Презентация - Андреев В.К. Механика жидкости и газа

Подождите немного. Документ загружается.

Рис. 9.1

Доказательство. По теореме Гаусса – Остроградского

{

}

,00

=≡==Σ⋅

∫∫

VrotdivкактакdVdivdn

ωω

где

- любая замкнутая поверхность, ограничивающая объем

. Выберем в качестве

поверхность,

ограничивающую конечный участок вихревой трубки: ,

3210

Σ+Σ+Σ=Σ где

,ΣΣ - поверхность торцов,

- боковая поверхность. По определению вихревой трубки поток вектора

через

равен нулю

(

)

,0=⋅ Vrotn следовательно,

∫∫

ΣΣ

=Σ⋅+Σ⋅

.0dndn ωω

Здесь первый член отрицательный, поскольку на

нормаль

направлена противоположно

. В силу

произвольности выбора

Σ и

следует утверждение теоремы. В частности, если торцовая поверхность

достаточно мала, так что вихрь

в ее пределах можно считать постоянным, то вдоль вих

ревой

трубки сохраняется величина

(

)

Σ⋅ω

- интенсивность вихревой трубки.

Из постоянства интенсивности вдоль вихревой трубки следует, что та

кая трубка не может

начинаться и кончаться в жидкости, они либо обра

зуют замкнутые кольца, либо опираются на стенки

(твердые границы) или свободные поверхности.

Рассмотрим вопрос о вихреобразовании. Из формулы (9.4) следует, что изменение циркуляции по

времени

зависит от действующих массовых сил f

и характера зависимости плотности от давления,

температуры и других параметров.

Первый интеграл в правой части соотношения (9.4) обращается в ноль, если массовые силы

–

потенциальные, т.е.

Uf −∇= , так как .0=

∫

Второй интеграл обращается в ноль, если плотность есть функция давления

)(p

Среды, в которых плотность зависит только от давления, называются баротропными. Вообще

говоря, плотность зависит от давления, температуры, солености

и т.д. В этом случае среда называется

бароклинной .0













≠

∫

Итак, если действующие силы

потенциальные и среда баротропная, то

,,0 const

=Γ=

т.е. нет новых вихреобразований. Причиной возникновения вихрей яв

ляется

нарушение этих условий: либо внешние силы не имеют потенциала, либо среда бароклинная.

Имеют место следующие теоремы.

Теорема Томпсона

. Если массовые силы потенциальные, а идеальная жидкость баротропная, то

циркуляция скорости по любому замкнутому контуру во все время движения жидкости не изменяется.

Теорема Лагранжа (следует из теоремы Томпсона).

Пусть: 1) жидкость идеальная; 2) сила

, действующая на единицу массы, имеет потенциал; 3)

плотность является функцией давления )(p

, тогда если в начальный момент времени в некоторой

части жидкости не имелось вихрей, то их не было раньше и не будет позже в этой части жидкости.

Рассмотрим вначале случай, когда не выполняется условие баротропности, т.е. среда бароклинн

ая

и Uf −∇= . Вместо плотности

удобнее в данном случае ввести обратную величину

τ = (9.7)

которая представляет объем единицы массы жидкости и называется удельным объемом.

Рис. 9.2. Из (9.4) получаем

∫

−=

(9.8)

Поверхности p=const называются изобарическими поверхностями. По

верхности, на которых

постоянен удельный объем, называются изостерами. Если

)(p

, то изобарические и изос

терические

поверхности совпадают. В рассматриваемом случае изобарические и изо

стерические поверхности будут

пересекаться между собой.

Проведем изобарические поверхности, отвечающие значениям p, отличающим

ся друг от друга на

единицу. Построим так же изостерические поверхности, отвечающие значениям

, отличающихся друг

от друга на единицу.

Тогда все пространство разобьется на ряд трубок, образованных двумя соседними

изобарическими и изостерическими поверхностями. Эти трубки называются изобаро–изост

ерическими

единичными трубками.

Пусть l – замкнутая кривая, подсчитаем, сколько изобаро–

изостерических единичных трубок она

охватывает. Предварительно вычислим интеграл

∫

−=

dpI ,τ

взятый по контуру l

, охватывающему

изобаро–истерическую единичную трубку ABCD (рис. 9.2):

( )

0000

11,,1.

CBpABpl

dpdpdpdpIdpτττττττ

−=−+⋅=+−=−⋅=−=−=

∫∫∫∫∫

Если контур l ориентирован в противоположную сторону, то I=-1

. Будем различать

положительные и отри

цательные единичные трубки, смотря по тому, будет ли вышеуказанный интеграл

I, взятый по контуру, охватывающему трубку, равняется +1 или -1. Если контур L

будет охватывать

′

положительных трубок ( или N

′

отрицательных), то рас

пространенный по этому контуру интеграл

будет равняться

′

(или -

′

).(, NdpNdp

′′

′

=−

∫∫

ττ

В общем случае, когда контур

охватывает ряд положительных и отрицательных трубок, можно

образовать два контура

′

, причем контур

′

охватывают только положительные трубки, контур

′

- отрицательные. Очевидно, что

∫∫∫

′′′

−−=−

LLL

dpdpdp τττ

Если N

′

- число положительных единичных трубок, охватываемых контуром

, N

′

число

отрицательных единичных трубок, охватываемых тем же контуром, то

.NNdp

′′

−

′

=−

∫

Таким образом, формула (3.12) может быть переписана в виде

.NN

′′

−

′

(9.9)

Теорема Бьеркнеса. Для идеальной жидкости

под действием потенциальных объемных внешних

сил производная по времени от циркуляции скорости по какому-либо жидкому контуру

равна

разности положительных и отрицательных единичных изобаро-

изостерических трубок, пересекающих

контур

Пример образования вихрей.

Рассмотрим массу воздушной атмосферы, окружающей Землю, без

учета во

дяных паров. Давление, абсолютная температура и удельный объем для сухого воздуха связаны

между собой зависимостью

.RTp

(9.10)

Вследствие большего нагревания от солнца тропические страны теплее полярных; температура

воздуха в нижних слоях атмосферы тропических стран значительно выше температуры воздуха

полярных стран. Давление меняется гораздо меньше при переходе

от полярных областей к

тропическим. Поэтому в силу (9.10) изобариче

ские и изостерические поверхности пересекаются и в

связи с этим образуются вихри. Образующиеся циркуляционные течения называются пассатами.

Лекция 10.

§10. Гидростатика

Гидростатика являет

ся разделом гидромеханики, в котором изучается распределение параметров

жидкой среды в условиях покоя, т.е. отсутствия движения. Для покоящейся жид

кости уравнение

сохранения импульса (2.24) принимает вид

=∇− pg

(10.1)

или в проекциях ( ),,( ZYXg

)

∂

ρρρ

(10.2)

Уравнения (10.2) называются уравнениями равновесия. В случае отсутствия массовых сил

уравнения равновесия примут вид

,0=

∂

т.е. давление одинаково во всех точках жидкости; это соотношение известно под названи

ем закона

Паскаля.

Для тяжелой жидкости уравнения равновесия дают:

,,0,0 g

ρ=

∂

(10.3)

где ось Oz направлена вниз. Первые два уравнения выражают, что p=const

для всех точек на любой

горизонтальной плоскости, которые являются по

верхностями равного давления или так называемыми

поверхностями уровня. Из третьего уравнения (10.3) для несжимаемой однородной жидкости следует

,Czgp

(10.4)

в предположении, что g является постоянной вели

чиной в некоторой ограниченной области вблизи

земной поверхности.

Если покоящаяся жидкость имеет свободную поверхность, к которой приложено одинаковое во

всех точках внешнее давление

p , то эта поверхность должна быть горизонтальной пл

оскостью. Взяв на

ней начало координат, из (10.4) находим

pC =

и получаем соотношение

zgpp ρ+=

(10.5)

выражающее известный гидростатический закон: давление на глубине z

от поверхности равно

внешнему давлению, сложенному с весом столба жидкости, высота которого есть z,

а площадь

основания равна единице.

Этот закон остается справедливым и для сжимаемой жидкости. В этом случае из урав

нений (10.3)

следует

,)(,

1212

∫













−==−

zzвысотойстолбавесуdzgpp ρ

где g и

есть некоторые функции z.

Условия для сил

Уравнения равновесия налагают некоторое ограничение на характер массовых сил, способных

обеспечить равновесие жидкости. Исключим из уравнения (10.1) плотность и давление. Для этого

применим к этому уравнению оператор

rot

; тогда р исключится, т.к. ,0

≡

∇

prot будем иметь

.0)( =×∇+= ggrotgrot ρρρ

Умножим последнее равенство скалярно на

; тогда, т.к. второе слагаемое, как векторное

произведение, перпендикулярно к своему сомножителю

, получаем следующее общее ограничение

⋅

grotg (10.6)

К объемным силам, удовлетворяющим условию (10.6), относятся силы, имеющие потенциал П,

т.к. для них

.0, ≡Π∇Π−∇= rotg

Равновесие атмосферы

Расс

матривая атмосферу как покоящуюся сжимаемую жидкость, можно установить

приближенную зависимость между высотой над поверхностью земли и атмосферным дав

лением на

рассматриваемой высоте, известную под названием барометрической формулы.

Взяв начало координат на уровне моря и направив ось Oz

вертикально вверх, запишем уравнения

равновесия:

.,0,0

•

−=

∂

ρ (10.7)

Уравнение состояния среды определяется уравнением Клайперона

,TRp

(10.8)

где Т – абсолютная температура, R – газовая постоянная. Вводя обычную температуру

в градусах

Цельсия

273T

и обозначая α=

273

(

- коэффициент температурного расширения воздуха), за

пишем уравнение

Клайперона в форме

.273

)1(

⋅=

+ατρ

(10.9)

Вводя обозначение R

⋅= 273

, из (10.9) имеем:

ατ

Подставляя в (10.7), находим:

ατ+

−=

•

(10.10)

Величина ускорения силы тяжести

•

g изменяется обратно пропорционально квад

рату расстояния

от центра Земли (при пренебрежении вращением Земли). Принимая Землю за шар радиуса а

и обозначая

через g величину ускорения силы тяжести на уровне моря, получаем

)(

•

Подставляя найденное

•

g в уравнение (10.10), имеем

)(

)1(

dzkga

−=

ατ

интегрируя между высотами

z и

z , на которых давления равны соответственно

p и

p , получаем

))(1(

∫

−=

kga

ατ

Здесь

есть функция от z. Сделав допущение, что

const=

где

,ττ

температуры на высотах

z и

z , приходим к приближенной формуле

)

(

zaza

kga

−

ατ

или, обозначая ,

zzz ∆=−

.ln)1)(1(

111

∆

=∆

ατ

(10.11)

Вычисления по этой формуле можно проводить последовательными приближениями: сначала в

первой части полагают

∆

и вычисляют первое приближение для

∆

; подставляя эту величину в

правую часть формулы, находят второе приближение для

∆

и т.д.

Давление на плоскую стенку

На твердую стенку, расположенную в покоящейся жидкости, действует система распределенных

сил давлени

я, направленных по нормали к поверхности стенки и подчиняющихся основному закону

распределения гидростатического давления.

Суммарное воздействие сил давления на некоторую поверхность

можно выразить с помощью

главного вектора силы

∫

Σ−= ,dnpF (10.12)

где

- единичная внешняя нормаль, направленная внутрь жидкости, и главного момента давления

Σ×−=

∫

dpnrM . (10.13)

При равновесии несжимаемой тяжелой жидкости давление изменяется по гидрост

атическому

закону (10.5)

zgpp ρ+=

Для удобства представим внешнее давление

в виде

zgp ρ=

Тогда

)(

zgzzgp ρρ =+=

(10.14)

Горизонтальная плоскость, проведенная на высоте

над свободной поверхностью, носит

название приведенного уровня. Отсчитывая глубину от приведенного уровня (

zzz +=

), получим

Σ×−=Σ−=

∫∫

ΣΣ

dnzgrMdnzgF

ρρ . (10.15)

Пусть на произвольной глубине под произвольным углом к горизонту

расположена плоская

твердая поверхность площадью

Рис. 10.1

В данном случае на плоскую площадку

действует система парал

лельных сил и можно по

законам статики определить их равнодействующую.

Так как

const,

то из (10.15) следует

Σ⋅⋅=

Σ⋅⋅−=

zgF

zngF

(10.16)

где

- глубина центра тяжести площадки

. Таким образом, следует важ

ный вывод: независимо от

ориентации плоской стенки на нее действует суммарная сила гидро

статического давления, равная весу

цилиндрического столба жидкости с площадью основания, равной площади стенки

, и высо

той,

совпадающей с глубиной центра тяжести площадки

Этот за

кон, примененный к сосуду, заполненному жидкостью, приводит к гидростатическому

парадоксу, согласно которому силы воздействия жидкости на основания сосудов различной формы,

имеющей равные площади и одинаковые высоты столбов жидкости одинаковы (рис. 10.2). То есть

силы

не зависят от формы сосудов.