Презентация - Загиров Н.Н., Иванов Е.В. Механика сплошных сред. Теория обработки металлов давлением
Подождите немного. Документ загружается.
Таким образом, температура является Таким образом, температура является
дополнительной неизвестной и система уравнений дополнительной неизвестной и система уравнений
теории пластичности должна быть дополнена еще теории пластичности должна быть дополнена еще
одним уравнением, которое получим, используя одним уравнением, которое получим, используя
закон сохранения энергии в виде: закон сохранения энергии в виде:
Q
1
= Q
2
+ Q
3
,,
гдегде Q
1
-- тепло, выделившееся в единицу времени тепло, выделившееся в единицу времени
при деформации материальной частицы,при деформации материальной частицы,
Q
2
-- тепло, отводимое в единицу времени за счёт тепло, отводимое в единицу времени за счёт
теплопроводности в соседние объёмы,теплопроводности в соседние объёмы,
Q
3
-- тепло, ушедшее в единицу времени на тепло, ушедшее в единицу времени на
повышение температуры повышение температуры
рассматриваемой частицы.рассматриваемой частицы.
Учтем ряд экспериментально установленных Учтем ряд экспериментально установленных
фактов: изменение температуры телафактов: изменение температуры тела
при упругой деформации обратимо; при упругой деформации обратимо;
пластическая деформация сопровождается пластическая деформация сопровождается
необратимым выделением тепла, необратимым выделением тепла,
причем свыше причем свыше 9090% затраченной механической % затраченной механической
работы переходит в тепло; доля упругих работы переходит в тепло; доля упругих
деформаций составляет пренебрежимо малую деформаций составляет пренебрежимо малую
величину по сравнению с пластическими величину по сравнению с пластическими
в процессах обработки металлов давлением.в процессах обработки металлов давлением.
Вследствие сказанного, пренебрегают Вследствие сказанного, пренебрегают
тепловыми эффектами упругой деформации. тепловыми эффектами упругой деформации.
В дальнейшем будем полагать, что В дальнейшем будем полагать, что
составляющие вектора скорости перемещения составляющие вектора скорости перемещения
υ
i
и тензора скорости деформации и тензора скорости деформации ξ
ij
соответствуют пластической (необратимой) соответствуют пластической (необратимой)
деформации.деформации. Для подсчёта Для подсчёта Q
1
найдем найдем
мощность внешних воздействий на мощность внешних воздействий на
деформируемую частицудеформируемую частицу
∫
υ
⋅
υ
+
∫
υ
=
VS
ii
VgSfN d d
Учитывая, что составляющие вектора Учитывая, что составляющие вектора
напряжения напряжения f
i
= σ
ij
⋅ n
j
, и используя , и используя
известную формулу Остроградского известную формулу Остроградского –– ГауссаГаусса
∫
=
∫
V
jj
S
jj
V
,
aSna dd
ИмеемИмеем
(
)
(
)
V,Sn
S V
jiijjiij
dd
∫ ∫
υ
σ
=
υ
σ
гдегде σ
ij
–– компоненты тензора напряжения;компоненты тензора напряжения;
n
j
–– направляющие косинусы.направляющие косинусы.
Мощность Мощность NN, учитывая дифференциальные , учитывая дифференциальные
уравнения движения уравнения движения σ
ij,j
+ρg
i
=ρω
I
,,
можно записатьможно записать
(
)
VN
V
j,iijii
d
∫
υ
σ
+
υ
ρω
=
Нетрудно видеть, что Нетрудно видеть, что σ
ij
υ
i,j
= σ
ij
ξ
ij
, тогда, тогда
(
)
VN
V
ijijii
∫
ξ
σ
+
υ
ρω
=
d
где где ρω
i
υ
i
+ σ
ij
ξ
ij
–– есть мощность сил, есть мощность сил,
действующих на элемент объема тела .действующих на элемент объема тела .
Произведение Произведение
σ
ij
ξ
ij
= TH+ σξ,,
так как так как
σ
ij
– σ⋅δ
ij
= S
ij
,, ,, ,,
ijijij
e=ξδ−ξ
3
1
ijij
e
H
T
S 2=
ijij
eeH 2=
ОкончательноОкончательно
Q
1
= (TH + σξ)∆x∆y∆z.
Тепло, отводимое за счет теплопроводности Тепло, отводимое за счет теплопроводности
((λ -- коэффициент теплопроводности)коэффициент теплопроводности)
zyx
zzyyxx
Q ∆∆∆
Θ
λ+
Θ
λ+
Θ
λ−=
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
2
определяется при рассмотрении тепловых определяется при рассмотрении тепловых
потоков потоков q
i
через все грани элементарного через все грани элементарного
объёма объёма ∆V, соответствующих закону Фурье:, соответствующих закону Фурье:
q
i
= -λΘ,
i
..
Тепло, расходуемое на повышение Тепло, расходуемое на повышение
температуры частицы, зависит от массовой температуры частицы, зависит от массовой
теплоёмкости теплоёмкости c::
zyx
t
cQ ∆∆∆ρ
Θ
=
d
d
3
где где ρ –– плотность металла.плотность металла.
Подставляя вместо Подставляя вместо Q
1
, , Q
2,,
Q
3
их значения и их значения и
сокращая на элементарный объём сокращая на элементарный объём
∆V= ∆x∆y∆z, найдем, найдем
t
cTH
zzyyxx d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d Θ
ρ=σξ++
Θ
λ+
Θ
λ+
Θ
λ
Последнее уравнение называют Последнее уравнение называют
дифференциальным уравнением дифференциальным уравнением
теплопроводности. Если положить, что теплопроводности. Если положить, что
λ = const и ввести обозначениеи ввести обозначение
2
2
2
2
2
2
d
d
d
d
d
d
zyx
++=∆
получим другую запись дифференциального получим другую запись дифференциального
уравнения теплопроводности:уравнения теплопроводности:
t
cTH
d
d
Θ
ρ=σξ++∆Θλ
Для дифференциального уравнения Для дифференциального уравнения
теплопроводности имеют место четыре рода теплопроводности имеют место четыре рода
граничных условий. граничных условий.
Говорят, что на поверхности Говорят, что на поверхности S
1
заданы заданы
граничные условия первого рода, если в граничные условия первого рода, если в
каждой точке этой поверхности известна каждой точке этой поверхности известна
температуратемпература
(
)
t,z,y,x
*
S
Θ=Θ
1