Реферат - История теории стержней

Подождите немного. Документ загружается.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Федеральное государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Факультет математики, механики и компьютерных наук

Кафедра теории упругости

О некоторых задачах классической механики от

Я.Бернулли и Л.Эйлера до наших дней.

Задачи о стержне.

Реферат выполнила

Ватульян Карина Александровна

Проверила:

Налбандян Юлия Сергеевна

Ростов-на-Дону

2008

Содержание:

Введение……………………………………………………………..2

Краткий исторический очерк…………………………………….3

Развитие теории стержней в России……………………………15

Современные подходы……………………………………………17

Биографическая справка…………………………………………

Литература………………………………………………………….20

Введение

Теория стержней и стержневых систем является одним из разделов

механики деформируемого твердого тела. В историческом плане её развитие

предшествовало становлению таких фундаментальных наук, как теория

упругости, теория пластичности, теория разрушения, геомеханика и др. С её

развитием связано формирование фундаментальных понятий и законов

механики деформированного твердого тела (МДТТ) таких как механические

напряжения и деформации, закон Гука, жесткость и податливость упругих

элементов конструкций и др. Становление теории уходит своими корнями в

XVII, XVIII века и тесно связано с развитием математики в целом, особенно с

такими ее разделами, как дифференциальное и интегральное исчисление,

теория устойчивости, спектральная теория операторов. Основы для её

развития заложили Г.Галилей (1564-1642), Мариотт (1620-1684), Гук (1635-

1703). Последующее её развитие в XVIII-XIX веках связано с именами

выдающихся математиков, механиков и физиков, таких как Якоб Бернулли

(1654-1705), Леонард Эйлер (1707-1783), Жозеф Луи Лагранж (1736-1813),

Шарль Огюстен Кулон (1736-1806), Огюстен Луи Коши (1789-1857), Баре де

Сен-Венан (1797-1883), Густав Роберт Кирхгоф (1824-1887) и др. [1, 2].

Теорию стержней в настоящее время принято относить к прикладным

наукам, однако перечисленные имена тех, кто её создавал, указывают на то,

что разделение науки на её прикладные и фундаментальные разделы носит

весьма условный характер.

Под стержнем в МДТТ принято понимать трехмерное тело, один из

геометрических размеров которого значительно больше двух других.

Стержни различаются формами своих осевых линий (криволинейные и

прямолинейные), формой и размерами поперечных сечений (круг,

прямоугольник, тавр, двутавр и др.).

С первых шагов инженерной деятельности человечество широко

использует стержни в качестве элементов конструкций. В строительстве -

балки, колонны, арки, элементы ферм, каркасов высотных зданий. Стержни

являются основными несущими элементами в конструкциях кораблей,

самолетов, ракет. Они используются в качестве волноводов и резонаторов в

современных устройствах и приборах, в качестве образцов при исследовании

физико-механических свойств различных материалов. Лопасти винтов

самолетов и вертолетов, сверла, винтовые пружины, камертон - все это

стержни.

Традиционные задачи теории стержней состоят в исследовании

прочности, устойчивости, жесткости и несущей способности стержней и

стержневых систем. Начиная с Я.Бернулли и Л.Эйлера, важную роль в

решении этих задач играет математическое моделирование, которое

включает в себя, во-первых, вывод основных уравнений с учетом физико-

механических свойств материалов, из которых они изготавливаются; во-

вторых, в развитии аналитических и численных методов решения для

исследования их поведения (прочности, деформационных свойств и др.) при

воздействии на них внешних механических усилий, температуры,

электромагнитного поля.

Краткий исторический очерк

Конец XVII и начало XVIII веков ознаменовались развитием

дифференциального и интегрального исчисления. После того, как И.Ньютон

и Лейбниц положили ему начало, дальнейшей разработкой оно обязано во

многом трудам Я.Бернулли, И.Бернулли и Л.Эйлера. Пытаясь расширить

область этого нового математического аппарата, они исследовали ряд задач

из механики и физики. Первым, кто применил математический аппарат к

исследованию формы изгиба, был Я.Бернулли - швейцарский математик и

механик.

Для тонких стержней можно выделить три основных типа таких

состояний. Первое - растяжение-сжатие, при котором нормальные

напряжения в любом поперечном сечении стержня распределены равномерно

и статически эквивалентны растягивающей (сжимающей) силе. Второе -

изгиб, при котором нормальные напряжения по сечению распределены

линейно и эквивалентны изгибающему моменту. Третье - кручение, при

котором в сечении возникают только касательные напряжения, статически

эквивалентные крутящему моменту.

Работам Я.Бернулли предшествовали исследования Г.Галилея и

Мариотта по прочности балок при растяжении и изгибе.

В 1691 г. Я.Бернулли начал серию исследований, посвященных

проблеме упругой линии. Некоторые предпосылки и выводы его неточны,

но в целом он значительно продвинулся вперед. В частности, он вывел

дифференциальное уравнение задачи и доказал, что кривизна линии изгиба

пропорциональна изгибающему моменту в точке — положение, которое

использовали затем другие ученые, и среди них Л.Эйлер.

Я.Бернулли поставил задачу об определении прогибов консоли под

воздействием силы, приложенной к одному из ее концов. В то время, когда

он начинал проводить свои исследования, уже был известен закон Гука, но не

существовало еще понятия внутреннего напряжения (это понятие более ста

лет спустя было введено Коши). Рассматривая балку прямоугольного

поперечного сечения, Я.Бернулли принял ряд допущений относительно

характера её деформаций, которые и сегодня называются гипотезами

Бернулли. Приведем их в той форме, как они были сформулированы Сен-

Венаном [4]: 1) сечения плоские и перпендикулярные к ребрам призмы до её

изгиба, остаются и после изгиба также плоскими и нормальными к этим

ребрам и волокнам или продольным элементам, которые становятся

криволинейными; 2) волокна, одни растянутые, другие укороченные,

сопротивляются независимо, как будто они представляют собой малые

изолированные призмы, не оказывающие друг на друга никакого

воздействия.

Из первой гипотезы следует, что малые части волокон, заключенные

между двумя близкими сечениями и равные до изгиба, имеют после изгиба

длину, пропорциональную их радиусам кривизны. Если через R обозначить

радиус кривизны тех волокон, которые при изгибе не испытывают

удлинения, а через z - расстояние по радиусу от нейтрального волокна до

любого другого, которое деформируется, то относительное удлинение малой

части последнего будет следующим:

Rz /



, (1)

а усилие p, растягивающее или сжимающее эту часть волокна, согласно

закону Гука связано с



равенством



Ep 

, (2)

где Е - модуль Юнга.

Если известны точки пересечений нейтральных волокон с сечением, то

легко подсчитывается момент усилий р относительно оси, на которой они

расположены. Этот момент принято называть изгибающим моментом. Далее,

рассматривая равновесие части стержня, заключенного между данным

сечением и концевым сечением, получаем, что изгибающий момент М

должен быть равен моменту силы Р относительно той же оси. На основе

проведенных рассуждений Я.Бернулли получил следующее уравнение:

PxRCM  /

, (3)

где С - постоянная, которую принято теперь называть жесткостью на

изгиб. Для её вычисления Я.Бернулли принял ошибочное предположение о

том, что нейтральные волокна расположены на внутренней поверхности

изогнутого стержня. Опираясь на это предположение, он получил для

жесткости следующее неправильное выражение:

EbhC 

Правильное значение

12/

EbhC 

было получено свыше ста лет спустя

французским математиком и механиком Навье, основоположником

математической теории упругости. Тем не менее, общая форма уравнения (3),

указывающая на пропорциональность кривизны нейтральной кривой

изгибающему моменту, оказалась правильной, и была принята впоследствии

другими исследователями. Строгое математическое обоснование,

опирающееся на анализ решений трехмерных уравнений теории упругости,

она получила в работе Сен-Венана [4].

Даниил Бернулли известен преимущественно как автор знаменитой

книги «Гидродинамика», но он содействовал также и развитию теории

упругих кривых. Исследования Д.Бернулли по колебаниям стержней

изложены главным образом в двух его статьях: «Физико-геометрические

рассуждения о колебании и звучании стержней» и «Механико-

геометрические исследования о многообразных звуках, различным образом

издаваемых упругими стержнями, иллюстрированные и подкрепленные

акустическими опытами». Обе статьи были написаны в самом начале 40-х

годов, но увидели свет только в «Записках» Петербургской академии,

вышедших в 1751 г. Д.Бернулли вывел линейное дифференциальное

уравнение четвертого порядка для гармонических колебаний

горизонтального стержня и дал его общее решение, разобрал несколько

задач с различными граничными условиями, соответствующими

защемленному, опертому и свободному концам, и вывел уравнения частот

колебаний. Теоретические выводы Бернулли сопоставлял с данными

опытов над тонкими длинными стержнями. Даниил Бернулли был, таким

образом, не только математиком, но и экспериментатором. Некоторые из его

экспериментов послужили Л.Эйлеру поводом для постановки новых

математических проблем.

Большой вклад в развитие теории стержней внес Л.Эйлер. В 1744 г. был

опубликован его труд «Методы нахождения кривых линий...», в большом

приложении к которому (в русском переводе приложение занимает 125

страниц) Л.Эйлер рассмотрел задачу об упругих кривых. Работа эта была

вызвана замечанием, сделанным Д.Бернулли в письме Л.Эйлеру от 22

октября 1742 г. где Д.Бернулли предложил применить к задаче

изопериметрический метод, т. е. свести ее к задаче о минимуме некоторого

интеграла: «Поскольку никто не овладел в таком совершенстве мастерством

изопериметрического метода (вариационного исчисления), как Вы, Вам

легко будет решить задачу, в которой требуется, чтобы



/ rds

принял

наименьшее значение». Приведенный здесь интеграл, как нам теперь

известно, выражает, если не учитывать постоянного множителя, энергию

деформации изогнутого бруса.

Реализуя эту идею, Л.Эйлер по-новому вывел дифференциальное

уравнение Д.Бернулли и решил его при различных граничных условиях.

В «Методах…» впервые систематически излагалась теория стержней

на основе вариационного исчисления. При построении функционала, на

основе которого выводится дифференциальное уравнение изгиба стержня,

он исходит из основных гипотез, принятых Я.Бернулли. Рассматривая

стержень как линию, наделенную изгибной жесткостью, он получил

следующее дифференциальное уравнение

 

C 







2/3

(4)

Здесь y(x) - функция, описывающая прогиб стержня. Жесткость

СЛ.Эйлер предложил определять экспериментально.

Нелинейное уравнение (4) он интегрирует приближенным методом,

который впоследствии стал называться методом малого параметра. Для

малых прогибов он получает линейный вариант этого уравнения:

PxyC 



(5)

Уравнения (4) и (5) вошли практически во все учебники по

сопротивлению материалов.

В дальнейшем Л.Эйлер начинает заниматься устойчивостью упругих

систем, в связи с чем исследует две задачи. Первая задача состояла в

определении критического значения силы сжимающей консоль, при которой

прямолинейная форма стержня становится неустойчивой и стержень

начинает прогибаться. Вторая задача посвящена исследованию устойчивости

вертикальной колонны под собственным весом. Однако при вычислении

критического веса колонны он допускает ошибку, которая была исправлена

лишь 150 лет спустя нашим соотечественником А.Н.Динником.

Л.Эйлеру также принадлежат первые исследования по поперечным

колебаниям стержней, начиная со стержня в естественном состоянии —

прямого и с жестко заделанным в вертикальном положении верхним

концом. Эта задача приводится к интегрированию обыкновенного линейного

однородного дифференциального уравнения четвертого порядка. В

заключение разобраны задачи о колебании стержней при других

предположениях о закреплении их концов.

Полученные им формулы для собственных (резонансных) частот и

форм колебаний являются классическими и используются и по сей день.

Благодаря своим трудам в области теории стержней Л.Эйлер заложил

основы математической физики, вариационного исчисления, теории

устойчивости упругих систем, спектральной теории операторов.

Особое значение имели работы Л.Эйлера и Д.Бернулли о малых

колебаниях натянутой однородной струны, закрепленной на концах.

Л.Эйлеру и Д.Бернулли принадлежит и решение нескольких трудных задач

о малых колебаниях воздуха в трубах, которыми занимался также Лагранж.

Д.Бернулли и Л.Эйлер не затрагивали вопросов прочности стержней.

Этим вопросом во второй половине XVIII века занимался выдающийся

французский физик и инженер Кулон. Если Г.Галилею принадлежит

фундаментальное открытие того, что прочность стержня при растяжении не

зависит от его длины, а определяется лишь площадью поперечного сечения,

то Кулон, проведя серию экспериментов по растяжению, кручению и изгибу

стержней, установил ряд закономерностей об их деформации и заложил

основы теории прочности, которые не утратили значение и в настоящее

время.

Остановлюсь только на двух закономерностях, установленных

Кулоном, имеющих непосредственное отношение к теории стержней.

Занимаясь электричеством и магнетизмом, для измерения малых

электрических и магнитных сил, Кулон изобрел весьма чувствительные весы,

в конструкции которых использовалась длинная проволока, работающая на

кручении. В связи с этим он исследовал жесткость и прочность проволоки

при кручении. Проведя эксперименты на проволоках из различных

материалов, он установил, что крутящий момент, приложенный к концу

проволоки, связан с относительным углом закручивания формулой



CM 







mdC



(6)

Здесь



- угол закручивания концевого сечения проволоки, l - её длина,

d - диаметр её поперечного сечения, С

- жесткость на кручение. Ее можно

представить также в виде

GJC 





Здесь J

- полярный момент инерции сечения. Попытки обобщить

формулу (6) на стержни с произвольным поперечным сечением,

предпринятые целым рядом исследователей, приводили долгое время к

ошибочным результатам. Правильный результат был получен Сен-Венаном в

середине XIX века и об этом речь пойдет ниже.

Опираясь на результаты опытов, Кулон пришел к двум важным для

теории стержней выводам. Первый вывод заключался в том, что при изгибе

балки прямоугольного поперечного сечения, нейтральные волокна

расположены посредине её высоты. Второй вытекал из опытов на кручение и

указывал на новый тип деформации, который впоследствии стал называться

сдвигом.

XIX век ознаменовался целой серией выдающихся открытий в

различных отраслях естествознания. В этом веке существенное развитие

получили науки о прочности, в том числе и такие её разделы, как теория

стержневых систем, теория пластин и оболочек, математическая теория

упругости. Стимулировали их развитие общий технический прогресс и

естественнонаучные потребности. Развитие теории стержней и стержневых

систем пошло по двум направлениям.

Первое направление связано с гипотезой плоских сечений, которая

задачу об исследовании напряженно-деформированного состояния стержня

сводит к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Подобные модели

называются одномерными, а способ их построения - методом гипотез. На

этом пути Кирхгоффом, Клебшем, Брессом осуществляется построение

теории криволинейных стержней. Под влиянием инженерных задач

разрабатываются методы расчета стержневых систем. Делаются первые

попытки в рамках метода гипотез построить более точные соотношения,

учитывающие влияние сдвига на изгиб (последнее важно для коротких

стержней). В XIX веке во Франции, а затем в других странах начинается

систематическое преподавание сопротивления материалов.

Второе направление связано с развитием методов интегрирования

уравнений теории упругости - системы уравнений в частных производных

[2,5]. Первые исследования в этом направлении провели Коши, Навье и Сен-

Венан.

В 1826 г. появилось первое печатное издание книги Навье по

сопротивлению материалов, содержащее главные его открытия в этой

области. Навье с самого начала указывает, насколько важно знать предел, до

которого сооружения ведут себя идеально упруго и не получают остаточных

деформаций. Он полагает, что если применять формулы, выведенные для

расчёта по упругому состоянию существующих сооружений, обнаруживших

свою достаточную прочность, то таким путем можно установить значения

безопасных напряжений для различных материалов и в дальнейшем

пользоваться этими данными при назначении надлежащих размеров в

проектах новых сооружений.

В первых двух главах своей книги автор исследует просто сжатие и

простое растяжение призматического бруса, причем отмечает, что для

полного описания механических свойств материала недостаточно дать

только его предел прочности, но необходимо также установить и его

модуль упругости Е, который определяется у Навье как отношение

нагрузки, приходящейся на единицу площади поперечного сечения, к

произведенному ею относительному удлинению.

Третья глава посвящена изгибу призматического бруса, a здесь

Навье с самого начала принимает, что изгиб происходит в той же самой

плоскости, в которой действует нагрузка, в связи с чем его исследование

может относиться лишь к балкам, имеющим плоскость симметрии и

нагруженным в этой плоскости. Полагая, что поперечные сечения

остаются плоскими при изгибе, и применяя три уравнения статики, он

заключает, что нейтральная линия проходит через центр тяжести

поперечного сечения и что кривизна оси определяется уравнением





где

является моментом инерции поперечного сечения

относительно нейтральной линии. Считая прогибы малыми и совмещая ось

х с осью балки, он получает зависимость

EI 

Со времени Л.Эйлера этим уравнением пользовались для вычисления

прогибов консолей и симметрично нагруженных свободно опертых балок.

Навье применяет его для любого вообще случая поперечного загружения

простой балки, причем кривая прогибов описывается у него в отдельных

участках пролета балки различными уравнениями.

Навье первый разработал общий метод решения статически

неопределенных задач в механике материалов. Навье останавливается

также на случаях изгиба призматического бруса, находящегося под

совместным воздействием осевой и поперечной сил.

Коши, который совместно с Навье и Пуассоном считается основателем

математической теории упругости, первый ввел фундаментальные понятия,

связанные с тензором напряжений (термин “тензор” немногим позже ввел

Ляме). Он же делает первую попытку исследовать задачу кручения стержня с

прямоугольным поперечным сечением на основе уравнений теории

упругости и получает удовлетворительные результаты в случае узких

сечений. Из построенного им приближенного решения вытекает, что

поперечные сечения не остаются плоскими, они коробятся. Этот результат

был использован Б.Сен-Венаном, построившим более полную теорию

кручения и изгиба призматических стержней. Результаты, полученные Сен-

Венаном и изложенные в двух его трудах (“Мемуар о кручении призмы”

(1855), “Мемуар об изгибе призмы”(1856) [4]), вошли практически во все

учебники по теории упругости, начиная с изданной в 1862 году книги

немецкого ученого Клебша “Теория упругости твердых тел”. На этих работах

Сен-Венана необходимо остановиться более подробно, поскольку новые

современные результаты, о которых речь пойдет ниже, связаны с развитием

методов решения задач, аналогичных задачам Сен-Венана для

неканонических тел таких, как винтовая пружина, сверло, турбинная лопатка

и др. Вместе с тем, задачи Сен-Венана и близкие к ним поставили ряд новых

чисто математических проблем, которые были решены сравнительно

недавно.

Сен-Венан исследовал задачи о кручении и изгибе призмы, один торец

которой жестко заделан, ко второму приложена некоторая система внешних

усилий, а боковая поверхность свободна от напряжений. При этом он

исходил из математической постановки задачи, в которой призма (стержень)

рассматривается как трехмерное упругое тело. В области, занятой призмой,

необходимо найти компоненты вектора смещений точек призмы u

)

(i=1,2,3,), где x

- декартовы координаты точки, путем интегрирования

уравнений равновесия теории упругости

 

0



(7)

uuu





,332211



при следующих граничных условиях

122111





222121





232131





(8)

 

00,,

xxu

(9)

 

12131

,, plxx 



 

22132

,, plxx 



 

32133

,, plxx 



(10)

Здесь условие (8) символизирует отсутствие напряжений на боковой

поверхности призмы, условие (9) - жесткую заделку торца x

=0, условие (10)

- загруженность внешними распределенными усилиями торца x

=l, при этом

iiii





ijij





ijjiij

uue 2

(11)

Здесь



- компоненты тензора напряжений,

- компоненты тензора

деформаций,





- упругие постоянные изотропного материала.

Поставленная задача оказалась весьма сложной и Сен-Венан, понимая

это, предложил новый приближенный метод построения решения, который

сам назвал полуобратным. Поясним его подход на примере задачи кручения.

В этом случае в условиях (10) p

=0, а внешние распределенные усилия

эквивалентны крутящему моменту М

, т.е. выполняются следующие

интегральные условия

 

dSpxpxMdSpdSp

SSS

1221321

,0 



Здесь S - поперечное сечение стержня. Далее, допуская, что

произвольное сечение призмы x

=const в результате приложенных усилий

поворачивается, Сен-Венан полагает, что проекции вектора смещений на

плоскость сечения выражаются через относительный угол закручивания 

следующими простыми формулами

1221

zxuzxu





xz 

(13)

Подставляя выражения (13) в уравнения (9) и полагая, что

),(

213

xxu





, он получает, что уравнения равновесия будут удовлетворены,

если



- гармоническая функция. Далее, подставляя выражения для u

граничные условия (10), Сен-Венан приходит к тому, что все они будут

удовлетворены, если



на контуре поперечного сечения удовлетворяет

условию

2/)(



