Саитова Р.З., Карамов В.И. (сост.) Контрольные задания по математике для слушателей подготовительных курсов
Подождите немного. Документ загружается.
МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра математики
Контрольные задания по математике
для слушателей заочных подготовительных курсов
Уфа 2003
УДК 51(076)
ББК 22.11
К65
Рекомендовано к изданию методическим советом факультета механизации
сельского хозяйства
(протокол № 45 от 15 сентября 2003 г)
Составители: ст. преподаватели кафедры математики
Саитова Р.З., Карамов В.И.
Ответственный за выпуск:
зав.кафедрой математики
Лукманов Р.Л.
2
Цель задания – углубление знаний по математике, подготовка к единым
государственным экзаменам и вступительным экзаменам в вузы.
Предлагаемые задачи рассчитаны на учащихся, успешно освоивших
программу средней школы и способных к самостоятельной работе. Задания
содержат задачи средней и повышенной трудности. Для их решения достаточно
знаний, полученных в школе.
После каждой контрольной работы приведены примеры решений типовых
задач. При наличии нескольких способов решения нужно выбрать из них
наиболее простой и интересный и кратко описать другие пути решения задач.
Выполненные задания высылаются в университет для проверки.
Проверенные работы отправляются обратно.
К оформлению работы предъявляются следующие требования:
1. Задание должно быть правильно и грамотно оформлено. Каждая работа
выполняется в отдельной ученической тетради, на обложке указываются
фамилия, имя, отчество, факультет, номер контрольной работы и подробный
домашний адрес с указанием почтового индекса
2. Чертежи и графики должны быть выполнены четко. При необходимости
чертежи могут быть многоцветными.
3. Решение задач должно быть подробно пояснено с указанием
использованных теорем и формул. Для замечаний проверяющего оставляются
поля шириной 3см.
Контрольную работу №1 выслать не позднее 25 декабря 2003 г.
Контрольную работу №2 выслать не позднее 10 февраля 2004 г.
Контрольную работу №3 выслать не позднее 20 марта 2004 г.
Контрольную работу №4 выслать не позднее 10 мая 2004 г.
Контрольные работы высылать на проверку по адресу: 450001, г. Уфа – 1,
50 лет Октября,34. БГАУ.
3
Контрольная работа № 1
1. Решите неравенство:
1
21
4
x
x
.
2. Чему равна сумма целых чисел, содержащихся в ООФ?
2
45
9
2
xx
x
xf
3. Укажите количество целочисленных решений неравенства
19
2
3916
19
2
3916 xxxx
4. Решите неравенство:
1
4
2
45
2
x
xx
.
5. Упростите функцию:
2
1
5
20
1
5
1
5
25
2
:
3
5
33
125
2
1
x
x
x
x
xxxf
6. При каком целом положительном x значение выражения
25103
2
5
2
4103
2
2
2
2
5
xxxx
xxxx
x
x
ближе всего к –0,7?
7. Укажите все номера только нечетных функций:
1)
1
4
4sin
2
x
xx
y
; 2)
5
2
3
xxy
; 3)
x
xy
3
2
3
1
;
4)
xtgxy 4cos2
.
8. Найдите область значения функции
3
2
2
1
xx
y
.
9. Найдите площадь правильного 12-угольника
MABCD...
, если диагональ
4AD
.
10.При каких значениях параметра а корни уравнения
043
2
1 aaxxa
больше 1 ?
Решение типовых задач к контрольной работе №1
1 Решите неравенство: │3-|х-2|│ ≤ 1
Решение: Когда есть модуль в модуле, начинать надо с внутреннего.
Случай 1. х ≤ 2. Тогда │х-2│= 2- х и имеем │3-(2-х)│ ≤ -1
│1+ х│ ≤ 1
Случай 1.1. х ≤ -1. Тогда │1+ х│= -1- х и неравенство принимает вид
4
- х-1 ≤ 1 х≥-2
Для получения ответа учитываем оба случая и решение неравенства:
.1;2
,2
,1
,2
x
x
x
x
Случай 1.2.
x
1. Тогда │х+1│= 1+ х и неравенство принимает вид
1+ х ≤ 1
х ≤ 0.
Учитываем оба случая и решение:
.0;1
,0
,1
,2
x
x
x
x
Объединяя решения случаев 1.1 и 1.2, получаем
0;2x
.
Случай 2.
2x
. Тогда
22 xx
и имеем
15123 xx
.
Случай 2.1.
5x
. Тогда неравенство будет иметь вид
415 xx
.
Следовательно,
5;4x
.
Случай 2.2.
x
5. Тогда
55 xx
и неравенство будет
615 xx
.
Значит,
6;5x
.
Объединяя случаи 2.1 и 2.2, получим
6;4
.
Чтобы получить ответ, объединяем решения случаев 1 и 2.
Ответ:
6;40;2 x
.
2 Решите неравенство:
12 xx
5
1
Решение:
Найдем область определения неравенства:
2;1
.01
,02
x
x
x
.
x2
5
1
1 x
(1)
Так как обе части неравенства неотрицательны, то на множестве
допустимых значений оно равносильно неравенству
5
x2
5
1
1
5
1
21 xx
,
полученному возведением в квадрат обеих частей неравенства (1).
Последнее неравенство равносильно системе неравенств
.
5
1
5
2
,21
x
x
x
)3(
)2(
Если
x
5
2
0, т.е. х
5
2
, то неравенство (3) не имеет решений
(отрицательное не может быть больше положительного).
Если
x
5
2
0, т.е.
5
2
1 x
, то система (2), (3) равносильна неравенству
2
5
2
x
25
1
5
1
2
xx
x
0.
Решим неравенство методом интервалов. Найдем нули функции
25
1
2
xxу
:
0
25
1
2
xx
,
.
10
295
,
10
295
21
xx
Отмечаем нули функции на числовой оси и на полученных интервалах
определяем знаки функции
25
1
2
xxу
:
при
;
10
295
10
295
;x
0y
;
при
10
295
;
10
295
x
.0y
Учитывая, что
5
2
1 x
, получим ответ
x 1
10
295
Ответ:
10
295
;1x
3 При каком значении параметра а один корень уравнения
01223
2
axax
больше 1, а другой меньше 1.
Решение:
Графиком
1223
2
axaxy
является парабола, ветви которой направлены
вверх. По условию эта парабола должна пересекать ось
x
, причем отрезок
2
;
1
xx
должен содержать внутри себя точку 1. Следовательно, значение
6
квадратного трехчлена
1223
2
axax
при
1x
должно быть
отрицательным. Это условие необходимое и достаточное, чтобы выполнялось
неравенство
2
1
1
xx
0121231 aa
0122231 aa
2 a
2a
Ответ:
2a
.
4 Найдите область значений функции
65
1
2
xx
у
Решение:
.
65
1
2
a
xx
Решим относительно х:
;44242516425 0
0165
.165
2222
2
2
aaaaaaaaDD
axaax
axaax
Решим методом интервалов:
04
04
2
aa
aa
Нули функции:
0a
или
4a
. При
;04;a
функция
неотрицательна, при
.0;4a
функция отрицательна.
Ответ:
.;04; a
.ауE
7
Контрольная работа №2
1. Найдите сумму корней уравнения:
6
5
3
4
cos
2
5
2
3
cos
2
5
3sin
14
2
3
2
sin7
2
sin4
x
x
x
xx
,
принадлежащих отрезку
5;3
.
2. Упростите выражение:
17cos...3cos2coscos
17sin...3sin2sinsin
.
3. Вычислите без таблиц и калькулятора:
65
16
arcsin
13
5
arcsin
5
4
arcsincos
.
4. Решите неравенство:
xx arccosarcsin
.
5. Вычислите:
2
cos
2
sin
xx
, если
44,0sin x
.
6. Сколько корней имеет уравнение
01sin2
2
4
xx
?
7. Найдите
2tg
, если
5
3
cos4sin3
cos4sin
.
8. Сколько корней имеет система
11
3
,3
x
x
tg
?
9. Постройте график функции:
а)
xxy 2sin2sin
; б)
xxy 2cos2cos
10. В окружность вписан правильный 9-угольник А
1
А
2
А
3
…А
9
с диагональю
А
1
А
4
, равной 12. В эту же окружность вписан правильный 6-угольник.
Найти радиус окружности, вписанной в 6-угольник.
8
Решение типовых задач
к контрольной работе № 2
1 Вычислите: sin (arctg
15
8
arccos
17
15
).
Решение: Пусть
17
15
arccos,
15
8
arctg
. Тогда
2
0
и
2
0,
15
8
tg
и
17
15
cos
. Воспользуемся формулой
sincoscossin)sin(
.
Так как
0sin,0sin,0cos
, то
17
15
2
15
8
1
1
2
1
1
cos
tg
,
17
8
17
15
1cos1sin
2
2
,
17
8
17
15
1cos1sin
2
2
Следовательно,
0
17
8
17
15
17
15
17
8
sin)
17
15
arccos
15
8
sin(
arctg
Ответ: 0.
2 Решите неравенство:
.
3
1
xtg
(8)
Решение: Функция
xtgу
является периодической с периодом
. Построим
график функции
xtgу
на интервале
2
,
2
и проведем прямую
3
1
у
.
Функция
xtgу
возрастает на интервале
, а прямая
3
1
у
пересекает
график этой функции в точке с абсциссой
6
.
y
tgxy
9
3
1
y
0 z
2
6
2
Поэтому решениями неравенства (8) на интервале
являются все числа х из
интервала
6
,
2
, а множество всех решений неравенства (8) представляет
собой совокупность интервалов вида
,
6
,
2
Ответ:
. ,
62
x
3 Решите уравнение:
0cos4
2
xx
.
Решение: Найдем область определения
,02204
2
xxx
;22;x
Уравнение эквивалентно следующим системам:
1)
2
2
04
;22;
2
1
2
x
x
x
x
или
2)
nx
x
x
x
2
;22;
0cos
;22;
, где
0,1n
zn
Ответ:
,
2
;2,2
21
nxxx
где
.0,1; nn
10