Русаков В.С. и др. Механика. Методика решения задач

Глава 6. Кинематика и динамика абсолютно твердого тела

191

∑

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

i

ii

t

m

d

,

r

rL

. (6.22)

Преобразуем (6.22) с учетом (6.21):

∑∑∑

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

′

+

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

′

+=

i

ii

i

ii

t

m

t

m

t

m

d

,

d

,

d

,

цмцм

r

rrL

[]

[

]

0цм0цмцмцм

,,, LLLprprpr +≡+=

′

+=

∑

i

ii

i

, (6.23)

где

i

p – импульс i-ой материальной точки механической системы,

∑∑

=≡

i

ii

m pυp

цм

– импульс центра масс этой системы,

[]

∑

′

≡

i

ii

prL ,

0

– момент импульса механической системы относи-

тельно центра масс O' и

[

]

цмцмцм

, prL

≡

– момент импульса центра

масс механической системы относительно точки O, в лабораторной

системе отсчета.

Введем поступательно движущуюся систему отсчета S', на-

чало которой O' совпадает с центром масс механической системы и

осями, ориентированными параллельно осям лабораторной систе-

мы отсчета (см. рис. 6.4). В соответствии с принципом суперпози-

ции движений (см. п. 1.1 и формулу (1.26) в Главе 1)

можно запи-

сать:

ii

υυυ

′

+

=

цм

, (6.24)

В соответствии с (6.24) импульс

i-ой материальной точки ме-

ханической системы относительно лабораторной системы отсчета

равен:

iii

m pυp

′

+

=

цм

. (6.25)

Подставляя (6.25) в (6.23), получаем:

[]

[

]

[

]

[

]

[

]

=

′′

+

′

+=

′

+=

∑

i

ii

i

ii

m prυrprprprL ,,,,,

цмцмцмцмцм

[]

∑∑

′′

+

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

′

+=

i

ii

m prυrpr ,,,

цмцмцм

. (6.26)

В соответствии с определением центра масс (см. Главу 3)

0=

′

∑

i

ii

m r , следовательно, выражение (6.26) для момента импульса

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

192

механической системы относительно произвольной неподвижной

точки О принимает вид:

[]

[

]

[

]

0цмцмцмцм

,,, LprprprL

′

+=

′′

+=

∑

i

, (6.27)

[]

∑

′′

≡

′

i

prL ,

0

–момент импульса механической системы относи-

тельно центра масс O' в системе отсчета S'.

Таким образом, момент импульса механической системы от-

носительно неподвижной точки в лабораторной системе отсчета

равен сумме момента импульса центра масс этой системы относи-

тельно данной точки и момента импульса механической системы

относительно ее центра масс. Заметим, что момент импульса

меха-

нической системы относительно ее центра масс в лабораторной

системе отсчета и в системе центра масс одинаковы (ср. (6.23) с

(6.27)).

Сформулированное утверждение справедливо для абсолютно

твердого тела, поскольку оно является механической системой.

В случае вращения абсолютно твердого тела относительно

неподвижной точки скорость материальной точки и угловая ско-

рость вращения тела связаны

соотношением (6.15), следовательно,

момент импульса относительно этой точки может быть представ-

лен в виде:

[]

[

]

[

]

(

)

=−===

∑

∑∑

i

iiii

i

iii

i

iii

mmm )(,,

2

ωrrωrωrrυrL

()

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−−−

=

∑∑∑

z

y

x

i

iii

i

iii

i

iii

i

iii

i

iii

i

iii

i

iii

i

iii

i

iii

zrmyzmxzm

zymyrmxym

zxmyxmxrm

ω

22

Jω=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

z

y

x

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

JJJ

ω

. (6.28)

Глава 6. Кинематика и динамика абсолютно твердого тела

193

Здесь

i

r – радиус-вектор i-ой материальной точки массой

i

m ,

i

υ –

ее скорость,

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

z

y

x

ω

ω – угловая скорость вращения тела и

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

JJJ

J

– тензор инерции абсолютно твердого тела

относительно неподвижной точки.

Диагональные элементы тензора

zzyyxx

JJJ ,, называются осе-

выми моментами инерции

, а недиагональные

yxxy

JJ

=

,

zxxz

JJ = ,

zyyz

JJ = – центробежными моментами инерции. Осевые момен-

ты инерции в соответствии с определением являются моментами

инерции тела относительно соответствующих осей координат.

Поскольку тензор инерции тела является симметричным тен-

зором, он обладает

главными осями инерции, при записи в кото-

рых диагонализуется:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

z

y

x

J

00

J

. (6.29)

В этом случае центробежные моменты инерции равны нулю,

а осевые моменты инерции

x

J

,

y

J и

z

J

называются главными

моментами инерции тела

, при этом:

ααα

ωL J

=

, (6.30)

где

α

L и

α

ω – составляющие момента импульса L и угловой ско-

рости ω вдоль главных осей инерции (

zy

x

,,

=

α

).

Заметим, что в случае сферической симметрии абсолютно

твердого тела

JJJJ

zyx

≡

== и согласно (6.28) направления мо-

мента импульса тела и его угловой скорости вращения совпадают:

ωJωL J=

=

. (6.31)

Поскольку в системе центра масс S' абсолютно твердое тело

вращается с угловой скоростью

ω , его момент импульса относи-

тельно центра масс равен:

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

194

ωJLL

0

=

′

=

. (6.32)

Здесь

0

J – тензор инерции абсолютно твердого тела относительно

его центра масс.

Следовательно, выражение для момента импульса механиче-

ской системы относительно неподвижной точки в лабораторной

системе отсчета равен:

ωJLL

0цм

+

=

. (6.33)

Момент импульса

n

L механической системы относитель-

но некоторой оси

– проекция на эту ось момента импульса относи-

тельно произвольной точки, лежащей на данной оси:

()

nL

=

n

L , (6.34)

где

n – единичный вектор, задающий направление оси.

Найдем связь между моментом импульса тела

n

L относи-

тельно некоторой оси в заданной системе отсчета и моментом им-

пульса тела

n0,

L относительно оси, проходящей через центр масс и

параллельной заданной оси, в системе отсчета, связанной с цен-

тром масс. Умножая скалярно на единичный вектор

n левую и

правую части соотношения

0цм

LLL += , получаем:

nnn

LLL

,0цм,

+

=

, (6.35)

где

n

L

цм,

– момент импульса центра масс тела относительно задан-

ной оси в лабораторной системе отсчета.

Точка приложения силы – материальная точка, на которую

действует сила.

Момент силы относительно точки

M

– векторное произ-

ведение радиус-вектора

r

точки приложения силы на силу

F

:

[]

rFM

=

. (6.36)

Момент силы относительно оси

n

M – проекция на эту ось

момента силы относительно произвольной точки, лежащей на дан-

ной оси:

()

nM=

n

M . (6.37)

Глава 6. Кинематика и динамика абсолютно твердого тела

195

Равнодействующая сил

В ряде случаев, когда несколько сил действует на абсолютно

твердое тело, их действие можно заменить действием одной равно-

действующей силы. Это возможно, поскольку движение абсолютно

твердого тела определяется в общем случае совокупностью двух

уравнений – уравнением движения центра масс тела и уравнением

моментов относительно некоторой точки, неподвижной относи-

тельно инерциальной системы отсчета

.

Понятие равнодействующей силы можно ввести только для

совокупности сил, действующих на абсолютно твердое тело, если

сумма этих сил не равна нулю и если существует точка простран-

ства, относительно которой сумма моментов действующих на тело

сил равна нулю.

Равнодействующая

p

F совокупности сил

{

}

i

F , действую-

щих на абсолютно твердое тело, – сила, равная сумме этой сово-

купности сил

∑

=

i

FF

p

; точка приложения равнодействующей

силы совпадает с точкой, относительно которой сумма моментов

этих сил равна нулю. Точка приложения равнодействующей силы

не обязательно должна совпадать с одной из материальных точек

тела, на которое действует совокупность сил.

Под

силой инерции, действующей на произвольно дви-

жущееся абсолютно твердое тело

, в дальнейшем понимается рав-

нодействующая сил инерции для материальных точек этого тела

(см. Главу 4) в неинерциальной системе отсчета, которая движется

поступательно относительно инерциальной системы отсчета. В

этом случае равнодействующая сил инерции приложена к центру

масс тела.

Центр тяжести тела – точка приложения равнодействующей

сил тяжести, действующих на материальные точки этого тела при

его произвольной ориентации в однородном поле сил тяжести (на-

пример, вблизи земной поверхности). Центр тяжести тела опреде-

ляется только распределением массы в этом теле и может не совпа-

дать ни с одной из материальных точек данного тела.

Уравнения движения абсолютно твердого тела – уравне-

ние движения центра масс (см. Главу 3) и уравнение моментов для

этого тела относительно инерциальной системы отсчета.

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

196

Уравнение моментов (закон изменения момента импуль-

са) для механической системы относительно точки

– скорость

изменения момента импульса системы

L относительно данной точ-

ки в инерциальной системе отсчета равна сумме моментов внеш-

них сил

ex

M

, действующих на систему:

ex

d

M

L

=

t

, (6.38)

где

[

]

∑∑

==

i

ii

i

exexex

FrMM .

Уравнение моментов (закон изменения момента импуль-

са) для механической системы относительно неподвижной оси

– скорость изменения момента импульса системы

n

L относительно

данной оси в инерциальной системе отсчета равна сумме моментов

внешних сил

ex

n

M , действующих на систему:

ex

d

n

M

t

L

= . (6.39)

Момент инерции тела относительно оси – физическая ве-

личина, равная сумме произведений масс материальных точек, из

которых состоит тело, на квадрат расстояния их до оси:

∑

=

i

ii

rmJ

2

. (6.40)

В случае непрерывного распределения в пространстве массы

тела, расчет момента инерции тела сводится к вычислению инте-

грала:

∫∫

==

V

VrmrJ dd

22

ρ

, (6.41)

где

r

– расстояние от элемента тела объемом Vd и массой md,

ρ

– плотность тела.

Теорема Гюйгенса − Штейнера – момент инерции тела

J

относительно произвольной оси равен сумме момента инерции те-

ла

0

J относительно оси, проходящей через центр масс тела и па-

раллельной данной и произведения массы тела на квадрат расстоя-

ния между осями:

2

0

maJJ += . (6.42)

Глава 6. Кинематика и динамика абсолютно твердого тела

197

Вычислим моменты инерции однородных тонкого стержня,

цилиндра и шара относительно осей, проходящих через их центры

масс.

Момент инерции тонкого стержня относительно оси, прохо-

дящей через центр масс перпендикулярно стержню, в соответствии

с (6.41) равен:

12

d

2

/2

2

ст

ml

x

l

m

xJ

l

==

∫

−

, (6.43)

где

m − масса стержня, l − его длина, x − декартова координата ма-

териальной точки стержня с началом отсчета в центре стержня.

Момент инерции однородного цилиндра (диска) относитель-

но его оси в соответствии с (6.41) равен:

2

ddd

2

/2

/2 0

2

0

2

ц

mR

zrrrJ

L

R

==

∫∫∫

−

π

ϕρ

, (6.44)

где

m, R и L − масса, радиус и длина цилиндра, r и z − цилиндриче-

ские координаты материальной точки цилиндра.

Момент инерции однородного шара относительно оси, про-

ходящей через его центр, в соответствии с (6.41) равен:

()

2

00

2

0

2

ш

5

2

dddsinsin

mRrrrJ

R

==

∫∫∫

ππ

ϑϕϑρϑ

, (6.45)

где

m и R − масса и радиус шара, r,

ϕ

и

ϑ

− сферические координа-

ты материальной точки шара.

Плоское движение абсолютно твердого тела

Если в качестве оси вращения выбрать ось

n

, проходящую

через центр масс абсолютно твердого тела, то его уравнениями

движения будут:

- уравнение движения центра масс (см. Главу 3)

ex

цм

Fa =m ; (6.46)

- уравнение моментов относительно оси

n

, проходящей че-

рез центр масс

ex

0,0,

d

nn

M

t

J =

ω

. (6.47)

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

198

Здесь

m

– масса тела,

цм

a

– ускорение центра масс тела,

ex

F

–

сумма всех внешних сил, действующих на тело,

n

J

0,

– момент

инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс и

перпендикулярной плоскости движения,

ω

– угловая скорость

вращения тела относительно этой оси,

ex

0,n

M – сумма моментов

внешних сил, действующих на тело, относительно той же оси.

Вращательное движение абсолютно твердого тела

В случае вращательного движения абсолютно твердого тела

вокруг неподвижной относительно инерциальной системы отсчета

оси уравнением движения тела будет

уравнение моментов для

этого тела относительно данной оси, которое принимает вид:

ex

d

nn

M

t

J =

ω

, (6.48)

где

n

J

– момент инерции тела относительно оси,

ω

– угловая ско-

рость вращения тела,

ex

n

M – сумма моментов внешних сил, дейст-

вующих на тело.

Заметим, что при рассмотрении плоского движения абсолют-

но твердого тела в ряде случаев удобно записывать уравнение мо-

ментов (6.45) относительно неподвижной оси, совпадающей в дан-

ный момент времени с мгновенной осью вращения.

6.2. Основные типы задач и методы их решения

6.2.1. Классификация задач кинематики и динамики

абсолютно твердого тела

Большинство задач кинематики и динамики твердого тела

можно условно отнести к следующим типам задач или их комбина-

циям.

1. Кинематика абсолютно твердого тела:

а) определение линейной скорости некоторой точки твердого

тела,

б) определение угловой скорости вращения для плоского

движения твердого тела,

в) определение мгновенной оси вращения при плоском дви-

жении,

Глава 6. Кинематика и динамика абсолютно твердого тела

199

г) определение угловой скорости вращения твердого тела при

сложном (не плоском) движении твердого тела.

2. Динамика абсолютно твердого тела:

а) определение углового ускорения при плоском движении

твердого тела,

б) определение ускорения центра масс твердого тела при од-

новременном вращательном и поступательном плоском движении

твердого тела,

в) определение сил взаимодействия между твердыми

телами

при их движении (силы трения, силы упругости).

6.2.2. Общая схема решения задач кинематики и динамики

абсолютно твердого тела

I.

Определиться с моделями материальных объектов и явле-

ний.

1. Нарисовать чертеж, на котором изобразить рассматривае-

мые тела.

2. Выбрать систему отсчета и изобразить на чертеже ее сис-

тему координат, а также точку (ось), относительно кото-

рой будет рассматриваться вращение тела (из соображе-

ний удобства).

3. Изобразить и обозначить на чертеже все необходимые си-

лы и кинематические характеристики системы.

4. Выбрать

модели тел (если это не сделано в условии задачи)

и рассмотреть особенности их движения.

5. Провести анализ действующих на тела системы сил и их

моментов относительно выбранной точки (оси) вращения.

II. Записать полную систему уравнений по отношению к иско-

мым величинам.

1. Записать уравнения движения для тел системы в выбран-

ной системе отсчета.

2. Записать уравнения моментов для тел системы относи-

тельно выбранных осей.

3. Записать законы, описывающие индивидуальные свойства

сил.

4. Записать моменты сил, действующих на тела системы.

5. Записать моменты инерции тел относительно выбранных

осей вращения.

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

200

6. Записать уравнения кинематической связи.

7. Использовать результаты ранее решенных задач и особые

условия задачи.

III. Получить искомый результат в аналитическом и числен-

ном видах.

1. Решить систему полученных уравнений.

2. Провести анализ решения (проверить размерность и лиш-

ние корни, рассмотреть характерные случаи, установить

область применимости).

3. Получить численный результат.

Примечание.

В задачах на кинематику движения абсолютно твердого тела

п. I.5 и пп. II.1 – II.5 можно опустить.

6.3. Примеры решения задач

6.3.1. Кинематика абсолютно твердого тела

Задача 6.1

Колесо радиусом

R катится с проскальзыванием по горизон-

тальной поверхности. Модуль скорости верхней точки обода коле-

са А, лежащей на вертикальном диаметре, равен

A

υ

. Модуль ско-

рости точки обода колеса B, лежащей на горизонтальном диаметре,

равен

AB

5

υ

=

. Определить угловую скорость вращения колеса

ω

,

скорость движения его центра

0

υ

и положение мгновенной оси

вращения колеса M (рис. 6.5).

Рис. 6.5

A

B

α

M

y

0

y

M

Y

0

X

0

υ

A

υ

B

υ

0

υ

R

ω

O

α

Русаков В.С. и др. Механика. Методика решения задач

Подождите немного. Документ загружается.