Щелкачев В.Н. Основы и приложения теории неустановившейся фильтрации: Часть 1

Подождите немного. Документ загружается.

к поверхности в этой точке совпадает с направлением вектора гра

диента температуры grad 0. Иногда величину q* называют вектором

плотности теплового потока.

Закон Фурье устанавливает линейную зависимость величины

теплового потока от градиента температуры. Знак минус в правой

части формулы (1.51) указывает на то, что тепло распространяется

в направлении, противоположном направлению вектора градиента

температуры, т.е. в сторону убывания температуры. Коэффициент

пропорциональности X называется коэффициентом теплопроводно

сти и в большинстве задач считается постоянным для данного

вещества.

Уравнение (1.51) можно переписать в проекциях на декартовы

оси координат:

дх’

я;= -х

дО (1.52)

Эу’

Qz~ X dz'

гДе Qx>Qy>Qz — проекции вектора теплового потока

Размерности величин, входящих в уравнения (1.51), (1.52),

таковы:

г * т калория

[0] = градус, (1.53)

калория

L ■ Т * градус ’

где L и Т — символы соответственно единиц длины и времени;

количество тепла измеряется в калориях, температура — в градусах

Цельсия.

Выделим в окрестности точки Р(х> у, z) температурного поля

элементарный параллелепипед, изображенный на рис. (1.1). Про

екции вектора теплового потока q*x,qy,ql на оси координат и

температура 0 в центре параллелепипеда будут функциями

координат х, у, z и времени t, если считать поле, вообще говоря,

неустановившимся. Относительно этих функций и их производных

сохраним те же предположения, какие были оговорены в § 2.

Определим двумя разными способами изменение количества

тепла в элементарном параллелепипеде за элементарный проме

жуток времени.

Потоки тепла в направлении оси х через грани I и И,

перпендикулярные оси х, — см. рис. (1.1) — за время dt будут

соответственно таковы:

* 1 ^ W

^ ~ 2 И Г ,1Х

(

dydzdt

. i л .

2 "дк~

dydzdt.

Вычитая первую величину из второй, находим уменьшение тепла

за время dt в элементарном параллелепипеде при учете теплового

потока только в направлении оси х:

дЯ*х

-^-dxdydzdt.

(1.54)

Полное уменьшение тепла за время dt в элементарном

параллелепипеде при учете тепловых потоков через все его грани

будет равно:

Эq

- А Ж

дх ду

dx dydzdt

(1.55)

или же

(divq* )dxdydzdt.

(1.56)

Подсчитаем теперь другим способом изменение количества

тепла в том же параллелепипеде. Именно за время dt количество

тепла в элементарном параллелепипеде увеличится за счет

увеличения температуры на такую величину:

Э0

Ср ~dt

dxdydz- C ~ ^d t\xd y d z,

(1.57)

где с — удельная теплоемкость теплопроводящего тела при посто

янном давлении, р — плотность и С — объемная удельная тепло

емкость того же тела

С = ср. (1.58)

Размерности величин, входящих в равенство (1.58), таковы:

калория

М ■градус ’

(1J9)

калория

1 1 — г Ч >

■градус

где М — символ единицы массы.

Учитывая закон сохранения энергии*, приравниваем друг к

другу величины (1.55) или (1.56) и (1.57) с противоположными

знаками (т.к. первая величина характеризует уменьшение, а

вторая — увеличение тепла в том же объеме за тот же промежуток

времени); после сокращения общих множителей получим:

Ъд*х Ъду П 60)

Эх Эу dz d t ’

divq' = -C ? £ . (161)

Уравнения (1.60) и (1.61) вполне аналогичны уравнениям

неразрывности фильтрационного потока (1.10) и (1.11).

Подставим в равенство (1.61) или (1.60) выражение вектора

теплового потока и его проекций из закона Фурье, записанного

соответственно в форме (1.51) или (1.52); получим:

Заметим, что в книге Коллинза [369] уравнение неразрывности трактуется как

выражение какого-либо «закона сохранения».

kf& Q Э2 9 У 9) дв

С дхг + ду2 + д ? ЭГ

Ч У

(1.62)

или

(1.63)

или, наконец, используя символ лапласиана, определенного равен

ством (1.46),

Уравнение (1.62), (1.63) или (1.64) называется уравнением темпе

ратуропроводности; оно является основой для аналитического иссле

дования неустановившихся процессов в температурном поле. Именно

об этом уравнении температуропроводности, впервые выведенном в

1807 г. Фурье, говорилось в в предыдущем параграфе при анализе

аналогичного уравнения пьезопроводности (1.44) или (1.45).

Коэффициент а, входящий в уравнение (1.64) и определяемый

равенством (1.65), называется коэффициентом температуропровод

ности (термин Максвелла); для данного тела этот коэффициент

в большинстве задач считается постоянным.

Размерность коэффициента температуропроводности легко най

ти, учитывая равенство (1.65) и размерности величин, определяемых

равенствами (1.53) и (1.59):

Строго говоря, уже давно обнаружено, что теплофизические

характеристики тела — коэффициент теплопроводности X, удель

ная теплоемкость С и коэффициент температуропроводности а —

зависят от температуры и их для данного тела можно считать

постоянными лишь приближенно, когда в исследуемом явлении

(1.64)

где

(1.65)

температура тела изменяется не в слишком широком диапазоне*.

Бывают и такие случаи, когда X и С изменяются с изменением

температуры, но их отношение, т.е. коэффициент температуроп

роводности а, остается практически постоянным.

Предположение о постоянстве упомянутых теплофизических

характеристик тела (особенно коэффициента температуропровод

ности) лежит в основе классической линейной теории теплопро

водности. В тех случаях, когда приходится учитывать зависимость

теплофизических коэффициентов от температуры, возникает не

обходимость использовать значительно более сложную и менее

разработанную нелинейную теорию теплопроводности.

В теории диффузии основной закон — закон Фика, установ

ленный в 1855 году, имеет вид:

v' = - D grad и, (1.67)

где — вектор массовой скорости диффузии в выбранной точке

сплошной среды. Величина массовой скорости диффузии v ' числен

но равна массе диффундирующего вещества, проходящего за еди

ницу времени через единицу площади элемента поверхности; пред

полагается, что элемент поверхности проведен через выбранную

точку и ориентирован так, что нормаль к поверхности в этой точке

совпадает с направлением вектора градиента концентрации диф

фундирующего вещества. Концентрация и численно равна массе

диффундирующего вещества в единице объема. Закон Фика уста

навливает линейную зависимость массовой скорости диффузии от

концентрации. Коэффициент пропорциональности D называется ко

эффициентом диффузии и во многих случаях считается величиной,

не зависящей от концентрации.

Перепишем уравнение (1.67) в аналитической форме:

уу - Р Эу>

V = -D —

Vz dz ‘

(1.68)

Размерности величин, связанных с законом диффузии, таковы:

" *

В книге Л. Д. Кудрявцева [3881 имеется следующее очень хорошее замечание

на стр. 55: «Образно говоря, в малом все линейно».

L2T'

(1.69)

Проекции вектора массовой скорости диффузии vx' , vy' , v/ и

величина концентрации и будут, вообще говоря, функциями времени

t и координат точки х, у, z векторного поля скоростей диффузии

или же скалярного поля концентрации. И здесь сохраним те же

предположения об этих функциях и их производных, которые были

указаны в § 2.

Определим двумя разными способами изменение массы в

элементарном параллелепипеде с центром в точке Р (х} у, z) поля

скоростей диффузии (см. рис. 1.1).

Количество (масса) диффундирующего вещества, протекающего

за время dt через I и II грани параллелепипеда, перпендикулярные

оси х, определяется соответственно выражениями:

' 1 dv'

' _ 2"гьГ

dydzdt,

' 1 ^ * А

V 2"й х"

dydzdt.

Вычитая первое выражение из второго, находим уменьшение

массы диффундирующего вещества за время dt в элементарном

параллелепипеде за счет диффузионного потока в направлении

оси х:

dx dydzdt.

Определим полное уменьшение массы диффундирующего ве

щества за время dt в элементарном параллелепипеде за счет

диффузионных потоков через все его грани:

(dv'x dv^ dv'2

^ dx + Эу + dz ^

(1.70)

dx dydzdt v }

или же

(divv' )dxdydzdt. (1.71)

Пользуясь другим способом подсчета, определяем увеличение

массы диффундирующего вещества за время dt в элементарном

параллелепипеде за счет изменения концентрации внутри него:

I* * * * . <ij2>

На основе закона сохранения массы, учитывая сплошность

диффузионного потока, приравниваем друг к другу с противопо

ложными знаками величины, определяемые выражениями (1.70) или

(1.71) и (1.72); после сокращения общих множителей в левой и

правой частях равенства получаем:

dv'x dv'y dv'2 d и (1.73)

dx + Эу + dz dt

или

.. Эи (1.74)

div у/ = - . 4 7

Равенство (1.73) или (1.74) представляет собой уравнение

неразрывности диффузионного потока.

Подставляем в уравнение (1.74) или (1.73) выражение вектора

массовой скорости диффузии и его проекций из закона Фика (1.67)

или (1.68), считая коэффициент диффузии D постоянной величиной:

D div (gradи ) =

или

'9и &и &и\_Ъи

obc2 Эу2 fe2 Э*’

(1.75)

или, наконец,

У 2и = 1 Щ.

D Ы

(1.76)

Уравнение (1.75) или (1.76) представляет собой основное

дифференциальное уравнение теории диффузии (кинетики диф

фузии), позволяющее характеризовать процесс перераспределения

с течением времени концентрации диффундирующего вещества.

Уравнение кинетики диффузии (1.76) того же вида, что и уравне

ния температуропроводности (1.64) и пьезопроводности (1.45).

При выводе уравнений (1.64) и (1.76) предполагалось, что в

температурном поле и поле диффузии нет источников и стоков.

По поводу предположения о постоянстве коэффициента диф

фузии D можно повторить те же, по существу, замечания, какие

были выше высказаны по поводу коэффициента температуропро

водности. Именно установлено, что коэффициент диффузии

зависит от концентрации, причем для некоторых процессов

диффузии (например, в процессе взаимной диффузии металлов,

при диффузии органических паров в резину, набухающую при

проникновении в нее этих паров) эта зависимость достаточно

сильная. Однако если величина концентрации изменяется не в

очень широком диапазоне, то с достаточной для практики степенью

точности часто оказывается возможным сохранять допущение о

постоянстве коэффициента диффузии.

На основании вышеизложенного можно отметить существенное

отличие поля диффузии от полей температуры и фильтрации*. Имен

но в теории диффузии один, и только один коэффициент — коэф

фициент диффузии D — входит и в основной закон Фика (1.67) и в

основное дифференциальное уравнение (1.76). В теории же тепло

проводности два теплофизических коэффициента: коэффициент теп

лопроводности X входит в закон Фурье (1.51) и коэффициент темпе

ратуропроводности а входит в дифференциальное уравнение темпе

ратуропроводности (1.64). Аналогичная картина и в теории

фильтрации: динамический коэффициент фильтрации К входит в

закон Дарси (1.19) и коэффициент пьезопроводности к входит в

дифференциальное уравнение пьезопроводности (1.45).

Термины «поле фильтрации» и «поле диффузии» являются несколько неопре

деленными. Но ими возможно и удобно (ради краткости выражения) пользоваться

во всех случаях, когда рассматриваются фильтрационные и диффузионные потоки,

причем нет надобности подчеркивать, идет ли речь о векторном поле (скорости

фильтрации, массовой скорости диффузии) или о скалярном поле (давления, кон

центрации).

Поэтому, например, в теории фильтрации вполне возможен

случай, рассмотренный в § 5, когда величина К динамического

коэффициента фильтрации остается конечной, но определяемый

равенством (1.41) коэффициент пьезопроводности к —><*> за счет

того, что величина р* -»0 (когда жидкость и пористая среда

абсолютно несжимаемы). В теории диффузии аналогичная ситуация

исключена.

Итак, хотя уравнения диффузии (1.76), температуропроводности

(1.64), пьезопроводности (1.45) вполне аналогичны, но коэффициент

диффузии/) по только что отмеченной причине не вполне аналогичен

более сложным (выражаемым, по крайней мере, через две величины)

коэффициентам температуропроводности а и пьезопроводности к.

Следовательно, вряд ли правы многие из тех авторов (Максвелл,

Кельвин и др.), которые считали возможным коэффициенты а и к в

уравнениях температуропроводности и пьезопроводности называть

коэффициентами диффузии. Наглядно проследить аналогии между

аналитическими теориями теплопроводности, диффузии и фильтра

ции можно с помощью табл. 1.6.1.

Таблица 1.6.1

Аналогичные величины, законы и дифференциальные уравнения

в аналитических теориях теплопроводности, диффузии и фильтрации

Теория теплопровод

ности

Теория диффузии

Теория фильтрации

Основной

закон

Закон теплопроводно

сти Фурье

q* = -Xgradp (1.51)

Закон диффузии

Фика

v' = -D grad и (1.67)

Закон фильтрации

Дарси

v = -Kgradp (1.19)

Основное диф

ференциальное

уравнение не-

установившего-

ся поля

Уравнение температу

ропроводности

V 26 = _ i | (L64)

Уравнение кинети

ки диффузии

v 2“ =5 ! < l76>

Уравнение пьезопро

водности

Связь между

основными ко

эффициентами

« = £(1.65)

D = D

к = £ ( 1.41)

Уравнения, аналогичные уравнениям теплопроводности, диф

фузии и пьезопроводности, встречаются и в теории электромаг

нитного поля, и в теории консолидации грунтов, и в ряде других

теорий, которые могут быть отнесены к различным разделам

математической физики. Учитывая основной смысл этих уравнений,

им иногда дают общее название — уравнения перераспределения.

§ 7. Уравнения неразрывности и пьезопроводности при

наличии непрерывно распределенных стоков

и источников в фильтрационном потоке

При выводе уравнений неразрывности (1.10) или (1.11) и

пьезопроводности (1.44) или (1.45) существенно предполагалось,

что в той области поля фильтрации, для которой выводились

упомянутые уравнения, стоки и источники отсутствуют. Обобщим

теперь уравнения на тот случай, когда в поле фильтрации есть

непрерывно распределенные стоки или источники.

Допустим, что во всем объеме элементарного параллелепипеда,

рассматривавшегося в § 2 при выводе уравнения неразрывности и

изображенного на рис. 1.1, непрерывно распределены источники,

выделяющие жидкость. Пусть за время dt масса жидкости,

выделившейся в элементарном объеме dx dy dz, равна

q'u* dxdydz dt. (1.77)

Величина q'u, являющаяся, вообще говоря, функцией координат

точки дс, у, z и времени t, называется производительностью или

мощностью источников. Производительность источников q'u в

данной точке численно равна массе жидкости, выделившейся за

единицу времени в единице объема в окрестности выбранной точки.

В выражении (1.77) под q'u надо, строго говоря, понимать

значение производительности источников в центре Р(х, у, z)

элементарного параллелепипеда. При подсчете массы жидкости,

выделившейся из источников во всем элементарном параллелепи

педе, можно было считать с точностью до величин высшего порядка

малости, что q'u равно среднему значению производительности

источников в рассматриваемом параллелепипеде.

Итак, если учесть не только фильтрационные потоки через все

грани элементарного параллелепипеда, но и производительность

источников в нем, то полное уменьшение массы жидкости внутри

элементарного параллелепипеда, отнесенное к единице объема и

за единицу времени, будет определяться вместо (1.5) следующим

выражением:

d(pvx) d(pvy) . Э(ру2) (U8)

дх ду + dz q “-

Величина (1.78) меньше величины (1.5), т.к. q'u определяет

добавку массы за счет источников.