Шпоры по алгебре, геометрии и тригонометрии
Подождите немного. Документ загружается.
Алгебра
Квадратные уравнения
ax
2
+ bx + c = 0 D = b
2
– 4ac
D < 0 – нет корней,
D = 0 – один корень : x = -
b
2 a
,
D > 0 – два корня : x
1,2
=
−b ±
√
D
2 a
ax
2
+ 2kx + c = 0 x
1,2
=
−k ±
√
k
2
−ac
a
Разложение квадратного трехчлена на множители
ax
2
+ bx + c = a(x – x
1
)(x – x
2
)
Решение уравнений и неравенств
√
f (x)
= g(x) Область определения задается неравенством f(x) ≥ 0.
√
f (x)
= g(x) ⇔ f(x) = (g(x))
2
, f(x) = (g(x))
2
,
f(x) ≥ 0, ⇔ g(x) ≥ 0;
g(x) ≥ 0,
x
2
= |x|,
√
f (x)
= |f(x)|
f(x) = g(x), f(x) = g(x),
log
c
f(x) = log
c
g(x) ⇔ f(x) > 0, ⇔ g(x) > 0;
log
c
f(x) < log
c
g(x) ⇔ 0 < f(x) < g(x), где c >0
log
c
f(x) < log
c
g(x) ⇔ 0 < g(x) < f(x), где 0 < c < 1
Степени и логарифмы
a
m
n
=
n
√
a
m
log
a
b = c ⇔ a
c
= b, где b > 0, a > 0, a
≠
1
a
b
a
c
= a
b +c
a
log
a
b
= b
a
b
a
c
= a
b – c
log
c
(ab) = log
c
+ log
c
b
(a
b
)
c
= (ab)
c
log
c
(
a
b
)
= log
c
a – log
c
b
a
c
b
c
= (ab)
c
log
a
b
c
= c log
a
b
a
c
b
c
=
(
a
b
)
c
log
a
c
b =
1
c
log
a
b log
a
b =
log
c
b
log
c
a
Тригонометрия
Знаки тригонометрических функций
sin x cos x tg x
+ +
- -
+ +
- -
+ +
- -
Значения тригонометрических функций
Формулы приведения
β
π + α
2
π + α
2
π + α π + α
sin β cos α cos α sin α -sin α
cos β sin α -sin α -cos α -cos α
tg β ctg α -ctg α -tg α tg α
ctg β tg α -tg α -ctg α ctg α
β
3π + α
2
3π - α
2
2π - α 2π + α
sin β -cos α -cos α -sin α sin α
cos β -sin α sin α cos α cos α
tg β ctg α -ctg α -tg α tg α
ctg β tg α -tg α -ctg α ctg α
Основы тождества
Sin
2
α + cos
2
α = 1
tgα =
sin α
cos α
ctgα =
cos α
sin α
tg α · ctg α = 1
1 + tg
2
α =
1
cos
2
1 + ctg
2
α =
1
sin
2
Формулы сложения Формулы двойного угла
α 0
0
30
0
45
0
60
0
90
0
180
0
270
0
360
0
π π π π 3π
0 6 4 3 2 π 2 2π
sin α 0 1
2
√
2
2
√
3
2
1 0 -1 0
cos α 1
√
3
2
√
2
2
1
2
0 -1 0 1
tg α 0
√
3
3
1
√
3
- 0 - 0
ctg α -
√
3
1
√
3
3
0 - 0 -
sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β
cos(α ± β) = cos α cos β ± sin α sin β
tg(α ± β )=
tgα ± tgβ
1 ± tgα·tgβ
cos 2α = cos
2
α – sin
2
α = 2cos
2
α – 1 = 1 – 2sin
2
α
sin2α = 2sinα cosα
tg 2α=
2tgα
1−tg
2
Переход от суммы к произведению
sinα ± sinβ = 2sin
α ± β
2
cos
α ± β
2
cosα – cosβ = -2sin
α+β
2
sin
α−β
2
cosα + cosβ = 2cos
α+β
2
cos
α−β
2
tgα ± tgβ =
sin (α ± β )
cosα cosβ
Переход от произведения к сумме
sinα sinβ =
1
2
[cos(α – β) – cos(α + β)] sinα cosβ =
1
2
[sin(α – β) + sin(α + β)]
cosα cosβ =
1
2
[cos(α – β) – cos(α + β)]
Формулы понижения степени
Sin
2
α =
1−cos2 α
2
cos
2
α =
1+cos 2 α
2
tg
2
α =
1−cos2 α
1+cos 2 α
Уравнения
sinx = a(-1 ≤ a ≤ 1) ⇔ x = (-1)
n
arcsina + nπ cosx = 0 ⇔ x =
π
2
+ πn
cosx = a(-1 ≤ a ≤1) ⇔ x = ± arccosa + 2nπ cosx = 1 ⇔ x = 2πn
tgx = a ⇔ x = arctg a + nπ, n – любое целое число cosx = -1 ⇔ x =π + 2πn, n – любое целое число
sinx = 0 ⇔ x = πn’ a sinx +b cosx =
√
a
2
+b
2
sin (x +
φ
),
sinx = 1 ⇔ x =
π
2
+ 2πn где sin
φ
=
a
√
a
2
+b
2
, cos
φ
=
b
√
a
2
+b
2
sinx = -1 ⇔ x = -
π
2
+ 2πn
Производная
f(x) f’(x) f(x) f’(x)
kf kf’ x
n
nx
n-1
f(kx + b) kf’(kx + b) sinx cosx
f + g f’ + g’ cosx -sinx
fg f’g – fg’ tgx
1
cos
2
x
f
g
f
'
g−fg'
g
2
e
x
e
x
C 0 a
x
a
2
lna
x
√
x
1
1
2
√
x
lnx
log
a
x
1
x
1
xlna
Уравнение касательной
y = f’(x
0
)(x – x
0
) + f(x
0
)
Экстремумы функций
x
0
– критическая точка ⇔
{
x
0
−внутреняя точка D
(
f
)
,
f
'
(
x
0
)
равно 0 или не существует
При переходе через x
0
f’ меняет знак с минуса на плюс с плюса на минус
X
0
- Точка минимума x
0
- точка максимума
Первообразная
f(x) F(x) f(x) F(x)
kf(x) kf(x) e
x
e
x
f(x) + g(x) F(x) + G(x) a
x
a
x
lna
C C
x
sinx -cosx
x
n
x
n+1
n+1
cosx sinx
1
x
ln|x|
Площадь
S = F(b) – F(a)
S
Геометрия
Планиметрия
Треугольник
Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон,
Но больше их разности:
b – c < a < b + c
Сумма углов в треугольнике:
∠
A +
∠
B +
∠
C = 180
0
Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от
вершины. Средней линией называется отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника. Средняя
линия параллельна третьей стороне и равна ее половине.
Теорема синусов:
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC
= 2R, где R – радиус описанной окружности.
Теорема косинусов: c
2
= a
2
+ b
2
– 2ab cosC
Площадь треугольника:
1) S =
1
2
ah; 2) S =
1
2
ab sinC
Прямоугольный треугольник
Теорема пифагора: c
2
= a
2
+ b
2
;
sinA =
a
c
; cosA =
b
c
; tgA =
a
b
Параллелограмм
Свойства параллелограмма
1. Противоположные стороны параллелограмма равны.
2. Противоположные стороны параллелограмма ||.
3. Диагонали в точке пересечения делятся пополам.
4. Противоположные углы параллелограмма равны.
Площадь параллелограмма: S = ah.
Ромб
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны
Трапеция
Площадь трапеции:
S =
a+b
2
h
Многогранники
Прямоугольный параллелепипед
d
2
= a
2
+ b
2
+ c
2
; S
бок
= 2(ac + bc);
S
полн
= 2(ab + bc + ac); V = abc
Призма
V = S
осн
h
Пирамида
V =
1
3
S
осн
h
Цилиндр
V = πr
2
h;
S
бок
= 2πRh
Конус
V =
1
3
πR
2
h;
S
бок
= πRl
Шар
V =
4
3
πR
3
S = 4πR
2