Шивринский В.Н. (под редак.) Проектирование приборов, систем и измерительно-вычислительных комплексов

Подождите немного. Документ загружается.

В установившемся режиме измерения

вр

= M

пр

. (5.10)

Решая совместно (5.8-5.10), получим

mal = C

пр

ϕ,

ϕ = mla/C

пр

= 12mlLa/(bh

E),

вых

= 12mlLU

a/(ϕ

E). (5.11)

Уравнение (5.11) может быть получено непосредственно по структурной

схеме прибора (рис. 5.3), для этого необходимо определить передаточные ко-

эффициенты звеньев (1-4):

= ∂F/∂a = m; K

= l; K

= ∂ϕ/∂M = 1/C

пр

; K

= ∂U/∂ϕ = U

/ϕ

Учитывая, что U

вых

= Ka, где K = K

, получим статическую характе-

ристику акселерометра в виде (5.11).

Параллельное соединение (рис. 4.1, б). Если характеристики n параллельных

звеньев имеют вид

= f

(X);

= f

(Х);

. . . . . . . .

= f

(Х), (5.12)

а уравнение связи

У = У

+ У

+ ... + У

, (5.13)

то статическая характеристика системы получается подстановкой уравнений

(5.12) в уравнение связи (5.13):

У = f

(X) + f

(Х) + ... + f

(Х). (5.14)

Для определения чувствительности дифференцируем уравнение (5.14) по

входной величине Х:

S = ∂У

/∂X + ∂У

/∂Х + ... + ∂У

/∂Х.

Имея в виду, что

∂У

/∂X = S

, ∂У

/∂Х = S

, ..., ∂У

/∂Х = S

получим

При графическом расчете характеристики всех параллельных звеньев стро-

ят в прямоугольной системе координат (в I-й четверти). Суммируя ординаты

всех кривых при фиксированном значении Х, находят координаты точек ре-

зультирующей характеристики.

Встречно-параллельное соединение (рис. 4.1, в). Если характеристики двух

встречно-параллельных звеньев имеют вид

У = f

);

= f

(У), (5.16)

то, решая их совместно с уравнением связи

= X ± Х

получим в неявном виде характеристику системы:

У = f

[X ± f

(У)]. (5.17)

В полученном уравнении знак «плюс» отвечает положительной обратной

связи, знак «минус» – отрицательной.

Чувствительность системы при встречно-параллельном соединении звеньев

определяется как

S = S

/(1±S

). (5.18)

Здесь знак «плюс» отвечает отрицательной обратной связи, знак «минус» –

положительной.

При графическом расчете характеристики обоих звеньев строят в прямо-

угольной системе координат (в I-й четверти). Суммируя абсциссы этих кривых

при фиксированном значении У, находят координаты точек результирующей

характеристики.

Методы расчета динамических характеристик

При расчете динамических характеристик приборов могут решаться задачи

анализа и синтеза.

Анализ динамических характеристик ведется с целью определения характе-

ра изменения выходного сигнала прибора во времени У(t) при известном законе

изменения входного сигнала Х(t) и при заданных параметрах прибора.

Задача синтеза заключается в выборе таких параметров прибора, при кото-

рых зависимость У(t) наилучшим образом приближается к желаемой.

Зависимость У(t) называют реакцией прибора на воздействие Х(t). Если бы

прибор был идеальным в динамическом отношении (безынерционным), то его

выходной сигнал реагировал бы без запаздывания на изменение входного сиг-

нала и воспроизводился бы в соответствии со статической характеристикой

У = f(Х), т. е.

У(t) = f[Х(t)]. (5.19)

В реальных приборах (вследствие наличия инерционных масс, демпфиро-

вания, тепловой инерции, емкостей и индуктивностей в электрических цепях и

т. п.) условие (5.19) не выполняется и возникает динамическая погрешность

∆У

дин

= У(t) – f[Х(t)]. (5.20)

В общем случае для расчетного определения У(t) необходимо два уравне-

ния, одно из которых выражает закон изменения Х:

Х = Х(t), (5.21)

а другое отображает физическую схему прибора и дает связь между У, Х и их

производными:

[У

(n)

, У

(n-1)

, ..., У] = f

[Х

(m)

, Х

(m-1)

, ..., Х], (5.22)

здесь У

(n)

= d

У/dt

; Х

(m)

= d

Х/dt

Совместное решение и интегрирование уравнений (5.21) и (5.22) позволяет

определить реакцию прибора У(t) на воздействие Х(t) при заданных начальных

условиях, учитывающих состояние координаты У и ее производных в момент

времени t = 0.

Число начальных условий равно порядку левой части уравнения (5.22). Та-

ким образом, реакция прибора У(t) зависит как от внешнего воздействия Х(t),

так и от собственных свойств прибора, определяемых уравнением (5.22).

Следовательно, один и тот же прибор обладает различной реакцией У(t) на

разные воздействия Х(t). Закон изменения Х(t) в условиях реальной эксплуата-

ции прибора может быть самым различным и содержать как детерминирован-

ную, так и случайную составляющие.

В целях унификации оценок и возможности сравнения динамических

свойств различных приборов при расчетах и экспериментах принято оценивать

динамические характеристики приборов при типовых воздействиях – ступенча-

том, импульсном, синусоидальном.

Реакцию прибора на ступенчатое воздействие называют переходной функ-

цией, а на импульсное – импульсной переходной функцией. При определении

реакции на синусоидальное воздействие обычно рассматривают только вынуж-

денную составляющую колебаний выходного сигнала, которую представляют в

виде частотных характеристик.

Чаще всего пользуются амплитудно- и фазочастотными характеристиками,

показывающими зависимость амплитуды и сдвига фаз выходного сигнала от

частоты при постоянной амплитуде входного сигнала.

Дифференциальные уравнения (5.22) многих приборов являются линейны-

ми или линеаризуемыми и приводятся к виду

(n)

(n-1)

+...+a

У = b

(m)

(m-1)

+...+b

Х. (5.23)

Совместное решение и интегрирование уравнений (5.21) и (5.23) позволяет

определить У(t). Другой способ нахождения У(t) для приборов, описываемых

линейным дифференциальным уравнением (5.23), основан на применении пре-

образования Лапласа. При этом определяется передаточная функция прибора,

равная отношению лапласовских изображений У(p) и Х(p) при нулевых на-

чальных условиях:

W(p) = У(p)/Х(p) =

= (b

+ b

m-1

+...+ b

)/(a

+ a

n-1

+...+ a

). (5.24)

Определяется лапласовское изображение выходного сигнала в виде

У(p) = W(p)Х(p),

здесь Х(p) – изображение функции Х(t).

Затем находят искомую реакцию

У(t) = L

-1

{У(p)} = L

-1

{W(p)Х(p)},

здесь L

-1

– обратное изображение функции.

В качестве примера рассмотрим движение подвижной части магнитоэлек-

трического измерительного механизма (гальванометра), схема которого приве-

дена на рис. 5.4, где приняты следующие обозначения: 1 – рамка, с ней связан

указатель (стрелка); 2 – постоянный магнит с полюсными наконечниками;

3 – сердечник; 4 – ось (керн); 5 – подпятник; 6 – противодействующие (токо-

подводящие) пружины.

Рис. 5.4. Схема магнитоэлектрического механизма

Для рассматриваемой схемы механизма уравнение моментов сил имеет вид

+ M

= M

вр

, (5.25)

здесь M

– момент количества движения (инерционный момент); M

– демпфи-

рующий момент (момент успокоения); M

– позиционный момент (противодей-

ствующий момент); M

вр

– вращающий момент.

Моменты можно выразить через соответствующие коэффициенты:

= Jϕ''; M

= Kϕ'; M

= Cϕ; M

вр

= BSWI. (5.26)

Здесь ϕ – угол отклонения подвижной части от состояния равновесия; ϕ', ϕ'' –

первая и вторая производные; J – момент инерции подвижной системы; K – ко-

эффициент демпфирования; C – суммарная жесткость противодействующих

пружин; B – магнитная индукция в воздушном зазоре; W – число витков рамки;

S – активная площадь рамки (S = bl, b – ширина, l – длина активной стороны

рамки); I – ток, протекающий через рамку.

Подставляя (5.26) в (5.25), получим дифференциальное уравнение прибора

Jϕ'' + Kϕ' + Cϕ = BSWI. (5.27)

Характеристическое уравнение

+ Kp + C = 0

можно записать в виде

+ 2αp + ω

= 0, (5.28)

здесь α = K/2J; ω

JC /

Параметр ω

имеет определенный физический смысл – он определяет кру-

говую частоту собственных недемпфированных колебаний системы.

Для электромагнитного успокоения, при отсутствии металлического корпу-

са рамки, имеем

K = (BSW)

/(R

из

+ R

), (5.29)

здесь R

из

– сопротивление рамки измерительного механизма; R

– сопротивле-

ние внешней цепи (наружное).

В установившемся режиме производные ϕ'', ϕ' равны нулю, тогда

уст

= (BSW/C)⋅I. (5.30)

Введем безразмерный параметр, называемый степенью успокоения под-

вижной части прибора β:

β = α/ω

= K/2 CJ . (5.31)

Корни уравнения (5.28) определим из выражения

Вид переходного процесса зависит от характера корней p

1,2

. Здесь могут

быть три случая.

Случай 1. Степень успокоения β

>1, что приводит к неравным действитель-

ным корням. Переходный процесс в системе 2-го порядка при β

>1 и при нуле-

вых начальных условиях имеет апериодический характер (рис. 5.5).

Случай 2. Степень успокоения β

=1, чему отвечают равные корни. Пере-

ходный процесс является апериодическим.

Случай 3. Корни неравные и комплексные. Этот случай, отвечающий β

<1,

представляет наибольший интерес, так как в этой области существует некото-

рое оптимальное значение β, при котором длительность переходного процесса

получается минимальной.

Переходные процессы при β

<1 имеют колебательный характер. В частном

случае, когда отсутствует демпфирование (β

0), система совершает незату-

хающие колебания (при отсутствии сил трения) по закону

ϕ(t) = (BSW/C)(1 – cosω

t). (5.33)

Параметр ω

представляет собой частоту собственных колебаний недемп-

фированной системы. В случае 0

<β

<1 система совершает затухающие колеба-

ния (рис. 5.5). Частота демпфированных колебаний

Следовательно, с увеличением β от 0 до 1 частота демпфированных коле-

баний уменьшается от ω

до 0.

Помимо ω

и β, важными показателями колебательного переходного про-

цесса являются декремент затухания и перерегулирование. Декрементом зату-

хания d называют отношение абсолютных значений двух смежных максималь-

ных отклонений выходного сигнала от установившегося значения. Перерегули-

рование σ определяет относительную величину разности между первым макси-

мумом переходного процесса и его установившимся значением.

На рис. 5.5 представлены графики переходных процессов в системе второго

порядка при разных значениях степени успокоения β: β

<1 – колебательный ре-

жим, β

>1 – апериодический режим, β

=1 – критический режим. Изменяя сопро-

тивление цепи прибора (см. уравнение 5.29), можно получить различные режи-

мы его работы.

Опыт показывает, что при степени успокоения β

0.9 подвижная часть бы-

стрее всего устанавливается в положение равновесия. Если цепь гальванометра

разомкнута, то колебания рамки будут незатухающими (свободными). Период

собственных колебаний определяется по формуле (5.34).

= 2π

CJ /

. (5.34)

Рис. 5.5. График движения подвижной части

гальванометра при разных режимах

Методы расчета динамических характеристик звеньев и систем достаточно

подробно рассматриваются в курсах «Теория автоматического управления и ре-

гулирования» и «Системы автоматического управления».

Оптимизация параметров приборов и систем

Задачи синтеза динамических характеристик приборов и систем весьма

многообразны. Все они преследуют одинаковую цель, заключающуюся в соз-

дании измерительной системы, динамические характеристики которой наилуч-

шим образом приближаются к заданным. Наилучшее приближение достигается

обычно путем оптимизации некоторого заранее выбранного показателя дина-

мического качества.

При проектировании оптимальных по быстродействию или по динамиче-

ской точности измерительных систем могут выбираться различные критерии.

Возможно, например, решение следующих задач синтеза: минимизация дли-

тельности переходного процесса, максимизация полосы пропускания частот,

минимизация фазовых искажений, минимизация дисперсии динамической по-

грешности при действии случайного полезного сигнала и случайной помехи и

т. д. Для повышения быстродействия измерительной системы используют сле-

дующие методы, основанные на оптимизации параметров измерительной сис-

темы; на введении последовательных корректирующих звеньев; на введении

корректирующих обратных связей; на использовании систем с переменной

структурой [4].

В качестве примера рассмотрим оптимизацию параметров измерительной

системы второго порядка из условия минимума длительности переходного

процесса. На рис. 5.6 представлены графики переходных процессов в системе

второго порядка для трех близких значений β.

Минимум длительности переходного процесса будет при таком значении

, при котором кривая после первого перехода через установившееся зна-

чение совпадет с верхней границей допустимой динамической ошибки +∆ (кри-

вая 1 входит в зону допуска в точке A, длительность переходного процесса t

Допустим, что β

, тогда период колебаний увеличится, и переходный

процесс будет описываться кривой 2, расположенной правее кривой 1 и входя-

щей в зону ±

∆ в точке B, для которой t

Рис. 5.6. К расчету оптимальной степени успокоения по

критерию минимума длительности переходного процесса

Если же β

(кривая 3), то период колебаний уменьшится, но увеличится

величина перехода через установившееся значение, из-за чего максимальное

отклонение кривой 3 выйдет за пределы верхней границы допуска +∆. Дли-

тельность процесса t

будет определяться вторым пересечением кривой 3 с

верхней границей зоны допусков в точке C, следовательно, t

Более подробно вопросы синтеза систем и анализа их динамической точно-

сти рассмотрены в работе [5].

Глава 6. Расчет погрешностей приборов и систем

Определение погрешностей измерительного звена

по его расчетной характеристике

Оценка погрешностей прибора значительно упрощается, если их расчет

разделить на два этапа. На первом этапе определяются погрешности каждого

звена в отдельности по его расчетной характеристике. На втором этапе опреде-

ляются погрешности прибора в целом, с учетом его структурной схемы.

Такая последовательность расчетов не только упрощает вычисления, но и

повышает наглядность полученных результатов, так как выявляется роль каж-

дого звена в формировании общей погрешности прибора.

Кроме того, для выполнения расчета на втором этапе не обязательно иметь

расчетные данные о погрешностях каждого звена. Могут быть использованы

экспериментальные данные или взяты значения погрешностей отдельных

звеньев из технических условий (если используются типовые чувствительные

или преобразующие элементы).

Вернемся к расчетной (5.2) характеристике прибора:

У = f(X, q

, q

, ..., q

где q

, q

, ..., q

– параметры схемы и конструкции.

Первичные ошибки ∆q

, ∆q

, ..., ∆q

практически малы по сравнению с па-

раметрами q

, q

, ..., q

. Зависимость между приращением выходного сигнала

∆У и первичными ошибками, по аналогии с рассмотренными ранее уравнения-

ми (1.4-1.5), можно представить в виде

∆У = (∂у/∂q

)∆q

+ (∂у/∂q

)∆q

, ... + (∂у/∂q

)∆q

= Σ(∂у/∂q

)∆q

. (6.1)

Таким образом, абсолютная погрешность есть взвешенная сумма первич-

ных погрешностей. Коэффициентами веса являются частные производные по

параметрам, которые вызывают появление погрешностей. Частные производ-

ные вычисляются для расчетных (номинальных) значений q

, q

, ..., q

Уравнение (6.1) применимо как к прибору в целом, так и к отдельным его

элементам. Параметры q

, q

, ..., q

могут отличаться от номинальных значений

как по производственно-технологическим причинам (∆q

=∆q'

– основная по-

грешность), так и из-за отклонения условий эксплуатации (температуры, давле-

ния и др.) от нормальных (∆q

=∆q''

– дополнительная погрешность).

В качестве примера рассмотрим расчет погрешности маятникового акселе-

рометра (рис. 5.1). Статическую характеристику прибора (5.11) можно предста-

вить следующим образом

вых

= 12mlLU

-1

-3

-1

a. (6.2)

На основании уравнения (6.1) получим

∆U

вых

= 12lLU

-1

-3

-1

a∆m + 12mLU

-1

-3

-1

a∆l +

+ 12mlU

-1

-3

-1

a∆L + 12mlLb

-1

-3

-1

a∆U

–

– 12mlLU

-2

-3

-1

a∆b - 3⋅12mlLU

-1

-4

-1

a∆h –

– 12mlLU

-1

-3

-2

-1

a∆E - 12mlLU

-1

-3

-1

-2

a∆ϕ

. (6.3)

Выражение для относительной погрешности получим путем деления урав-

нения (6.3) на уравнение (6.2):

Uвых

= ∆U

вых

= ∆m/m + ∆l/l + ∆L/L + ∆U

– ∆b/b – 3∆h/h – ∆E/E – ∆ϕ

/ϕ

. (6.4)

Отсюда следует, что относительная погрешность маятникового акселеро-

метра есть взвешенная сумма первичных относительных погрешностей. Коэф-

фициентами веса являются показатели степени параметров.

Выражение (6.1) можно использовать для расчета температурных погреш-

ностей, если считать, что приращения ∆q

параметров q

произошли в результа-

те изменения температуры окружающей среды.

Полагая параметры q

линейно зависящими от температуры

= q

(1+α

Θ), (6.5)

получим приращения этих параметров в виде

∆q

= q

– q

= q

Θ, (6.6)

здесь α

– температурный коэффициент параметра; q

– значение параметра при

нормальной температуре.

Подставляя зависимость (6.6) в выражение (6.1), найдем температурную

погрешность прибора:

∆У = Σ(∂у/∂q

Θ, (6.7)

откуда условие температурной компенсации будет

Σ(∂у/∂q

Θ = 0. (6.8)

Определение погрешностей прибора по структурной схеме

Для расчета погрешности прибора по структурной схеме необходимо знать

погрешности всех его преобразующих звеньев, которые могут быть определены

различными способами: а) расчетным путем по методике, описанной в преды-

дущем параграфе; б) по результатам экспериментальных исследований образ-

цов; в) по справочным данным, если используются стандартные звенья.

Допустим, что прибор (или измерительная система) содержит n звеньев,

каждое из которых осуществляет определенное функциональное преобразова-

ние физических величин. Звенья соединены между собой любым способом (по-

следовательно, параллельно, встречно-параллельно или более сложным обра-

зом). Обозначим выходной и входной сигналы системы в целом через У и Х, а

выходные сигналы звеньев через У

, У

, ..., У

В реальной системе сигналы звеньев У

, У

, ..., У

, вследствие наличия у

них погрешностей, получают независимые приращения ∆У

, ∆У

, ..., ∆У

, кото-

рые в совокупности и дают суммарную погрешность системы ∆У.

Относительная погрешность системы в линейном приближении равна ли-

нейной комбинации относительных погрешностей звеньев:

δ = ξ

+ ξ

+ ... + ξ

= Σξ

, (6.9)

здесь δ = ∆У/У – относительная погрешность системы; δ

= ∆У

/У

– относи-

тельная погрешность i-го звена; ξ

– коэффициент влияния i-го звена.

Из уравнения (6.9) следует, что погрешность системы складывается из n со-

ставляющих, каждая из которых порождается соответствующим звеном струк-

турной схемы. Коэффициент влияния ξ

представляет собой безразмерный

множитель, на который нужно умножить относительную погрешность i-го зве-

на, чтобы определить порождаемую ею составляющую суммарной относитель-

ной погрешности системы.

Предположим, что все звенья, кроме i-го, абсолютно точны, а погрешность

системы вызвана лишь влиянием i-го звена. Тогда относительная погрешность

системы

∆У/У = ξ

∆У

/У

откуда

= (∆У/У)/(∆У

/У

). (6.10)

Ограничимся случаем, когда все звенья имеют линейные характеристики

= S

, (6.11)

здесь S

– чувствительность i-го звена; X

– входной сигнал i-го звена.

При установившемся режиме, когда X

= const, малое приращение функции

(6.11) можно выразить в виде

∆У

= ∆S

. (6.12)

Разделив (6.12) на (6.11), получим

∆У

/У

= ∆S

. (6.13)

Аналогично для системы в целом

∆У/У = ∆S/S, (6.14)

здесь S – чувствительность системы в целом.

Подставив (6.13) и (6.14) в (6.10), получим

= (∆S/∆S

)⋅(S

/S). (6.15)

Так как рассматривается лишь одна составляющая суммарной погрешно-

сти, вызванная влиянием i-го звена, а параметры остальных звеньев принима-

ются постоянными, то отношение малых приращений чувствительности можно

заменить частной производной:

∆S/∆S

≈ ∂S/∂S

. (6.16)

Подставляя (6.16) в (6.15), получим формулу для определения коэффициен-

та влияния i-го звена:

= (∂S/∂S

)⋅(S

/S). (6.17)

Если произвести расчет чувствительности прибора по структурной схеме,

то можно представить ее как функцию чувствительности звеньев:

S = F(S

, S

, ..., S

). (6.18)

Частные производные ∂S/∂S

1, 2, ..., n) могут быть найдены поочеред-

ным дифференцированием функции (6.18) по S

, S

, ..., S

Рассмотрим расчет коэффициентов влияния погрешностей звеньев на при-

мере, представленном в работе [3]. Определим безразмерные коэффициенты

влияния погрешностей звеньев для структурной схемы, приведенной на

рис. 6.1, а, если заданы чувствительности звеньев: S

20; S

9; S

1; S

Заменим встречно-параллельные звенья 2 и 3 с отрицательной обратной

связью эквивалентным звеном 5 (рис. 6.1, б), чувствительность которого со-

гласно (5.18) равна S

= S

/(1 + S

Рис. 6.1. К примеру расчета коэффициентов влияния