Презентация - Загиров Н.Н., Иванов Е.В. Механика сплошных сред. Теория обработки металлов давлением
Подождите немного. Документ загружается.
При переходе от точки При переходе от точки М к точке к точке М
*
эти эти
величины будут изменяться в соответствии величины будут изменяться в соответствии
с формулами:с формулами:
z
z
y
y
x
x
iii
i
dddd
∂
υ
∂
+
∂
υ
∂
+
∂
υ
∂
=υ
В краткой записи:В краткой записи:
где где dυ
i
-- абсолютный дифференциал абсолютный дифференциал
векторного поля ; векторного поля ;
υ
i,j
-- абсолютная производная векторного абсолютная производная векторного
поля скорости перемещения.поля скорости перемещения.
j
j,ii
dd
υ
=
υ
,,((33.1))
,,((33.2))
Матрица коэффициентов (Матрица коэффициентов (υ
i,j
) в выражении ) в выражении
((3.2) представляет тензор второго ранга ) представляет тензор второго ранга ––
тензор абсолютной производной векторного тензор абсолютной производной векторного
поля скорости перемещения и имеет вид:поля скорости перемещения и имеет вид:
,,((3.3))
∂
υ∂
∂
υ∂
∂
υ∂
∂
υ∂
∂
υ∂
∂
υ∂
∂
υ
∂
∂
υ
∂
∂
υ
∂
=υ
zyx
zyx
zyx
zzz
yyy
xxx
j,i
Тензор абсолютной производной, как любой Тензор абсолютной производной, как любой
тензор, можно представить в виде суммы тензор, можно представить в виде суммы
симметричной (с матрицей симметричной (с матрицей T
ξ
) )
и и кососимметричнойкососимметричной (с матрицей (с матрицей T
ω
) частей. ) частей.
В символической записи они будут иметь вид:В символической записи они будут иметь вид:
;;
)(
2
1
i,jj,i
T υ+υ=
ξ
)(
2
1
i,jj,i
T υ−υ=
ω
,,((3.4))
В развернутом виде тензор В развернутом виде тензор T
ξ
записывают записывают
в виде матрицы:в виде матрицы:
∂
υ∂
∂
υ∂
+
∂
υ∂
∂
υ∂
+
∂
υ∂
∂
υ∂
+
∂
υ∂
∂
υ∂
∂
υ∂
+
∂
υ∂
∂
υ∂
+
∂
υ∂
∂
υ∂
+
∂
υ∂
∂
υ∂
=
ξ
zzyzx
yzyyx
xzxyx
T
z
y
z
x
z
z
yy
x
y
z
x
y
xx
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
и называют тензором скорости деформации.и называют тензором скорости деформации.
Тензор Тензор T
ω
, характеризуемый матрицей:, характеризуемый матрицей:
называется тензором вращения (поворота).называется тензором вращения (поворота).
∂
υ∂
−
∂
υ∂
−
∂
υ∂
−
∂
υ∂
−
∂
υ∂
−
∂
υ∂
∂
υ∂
−
∂
υ∂
−
∂
υ∂
−
∂
υ∂
∂
υ∂
−
∂
υ∂
=
ω
0
2
1
2
1
2
1
0
2
1
2
1
2
1
0
yzxz
yzxy
xzxy
T
z
y
z
x
z
yy
x
z
x
y
x
Тензор скорости и его свойстваТензор скорости и его свойства
Инварианты тензора скорости деформации, Инварианты тензора скорости деформации,
приведение его к диагональному виду.приведение его к диагональному виду.
Возможные схемы деформированного Возможные схемы деформированного
состояния.состояния.
Разложение тензора скорости на шаровой Разложение тензора скорости на шаровой
и и девиатордевиаторскоростей деформации. скоростей деформации.
Интенсивность скоростей деформации сдвига.Интенсивность скоростей деформации сдвига.
Рассмотрим подробней тензор скорости Рассмотрим подробней тензор скорости
деформации. Его компоненты обозначим деформации. Его компоненты обозначим ξ
ij
и представим в виде матрицы:и представим в виде матрицы:
ξξξ
ξξξ
ξξξ
=
ξ
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
Т
а также в развернутой форме (с учетом, а также в развернутой форме (с учетом,
что что ξ
ij
= ξ
ji
):):
x
x
xx
∂
υ
∂
=ξ
y
y
yy
∂
υ
∂
=ξ
z
z
zz
∂
υ
∂
=ξ
∂
υ∂
+
∂
υ∂
=ξ=ξ
xy
y
x
yxxy
2
1
∂
υ∂
+
∂
υ∂
=ξ=ξ
xz
z
x
zxxz
2
1
∂
υ∂
+
∂
υ∂
=ξ=ξ
zy
y
z
zyyz
2
1
,,((33.6))
Уравнения (Уравнения (3.6) получили название ) получили название
кинематических.кинематических.
Компоненты тензора скорости деформации, стоящие Компоненты тензора скорости деформации, стоящие
на главной диагонали матрицы (на главной диагонали матрицы (3.5) ) ξ
xx
, ξ
yy
, ξ
zz
,
называют скоростями относительного удлинения в называют скоростями относительного удлинения в
направлении осей соответственно направлении осей соответственно x, y, z, а а
компоненты компоненты ξ
xy
, ξ
yz
, ξ
xz
на остальных местах матрицы на остальных местах матрицы
–– половинными значениями скоростей сдвига в половинными значениями скоростей сдвига в
плоскостях соответственно плоскостях соответственно x0y, y0z, x0z..
Тензор скорости деформации, как любой Тензор скорости деформации, как любой
симметричный тензор второго ранга, имеет три симметричный тензор второго ранга, имеет три
взаимновзаимно--перпендикулярных собственных вектора и перпендикулярных собственных вектора и
три собственных значения, которые называют три собственных значения, которые называют
соответственно направлениями главных скоростей соответственно направлениями главных скоростей
относительных удлинений и главными скоростями относительных удлинений и главными скоростями
относительных удлинений относительных удлинений ξ
11
, ξ
22
, ξ
33
..