Розводюк М.П., Блінкін Є. Я. Електротехніка. Контрольні та розрахунково-графічні роботи для студентів неенергетичних спеціальностей

Подождите немного. Документ загружается.

2 Електричні кола однофазного синусоїдального струму

Відкладемо на комплексній площині вектори

, які

зображають синусоїдальні функції u

і u

, і графічно визначимо вектор

рівний геометричній сумі векторів

та

(рис. 2.2).

Рисунок 2.2 – Додавання векторів на комплексній площині

Векторна діаграма побудована для випадку, коли

і 0

Якщо вектори

з моменту t = 0 почнуть обертатися навколо

початку координат 0 проти годинникової стрілки з постійною кутовою

швидкістю ω, то проекція вектора

на вісь +j у будь-який момент часу

дорівнює сумі проекцій на цю ж вісь векторів

, тобто миттєвих

значень

і u

Отже, проекція вектора

на уявну вісь дорівнює шуканій сумі

+ u

, а вектор

зображає шукану синусоїдальну функцію часу.

Таким чином, визначивши з діаграми довжину вектора

і кут

можна записати значення шуканої величини:

(

)

.sin

tUu

Векторні діаграми часто використовуються для визначення діючих

значень синусоїдальних величин і зсувів фаз між ними. У цьому випадку

довжини векторів на діаграмах беруть рівними діючим значенням

Електротехніка. Контрольні та розрахунково-графічні роботи для студентів неенергетичних

спеціальностей

синусоїдальних величин

напрямок одного з векторів вибирають

довільно, а інші вектори розташовують відносно нього під кутами, рівними

відповідним зсувам фаз.

2.4 Закони Кірхгофа в колах змінного струму

Миттєвими значеннями фізичних величин, що характеризують

протікання змінного синусоїдального струму, є їхні значення в будь-який

довільний момент часу. У цей момент усі величини можна вважати

постійними, а тому до них можна застосовувати закони, отримані для кіл

постійного струму.

У зв’язку з тим, що у вузлах схеми змінного струму не

можуть

накопичуватися електричні заряди (аналогічний ефект має місце в колах

постійного струму), для будь-якої вузлової точки електричного кола

справедливий

перший закон Кірхгофа. Він формулюється таким чином:

алгебраїчна сума миттєвих значень струмів у проводах, зв’язаних у вузол,

дорівнює нулю [5]:

∑

i , (2.23)

де

l – число віток, що перетинаються у вузловій точці.

Точки схеми змінного струму можна також, як і точки кола постійного

струму, характеризувати потенціалами, а напруги розглядати як різницю

потенціалів.

Зміна потенціалу в будь-якому замкнутому контурі такого кола

дорівнює нулю. Тому справедливе таке формулювання

другого закону

Кірхгофа

: алгебраїчна сума миттєвих значень ЕРС усіх джерел енергії в

будь-якому контурі схеми дорівнює алгебраїчній сумі миттєвих значень

напруги на всіх інших елементах того ж контуру:

∑∑

Ue (2.24)

2 Електричні кола однофазного синусоїдального струму

де

m, n – відповідно кількість активних і пасивних елементів у

замкнутому контурі.

2.5 Послідовне з’єднання R, L, C елементів електричного кола

(нерозгалужені кола змінного струму)

Змінний електричний струм нерозривно пов’язаний із магнітними і

електричними полями, які змінюються з часом. Робочі ефекти протікання

змінного струму через приймачі електричної енергії на схемах заміщення

враховуються за допомогою

резистивного (активного) опору R, котушки

індуктивності

L та конденсатора C.

Схема заміщення – ідеалізоване розрахункове коло, що враховує

сукупність явищ, які відбуваються при протіканні електричного струму.

2.5.1 Коло змінного струму з активним опором

Резистивний (активний) опір (

active resistance) R – це елемент, в

якому відбувається необоротний процес перетворення електричної енергії

в теплову. При цьому потужність перетворення енергії в теплову складає

До споживачів, що мають чисто активне навантаження, відносяться

електричні лампи, нагрівачі побутових приладів та ін.

При підключенні активного опору

R до джерела (рис. 2.3, а) з напругою

u = U

sin(

t +

) в колі протікатиме струм [6, 7]

()()

,sinsin

imu

tIt

ψωψω

+=+== (2.25)

амплітуда якого

= (2.26)

а початкова фаза

, тобто кут зсуву фаз

–

=0, звідки

виходить, що

коефіцієнт потужності (power factor) cosϕ = 1.

Електротехніка. Контрольні та розрахунково-графічні роботи для студентів неенергетичних

спеціальностей

б)

а)

Рисунок 2.3 – До розгляду електричного кола з активним опором:

а) – схема; б) – векторна діаграма

Таким чином, можна зробити висновок, що струм у колі з активним

опором, увімкнутим на синусоїдальну напругу, є синусоїдальним та

збігається з напругою за фазою (рис. 2.3, б).

Миттєве значення потужності визначається як добуток миттєвого

значення напруги на

миттєве значення струму:

()

.2cos1

2cos1

sinsinsin

tUI

tIUtItUiup

mmmm

ωωω

−=

−

==⋅=⋅=

(2.27)

Миттєва потужність p(t) коливається з подвійною частотою навколо

середнього значення Р від нуля до амплітудного значення, тобто зажди

залишається додатною.

Середнє значення потужності за період визначається як

2cos1

sin

tdtIU

pdt

−

===

∫

∫∫

(2.28)

Виразивши амплітудні значення напруги і струму через діючі значення,

одержимо:

(2.29)

2 Електричні кола однофазного синусоїдального струму

а з врахуванням U=IR –

(2.30)

З останнього виразу витікає, що

середня потужність – це електрична

потужність, яка перетворюється в електричному опорі в тепло. Така

потужність називається

активною (active power).

2.5.2 Коло змінного струму з індуктивністю

Індуктивність (

inductance) L (Гн) – характеризує властивість

елемента кола, наприклад індуктивної котушки, під дією струму в ньому

створювати власне магнітне поле. Індуктивність при цьому враховує

енергію

магнітного поля й індукційні явища, що характеризуються

ЕРС.

Індуктивний опір (реактивний опір індуктивності) прямо

пропорційний частоті змінного струму й індуктивності кола [8]:

fLLX

= (Ом). (2.31)

Напруга на індуктивному опорі визначається як

()

imL

tIL

ψωω

+== cos (2.32)

або ж як

(

)

(

)

,sin90sin

umimL

tUtUu

ψωψω

+=++= (2.33)

звідки витікає, що в колі з індуктивною котушкою (рис. 2.4, а) струм

відстає від напруги на 90

, тобто

–

= π/2 (рис. 2.4, б), а коефіцієнт

потужності – cos

= 0.

Електротехніка. Контрольні та розрахунково-графічні роботи для студентів неенергетичних

спеціальностей

Рисунок 2.4 – До розгляду кола змінного струму з ідеальною індуктивною

котушкою: а) – схема; б) – векторна діаграма

Закон Ома для діючих значень напруги і струму в колі з котушкою

записується як

I = (2.34)

Діюча змінна напруга пов’язана з амплітудою співвідношенням

U = (2.35)

Потужність р(t) в колі з індуктивністю змінюється від нуля до

амплітудного значення двічі за період, змінюючи свій знак:

.2sinsin

sin)( tUItItUiutp

ωω

=⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+=⋅= (2.36)

Середнє значення потужності за період визначається як

,02sin

)(

=⋅=⋅=

∫∫

dttUI

dtui

(2.37)

тобто індуктивність активної потужності не споживає, що свідчить про

наявність періодичного процесу обміну енергією між джерелом

електричної енергії й магнітним полем індуктивності. Цю енергію

2 Електричні кола однофазного синусоїдального струму

називають

реактивною енергією, а відповідну їй потужність –

реактивною потужністю (reactive power):

XIUIQ

sin ==

(вар). (2.38)

2.5.3 Коло змінного струму з ємністю

Ємність (

capacity) С (Ф) – характеризує властивість елемента кола,

наприклад конденсатора, накопичувати електричні заряди і створювати

електричне поле.

В електричних установках ємності утворюються між проводами,

проводами і землею в лініях електропередач, а також між іншими

елементами струмоведучих конструкцій. В силових електроустановках

використовуються конденсатори для підвищення коефіцієнта потужності.

В радіотехніці конденсатори застосовуються в коливальних контурах,

фільтрах тощо.

Ємнісний опір (реактивний опір конденсатора) обернено

пропорційний частоті синусоїдального струму і ємності конденсатора [9]:

fCC

πω

(Ом). (2.39)

Якщо конденсатор увімкнути в коло змінного струму (рис. 2.5, а) із

синусоїдальною напругою, то він буде заряджатися в такт зміні

прикладеної напруги.

Закон Ома для діючих значень напруги і струму в колі з конденсатором

записується як

I = (2.40)

Діюче значення струму в колі визначається як

I = (2.41)

Електротехніка. Контрольні та розрахунково-графічні роботи для студентів неенергетичних

спеціальностей

Рисунок 2.5 – До розгляду кола змінного струму з конденсатором:

а) – схема; б) – векторна діаграма

В колі з конденсатором струм випереджає напругу на 90

, тобто

–

= –π/2 (рис. 2.5, б), а коефіцієнт потужності – cos

= 0.

Потужність р(t) в колі з конденсатором змінюється від нуля до

амплітудного значення двічі за період, змінюючи свій знак.

Миттєве та середнє значення потужностей в колі з конденсатором

визначається відповідно співвідношеннями (2.36) та (2.37), тобто, як і в

колі з індуктивністю, відбувається неперервний обмін енергією між

мережею та конденсатором. Потужність, що характеризує швидкість

змінення цієї енергії, називається

реактивною потужністю:

XIUIQ

sin ==

(вар). (2.42)

2.5.4 Коло змінного струму, що складається з послідовно з’єднаних

R, L, C елементів

Розглянемо загальний випадок електричного кола з послідовним

з’єднанням активного опору, реальної котушки індуктивністю L та

конденсатора С (рис. 2.6).

Рівняння за другим законом Кірхгофа для миттєвих значень напруг

записується у вигляді:

CXLRLR

uuuuu

(2.43)

2 Електричні кола однофазного синусоїдального струму

Рисунок 2.6 – Послідовне включення резистора, реальної котушки та

конденсатора в коло змінного струму

Якщо напруги виразити через струм і відповідні опори, а миттєве

значення напруги мережі записати як u = U

sinωt, то отримаємо таке

рівняння [1]:

sin

sinsinsin

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+++=

ωωω

tIX

tIXtIRtRIu

mLmLm

(2.44)

для якого векторна діаграма для діючих значень напруг буде мати вигляд

як на рис. 2.5, причому при X

> X

– коло носитиме індуктивний характер

(рис. 2.7, а), а при X

< X

– ємнісний (рис. 2.7, б).

Вектор напруги, прикладеної до кола, дорівнює геометричній сумі

векторів напруг окремих його ділянок:

CLRLR

UUUUU

(2.45)

а його величина визначається як

()()

CLRLR

UUUUU −++= (2.46)

Електротехніка. Контрольні та розрахунково-графічні роботи для студентів неенергетичних

спеціальностей

Рисунок 2.7 – Векторні діаграми напруг індуктивного (а)

та ємнісного (б) характерів

Величина

RLRa

UUU

(2.47)

називається

активною складовою напруги, а величина

CLp

UUU

−

(2.48)

–

реактивною складовою напруги.

Виразивши напруги через струм і опори, отримаємо:

()

[]

()

[]

()( )

ZIXXRRI

IXXIRRU

CLL

=−++=

=⋅−+⋅+=

(2.49)

де

Z – повний опір кола, який визначається як

()( )

CLL

XXRRZ −++=

(2.50)

де

RRR

(2.51)