выходными переменными Y и ос-

тальными характеристиками экономической системы может быть установлена

зависимость, описываемая с помощью математических соотношений.

Изменения переменных S (t), описывающих состояние объекта управ-

ления и изменения выходных переменных Y(t) происходят под воздействием

управляемых X(t) и неуправляемых (возмущающих) V(t) воздействий:

S (t+∆t) = Q (S (t), A, X[t,t+∆t], V[t,t+∆t] ) ,

Y (t+∆t) = F (Y (t),S (t), A, X[t,t+∆t], V[t,t+∆t] ) , где (1)

X[t,t+∆t], V[t,t+∆t] - соответственно управляющие и возмущающие

воздействия на объект управления на отрезке времени [t, t+∆t].

Выражения для Q и F могут иметь самый разнообразный вид, но если

их можно представить в виде определенных математических зависимостей, то

тогда выражения (1) представляют собой математическое описание (мате-

матическую модель) процесса функционирования исследуемой экономиче-

ской системы (процесса).

Задача субъекта управления – сформировать такие управляющие воз-

действия X, чтобы добиться наилучших значений выходных переменных Y.

Очевидно, что «наилучшие» значение выходных переменных следует

трактовать в смысле выбранного критерия эффективности W(t) = W(Y1(t),

Y2(t),,…, Ym(t) )

Самый простой случай, когда критерий эффективностиW состоит из од-

ного элемента, то есть качество функционирования объекта управления опи-

сывается одной переменной: W(t) = Y, а целью управления является максими-

зация (либо минимизация) значений этой выходной переменной. Соотношение

(1) при этом трансформируются в соотношение :

W(t) = Y(t+∆t) = F (Y(t),S (t), A, X[t,t+∆t], V[t,t+∆t] ).

Однако, даже в этом случае, далеко не всегда связь между выходной пе-

ременной «Y» и остальными характеристиками системы очевидна, и зависи-

мость «F» представляет собой достаточно простое математическое выражение.

Простейший случай, когда Y зависит только от вектора управляемых

переменных X и постоянных параметров A. В практике управления эконо-

мическими объектами такого рода задачи могут возникать на заданном вре-

менном интервале, когда изменениями состояния объекта управления можно

пренебречь, а неуправляемые воздействия либо не учитывать, либо заменять

их некоторыми усредненными значениями, которые рассматриваются как до-

полнительные постоянные параметры.

В итоге математическая модель процесса управления экономическим

объектом принимает вид:

Y = f (X, A ) ⇒ max (min) (2)

(X, A ) ≤ (≥, =, <, >) 0 , где

– система ограничений, вытекающая из физической и (или) экономи-

ческой сущности решаемой задачи управления. Сама задача состоит в нахож-

дении таких значений управляемых переменных X, которые при соблюдении

системы ограничений ϕ обеспечат максимальное (либо минимальное, в зави-

симости от условий решаемой задачи) значение показателя эффективности Y.

Рассмотрим простейший пример, иллюстрирующий сказанное выше.

Из листа бумаги заданного размера (a – ширина листа, b –длина листа)

необходимо изготовить коробочку (без крышки) в форме правильного парал-

лелепипеда максимального объема.

При решении любой проблемы формализованными методами, как сле-

дует из представленной на рис. 1.1 принципиальной схемы управления, необ-

ходимо, прежде всего, определиться с составляющими решаемой задачи:

- какие переменные S характеризуют состояние объекта управления ?;

- какими постоянными параметрами A характеризуется объект управ-

ления ?;

- воздействуют ли на объект и какие неуправляемые воздействия V ?;

- на что может воздействовать субъект управления, то есть, каким явля-

ется набор управляемых переменных X, значения которых субъект управле-

ния может выбирать по своему усмотрению?;

- что является целью решаемой задачи, какие выходные переменные Y

являются существенными с точки зрения достижения цели решаемой задачи,

каков критерий эффективности достижения цели?

- какие ограничения, следующие из физической или экономической

сущности задачи, накладываются на значения управляемых переменных?

Только после ответов на эти вопросы можно приступать к построению

математической модели, описывающей функционирование рассматриваемой

системы (процесса, задачи управления).

В нашем случае объект управления (лист бумаги) описывается только

постоянными параметрами- линейными размерами листа, то есть множество

переменных характеристик S является пустым, а множество постоянных ха-

рактеристик A состоит из двух элементов: a и b (a – ширина листа, b –длина

листа), то есть 



S = Ø

ØØ

Ø ; A = <a,b>.

На исследуемый объект не воздействует никаких внешних факторов, по-

этому множество неуправляемых воздействий V является пустым: 



V = Ø.

Ø.Ø.

Ø.

Очевидно, что при построении коробочки есть всего одна управляемая

переменная – это высота коробочки. Действительно, для построения коробоч-

ки следует задаться ее высотой и, сделав соответствующие разрезы по краям

листа (см. рис.1.2), согнуть и склеить коробочку. Таким образом, множество

управляемых переменных X состоит из одного элемента: X = <x>, где x –

высота коробочки.

Поскольку целью решения является построение коробочки максималь-

ного объема, то выходной переменной, существенной с точки зрения достиже-

ния цели, является объем построенной коробочки, то есть множество сущест-

венных выходных переменных Y состоит из одной переменной: Y = Y, где

Y – объем коробочки. Соответственно и критерий эффективности W состоит

из одного элемента: W = Y = F (x,a,b) и заключается в максимизации значения

Определив состав исходных параметров и переменных, можно присту-

пить к построению математической модели задачи. В данном случае это не-

сложно сделать даже ученику шестого класса. Очевидно, что объем коробочки

(Y) связан с управляемой переменной (x) и постоянными параметрами (a и b)

следующим соотношением: Y = (a-2x) (b-2x)x .

Исходя из размеров листа, можно сформулировать и ограничения на

значения управляемой переменной x: значение x должно быть положитель-

ным, но при этом быть меньшим, чем ½ ширины листа (предполагается, что

ширина листа меньше его длины), то есть: 0 < x < a/2 .

В итоге получим математическую модель процесса построения коробоч-

ки в виде:

Y = (a-2x) (b-2x)x ⇒

⇒⇒

⇒ max (3)

x > 0

x < a/2

Построение математической модели – это только первый этап экономи-

ко-математического моделирования. На втором этапе происходит использова-

ние построенной модели для решения тех или иных задач управления, анализа,

исследования экономических систем. Чаще всего с помощью построенной ма-

тематической модели пытаются найти оптимальное управленческое решение –

оптимальные значений управляемых переменных, которые при соблюдении

системы ограничений, накладываемых на функционирование объекта управ-

ления, обеспечат наилучшие значения выходных переменных в соответствии с

выбранным критерием эффективности. В нашем простейшем примере необхо-

димо найти такое значение переменной x (высоты коробочки), которое обес-

печит её максимальный объем.

В зависимости от вида полученной на первом этапе математической

модели может быть два подхода к ее использованию для получения оптималь-

ного (или близкого к нему) управленческого решения. Первый используется

тогда, когда может быть получено «аналитическое решение», то есть с по-

мощью определенных аналитических процедур найдено точное оптимальное

решение. В нашем случае функция Y= F(x)= (a-2x) (b-2x)x является непре-

рывной дифференцируемой функцией управляемой переменной x. Из курса

высшей математики известно, что необходимое условие экстремума функции

одной переменной – это равенство нулю её первой производной, то есть Y’

’’

’

=0.

Выполнив дифференцирование, получим: -2(b-2x)x -2(a-2x)x+(a-2x)(b-2x)=0.

Рис.1.2. Процесс построения коробочки из листа бумаги

После раскрытия скобок и упрощения получим квадратное уранение следую-

щего вида: 12x

– 4(a + b)x +ab =0. Корни данного уравнения, как известно из

курса алгебры за 6 класс средней школы, находятся по известной формуле:

48)(16)(4

2,1

abbaba

−+±+

Используя ограничения на x ( x > 0 ; x < a/2 ) , можно получить един-

ственное решение, которое и будет оптимальным управленческим решением,

определяющим высоту коробочки.

Однако, даже если такую задачу предложить решить ученикам, напри-

мер, 9-ого класса, которые ещё не знают дифференциального исчисления и

правила нахождения экстремума функций одной переменной, решение задачи

может быть получено следующим образом. Вся область допустимых значений

x: (0, a/2) разбивается на m отрезков (например, равной длины): [0,a/2m],

[a/2m, 2a/2m], [2a/2m, 3a/2m],…, [(m-1)a/2m,a/2]. Для каждой из точек a/2m,

2a/2m, 3a/2m ,…, (m-1)a/2m по формуле (3) находим значение Y.

В качестве решения задачи (высоты коробочки) выберем ту точку (из

a/2m, 2a/2m, 3a/2m, ,…, (m-1)a/2m ), в которой достигается максимальное зна-

чение Y. Таким образом, построенную математическую модель экономическо-

го процесса (задачи) можно использовать для нахождения близких к опти-

мальному значению управленческих решений и не зная аналитических мето-

дов решения модели, путем перебора значений управляемых переменных из

области допустимых решений, которая определяется системой ограничений

(X, A ) ≤ (≥, =) 0

В курсе экономической математики будет рассмотрен ряд математиче-

ских моделей экономических процессов (модели линейного программирова-

ния, модели динамического программирования, модели систем массового об-

служивания и др.) и изучены методы аналитического решения этих моделей.

Тем не менее, основное в экономико-математическом моделировании – это

умение строить математические модели, то есть основным является первый

этап – этап построения математической модели исследуемого экономического

процесса (задачи). Забегая несколько вперед, отметим, что представленная

выше форма математической модели (2) называется моделью математического

программирования. Аналитические решения получены только для некоторых

частных случаев функций f и ϕ. Например, если функции f и ϕ линейны отно-

сительно управляемых переменных X, то задача является задачей линейного

программирования, для которой разработаны эффективные методы решения.

Если функция f является непрерывной, дифференцированной, а ограничения ϕ

заданы в форме равенств, то задача может быть решены с помощью множите-

лей Лагранжа и т.д.

В случае необходимости учета динамики объекта управления, то есть

когда управляющие решения нужно принимать на достаточно длительном

временном интервале, разбитом на более короткие временные отрезки, на ка-

ждом из которых в зависимости от текущего состояния объекта управления

принимаются управленческие решения, можно использовать методы динами-

ческого программирования, которые также будут изучены в курсе «Экономи-

ческая математика».

Часто в практике управления экономическими объектами возникают за-

дачи, когда сама связь между различными характеристиками системы не ясна.

Например, очевидно, что снижение цены на некоторый производимой фирмой

товар (цена – управляемая переменная, входящая в состав вектора управления

X) приводит к увеличению спроса на данный товар (спрос – неуправляемое

воздействие среды на объект, входящее в состав вектора неуправляемых воз-

действий V). Однако, вид зависимости между ценой и спросом не описывает-

ся очевидной формулой. Эта зависимость проявляется в вероятностном смыс-

ле. Изучение такого рода зависимостей опирается на наличие статистических

данных за прошедшие периоды функционирования системы и производится с

помощью эконометрических моделей, которые были изучены в курсе «Эконо-

метрика». В этом же курсе изучались модели зависимости выходных перемен-

ных (элементов вектора Y) от времени (анализ временных рядов), которые

используются в том случае, когда на выходные переменные действуют самые

разнообразные неуправляемые воздействия, и установить причинно-

следственные связи между ними не представляется возможным. Кроме эконо-

метрических моделей, которые уже изучены Вами, есть еще ряд типичных мо-

делей, в которых существенную роль играют статистические факторы. Это, в

частности, модели систем массового обслуживания. Модели таких систем бу-

дут изучены в курсе «Экономическая математика». Кроме перечисленных мо-

делей при изучении курса Вы познакомитесь также с примерами графических

и игровых моделей, используемых для анализа и управления экономическими

системами.

Еще раз остановимся на первом и основном этапе – этапе построения

математической модели исследуемого экономического процесса (задачи). В

середине прошлого века, когда математические модели стали практически ис-

пользоваться при принятии управленческих решений, процесс построения ма-

тематической модели получил название «операционное исследование», а ме-

тодология построения математических моделей экономических процессов вы-

делилась в специальную науку, получившую название «исследование опера-

ций».

Впервые математические модели были использованы для решения

практической задачи в 30-х годах в Великобритании при создании системы

противовоздушной обороны. Для разработки данной системы были привлече-

ны ученые различных специальностей. Система создавалась в условиях неоп-

ределенности относительно возможных действий противника, поэтому иссле-

дования проводились на адекватных математических моделях. В это время

впервые был применен термин: «операционное исследование», подразуме-

вавший исследования военной операции. В последующие годы операционные

исследования или исследования операций развиваются как наука, результаты

которой применяются для выбора оптимальных решений при управлении ре-

альными процессами и системами.

Можно выделить следующие основные этапы операционного исследо-

вания:

− наблюдение явления и сбор исходных данных;

− постановка задачи;

− построение математической модели;

− расчет модели;

− тестирование модели и анализ выходных данных. Если получен-

ные результаты не удовлетворяют исследователя, то следует либо вернуться

на этап 3, т.е. предложить для решения задачи другую математическую мо-

дель; либо вернуться на этап 2, т.е. поставить задачу более корректно;

− применение результатов исследований.

Таким образом, операционное исследование является итерационным

процессом, каждый следующий шаг которого приближает исследователя к

решению стоящей перед ним проблемы. В центре операционного исследова-

ния находятся построение и расчет математической модели.

Определение 1.1.1. Математическая модель – это система математиче-

ских соотношений, приближенно, в абстрактной форме описывающих изучае-

мый процесс или систему.

Определение 1.1.2. Экономико-математическая модель – это матема-

тическая модель, предназначенная для исследования экономической пробле-

мы.

Применение математических моделей необходимо в тех случаях, когда

проблема сложна, зависит от большого числа факторов, по-разному влияющих

на ее решение. В этом случае непродуманное и научно не обоснованное реше-

ние может привести к серьезным последствиям. Примеров этому в нашей жиз-

ни имеется немало, в частности в экономике. Использование математических

моделей позволяет осуществить предварительный выбор оптимальных или

близких к ним вариантов решений по определенным критериям. Они научно

обоснованы, и лицо, принимающее решения, может руководствоваться ими

при выборе окончательного решения. Следует понимать, что не существует

решений, оптимальных «вообще». Любое решение, полученное при расчете

математической модели, оптимально по одному или нескольким критериям,

предложенным постановщиком задачи и исследователем. Кстати, практика

показывает, что заниматься операционными исследованиями и построением

математических моделей лучше всего не «чистым» математикам, не всегда

представляющим себе сущность изучаемой проблемы и уделяющим большее

внимание различным математическим тонкостям построения и расчета, и не

предметникам, которые не всегда могут корректно поставить задачу. Хорошие

результаты получают специалисты, знающие предметную область и вместе с

тем владеющие математическими методами исследования. Поэтому данное

учебное пособие может быть рекомендовано не только студентам экономиче-

ских специальностей, но и всем тем, кто интересуется применением математи-

ческих моделей в экономике.