Румянцев Н.В., Медведева М.И., Полшков Ю.Н., Пелашенко А.В. Практикум по решению задач курса Высшая математика
Подождите немного. Документ загружается.
ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Румянцев Н.В., Медведева М.И.,
Полшков Ю.Н., Пелашенко А.В.
ПРАКТИКУМ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
КУРСА
«ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»
Учебное пособие
ЧАСТЬ 2
Утверждено на заседании кафедры
математики и математических ме-
тодов в экономике Донецкого
национального университета
протокол № 3 от 16.10.2008 г.
1
Донецк – 2008
ББК 22.1
УДК 516+517(076.1)
Практикум по решению задач курса «Высшая математика»: Учебное посо-
бие. Часть 2 / Сост. Н.В.Румянцев, М.И.Медведева, Ю.Н.Полшков,
А.В.Пелашенко. – Донецк: ДонНУ, 2008. – 72 с.
В практикуме приведены задания для самостоятельной и индивидуальной
работы по всем основным темам курса «Высшая математика». Рассмотрены
подробные решения типовых задач,
а также необходимый теоретический мате-
риал. Практикум составлен в соответствии с программой курса “Математика
для экономистов”, изучаемой студентами всех экономических специальностей.
Пособие может быть использовано преподавателями при подготовке и прове-
дении практических занятий, а также для самостоятельной работы студентов
любой формы обучения.
Рецензенты: д.ф-м.н., проф. Горр Г.
В.,
д.т.н., проф. Улитин Г.М.
Ответственный за выпуск: Румянцев Н.В., д.э.н., проф.
© Донецкий национальный университет, 2008
2
© Н.В.Румянцев, М.И.Медведева, Ю.Н.Полшков, А.В.Пелашенко
РАЗДЕЛ 3
ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
ТЕМА 1
ФУНКЦИЯ
Понятие функции. Основные свойства функции
Пусть
x
DR∈⊂
и две произвольные переменные. Если каж-
дому значению переменной
yE R∈⊂
x
по некоторому закону поставлено в соответствие
единственное значение переменной
, то говорят, что на множестве
y
D
задана
числовая функция
. При этом ()yfx=
x
– независимая переменная, – зави-
симая,
y
f
– закон соответствия,
D
– область определения функции,
E
– множе-
ство значений функции.
Функция
()yFu
=
, где ()ugx
=
называется сложной функцией или су-
перпозицией функций () и ()yFu= ugx
=
и обозначается . (())yFgx=
Функция называется неявно заданной (неявной), если она задана уравне-
нием
, которое не разрешимо относительно переменной . Система
уравнений
(, ) 0
Fxy=
y
(),
()
yut
x
vt
=
⎧
⎨
=
⎩
определяет параметрическую зависимость функции от переменной
y
x
(
t
– пара-
метр). Говорят, что функция задана параметрически.
Если для каждой пары
12
,
x
xXD
∈
⊂
такой что
12
x
x
<
справедливо нера-
венство
12
() ()
f
xfx≤
(
1
() ()
2
f
xfx≥
), то функция ()yfx
=
называется возрас-
тающей (убывающей). Если для каждой пары
12
,
x
xXD
∈
⊂
такой что
12
x
x
<
справедливо неравенство
12
() ()
f
xfx
<
(
1
() ( )
2
f
xfx>
), то функция () на-
зывается строго монотонно возрастающей (строго монотонно убывающей).
Множество точек
на числовой прямой называется симметричным относи-
тельно начала координат, если для любого числа
yfx=
X
x
X
∈
число
x
−
также при-
надлежит множеству
. Функция ()
X
yfx
=
, заданная на множестве называ-
ется четной, если
X
1) множество симметрично относительно начала координат;
X
2)
для любого
x
X∈
справедливо равенство () ()
f
xfx
−
= .
Функция ()yfx
=
, заданная на множестве называется нечетной, если
X
1)
множество симметрично относительно начала координат; X
2)
для любого
x
X∈
справедливо равенство () ()
f
xfx
−
=− .
3
Если функция не является ни четной, ни нечетной, то она называется
функцией общего вида.
Функция определенная на множестве
называется ограничен-
ной на этом множестве, если существует положительное число
()yfx=
X
M
такое, что
для всех
x
X∈
справедливо равенство |()|
f
xM
≤
.
Примеры решения задач
Пример 3.1. Найти область определения функции
2
log ( 1)
2
x
y
x
−
=
−
.
Решение. Заданная функция определена для всех значений переменной
x
,
удовлетворяющих условиям
10,
20
x
x
−>
⎧
⎨
−≠
⎩
,
или
1,
2.
x
x
>
⎧
⎨
≠
⎩
Следовательно, областью определения данной функции являются интер-
валы (1; 2) (2; )
x
∈+∪ ∞.
Пример 3.2. Доказать, что функция
2
yx
=
является убывающей на мно-
жестве (; и возрастающей на множестве [0−∞ ] 0; )
+
∞ .
Решение. Пусть
12
0xx
−
∞< < ≤
тогда
22
12121212
() () ( )( ) 0fx fx x x x x x x− =−= − + >
,
так как и . Следовательно,
12
0xx+<
12
0xx−<
1
() ( )
2
f
xfx>
для
, т.е. функция является убывающей на интервале (;.
Аналогично для
получаем
12
0xx−∞ < < ≤
2
yx=
0−∞ ]
<
2
12
0 xx≤<<+∞
22
12121212
() () ( )( ) 0fx fx x x x x x x−=−=− +
,
так как и . Следовательно,
12
0xx+>
12
0xx−<
1
() ()
f
xfx
<
и функция
2
yx
=
является возрастающей на интервале [0; )
+
∞ .
Пример 3.3. Является ли четной или нечетной функция:
1) ; 2) ; 3)
3
yx x=−
5 2
cosyx x=
2
1
sinyx
x
= .
Решение. 1) Область определения (;)
x
∈
−∞ +∞ рассматриваемой функции
является симметричной относительно начала координат. Так как
, то функция не-
четная. Заметим, что здесь можно было воспользоваться свойством нечетных
функций: сумма (разность) двух нечетных функций есть функция нечетная.
353535
()() () ( ) (yx x x x x x x yx−=− −− =−+ =− − =− )
53
yx x=−
4
2) Так как функции
2
yx
=
и
cosyx
=
четные и заданны на одном и том
же множестве (;)
x
∈−∞+∞, то их произведение будет также четной функцией.
Четность заданной функции также может быть определена по определению:
.
22
()()cos() cos (yx x x x xyx−=− −= = )
3)
Функция
2
1
sinyx
x
= определена для всех (;0)(0;)
x
∈
−∞ +∞∪ . Так как
(
)
(
)
22
()()sin1 sin1 (yx x x x x yx−=− − =− =− )
, то данная функция будет нечетной.
Пример 3.4. Найти линейную функцию, если (0) 5, (1) 2
f
f
=
= .
Решение. По условию ()
f
x – линейная функция, т.е. ( )
f
xax=+b. Тогда
(0) 5
f
b== и (1) 2 2 3
f
xb x b
=
+=⇒=−=−.
Следовательно, ( ) 3 5
f
xx=− + .
Пример 3.5. Найти квадратичную функцию, если (0) 1, ( 1) 3
f
f=−=,
(1) 5
f
= .
Решение. Так как ()
f
x – квадратичная функция, то
2
()
f
xaxbx=++c
.
Тогда
(0) 1, 3,
(1) 3, 1,
(1) 5, 1.
fc a
fabc b
fabc c
== =
⎧⎧
⎪⎪
−
=−+= ⇒ =
⎨⎨
⎪⎪
=++= =
⎩⎩
Отсюда
2
() 3 1
f
xxx=++
.
Задачи для самостоятельного решения
3.1. Найти линейную функцию ()yfx
=
, если
1) ( 2) 10, (1) 5
f
f−= =−; 2) ( 10) 2, (5) 1
f
f
−
=− = ;
3) ( 4) 2, (6) 3
f
f−= =−; 4) ( 1) 1, (1) 5
f
f
−
==;
5) ( 3) 3, (6) 0
f
f−= =; 6) (0) 1, (4) 9
f
f
=
=− .
3.2. Найти квадратичную функцию ()yfx
=
, если
1) ( 1) 1, (3) 3, (6) 12
f
ff−=− =− = ; 2) ( 3) 11, (0) 10, (2) 6
f
ff
−
=− = =− ;
3) ( 2) 9, (1) 3, (3) 19
f
ff−= = = ; 4) ( 4) 1, (2) 4, (6) 4
f
ff
−
=− =− = ;
5) ( 1) 1, (3) 3, (6) 12
f
ff−=− =− = ; 6) ( 2) 9, ( 1) 4, (3) 24
f
ff
−
=−= =.
3.3. Найти область определения функции ()yfx
=
, если:
1)
2
() 4fx x=−
; 2)
23
( ) log (3 ) log ( 2)fx x x
=
−+ −
;
3)
() cos 5fx x=−
; 4)
2
() 16
f
xx
=
−
;
2
9
()
1
x
fx
x
−
=
−
; 6)
1
1
() 2
x
fx
−
=
;
5)
5
2
2
()
5
7)
6
+
; 8)
x
fx
xx
−
=
−
22
3
() 1 2 4fx x x x
=
−+ − + −
;
5
()
9);
3+
10)
fx x
x
=−+
;
2
2
() log( 3 10)fx x x=+−
11)
2
2
2
16
()
log ( 3 10)
x
fx
xx
−
=
+−
1
() ln(3 )
3
fx x
x
=−+
+
.
; 12)
3.4. функцииНайти множество значений :
1)
2
2yx=+−x
; 2)
2
1
x
1x
y
−
=
+
;
x;
]
.
. Найти y− и
) 5, 0,
3, 0.
x
x
x
+>
⎧
⎪
==
⎨
⎪
<
⎩
3.6. Дана функция . Найти:
; ; 3) ; 4) ;
)
3) sin | cos |yx=+ 4)
24
,[1;4yx xx=− ∈−
3.5 , (0), (1), (3)yyy, есл ( 2)
2, 0,xx
(yx
2
yx x=+
1) ( )yx− 2) ( 1)yx− (1/ )yx (cos )yx
5)
2
()yx
; 6 ()yx; ; 8) 7) (( ( ))yyx
11
() 2
2
yx y
x
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠
.
. Дан ия3.7 а функц ()
1
x
yx
x
=
; ; 3) ;
)
+
. Найти:
1) ( )yx− 2) 1/ ( )yx (2 )yx
4) ( ) 1yx+ ; 5 6) 2 ( )yx; (1 )yx
−
.
. Явля и четными и че ми следующие функции:
)yx= ; 2)
3.8 ются л ли не тны
1) os sin(c
21yx
=
−
; ; 3)
3
|sin |yx=
4)
1
ln
1
x
y
x
+
= ; 5)
−
22
3
x
x
y
−
−
=
; 6)
33
2
x
x
y
−
+
=
;
7)
1
yx
x
=+; 8)
1
|1
x
y
x |
−
=
−
; 9)
2
(1 2 )
2
x
x
y
+
=
;
10)
; 11) ; 12)
3.9. и ()
24
yx x=−
2
sinyx x=
1
,[2;4yxx x
−
=+ ∈ ]
.
Функци
f
x и ()gx опре ы на множестве
X
делен , симметричном от-
носительно начала ко . Является ли чет обосновать): ординат ной функция (ответ
1) () ()
f
xgx+ и , есл ()
f
x и ()gx – четные функции;
2) () ()
f
xgx− , если ()
f
x и ()gx – четные функции;
3)
()()
f
xgx, если ()
f
x етные функции; и – ч ()gx
4)
()()
f
xgx, если ()
f
x ункция, а ()gx – неч – четная ф етная функция.
. Фун3.10 кции ()
f
x естве , симметричном
относительно нач ой ф ать):
и ()gx определены на множ
X
ала координат. Является ли нечетн ункция (ответ обоснов
6
1) () ()
f
xgx+ , если ()
f
x ()x – нечетные функции;
2) () ()
и g
f
xgx− , если ()
f
x и ()gx – нечетные функции;
3) ()()
f
xgx, если ()
f
x и x – (g нечетные функции; )
4) ()()
f
xgx, если ()
f
x – ная тная функция.
1. Явля огра енн т обосновать):
чет функция, а ()gx – нече
3.1 ется ли нич ой снизу функция (отве
1)
2)
arctgyx
=
; )
2
logyx=
;
2
yx=
; 3
4)
3
yx=
; 5)
arcctgyx
=
; 6)
ctgyx=
.
3.1 ляется ли ограниче рху функция (о2. Яв нной све твет обосновать):
1)
yx
; 2)
2
1yx=
; 3)
tgyx=
;
=
4) 5yx=+; 5) sinyx
=
; 6)
(1 / )
x
y
π
=
.
3.1 яется ли ограниче ункция (ответ об ать3. Явл нной ф основ ):
=1) x; 2) arcsiny
2
x
y
=
; ; 3)
cosyx=
4)
logyx= ; 5)
0,5
2
3
yx=
; 6)
tgyx=
.
ТЕМ
ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙ ДОВАТЕЛЬНОСТИ
Если к оставлено в
соотв тствие
А 2
ПОСЛЕ
Понятие числовой последовательности и ее предела
аждому натуральному числу
n
по некоторому закону п
единственное число е
n
x
, то говорят, что задана числовая последо-
вательность
123
, , ,..., ,...
n
x
xx x
. Числа
123
, , ,..., ,...
n
x
xx x
называются членами по-
следовательности,
n
x
– общим членом последовательности, число n – поряд-
ковым номером члена последовательности
n
x
. Последовательность обозначают
так:
{
}
1nn
х
∞
=
,
{
}
n
х
ил
, 1,2,...
n
х n =
.
Из определения следует, что последовательность является числовой функ-
цией ()n
и
yf= , заданной на множестве натуральных чисел
, т.е
N
.
()
n
x
fn=
.
Число а называется пределом последовательности
{
}
n
х
при
n →∞
, если
для лю
0>
существует () 0NN
ε
=
> , зависящее от , тако я
бого
ε
ε
е, всех что дл
()nN
ε
> справедливо неравенство
n
xa
−
<
ε
. Обозначают:
lim
n
n
x
a
→∞
=
или
n
x
a→
при
n
.
тервал (,)aa
→∞
Ин
−
+
ε
ε
называет тностью числа а к а).
исло вает
ся
ε
-окрес (или точ и
Тогда ч а ся пределом последовательностиназы
{
}
n
х
при если
для лю
n →∞
,
бого
0>
ε
найдется такой номер () 0NN
ε
=
> , что для всех ()nN
ε
> все
члены последовательности
{
}
n
х
будут находиться в
ε
-окрестности ч .
Последовательность, имеющая пре ется сходящейс тив-
ном случае – расходящейся.
исла а
дел, называ я, в про
7
Бесконечно малая величина и ее свойства
оследовательность П
n
α
называется бесконечно малой величиной (б.м.в.),
если
lim 0
n
n
α
→∞
=
.
м
но малая
2)
Произведение бесконечно малой величины на константу есть величи-
на бес
едение бесконечно малой величины на ограниченную последо-
ватель с
конечного числа бесконечно малых величин есть вели-
чина
овательности
1)
Алгебраическая су ма бесконечно малых величин есть величина бес-
конеч .
конечно малая.
3)
Произв
но ть есть величина бесконечно малая.
4)
Произведение
бесконечно малая.
5)
Для существования предела а послед
{
}
n
х
необходимо и
достаточно, чтобы последовательность
{
}
n
х
a
−
была бесконечно малой величиной.
ес онечно большая величина. Связь между бесконе большой
и бесконечно м еличинами
Б к чно
алой в
Последовательность
{
}
n
х
называется бесконечно большой величиной
(б.б.в.), если для любого числа
0
M
<
<+∞
, существует номер , такой, что
для всех
N
nN>
справедливо
n
неравенство
||
x
M>
.
1)
Если
n
α
– б.м.в. и
n
0
α
≠
ная ей последователь сть , то обрат но
1
n
y
n
α
=
есть б.б.в.
2)
Если – б.б.в. и , то обратная ей последовательность
n
y 0
n
y ≠
1
n
n
y
α
=
есть б.м.в.
Предельный переход при арифметических операциях
сли последовательностиЕ
{
}
n
х
и
{
}
n
n
nn
y
сходящиеся и
n
lim , lim
x
AyB
→∞ →∞
=
=
, то
)1
lim( ) lim lim
nn n n
nnn
x
yxyAB
∞
±= ± =±
;
→∞ →∞ →
2)
lim( ) lim lim
nn n n
nnn
x
yx A⋅= ⋅ ⋅yB
→∞ →∞ →∞
=
;
, где
lim lim
nn
nn
cx c x cA
→∞ →∞
==
cconst
=
3)
;
()
lim
lim , lim 0
lim
n
n
n
n
nn
nn
n
x
xA
y
yyB
→∞
→∞
4)
→∞
→∞
== ≠
.
8
Примеры решения задач
ример 3.6. Написать первые пять членов последовательности
2
1
n
а n
=
+
П .
Решение. Подставляя значения
1; 2;3; 4;5n
=
, получаем
2
,
а =
2
1
11а =+=
2
15+=
,
2
3
3110а
=
+=
,
2
4
4117а
=
+=
,
2
5
5126а
=
+=
. Таким ,
2
2
образом
получили последовательность
{
}
2; 5; 10; 17;
р я редела ательности, дока-
зать что
26
.
Приме 3.7. Использу определения п последов
2
lim 1
n
n
n
→∞
+
=
.
Решение. Надо доказать, что для любого положительного числа
ε
найдется
номер
N
о
, зависящий т
ε
, такой, что для всех справедливо не
nN>
равенство
2
1
n
n
ε
+
−<
,
или
222
1
n
nnn
ε
+
−= = <
(т.к.
nN
∈
, то и ).
Отсюда
0n >
||nn=
2/n
ε
>
. Таким образом, е ять н льно большее, чем сли вз атура е число
N
,
2/
ε
, например,
[
]
() 2/ 1NN
ε
ε
==+
(где
[
]
2/
ε
– целая часть числа
2/
ε
), то для
буде
всех
n>
т выполняться неравенство
N
[]
222
2/
2 2
1
() 2/ 1
n
nnN
ε
εε
−= < < =
+
.
ε
+
<
Что и требовалось доказать.
Пример 3.8. Найти пределы:
2
3)
2
2
(2
lim
23
n
nnn
nn
→∞
−−
++
1)
2
23
n
nn
→∞
++
31
lim
nn+−
; 2)
3
2
25
(1)23
nn
nn
−+
−
++
;
lim
n→∞
)
.
ение. В приведенных примерах выражения, стоящие под знаком пре-
дела п
представляю обой отношение д еск чно больших в
личин
таршу
Реш
ри
т с вух б оне е-
n →∞
. Для вычисления предела числитель и знаменатель дроби можно разде-
лить на с ю степень значения
n
и воспользоваться тем, что при
0k >
1
lim 0
k
n
n
→∞
= .
9
1)
2
2
22
2
2
2
2
31 11
3
31
lim lim lim 3
23
23
23
1
nn x
nn
nn
nn
nn
nn
nn
n
→∞ →∞ →∞
+−
+−
+−
n
=
==
++
++
++
;
(т.к.
22
21 3 1
lim lim lim lim 0
nnn n
nnn n
→∞ →∞ →∞ →∞
== = =).
2)
333
22 2
25 25 25
lim lim lim
(1)23 2123 4
nn n
nn nn nn
nn nnn n
→∞ →∞ →∞
−+ −+ −+
==
−++ −+++ +
=
3
323
2
3
3
25 25
1
1
lim lim
14
4
0
nn
nn
nnn
n
nn
n
→∞ →∞
−+
−+
⎛⎞
===
⎜⎟
+
⎝⎠
+
=∞
.
3)
222
2
2
22
2
2
22
(2) 2
lim lim lim lim 0
23
23
23 23
1
nnnn
n
nnn nn n
nn
nn
nn nn
nn
n
→∞ →∞ →∞ →∞
−− −+
===
++
++ ++
++
=
.
При вычислении пределов последовательностей из примера 3.8 можно
было воспользоваться следующим правилом:
1
10
1
10
0, если ,
...
lim , если ,
...
, если .
mm
mm m
kk
n
kk k
mk
an a n a a
mk
bn b n b b
mk
−
−
−
→∞
−
⎧
<
⎪
+++
⎪
=
=
⎨
+++
⎪
⎪
∞
>
⎩
Пример 3.9. Вычислить
2
sin
lim
n
n
n
→∞
.
Решение. Так как
для всех и
|sin | 1n <
n
2
1
lim 0
n
n
→∞
=
, то выражение
2
sin n
n
представляет собой произведение ограниченной последовательности на б.м.в.
Тогда
2
sin
lim 0
n
n
n
→∞
=
.
Пример 3.10. Вычислить lim 3
n
n
n
→∞
.
Решение. Используем известные пределы:
10